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初中数学北师大版八年级上册7 二次根式综合训练题
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这是一份初中数学北师大版八年级上册7 二次根式综合训练题，文件包含专题27二次根式二教师版docx、专题27二次根式二学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
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1.掌握同类二次根式及合并同类二次根式；
2.掌握二次根式的加减法则，会运用法则进行二次根式的加减运算；
3.能应用运算律及乘法公式熟练地进行二次根式的混合运算。
知识精讲
知识点01 同类二次根式
【微点拨】
1.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如
【知识拓展1】同类二次根式的辨别
例1．（2022·山东烟台·八年级期中）下列各式与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练】
1．（2022·广西柳州·八年级期中）下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【知识拓展2】根据同类二次根式求参数值
例2．（2022·山东烟台·八年级期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则______．
【即学即练】
2.（2022·河北保定·八年级期中）如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（ ）
A．1B．2C．4D．10
3．（2022·河南安阳·八年级阶段练习）若最简二次根式与能合并，则______．
【知识拓展3】合并同类二次根式
例3．（2022·福建福州·八年级期中）下列式子正确的是（ ）．
A．B．C．D．
【即学即练】
3.（2022·广西贺州·八年级期中）下列计算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
知识点02 二次根式的加减
【微点拨】
二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
【知识拓展1】二次根式的加减
例1．（2022·辽宁大连·八年级期中）计算：
(1)； (2)
【即学即练1】
1．（2022·湖北武汉·八年级期中）计算：
(1)； (2)； (3)； (4)．
【知识拓展2】二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）
例2．（2022·辽宁鞍山·八年级期中）计算：
(1)； (2)．
【即学即练2】
2．（2022·四川德阳·八年级期中）计算
(1). (2).
3．（2022·山东烟台·八年级期中）计算：
(1) (2)
【知识拓展3】二次根式的化简求值
例3．（2022·湖北孝感·八年级期中）已经，求下列各式的值：
(1)； (2)
【即学即练3】
2．（2022·陕西·西北大学附中八年级阶段练习）化简求值已知，，求．
3．（2022·山东烟台·八年级期中）已知，，求代数式的值．
能力拓展
考法01 二次根式的应用
【典例1】（2022·湖南永州·八年级期末）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”，告诉你计算的方法是：S＝，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即请你利用公式解答下列问题．(1)在△ABC中，已知AB＝4，BC＝6，CA＝8，求△ABC的面积；
(2)计算（1）中△ABC的BC边上的高．
变式1．（2022·河南安阳·八年级阶段练习）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为83米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为米，宽为米。(1)长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）；(2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
变式2．（2022·河南许昌·八年级期中）在《九章算术》中有求三角形面积的公式“底乘高的一半”，但是在实际丈量土地面积时，准确测量高并不容易，所以古人想到了能否利用三角形的三条边长来求面积．我国南宋著名的数学家秦九韶（约1202—约1261）提出了“三斜求积术”，简称秦九韶公式．古希腊的几何学家海伦（Hern，约公元50年）在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，给出了利用三角形三边长求面积的方法和证明，相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德（公元前287年—公元前212年）得出的．在我国称这个公式为海伦—秦九韶公式．它的表述为：如果一个三角形三边长分别为a、b、c，那么三角形的面积为．（公式里的p为半周长，即）
请利用海伦——秦九韶公式解决以下问题：
(1)三边长分别为3、6、7的三角形面积为___________．
(2)四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=7，AD=6，∠B=90°，求该四边形的面积．
考法02 二次根式的规律探究
【典例2】（2022·甘肃定西·八年级期中）如图是由一连串直角三角形组成的，其中，第1个三角形的面积记为，第2个三角形的面积记为，…，第n个三角形的面积记为，观察图形，得到如下各式：，；，；，；…根据以上的规律，推算出______．
变式1．（2022·全国·八年级专题练习）观察以下等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
．．．．．．．．．．．
按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第7个等式： ；
(2)写出你猜想的第个等式： （用含的等式表示，为自然数）
(3)计算：
分层提分
题组A 基础过关练
1.（2022·河南商丘·八年级期中）下列计算中正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·山东临沂·八年级期中）下列二次根式化简后能与 合并的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·湖北武汉·八年级期中）下列计算正确的是（ ）
A．B．33
C．7D．
4．（2022·河北廊坊·八年级阶段练习）如果一个三角形的面积为，一边长为，则这条边上的高为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·河北沧州·八年级期中）计算的结果是______．已知最简二次根式与能进行合并，则______．
6．（2022·河南濮阳·八年级期中）计算的结果是______．
7．（2022·浙江杭州·八年级期末）已知，，则的值是________．
8．（2022·湖北武汉·八年级阶段练习）已知，则x2+2x﹣3＝_____．
9．（2022·山东威海·八年级期中）已知：，，求下列式子的值：(1)；(2)．
10．（2022·湖北湖北·七年级期中）计算：(1)＋－＋； (2)3＋－(2－)．
11．（2022·湖北随州·八年级期中）计算(1) (2)
12．（2022·山东滨州·八年级期中）计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
题组B 能力提升练
1．（2022·甘肃平凉·八年级期中）若最简二次根式和能合并，则的值为（ ）
A．0.5B．1C．2D．2.5
2．（2022·江西·南城县第二中学七年级阶段练习）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·上海市刘行新华实验学校八年级阶段练习）已知最简二次根式和是同类二次根式，则______．
4．（2022·山东烟台·八年级期中）计算的结果等于______．
5．（2022·河北邢台·八年级期末）已知，．
（1）______．（2）求的值为______．
6．（2022·河北·平泉市教育局教研室九年级学业考试）已知长方形的长为a，宽为b，且，．
（1）这个长方形的周长为__；（2）若一正方形的面积和这个长方形的面积相等，则这个正方形的边长为__．
7．（2022·山东烟台·八年级期中）计算：(1) (2)
8．（2022·辽宁大连·八年级阶段练习）计算：(1)；(2)．
9．（2022·山东烟台·八年级期末）在数学课外学习活动中，小明和他的同学通到一道题：已知，求的值，他是这样解答的：
∵∴，
∴，即，
∴．∴．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：若，求的值．
10．（2022·河南驻马店·八年级阶段练习）先化简，再求值∶，其中x=，y=4
题组C 培优拔尖练
1．（2022·湖北·随州市曾都区教学研究室八年级期末）我国南宋著名数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．已知的三边长分别为4，5，7，则的面积为（ ）
A．B．C．D．8
2．（2022·湖北武汉·八年级期中）用[x]表示不超过x的最大整数．例如：[3.14]＝3，[﹣3.78]＝﹣4，把x﹣[x]作为x的小数部分．已知m，m的小数部分是a，﹣m的小数部分是b，则的值为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．（1）
3．（2022·山东临沂·八年级期末）若，则的值为______．
4．（2022·广西钦州·八年级期中）已知，那么的值为__________.
5．（2022·陕西安康·八年级期中）在数学课外学习活动中，小军和他的同学遇到一道题，已知，求的值．他是这样解答的；
∵，，，，
请据小军的解题过程，解决如下问题：
(1)__________；(2)若，求的值．
6．（2022·全国·九年级阶段练习）请阅读下列材料：
问题：已知，求代数式的值．
小敏的做法是：根据得，
，得：．
把作为整体代入：得．
即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
请你用上述方法解决下面问题：
(1)已知，求代数式的值；
(2)已知，求代数式的值．
7．（2022·全国·八年级专题练习）已知：y＝＋5，化简并求的值．
8．（2022·山西朔州·七年级期中）阅读理解：
设m，n是有理数，且满，求的值．
解：由题意，移项得：，
∵m，n是有理数
∴m－2，n＋3也是有理数，
又∵是无理数，
∴，∴m＝2，n＝－3，
∴．
问题解决：
设a，b都是有理数，且，求的值．
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1.掌握同类二次根式及合并同类二次根式；
2.掌握二次根式的加减法则，会运用法则进行二次根式的加减运算；
3.能应用运算律及乘法公式熟练地进行二次根式的混合运算。
知识精讲
知识点01 同类二次根式
【微点拨】
1.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如
【知识拓展1】同类二次根式的辨别
例1．（2022·山东烟台·八年级期中）下列各式与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练】
1．（2022·广西柳州·八年级期中）下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【知识拓展2】根据同类二次根式求参数值
例2．（2022·山东烟台·八年级期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则______．
【即学即练】
2.（2022·河北保定·八年级期中）如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（ ）
A．1B．2C．4D．10
3．（2022·河南安阳·八年级阶段练习）若最简二次根式与能合并，则______．
【知识拓展3】合并同类二次根式
例3．（2022·福建福州·八年级期中）下列式子正确的是（ ）．
A．B．C．D．
【即学即练】
3.（2022·广西贺州·八年级期中）下列计算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
知识点02 二次根式的加减
【微点拨】
二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
【知识拓展1】二次根式的加减
例1．（2022·辽宁大连·八年级期中）计算：
(1)； (2)
【即学即练1】
1．（2022·湖北武汉·八年级期中）计算：
(1)； (2)； (3)； (4)．
【知识拓展2】二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）
例2．（2022·辽宁鞍山·八年级期中）计算：
(1)； (2)．
【即学即练2】
2．（2022·四川德阳·八年级期中）计算
(1). (2).
3．（2022·山东烟台·八年级期中）计算：
(1) (2)
【知识拓展3】二次根式的化简求值
例3．（2022·湖北孝感·八年级期中）已经，求下列各式的值：
(1)； (2)
【即学即练3】
2．（2022·陕西·西北大学附中八年级阶段练习）化简求值已知，，求．
3．（2022·山东烟台·八年级期中）已知，，求代数式的值．
能力拓展
考法01 二次根式的应用
【典例1】（2022·湖南永州·八年级期末）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”，告诉你计算的方法是：S＝，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即请你利用公式解答下列问题．(1)在△ABC中，已知AB＝4，BC＝6，CA＝8，求△ABC的面积；
(2)计算（1）中△ABC的BC边上的高．
变式1．（2022·河南安阳·八年级阶段练习）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为83米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为米，宽为米。(1)长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）；(2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
变式2．（2022·河南许昌·八年级期中）在《九章算术》中有求三角形面积的公式“底乘高的一半”，但是在实际丈量土地面积时，准确测量高并不容易，所以古人想到了能否利用三角形的三条边长来求面积．我国南宋著名的数学家秦九韶（约1202—约1261）提出了“三斜求积术”，简称秦九韶公式．古希腊的几何学家海伦（Hern，约公元50年）在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，给出了利用三角形三边长求面积的方法和证明，相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德（公元前287年—公元前212年）得出的．在我国称这个公式为海伦—秦九韶公式．它的表述为：如果一个三角形三边长分别为a、b、c，那么三角形的面积为．（公式里的p为半周长，即）
请利用海伦——秦九韶公式解决以下问题：
(1)三边长分别为3、6、7的三角形面积为___________．
(2)四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=7，AD=6，∠B=90°，求该四边形的面积．
考法02 二次根式的规律探究
【典例2】（2022·甘肃定西·八年级期中）如图是由一连串直角三角形组成的，其中，第1个三角形的面积记为，第2个三角形的面积记为，…，第n个三角形的面积记为，观察图形，得到如下各式：，；，；，；…根据以上的规律，推算出______．
变式1．（2022·全国·八年级专题练习）观察以下等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
．．．．．．．．．．．
按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第7个等式： ；
(2)写出你猜想的第个等式： （用含的等式表示，为自然数）
(3)计算：
分层提分
题组A 基础过关练
1.（2022·河南商丘·八年级期中）下列计算中正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·山东临沂·八年级期中）下列二次根式化简后能与 合并的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·湖北武汉·八年级期中）下列计算正确的是（ ）
A．B．33
C．7D．
4．（2022·河北廊坊·八年级阶段练习）如果一个三角形的面积为，一边长为，则这条边上的高为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·河北沧州·八年级期中）计算的结果是______．已知最简二次根式与能进行合并，则______．
6．（2022·河南濮阳·八年级期中）计算的结果是______．
7．（2022·浙江杭州·八年级期末）已知，，则的值是________．
8．（2022·湖北武汉·八年级阶段练习）已知，则x2+2x﹣3＝_____．
9．（2022·山东威海·八年级期中）已知：，，求下列式子的值：(1)；(2)．
10．（2022·湖北湖北·七年级期中）计算：(1)＋－＋； (2)3＋－(2－)．
11．（2022·湖北随州·八年级期中）计算(1) (2)
12．（2022·山东滨州·八年级期中）计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
题组B 能力提升练
1．（2022·甘肃平凉·八年级期中）若最简二次根式和能合并，则的值为（ ）
A．0.5B．1C．2D．2.5
2．（2022·江西·南城县第二中学七年级阶段练习）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·上海市刘行新华实验学校八年级阶段练习）已知最简二次根式和是同类二次根式，则______．
4．（2022·山东烟台·八年级期中）计算的结果等于______．
5．（2022·河北邢台·八年级期末）已知，．
（1）______．（2）求的值为______．
6．（2022·河北·平泉市教育局教研室九年级学业考试）已知长方形的长为a，宽为b，且，．
（1）这个长方形的周长为__；（2）若一正方形的面积和这个长方形的面积相等，则这个正方形的边长为__．
7．（2022·山东烟台·八年级期中）计算：(1) (2)
8．（2022·辽宁大连·八年级阶段练习）计算：(1)；(2)．
9．（2022·山东烟台·八年级期末）在数学课外学习活动中，小明和他的同学通到一道题：已知，求的值，他是这样解答的：
∵∴，
∴，即，
∴．∴．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：若，求的值．
10．（2022·河南驻马店·八年级阶段练习）先化简，再求值∶，其中x=，y=4
题组C 培优拔尖练
1．（2022·湖北·随州市曾都区教学研究室八年级期末）我国南宋著名数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．已知的三边长分别为4，5，7，则的面积为（ ）
A．B．C．D．8
2．（2022·湖北武汉·八年级期中）用[x]表示不超过x的最大整数．例如：[3.14]＝3，[﹣3.78]＝﹣4，把x﹣[x]作为x的小数部分．已知m，m的小数部分是a，﹣m的小数部分是b，则的值为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．（1）
3．（2022·山东临沂·八年级期末）若，则的值为______．
4．（2022·广西钦州·八年级期中）已知，那么的值为__________.
5．（2022·陕西安康·八年级期中）在数学课外学习活动中，小军和他的同学遇到一道题，已知，求的值．他是这样解答的；
∵，，，，
请据小军的解题过程，解决如下问题：
(1)__________；(2)若，求的值．
6．（2022·全国·九年级阶段练习）请阅读下列材料：
问题：已知，求代数式的值．
小敏的做法是：根据得，
，得：．
把作为整体代入：得．
即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
请你用上述方法解决下面问题：
(1)已知，求代数式的值；
(2)已知，求代数式的值．
7．（2022·全国·八年级专题练习）已知：y＝＋5，化简并求的值．
8．（2022·山西朔州·七年级期中）阅读理解：
设m，n是有理数，且满，求的值．
解：由题意，移项得：，
∵m，n是有理数
∴m－2，n＋3也是有理数，
又∵是无理数，
∴，∴m＝2，n＝－3，
∴．
问题解决：
设a，b都是有理数，且，求的值．
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