八年级数学上册同步精品讲义（北师大版） 专题4.1函数、一次函数与正比例函数

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专题4.1 函数、一次函数与正比例函数目标导航1、掌握函数的概念与表示方法；2、会求函数的值，并确定自变量的取值范围；3、掌握一次函数、正比例函数的概念；4、能根据函数图象解决实际问题。知识精讲知识点01 函数知识点函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。函数值：是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.函数的三种表示方法 = 1 \* GB3 ①列表法：自变量与应变量的值可直接读取，不易看出自变量与应变量之间规律；对应关系明确、实用，但数据有限，规律不明显。 = 2 \* GB3 ②解析法：能完整反映变化过程，但对应数值需要计算；全面、准确，但较抽象。 = 3 \* GB3 ③图象法：只能表示函数关系，不能确切得出函数；直观、形象、规律明显，但不精确。【微点拨】1.判断两个变量之间是否是函数关系，应考虑以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的变化随另一个变量的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。2.对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当y的值为4时，的值为±2.【知识拓展1】函数关系的辨析例1．（2022·广西·梧州市八年级阶段练习）在下列关系式中，y不是x的函数的是（    ）A．x+y=5 B． C． D．【答案】C【分析】根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与之相对应，即可解答．【详解】解：A、∵x+y=5，∴y=5-x，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与之相对应，所以y是x的函数，故A不符合题意；B、∵，∴，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与之相对应，所以y是x的函数，故B不符合题意；C、∵，∴，对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与之相对应，所以y不是x的函数，故C符合题意；D、，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与之相对应，所以y是x的函数，故D不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．【即学即练】1．（2022·湖北襄阳·八年级期末）下列各曲线中，表示y是x的函数的是（    ）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【答案】A【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之相对应，据此即可确定哪一个是函数图象．【详解】解：①②③的图象都满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之相对应，故①②③的图象是函数，④的图象不满足满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之相对应，故D不能表示函数．故选A．【点睛】本题主要考查了函数．解决问题的关键是熟练掌握函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．【知识拓展2】自变量的取值范围与函数值例2．（2022·河南驻马店·八年级期中）函数y＝中自变量的取值范围是___．【答案】2＜x≤4【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【详解】解：由题意得，4-x≥0且x-2＞0，解得2＜x≤4，故答案为：2＜x≤4．【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．【即学即练】2.（1）（2022·福建·厦门市海沧区北附学校八年级期末）下面四个函数中，符合当自变量为时，函数值为的函数是（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】把代入每一个选项的函数关系式中，进行计算即可解答．【详解】解：A．当时，，故此选项不符合题意；B．当时，，故此选项不符合题意；C．当时，，故此选项符合题意；D．当时，，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查函数值，函数的概念．准确熟练地进行计算是解题的关键．（2）（2022·河南·商水县希望初级中学八年级期中）等腰三角形顶角的度数与底角的度数之间的函数关系是，则自变量的取值范围是______．【答案】##【分析】根据三角形的内角和等于180°，可得，即可求解．【详解】解：根据题意得：，∴，解得：．故答案为：【点睛】本题主要考查了求自变量的取值范围，熟练掌握三角形的内角和等于180°是解题的关键．【知识拓展3】函数的三种表示方法例3．（2022·云南楚雄·七年级期末）在关系式中，下列说法错误的是(　　　)A．的数值可以任意选择 B．的值随的变化而变化C．用关系式表示的不能用图象表示 D．与的关系还可以用列表法表示【答案】C【分析】根据函数的定义可知，x为自变量，y为函数，也叫因变量；x取全体实数；y随x的变化而变化；可以用三种形式来表示函数：解析法、列表法和图象法．【详解】A、x的数值可以任意选择；正确；B、y随x的变化而变化；正确；C、用关系式表示的不能用图象表示，错误；D、y与x的关系还可以用列表法表示，正确；故选：C．【点睛】本题考查函数的定义，是基础知识，比较简单．熟练掌握函数的表示方法是解题的关键．【即学即练】3．（1）（2022·辽宁·沈阳市培英中学七年级期中）一蜡烛高20厘米，点燃后平均每小时燃掉4厘米，则蜡烛点燃后剩余的高度h（厘米）与燃烧时间t（时）之间的关系式是h＝_____（0≤t≤5）．（自变量表达式按照t的降幂排列）【答案】【分析】蜡烛点燃后平均每小时燃掉4厘米，则t小时燃掉4t厘米，已知蜡烛的总高度，即可表达出剩余的高度．【详解】解：∵点燃后平均每小时燃掉4厘米，∴t小时燃掉4t厘米，∴．即蜡烛点燃后剩余的高度h（厘米）与燃烧时间t（时）之间的关系式是．故答案为：．【点睛】根据实际问题列函数关系式，与根据实际问题列方程解应用题具有共性，即都需要确定等量关系，不同点是函数关系是两个变量，而方程一般是一个未知数．（2）（2022·重庆·七年级专题练习）如图是2020年1月15日至2月2日全国（除湖北省）新冠肺炎新增确诊人数的变化曲线，则下列说法：①自变量为时间，确诊总人数是时间的函数；②1月23号，新增确诊人数约为150人；③1月25号和1月26号，新增确诊人数基本相同；④1月30号之后，预测新增确诊人数呈下降趋势，其中正确的是____________．（填上你认为正确的说法的序号）【答案】②③④【分析】观察图中曲线中的数据变化，分析数据即可解题．【详解】解：由图象信息得，自变量为时间，因变量为新增确诊人数，新增确诊人数是时间的函数，故①错误；1月23号，新增确诊人数约为150人，故②正确；1月25号和1月26号，新增确诊人数基本相同，故③正确；1月30号之后，预测新增确诊人数呈下降趋势，故④正确，故正确的有②③④，故答案为：②③④．【点睛】本题考查常量与变量，函数的图象等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．【知识拓展4】实际背景下的函数图象问题例4．（2022·山东烟台·期末）如图，将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器，然后对准玻璃杯口匀速注水，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部．下面可以近似地刻画出容器中最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据用一注水管向小玻璃杯内注水，即可分段求出小水杯内水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数圈象．【详解】解：一注水管向小玻璃杯内注水，水面在逐渐升高，当小杯中水满时，开始向鱼缸内流，这时水位高度不变，当鱼缸水面高度与小杯一样后，再继续注水，水面高度在升高，升高的比开始慢．故选：D．【点睛】本题主要考查了函数图象，关键是问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．【即学即练】4.（2022·山东威海·期末）小明早上从家里骑车上学，途中想起忘带作业，立刻加速按原路返回．返家途中遇到了给他送作业的妈妈，接过作业后，小明以返家的速度向学校赶去．下列能大致反映小明离家的距离S与时间t之间关系的图象是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据小明的行驶情况，返回途中加速，且并未到家，距离先增加再减少再增加，逐一排除选项．【详解】解：A.因为接过作业后，小明以返家的速度向学校赶去，故A错误；B.因为返家途中遇到了给他送作业的妈妈，故B错误；C.因为加速按原路返回，故C错误；D.该图象能大致反映小明离家的距离S与时间t之间关系的图象，故D正确故选：D．【点睛】本题考查函数的图像，解题关键在于通过分析题意，由实际情况来判断答案．知识点02 一次函数与正比例函数【知识点】一次函数：一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。正比例函数：特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数。函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立。【知识拓展1】一次函数的辨别例1．（2022·湖北·谷城县教学研究室八年级期末）下列函数不是一次函数的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据一次函数的定义，可得答案．【详解】解：A、是正比例函数，也是一次函数，故此选项不符合题意；B、不是一次函数，故此选项符合题意；C、是一次函数，故此选项不符合题意；D、是一次函数，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．一次函数的定义：一般地，形如y＝kx＋b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．【即学即练1】1．（2022·江苏·八年级专题练习）下列函数①；②；③；④；⑤中，是一次函数的有（    ）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】利用一次函数的定义进行判断即可选择．【详解】解：①是一次函数；②是一次函数；③是反比例函数；④是一次函数；⑤是二次函数，所以一次函数有3个．故选：C．【点睛】本题考查一次函数的定义，理解一次函数的定义是解题关键．【知识拓展2】正比例函数的辨别例2．（2022·吉林长春·八年级期末）下列各式中，表示正比例函数的是（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正比例函数的定义：形如y=kx（k为常数且k≠0），即可解答．【详解】解：A、y=-2x，是正比例函数，故该选项符合题意；B、y=x+1，是一次函数，但不是正比例函数，故该选项不符合题意；C、y2=x，不是正比例函数，故该选项不符合题意；D、y=，不是正比例函数，故该选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．【即学即练2】2．（2022·广西河池·八年级期末）下列函数中，是正比例函数的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正比例函数的定义（一般地，形如（是常数，）的函数，叫做正比例函数）逐项判断即可得．【详解】解：A、是正比例函数，则此项符合题意；B、不是正比例函数，则此项不符合题意；C、不是正比例函数，则此项不符合题意；D、不是正比例函数，则此项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了正比例函数，熟记定义是解题关键．【知识拓展3】直利用一次（正比例）函数的概念求参数例3．（2022·山东济宁·八年级期末）已知函数y＝（m﹣3）+4是关于x的一次函数，则m的值是（　　）A．m＝±3 B．m≠3 C．m＝3 D．m＝﹣3【答案】D【分析】根据一次函数的定义得出m2﹣8＝1且m﹣3≠0，再求出m即可．【详解】∵函数y＝（m﹣3）+4是关于x的一次函数，∴m2﹣8＝1且m﹣3≠0，解得：m＝﹣3．故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的定义，能根据一次函数的定义得出m2﹣8＝1且m-3≠0是解此题的关键，注意：形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫一次函数．【即学即练3】3．（1）（2022·江苏·八年级专题练习）已知函数是一次函数，则m的取值范围是（    ）A．m≠-3 B．m≠1 C．m≠0 D．m为任意实数【答案】A【分析】根据一次函数的定义进行解答．【详解】解：根据题意，，解得．故选：A．【点睛】本题考查一次函数的定义，解题关键是熟练掌握一次函数的定义．（2）（2022·河南·西峡县城区二中八年级阶段练习）若函数是正比例函数，则m值为（    ）A．3 B．-3 C．±3 D．不能确定【答案】B【分析】根据正比例函数定义可得|m|-2=1，且m-3≠0，再解即可．【详解】解：由题意得：|m|-2=1，且m-3≠0，解得：m=-3，故选：B．【点睛】此题主要考查了正比例函数定义，关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．【知识拓展4】函数图象上的点的特征例4．（2022·重庆铜梁·八年级期末）下列各点中，在函数的图象上的点是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】分别把各点代入函数的解析式进行验证即可．【详解】解：A、当x＝2时，，所以点不在函数的图象上，不符合题意；B、当x＝0时，y＝1≠2，所以点不在函数的图象上，不符合题意；C、当x＝1时，y＝－1≠0，所以点不在函数的图象上，不符合题意；D、当x＝1时，y＝－1，所以点在函数的图象上，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．【即学即练4】4．（2022·广西·梧州市第十中学八年级阶段练习）在下列各点中，在函数y=-x+2的图象上的点是（    ）A．(-1，3) B．(-1，1) C．(1，-1) D．(-2，0)【答案】A【分析】把选项中的点的坐标分别代入函数解析式进行判断即可．【详解】解：A. 当x=-1时，y=-1×(-1)+2=3，点(-1，3)在函数图象上，故符合题意；B. 当x=-1时，y=-1×(-1)+2=3≠1，点(-1，1)不在函数图象上，故不符合题意；C. 当x=1时，y=-1×1+2=1≠-1，点(1，-1)不在函数图象上，故不符合题意；D. 当x=-2时，y=-1×(-2)+2=4≠0，故点(-2，0)不在函数图象上，故不符合题意；故选A．【点睛】此题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于把坐标代入解析式．能力拓展考法01 函数图象中的动态问题【典例1】（2022·广东·深圳市罗湖区新华外国语学校七年级期末）小张和小王是同一单位在A、B两市的同事，已知A、B两市相距400km，周六上午小王从B市出发，开车匀速前往A市的公司开会，1小时后小张从A市的公司出发，沿同一路线开车匀速前往B市，小张行驶了一段路程后，得知小王要到A市的公司开会，便立即加速返回公司（折返的时间忽略不计）．已知小张返回时的速度比去时的速度每小时快20km．两人距B市的距离y（km）与小张行驶时间x（h）间的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：(1)小王的速度为______，的值为______；(2)小张加速前的速度为______，的值为______；(3)在小张从出发到回到市的公司过程中，当为______时，两人相距？【答案】(1)，(2)，(3)或或【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出小王的速度和的值；（2）根据题意和（1）中的结果，可以计算出小张加速前的速度和的值；（3）根据函数图象中的数据和题意，利用分类讨论的方法可以求得的值．（1）解：由图象可得，小王的速度为：，，故答案为：，；（2）设小张加速前的速度为，由题意得：，解得，，，即小张加速前的速度为100km/h，的值是，故答案为：，；（3）由题意可得，相遇前： 解得，，相遇后到小张返回前： 解得，，小张返回后到小王到达市前：，解得，舍去，小王到达市到小张返回到市前，，解得，，由上可得，在小张从出发到回到市的公司过程中，当为或或时，两人相距20km．故答案为：或或．【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．变式1．（2022·安徽·风华中学八年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P从起点B出发，沿BC、CD逆时针方向向终点D匀速运动．设点P所走过路程为x，在运动过程中形成的△ABP的面积为y，则下列图象中能大致反映y与x函数关系的是(   )A．B．C．D．【答案】A【分析】分两段讨论，即点P在BC段和CD段，根据三角形的面积公式分别列出面积y与x的函数关系式，再进行判断即可．【详解】解：①当点P由B运动到C时，即0≤x≤3时，y＝AB·BP＝×4x＝2x；②当点P由C运动到D时，即3＜x≤7时，y＝AB·BC＝×4×3＝6，∴y关于x的函数关系式为y＝，即：函数关系式对应A中的函数图象．故选：A．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，随着动点的变化，面积也发生着变化，进而得出它们之间的函数关系并反映在函数图象上，但需注意自变量的取值范围．变式2．（2022·四川·达川区金华学校七年级期中）如图1，一条笔直的公路上有A，B，C三地，甲，乙两辆汽车分别从A，B两地同时开出，沿公路匀速相向而行，驶往B，A两地，甲、乙两车到C地的距离y1、y2（千米）与行驶时间　x（时）的关系如图2所示．(1)A，B两地之间的距离为　　千米；(2)图中点M代表的实际意义是什么？(3)分别求出甲，乙两车的速度，并求出他们的相遇点距离点C多少千米．【答案】(1)150(2)点M代表的实际意义是乙到达C的时间(3)甲车的速度为60千米/小时，乙车的速度为75千米/小时，他们的相遇点与点C的距离为千米【分析】（1）由图象可知AC=60，CB=90，据此来求解；（2）由图象可知点M代表的实际意义是乙到达C的时间；（3）根据图像分别解出甲车和乙车的速度，用总路程除以甲乙两车的速度和就等于他们相遇的时间小时，再用乙车到达C点时的路程减去汽车行驶小时的路程即为所求．（1）解：由图象可知AC=60，BC=90，∴A、B两地距离为60+90=150km；∴A、B两地距离为150千米；故答案为：150．（2）解：由图象可知，点M代表的实际意义是：乙到达C的时间．（3）解：由图象可知：甲乙两车匀速运动，AC=60，BC=90，∴甲车的速度：60÷1=60(千米/小时)，乙车的速度为：150÷2= 75(千米/小时)，设经过x小时甲乙两车相遇，根据题意列方程，得(60+75)x=150解得x=；由图像知已到达C的距离为90千米，那么他们的相遇点与点C的距离为：90-75×=(千米)．∴他们的相遇点与点C的距离为千米．【点睛】此题考查了行程问题（一元一次方程的应用）和用图象表示变量间的关系，解题的关键是看清横轴、纵轴的含义，通过分析找到变量之间的关系求解．分层提分题组A 基础过关练1．（2022·江苏·南通市八一中学八年级期中）下列图象中表示y是x的函数的有几个（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据函数的定义逐个图象判断，即可得出答案．【详解】对于第一个图象，取一个x的值，y的值不唯一，不符合题意；对于第二个图象，取一个x的值，y有唯一的值相对应，符合题意；对于第三个图象，取一个x的值，y有唯一的值相对应，符合题意；对于第四个图象，取一个x的值，y的值不唯一，不符合题意．符合题意有2个．故选：B．【点睛】本题主要考查了函数的判断，掌握定义是解题的关键．2．（2022·甘肃兰州·七年级期末）如图为一个管道的截面图，其内径即内圆半径为分米，管璧厚为分米，若设该管道的截面阴影部分面积为平方分米，那么关于的关系式是（   ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据圆环面积等于大圆面积减去小圆面积，求解即可．【详解】解：由题意，，．故选：A．【点睛】本题考查圆的面积，函数关系式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．3．（2022·湖南衡阳·八年级期中）已知函数y＝，则自变量x的取值范围是（　　）A．x＞2 B．x＜2 C．x≠－2 D．x≠2【答案】D【分析】根据分式的分母不等于0即可得出答案．【详解】解：∵x－2≠0，∴x≠2．故选：D．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握分式的分母不等于0是解题的关键．4．（2022·海南鑫源高级中学八年级期中）下列函数中，是正比例函数的是（    ）A．y＝2x B． C．y＝x2 D．y＝2x－1【答案】A【分析】根据正比例函数的定义：（），逐项进行判断即可．【详解】A．y＝2x是正比例函数的形式，故该选项正确，符合题意；B．不是整式，故该选项错误，不符合题意；C．x的指数是2，属于二次函数，故该选项错误，不符合题意；D．y＝2x－1是一次函数，不是正比例函数，故该选项错误，不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了正比例函数的定义，理解正比例函数的条件是解题的关键．5．（2022·广西玉林·八年级期末）下列函数中，表示是的一次函数的是（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接根据一次函数的概念进行解答即可．【详解】解：A、，当时，不是一次函数，故本选项不符合题意；B、自变量次数不为，不是一次函数，故本选项不符合题意；C、，的次数不为，不是一次函数，故本选项不符合题意；D、，符合一次函数的定义，是一次函数，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查一次函数的概念，熟练掌握一次函数的概念是解题的关键，注意：形如的函数，叫一次函数．6．（2022·河北廊坊·八年级期末）在函数中，的值是（    ）A．3 B． C．6 D．【答案】D【分析】形如 这样的函数是一次函数，根据函数的定义可得答案．【详解】解：函数中，的值是-6，故答案为：D【点睛】本题考查的是一次函数的定义，掌握“一次函数的定义”是解本题的关键．7．（2022·河南·上蔡县第六初级中学八年级阶段练习）下面哪个点在函数的图象上（　　　）A． B． C． D．【答案】D【分析】分别把x＝2和x＝−2代入解析式求出对应的y值来判断点是否在函数图象上．【详解】解：当x＝2时，y＝2，所以（2，1）不在函数的图象上，（2，-1）也不在函数的图象上，故A、C不符合题意；当x＝−2时，y＝0，所以（−2，1）不在函数的图象上，（−2，0）在函数的图象上，故B不符合题意，D符合题意．故选D．【点睛】本题考查的知识点是一次函数图象上点的坐标特征，即直线上的点的坐标一定适合这条直线的解析式．8．（2022·浙江丽水·八年级期末）一次函数y＝10－2x的比例系数是________．【答案】【分析】先化为标准形式，再根据一次函数的定义解答．【详解】解：一次函数变形为：，故其比例系数是．故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数的定义：一般地，形如，、是常数）的函数，叫做一次函数．9．（2022·河南商丘·八年级期末）一个水库的水位在最近5h内持续上涨，水位高度y（m）与时间t（h）之间的函数关系式为，每小时水位上升的高度是______m．【答案】0.3【分析】分别求出当和时对应函数值，即可求解．【详解】解：根据题意得：当时，，当时，，∴每小时水位上升的高度是m．故答案为：0.3【点睛】本题主要考查了求函数值，根据题意得到当和时对应函数值是解题的关键．10．（2022·河北唐山·八年级期末）已知函数．(1)当时，求y的值；(2)当时，求x的值；(3)判断点是否在直线上．【答案】(1) (2) (3)不在【分析】（1）把代入解析式求解即可；（2）把代入解析式求解即可；（3）根据（1）求得的y的值即可判断．（1）当时，；（2）当时，，解得；（3）由（1）可知，时， ，所以点不在直线上．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式．11．（2022·辽宁大连·八年级阶段练习）“绿叶”家政服务公司选派16名清洁工去打扫新装修的“海天”宾馆的房间，房间有大、小两种规格，每名清洁工一天能打扫4个大房间或5个小房间．设派x人去清扫大房间，其余人清扫小房间，清扫一个大房间工钱为80元，清扫一个小房间工钱为60元．(1)写出家政服务公司每天的收入y（元）与x（人）之间的函数关系式：(2)应该怎样安排这16名清洁工清扫？才能一天为“绿叶”家政服务公司创收5000元．【答案】(1) (2)应该安排这10名清洁工清扫大房间，6名清扫小房间【分析】（1）设派x人去清扫大房间，则人清扫小房间，根据题意列出y（元）与x（人）之间的函数关系式即可；（2）把，代入求解即可．（1）有x人清扫大房间，则有人清扫小房间∴（2）解得：，答：应该安排这10名清洁工清扫大房间，6名清扫小房间．【点睛】本题考查了列一次函数解析式，已知函数值求自变量x的值，属于基础题，第（1）问要写出自变量的取值范围是易错点．12．（2022·河北邢台·八年级期中）下图是某地区一天的气温随时间变化的图象：(1)图中的变量是什么？(2)气温在哪段时间是下降的？(3)最高气温和最低气温分别是多少摄氏度？【答案】(1)时间t小时与温度T°C；(2)0≤t≤4或14≤t≤22时间内(3)最高温度8°C，最低温度为-2°C【分析】（1）根据横轴与纵轴得出变量；（2）根据图像从左上到右下变化为下降，找出图像上起点与终点即可；（3）从函数图像找出最高点的纵坐标，与最低点的纵坐标即可（1）解：图中的变量是时间t小时与温度T°C；（2）解：在0≤t≤4或14≤t≤22时间内温度下降；（3）最高温度8°C，最低温度为-2°C【点睛】本题考查函数图像获取信息与处理信息，变量与常量，图像的下降变化范围，最值，掌握从函数图像获取信息与处理信息方法是解题关键，题组B 能力提升练1．（2022·河北唐山·八年级期末）下列函数关系式中，自变量x的取值范围错误的是（　　）A．y＝2x2中，x为全体实数 B．y＝中，x≠﹣1C．y＝中，x＝0 D．y＝中，x＞﹣7【答案】B【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式，判断即可．【详解】解：A、y＝2x2中，x为全体实数，自变量x的取值范围正确，不符合题意；B、y＝，x＞﹣1，本选项自变量x的取值范围错误，符合题意；C、y＝，x＝0，自变量x的取值范围正确，不符合题意；D、y＝，x＞﹣7，自变量x的取值范围正确，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．2．（2022·安徽合肥·八年级阶段练习）已知函数，则x=-5时的函数y的值为（      ）A．-15 B．15 C．-19 D．21【答案】D【分析】将x=-5代入y=-4x+1中可求出y值．【详解】解：当x=-5时，y=-4x+1=-4×（-5）+1=21．故选：D．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键．3．（2022·福建师范大学附属中学初中部八年级期中）下列函数的图像经过原点的是（　　）A．y＝﹣2x+2 B． C．y＝4x D．y＝x2+5【答案】C【分析】把原点（0,0）代入检验即可，或者利用正比例函数的定义判断【详解】解法一：代入检验只有选项C满足解法二：正比例函数过原点故选：C．【点睛】本题考查点在图像上点的坐标适合函数解析式，代入正确验算是关键．4．（2022·浙江台州·八年级期末）下列变化过程中，y是x的正比例函数是（    ）A．某村共有耕地，该村人均占有耕地y（单位：）随该村人数x（单位：人）的变化而变化B．一天内，温岭市气温y（单位：）随时间x（单位：时）的变化而变化C．汽车油箱内的存油y（单位：升）随行驶时间x（单位：时）的变化而变化D．某人一年总收入y（单位：元）随年内平均月收入x（单位：元）的变化而变化【答案】D【分析】根据正比例函数的定义逐项判断即可．【详解】解：A.由题意得：，故y不是x的正比例函数；B.因为温岭市一天的气温早晚较低，中午较高，故y不是x的正比例函数；C.因为在行驶时间为零时汽车油箱内的存油y不是零，故y不是x的正比例函数；D.由题意得：，故y是x的正比例函数；故选：D．【点睛】本题考查了正比例函数的定义，一般地，两个变量x、y之间的关系式可以表示成形如y=kx的函数(k为常数，且k≠0)，那么y就叫做x的正比例函数5．（2022·河北沧州·八年级期末）如图是蓄水池的横截面示意图，分为深水区和浅水区．若以固定的水流速度向蓄水池注水，设未注满水前，水的最大高度为h米，注水时间为t分钟，则下面能大致表示h关于t的关系图象的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】蓄水池的下半部分比上半部分的体积小，故h与t的关系变化应该是先快后慢，进而得出与之对应的函数图象．【详解】解∶根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h和t之间的关系分为两段，应该是先快后慢．故选：C．【点睛】本题主要考查了根据几何图形的性质确定函数的图象以及函数图象的作图能力，根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数类型是解决问题的关键．6．（2022·四川成都·模拟预测）对于不为零的两个实数a，b，如果规定：a☆b＝，那么函数y＝2☆x，当y＝5时，则x的值为_______．【答案】3或－【分析】把代入函数y＝2☆x中得到5＝2☆x，再根据新定义来列出一元一次方程，解方程求解．【详解】解：根据题意得当时，则5＝2☆x，∴或，解得或．经检查是的根．故答案为：3或-．【点睛】本题考查了新定义，根据当时得到函数5=2★x，由新定义得到一元一次方程是解题的关键．7．（2022·湖南常德·八年级期末）已知函数（m、n为常数）．当m、n分别为________、________时，y是x的正比例函数．【答案】     -1     0【分析】根据正比例函数的定义，可得答案．【详解】解：由题意得：，且，．解得，，当、分别为、0时，是的正比例函数．故答案为：，0．【点睛】此题主要考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握形如，、是常数）的函数，叫做一次函数；形如是常数，的函数叫做正比例函数．8．（2022·山东滨州·八年级期中）我们把称为一次函数的“特征数”．如果“特征数”是的一次函数为正比例函数，则n的值为______．【答案】1【分析】根据正比例函数是截距为0的一次函数可得，进而求出n值即可．【详解】∵“特征数”是的一次函数为正比例函数，∴，解得：n＝1，故答案为： 1．【点睛】本题考查正比例函数的定义，理解新定义并掌握正比例函数的一般形式y=kx（k≠0），是解题关键．9．（2022·四川广安·九年级专题练习）若点在直线上，则代数式的值为______．【答案】6【分析】把点P代入一次函数解析式，可得，化简带值可求出结论．【详解】解：∵点在直线上，∴，变形得：，代数式；故答案为：6．【点睛】本题考查整式的化简求值，找准变量系数之间的关系是解题的关键．10．（2022·四川·米易县民族中学校八年级阶段练习）对于关系式，下列说法：①是自变量，是因变量；②的数值可以任意选择；③是变量，它的值与无关；④这个关系式表示的变量之间的关系不能用图象表示；⑤与的关系还可以用表格和图象表示，其中正确的是______．（只需填写序号）【答案】①②⑤【分析】根据一次函数的定义可知，x为自变量，y为函数，也叫因变量；x取全体实数；y随x的变化而变化；可以用三种形式来表示函数：解析法、列表法和图象法．【详解】解：①x是自变量，y是因变量；故正确；②x的数值可以任意选择；故正确；③y是变量，它的值与x有关； y随x的变化而变化，故错误；④用关系式表示的可以用图象表示，故错误；⑤y与x的关系还可以表格和图象表示，故正确. 故答案为：①②⑤.【点睛】本题考查了一次函数的定义，是基础知识，比较简单．11．（2022·陕西汉中·七年级期末）如图，在中，，，，点为边上一动点，当动点沿从点向点运动时，的面积发生了变化．设长为，的面积为．(1)求与的关系式；(2)当点运动到的中点时，的面积是多少？(3)若的面积为，则的长为多少？【答案】(1) (2)点运动到的中点时，的面积为(3)当的面积为时，的长为【分析】对于（1），根据三角形的面积公式用含有x的代数式表示y即可；对于（2），将代入关系式计算即可；对于（3），将代入关系式求出x即可．（1），所以与的关系式为；（2）当时，，所以点运动到的中点时，的面积为；（3）当时，，解得，所以当的面积为时，的长为．【点睛】本题主要考查了求函数关系式，求自变量，求函数值等，准确的计算是解题的关键．12．（2022·贵州·铜仁市第三中学八年级阶段练习）已知函数，(1)当m、n为何值时，此函数是一次函数？(2)当m、n为何值时，此函数是正比例函数？【答案】(1) (2)n=1，m=-1【分析】（1）根据一次函数的定义知，且，据此可以求得、的值；（2）根据正比例函数的定义知，，据此可以求得、的值．（1）解：当函数是一次函数时，，且，解得，，；（2）解：当函数是正比例函数时，，解得，，．【点睛】本题考查了一次函数、正比例函数的定义，解题的关键是掌握正比例函数是一次函数的一种特殊形式．题组C 培优拔尖练1．（2022·四川成都·二模）若函数是一次函数，则的值为（    ）A．-1 B． C．1 D．2【答案】A【分析】由一次函数的定义：比例系数不为零，自变量的指数为1，可得答案．【详解】解：由题意可得，m-1≠0，∴m=-1，故选A【点睛】本题考查一次函数的定义，准确掌握定义的要点是解题的关键．2．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）甲、乙两人沿同一直道从地到地，在整个行程中，甲、乙离地的距离与时间之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（    ）A．甲比乙早1分钟出发B．乙的速度是甲的速度的2倍C．若甲比乙晚5分钟到达，则甲用时10分钟D．若甲出发时的速度为原来的2倍，则甲比乙提前1分钟到达地【答案】C【分析】根据函数图象得出甲比乙早1分钟出发，及列一元一次方程依次进行判断即可．【详解】解：A、由图象得，甲比乙早1分钟出发，选项正确，不符合题意；B、由图可得，甲乙在t=2时相遇，甲行驶的时间为2分钟，乙行驶的时间为1分钟，路程相同，∴乙的速度是甲的速度的2倍，选项正确，不符合题意；C、设乙用时x分钟到达，则甲用时（x+5+1）分钟，由B得，乙的速度是甲速度的2倍，∴乙用的时间是甲用的时间的一半，∴2x=x+5+1，解得：x=6，∴甲用时12分钟，选项错误，符合题意；D、若甲出发时的速度为原来的2倍，此时甲乙速度相同，∵甲比乙早1分钟出发，∴甲比乙提前1分钟到达B地，选项正确，不符合题意；故选：C．【点睛】题目主要考查根据函数图象获取相关信息及一元一次方程的应用，理解题意，从图象获取相关信息是解题关键．3．（2022·山东济南·中考真题）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（    ）A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系【答案】B【分析】根据矩形周长找出关于x和y的等量关系即可解答．【详解】解：根据题意得：，∴，∴y与x满足的函数关系是一次函数；故选：B．【点睛】本题通过矩形的周长考查一次函数的定义，解题的关键是理清实际问题中的等量关系准确地列式．4．（2022·天津益中学校八年级阶段练习）一次函数中，当时，可以消去，求出结合一次函数图象可知，无论取何值，一次函数的图象一定过定点，则定义像这样的一次函数图象为“点旋转直线”若一次函数y=的图象为“点旋转直线”，那么它的图象一定经过点（  ）A．（1，3） B．（－1，6） C．（1，－6） D．（－1，3）【答案】B【分析】把一次函数 整理为，再令，求出y的值即可．【详解】解：一次函数整理得，∴令，则，∴，∴它的图象一定经过点．故选：B．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．5．（2022·江苏·八年级专题练习）新定义：为一次函数（a，b为常数，且）关联数．若关联数所对应的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先依据题意得到函数关系式，然后依据正比例函数的定义求得m的值，最后解一元一次方程即可．【详解】解：∵[a，b]为一次函数y=ax+b（a，b为实数，且a≠0）的关联数，∴关联数[1，m+2]所对应的一次函数是y=x+m+2．又∵该函数为正比例函数，∴m+2=0，解得m=-2．∴方程可变形为：，解得：x=1，∴方程的解为x=1．故选：C．【点睛】本题主要考查的是正比例函数的定义，解一元一次方程，求得m的值是解题的关键．6．（2022·山东禹城·八年级期末）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是8，则输出y的值是﹣3，若输入x的值是﹣8，则输出y的值是（　　）A．10 B．14 C．18 D．22【答案】C【分析】将x＝8代入y＝中求出b＝2，再将x＝﹣8代入y＝﹣2x+b中即可求解．【详解】当x＝8时，＝﹣3，∴b＝2，∴当x＝﹣8时，y＝﹣2×（﹣8）+2＝16+2＝18，故选：C．【点睛】本题主要考查了程序框图和函数值的计算，准确分析判断是解题的关键．7．（2022·江苏·八年级专题练习）一个正方形的边长为，它的边长减少后，得到的新的正方形周长与之间的函数关系式为，自变量x的取值范围是__________．【答案】【分析】自变量的范围应能使正方形的边长是正数，即满足x≥0，x＜3．【详解】解： 自变量的范围应能使正方形的边长是正数，故x≥0，且x＜3，解得：0≤x＜3．故答案为： 0≤x＜3．【点睛】此题主要考查了自变量的取值范围，关键是正确理解题意，列出不等式组求解．8．（2022·山东东营·期末）如图①，在长方形中，动点从点出发，以相同的速度，沿方向运动到点处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果变量与之间的关系如图②所示，则长方形的面积为_________．【答案】15【分析】图②中3≤x≤8时，点P在边BC上运动．矩形的面积=AB×BC．【详解】解：从图象②和已知可知：AB=3，BC=8-3=5，所以矩形ABCD的面积是3×5=15．故答案为：15．【点睛】本题侧重考查用图象表示变量间关系、实际问题中的函数关系所表示的函数图象的题目，从图象中得到信息是解决此题的关键．9．（2022·四川省绵阳南山中学双语学校八年级阶段练习）已知点在直线上，则点到原点的距离为________．【答案】##【分析】将点P的坐标代入，从而可求出a的值，即得出P点坐标，再根据两点的距离公式计算即可．【详解】将点代入，得：，解得：，∴，∴点到原点的距离为．故答案为：．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，两点的距离公式．掌握函数图象上点的坐标满足其解析式是解题关键．10．（2022·福建泉州·一模）已知：不论m为何值，点P（m，4m-5）都在直线l上，若Q（a，b）是直线l上的点，则4a-b值是______．【答案】5【分析】根据题意可得直线l的解析式为，再由Q（a，b）是直线l上的点，可得，即可求解．【详解】解：根据题意得：直线l的解析式为，∵Q（a，b）是直线l上的点，∴，∴．故答案为：5．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，根据题意得到直线l的解析式为是解题的关键．11．（2022·成都市·八年级期中）已知点及在第一象限的动点，且，为坐标原点，设的面积为．（1）求关于的函数解析式；（2）求的取值范围；（3）当时，求点坐标．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据三角形的面积公式即可得出结论；（2）根据（1）中函数关系式及点在第一象限即可得出结论；（3）把代入（1）中函数关系即可得出的值，进而得出的值．【详解】解：（1）过作轴于点则，，点，，，，；（2）由（1）得，解得：；又点在第一象限，，综上可得的范围为：；（3）当时，即，解得，把代入，解得，点的坐标是．【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．12．（2022·山东·华东师范大学青岛实验中学八年级期中）在平面直角坐标系xOy中有一点，过该点分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别是A、B，若由该点、原点O以及两个垂足所组成的长方形的周长与面积的数值相等，则我们把该点叫做平面直角坐标系中的平衡点．（1）请判断下列各点中是平面直角坐标系中的平衡点的是　；（填序号）①A（3，6）②B（﹣2，2）（2）若在第一象限中有一个平衡点N（4，m）恰好在一次函数y＝﹣x+b（b为常数）的图象上．①求m、b的值；②一次函数y＝﹣x+b（b为常数）与y轴交于点C，问：在这函数图象上，是否存在点M．使S△OMC＝3S△ONC，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）经过点P（0，2），且平行于x轴的直线上有平衡点吗？若有，请求出平衡点的坐标；若没有，说明理由．【答案】（1）①；（2）①m＝4，b＝8．②存在，点M的坐标为（12，﹣4）或（﹣12，20）．（3）没有，理由见解析【分析】（1）结合题意，根据坐标的性质计算，即可得到答案；（2）①结合题意，根据象限的性质，通过列一元一次方程并求解，得m；再结合一次函数的性质，通过计算即可得到答案；②根据（2）①的结论，得y＝﹣x+8，根据一次函数性质，得点C坐标；根据题意，列方程并求解，即可得到答案；（3）根据题意、一次函数的性质，设平衡点的坐标为（n，2），通过列方程并求解，即可得到答案．【详解】（1）∵3×6＝（3+6）×2，∴①A（3，6）是平衡点；∵2×2≠（2+2）×2，∴②B（﹣2，2）不是平衡点．故答案为：①；（2）①∵点N（4，m）为平衡点，且在第一象限，∴4m＝2（4+m），解得：m＝4，∴点N的坐标为（4，4）．∵点N（4，4）在一次函数y＝﹣x+b（b为常数）的图象上，∴4＝﹣4+b，解得：b＝8．∴m＝4，b＝8．②根据（2）①的结论，得y＝﹣x+8，如图：根据题意，设 ∵一次函数y＝﹣x+b（b为常数）与y轴交于点C∴ ∴ ∵S△OMC＝3S△ONC，即OC•|x|＝3××4×OC，解得：x＝±12，∴点M的坐标为（12，﹣4）或（﹣12，20）；（3）根据题意，直线经过点P（0，2），且平行于x轴设平衡点的坐标为（n，2），∴2|n|＝（2+|n|）×2，∴2|n|＝4+2|n|，即：0＝4．∵0≠4，∴经过点P（0，2），且平行于x轴的直线上没有平衡点．【点睛】本题考查了一次函数、直角坐标系、一元一次方程、绝对值的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、直角坐标系的性质，从而完成求解．