八年级数学上册同步精品讲义（北师大版） 专题4.3一次函数的应用

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专题4.3 一次函数的应用目标导航1、掌握一次函数与一元一次方程之间的关系；2、掌握单个一次函数图象的应用；3、掌握两个一次函数图象的应用；4、能利用函数图象解决数学问题。知识精讲知识点01 一元一次方程与一次函数的关系知识点1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=02）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。【知识拓展1】一次函数与一元一次方程例1．（2022·河北省·初二期中）一次函数（k，b为常数，)的图象如图所示，根据图象信息可得到关于x的方程的解为__________.【答案】x＝3【分析】直接根据图象找到y＝kx＋b＝4的自变量的值即可．【解析】观察图象知道一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的图象经过点（3，4），所以关于x的方程kx＋b＝4的解为x＝3，故答案为：x＝3．【点睛】本题考查了一次函数与一元一方程，能结合图象确定方程的解是解答本题的关键．【即学即练】1．（2022·陕西韩城·初二期末）若一次函数（为常数且）的图像经过点（－2，0），则关于的方程的解为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一次函数图象的平移即可得到答案．【解析】解：∵是由的图像向右平移5个单位得到的，∴将一次函数的图像上的点（－2，0）向右平移5个单位得到的点的坐标为（3，0）∴当y=0时，方程的解为x=3，故选：C．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值等于0的自变量x的取值，还考查了一次函数图像的平移，熟练掌握一次函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”是解决本题的关键．【知识拓展2】一次函数与三角形的面积例2．（2022·四川广元·八年级期末）如图，一次函数与的图象相交于点．(1)求点A的坐标及m的值；(2)若一次函数与的图象与x轴分别交于点B，C，求的面积．【答案】(1)； (2)【分析】（1）把点的坐标分别代入一次函数解析式中，即可得出二元一次方程组，解出即可得出结果；（2）首先根据一次函数解析式，分别得出点B、C的坐标，进而得出的长，再根据（1）中点A的坐标，得出三角形的高，再根据三角形的面积公式，计算即可．（1）解：∵一次函数与的图象相交于点∴把点分别代入一次函数与，可得：，解得：，∴点的坐标为，（2）解：∵根据（1）可得：一次函数解析式为与，又∵一次函数与的图象与x轴分别交于点B，C，∴当时，，解得：，即点的坐标为，∴当时，，解得：，即点的坐标为，∴，又∵，∴．【点睛】本题考查了一次函数图象交点的求法、一次函数与几何问题，求出点的坐标是解本题的关键．【即学即练】2.（2022·湖北华一寄宿学校八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+3与x轴交于点A，且经过点B（2，m），已知点C（5，0）．(1)求直线BC的函数解析式；(2)D为线段BC上一点，且△ABD与△AOB面积相等，求点D的坐标．【答案】(1)y=﹣2x+10(2)（，）【分析】（1）由直线l的表达式求得点B（2，6），然后利用待定系数法即可求解；（2）过点O作ODAB交BC于点D，则直线OD的表达式为，与直线l的交点即为D点，将直线BC与OD表达式联立即可求解．（1）将点B（2，m）代入+3得：m=×2+3=6，∴点B（2，6），设直线BC的解析式为y=kx+b，将点B、C的坐标得：，解得：，故：直线BC的表达式为：y=﹣2x+10；（2）过点O作ODAB交BC于点D，由可知D点为所求，如图∵直线l：y=x+3，∴直线OD的表达式为y=x，解得：，即：点D的坐标为（，）．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，明确直线OD的解析式是解题的关键．知识点02 一次函数的实际应用【知识点】一次函数中的实际问题1）数学建模的一般思路数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.2）正确认识实际问题的应用在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.3）选择最简方案问题分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.【知识拓展1】一次函数的实际应用（行程问题）例1．（2022·天津市红桥区教师发展中心八年级期末）“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y（m）与步行的时间x（min）之间的函数关系式如图中折线段AB-BC-CD所示．在步行过程中，小明先到达甲地．有下列结论：①甲、乙两地相距5400m；②两人出发后30min相遇；③小丽步行的速度为100m/min，小明步行的速度为80m/min；④小明到达甲地时，小丽离乙地还有1080m．其中，正确结论的个数是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】①②直接从图象获取信息即可；③设小丽步行的速度为m/min，小明步行的速度为m/min，且＞，根据图象和题意列出方程组，求解即可；④由图可知：点C的位置是小明到达甲地，直接用总路程÷时间可得小明的时间，即54min，二人的距离即C的纵坐标，由此可得小丽离乙地的距离．【详解】解：由图象可知，甲、乙两地相距5400m，小丽与小明出发30min相遇，故①②正确，符合题意；③设小丽步行的速度为m/min，小明步行的速度为m/min，且＞，则，解得：，∴小丽步行的速度为80m/min，小明步行的速度为100m/min；故③不符合题意；④5400÷100=54，54×80=4320，∴点C（54，4320），点C表示：两人出发54min时，小明到达甲地，此时两人相距4320m．∴5400-4320=1080m，∴小明到达甲地时，小丽离乙地还有1080m．故④符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的应用，从图象获取信息是解题关键．【即学即练1】1．（2022·河北·武邑武罗学校八年级期末）已知A，C两地之间有一站点B，甲从A地匀速跑步去C地，2分钟后乙以50米/分钟的速度从站点B走向C地，两人到达C地后均原地休息．甲、乙两人与站点B的距离y(米)与甲所用的时间x(分钟)之间的关系如图所示．（1）站点B到C地的距离为_____米；（2）当x=_____时，甲、乙两人相遇．【答案】     800     10【分析】（1）由图象可知乙从站点B到C地所用时间，再用时间×速度=路程得出结论；（2）先求出甲的速度，再根据追击问题写出方程，解方程即可．【详解】解：（1）根据题意，站点B到C地的距离为：50×(18-2)=800(米)，故答案为：800；（2）由图象可知甲的速度：400÷5=80(米/分)，设经过x分钟，甲、乙两人相遇，则80x=400+50(x-2)，解得x=10，∴甲出发10分钟，甲、乙两人相遇，故答案为：10．【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，理解图象上各点的实际含义，并根据题意列方程是解题的关键．【知识拓展2】一次函数的实际应用（工程问题）例2．（2022•青羊区期中）甲、乙两个工程队分别同时铺设两条公路，所铺设公路的长度y（m）与铺设时间x（h）之间的关系如图所示，根据图象所提供的信息分析，解决下列问题：（1）在2时～6时段时，乙队的工作效率为 　　m/h；（2）分别求出乙队在0时～2时段和2时～6时段，y与x的关系式，并求出甲乙两队所铺设公路长度相等时x的值；（3）求出当两队所铺设的公路长度之差为5m时x的值．【解题思路】（1）根据图象即可求出在2时～6时段时，乙队的工作效率；（2）根据图中的信息利用待定系数法即可确定函数关系式；再根据函数关系式列方程解答即可；（3）利用（2）中的函数关系式可以解决问题．【解答过程】解：（1）在2时～6时段时，乙队的工作效率为：（50﹣30）÷（6﹣2）＝5（m/h），故答案为：5；（2）当0≤x≤2时，设乙队y与x的函数解析式为y＝kx，可得2k＝30，解得k＝15，即y＝15x；当2≤x≤6时，设y与x的函数解析式为y＝nx+m，可得，解得，即y＝5x+20，∴；10x＝5x+20，解得x＝4，即甲乙两队所挖河渠长度相等时x的值为4；（3）当0≤x≤2时，15x﹣10x＝5，解得x＝1．当2＜x≤4时，5x+20﹣10x＝5，解得x＝3，当4＜x≤6时，10x﹣（5x+20）＝5，解得x＝5．答：当两队所挖的河渠长度之差为5m时，x的值为1h或3h或5h．【即学即练2】2．（2022•沙坪坝区校级期中）甲、乙两人同时开始共同组装一批零件，工作两小时后，乙因事离开，停止工作．一段时间后，乙重新回到岗位并提高了工作效率．最后40分钟，甲休息，由乙独自完成剩余零件的组装．甲在工作过程中工作效率保持不变，乙在每个工作阶段的工作效率保持不变．甲、乙两人组装零件的总数y（个）与工作时间x（小时）之间的图象如图．（1）这批零件一共有多少个？（2）在整个组装过程中，当甲、乙各自组装的零件总数相差40个时，求x的值．【解题思路】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以分别计算出甲的速度、乙开始和后来的速度，然后即可计算出这批零件一共有多少个；（2）根据（1）中的结果和分类讨论的方法，可以求得x的值．【解答过程】解：（1）由图象可得，甲的工作效率是：（690﹣420）÷（5﹣2）＝90（个/小时），乙刚开始的工作效率是：420÷2﹣90＝120（个/小时），乙后来的工作效率是：（1320﹣690）÷（85）﹣90＝180（个/小时），1320+180＝1320+120＝1440（个），答：这批零件一共有1440个；（2）当0≤x＜2时，（120﹣90）x＝40，解得x；当2≤x＜5时，120×2﹣90x＝40或90x﹣120×2＝40，解得x＝2或x＝3；当5≤x＜8时，90x﹣120×2﹣180（x﹣5）＝40或120×2+180（x﹣5）﹣90x＝40，解得x＝6或x＝7（舍去）；当8x≤8时，120×2+180（x﹣5）﹣90×（8）＝40，解得x＝7；由上可得，在整个组装过程中，当甲、乙各自组装的零件总数相差40个时，x的值是，2，3，6或7．【知识拓展3】一次函数的实际应用（调运问题）例3．（2022·湖北·思源实验学校八年级阶段练习）城有肥料吨，城有肥料吨，现要把这些肥料全部运往，两乡，从城往，两乡运肥料的费用分别为每吨元和元；从城往，两乡运肥料的费用分别为每吨元和元，现乡需要肥料吨，乡需要肥料吨，怎样调运总费用最少？【答案】从城运往乡吨，运往乡吨；从城运往乡吨，运往乡吨，此时总运费最少，总运费最小值是元【分析】设总运费为元，城运往乡的肥料量为吨，则运往乡的肥料量为吨；城运往、乡的肥料量分别为吨和吨，然后根据总运费和运输量的关系列出方程式，最后根据的取值范围求出的最小值．【详解】解：设总运费为元，城运往乡的肥料量为吨，则运往乡的肥料量为吨；城运往、乡的肥料量分别为吨和吨．由总运费与各运输量的关系可知，反映与之间的函数关系为：，化简得：，，随的增大而增大，当时，的最小值．因此，从城运往乡吨，运往乡吨；从城运往乡吨，运往乡吨，此时总运费最少，总运费最小值是元．【点睛】本题主要考查对于一次函数的应用，要找好题中的等量关系．【即学即练】3．（2022·河南新乡·八年级期末）辉县市，两个蔬菜基地得知，两个灾区安置点分别急需蔬菜240吨和260吨的消息后，决定调运蔬菜支援灾区．已知蔬菜基地有蔬菜200吨，蔬菜基地有蔬菜300吨，现将这些蔬菜全部调运至，两个灾区安置点．从地运往，两处的费用分别为每吨20元和25元从地运往，两处的费用分别为每吨15元和18元．设从地运在处的蔬菜为吨．(1)填空设从地运往处的蔬菜为吨，则从地运往处的蔬菜为_________吨；从地运往处的蔬菜为_________吨；从地运往处的蔬菜为_________吨．(2)设，两个蔬菜基地的总运费为元，求出与之间的函数关系式，并设计出总运费最小的调运方案．【答案】(1)，   ，  (2)，调运方案见解析【分析】(1 )根据已知可得B地运往D处的蔬菜，A地运往C处的蔬菜和A地运往D处的蔬菜质量；(2)先列不等式求出x的范围，再列函数关系式，由一次函数性质可得答案．（1）∵B蔬菜基地有蔬菜300吨，从B地运往C处的蔬菜为x吨，∴从B地运往D处的蔬菜为(300一x )吨；∵C灾区安置点急需蔬菜240吨，从B地运往C 处的蔬菜为x吨，∴从A地运往C处的蔬菜为(240 - x)吨，∵D蔬菜基地需要蔬菜260吨，从B地运往D处的蔬菜为(300一x )吨；∴从A地运往D处的蔬菜为260- (300-x)= (x-40)吨，故答案为：；  ；6（2）与之间的函数关系式为根据题意，得，，，解得∵，∴随的增大而增大，∴当时，总运费最小，此时调运方案为从地运往处200吨，从地运往处0吨，从地运往处40吨，从地运往处260吨.【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．利用一次函数的性质解答．【知识拓展4】一次函数的实际应用（其他问题）例4．（2022·湖南邵阳·八年级期末）已知某种药物在血液中的浓度y（单位：微克/毫升）与服药后时间x（单位：时）之间的函数关系如图所示，则当时，y的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据图象可知，服药4小时内，药物浓度直线上升，每小时上升8÷4=2；服药4小时后，药物浓度直线下降，每小时下降，据此求出每一段的直线表达式；当x＝1时，y＝2，当x＝4时，y有最大值8，当x＝6时，y＝6.4，即可确定y的取值范围．【详解】解：设当0≤x≤4时，设y＝kx，∴4k＝8，解得：k＝2，∴y＝2x；当4＜x≤14时，设y＝ax+b，∴，解得：，∴y＝﹣ x+；∴当x＝1时，y＝2，当x＝4时，y有最大值8，当x＝6时，y的值是，所以当1≤x≤6时，y的取值范围是2≤x≤8．故选：D．【点睛】主要考查一次函数的应用，根据函数图象的性质和图象上的数据求出函数解析式是解题的关键．【即学即练】4.（2022·江西·信丰县第七中学八年级期末）如图，购买一种商品，付款金额y(元)与购买量x(千克)之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次性购买50千克这种商品要付款_____元．【答案】420【分析】当x＞10时，用待定系数法求函数解析式即可．【详解】解：当x＞10时，付款金额y(元)与购买量x(千克)之间的函数为y＝kx+b(k≠0)，∵图象过点(10，100)和(20，180)，∴，解得：，∴y与x的函数解析式为y＝8x+20，∴当x＝50时，y＝8×50+20＝420，一次性购买50千克这种商品要付款420元．故答案为：420．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是求出射线AB段的函数解析式．5．（2022·河南许昌·八年级期末）2022年4月7日，许昌市首批新能源出租车上路，新车空间更大，舒适度更高，受到大众欢迎．新车的收费方式也做了调整，新车的打车费用y（单位：元）与行驶里程x（单位：千米）的函数关系如图所示．老款出租的收费方式为：不超过2千米收费5元，超过2千米部分收费1.5元/千米，同时，每次再加收1元的燃料附加费．小明爸爸从家到公司打车上班的行驶里程为22千米，则他上班乘坐新车的打车费用比老款车多______元．【答案】3【分析】待定系数法求出x≥2时y关于x的函数解析式，再求出x=22时y的值可求得新车的费用，根据老款车的收费标准进行计算求得老款车的费用，比较即可求解．【详解】解：当行驶里程x≥2时，设新车的打车费用为y=kx+b，将（2，7）、（7，15）代入，得：，解得：，∴y=x+，当x=22时，y=×22+=39，即新车的打车费用为39（元），老款车的费用为：5+1.5×(22-2)+1=36（元），39-36=3（元）．故答案为：3．【点睛】本题主要考查一次函数的图象与待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法求得一次函数解析式是解题的关键．能力拓展考法01 一次函数的实际应用（利润最大问题）【典例1】（2022•镇雄县二模）2020年6月1日上午，国务院总理在山东烟台考察时表示，地摊经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．“地摊经济”成为了社会关注的热门话题．小明从市场得知如表信息：小明计划购进甲、乙商品共100件进行销售，设小明购进甲商品x件，甲、乙商品全部销售完后获得利润为y元．（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）小明用不超过2000元资金一次性购进甲，乙两种商品，求x的取值范围；（3）在（2）的条件下，若要求甲，乙商品全部销售完后获得的利润不少于632.5元，请说明小明有哪些可行的进货方案，并计算哪种进货方案的利润最大．【解题思路】（1）由y＝甲商品利润+乙商品利润，可得解析式；（2）由用不超过2000元资金一次性购进甲，乙两种商品，列出不等式组，即可求解；（3）由获得的利润不少于632.5元，列出不等式可求x的范围，由一次函数的性质可求解．【解答过程】解：（1）由题意可得：y＝（45﹣35）x+（8﹣5）（100﹣x）＝7x+300；（2）由题意可得：35x+5（100﹣x）≤2000，∴x≤50，又∵x≥0，∴0≤x≤50，且x为整数；（3）由题意可得：（45﹣35）x+（8﹣5）（100﹣x）≥632.5，∴x≥47.5，∴47.5≤x≤50，又∵x为整数，∴x＝48，49，50，∴进货方案有：甲商品进48件，乙商品进52件；甲商品进49件，乙商品进51件；甲商品进50件，乙商品进50件；∵y＝7x+300，∴y随x的增大而增大，∴当x＝50时，有最大利润．∴当甲商品进50件，乙商品进50件，利润有最大值．变式1.（2022•青白江区模拟）在近期“抗疫”期间，某药店销售A，B两种型号的口罩，已知销售80只A型和45只B型的利润为21元，销售40只A型和60只B型的利润为18元．（1）求每只A型口罩和B型口罩的销售利润；（2）该药店计划一次购进两种型号的口罩共2000只，其中B型口罩的进货量不少于A型口罩的进货量且不超过它的3倍，则该药店购进A型、B型口罩各多少只，才能使销售总利润y最大？【解题思路】（1）设每只A型口罩销售利润为a元，每只B型口罩销售利润为b元，根据“销售80只A型和45只B型的利润为21元，销售40只A型和60只B型的利润为180元”列方程组解答即可；（2）根据题意即可得出y关于x的函数关系式；根据题意列不等式得出x的取值范围，再结合y关于x的函数关系式解答即可．【解答过程】解：（1）设每只A型口罩销售利润为a元，每只B型口罩销售利润为b元，根据题意得：，解得，答：每只A型口罩销售利润为0.15元，每只B型口罩销售利润为0.2元；（2）根据题意得，y＝0.15x+0.2（2000﹣x），即y＝﹣0.05x+400；根据题意得，，解得500≤x≤1000，∴y＝﹣0.05x+400（500≤x≤1000），∵﹣0.05＜0，∴y随x的增大而减小，∵x为正整数，∴当x＝500时，y取最大值，则2000﹣x＝1500，即药店购进A型口罩500只、B型口罩1500只，才能使销售总利润最大．考法02 一次函数的实际应用（成本最低问题）【典例2】例6.（2022·山西吕梁·八年级期末）一个城市的卫生状况反映了这个城市的文明程度．某城市每日清理垃圾的车辆有两种型号，已知2辆大型垃圾车与3辆小型垃圾车一次可以运输26吨垃圾；5辆大型垃圾车与4辆小型垃圾车一次可以运输58吨垃圾．(1)求1辆大型垃圾车和1辆小型垃圾车一次各运输多少吨垃圾？(2)已知该城市每日规定派出两种垃圾车共12辆，每辆大型垃圾车一次需费用300元，每辆小型垃圾车一次需费用150元．经调查该城市每日需运输的垃圾不少于60吨，请确定费用最少的派车方案，并求出最少费用是多少？【答案】(1)1辆大型垃圾车和1辆小型垃圾车一次各运输10吨，2吨垃圾(2)应派出5辆大型垃圾车，则派出7辆小型垃圾车时总费用最少，最少为2250元【分析】（1）根据题意找出等量关系式，列出二元一次方程组求解可得．（2）根据题意列式表示出总费用，每日需运输的垃圾不少于60吨且a为正整数，解得a的值，结合函数性质解得．（1）设：1辆大型垃圾车和1辆小型垃圾车一次各运输，吨垃圾．得解得：答：1辆大型垃圾车和1辆小型垃圾车一次各运输10吨，2吨垃圾．（2）设：派出辆大型垃圾车，则派出（12－）辆小型垃圾车，总费用为元．＝∵解得：∵为整数∴∵∴随的增大而增大当时＝2550元答：应派出5辆大型垃圾车，则派出7辆小型垃圾车时总费用最少，最少为2250元．【点睛】此题考查了二元一次方程组解决实际问题和一次函数的实际应用，解题的关键是根据题意找出等量关系式求解即可．变式1．（2022·陕西汉中·八年级期末）学校通过调查发现很多同学非常喜欢羽毛球这项体育活动，决定开展羽毛球选修课，购进副某一品牌羽毛球拍，每副球拍配个羽毛球，供应同学们积极参加体育活动学校附近有甲、乙两家体育文化用品商场，都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为元，每个羽毛球的标价为元，目前两家商场都有优惠活动：甲商场：所有商品均打九折（按标价的）销售；乙商场：买一副羽毛球拍送个羽毛球．设在甲商场购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元），在乙商场购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元）．请解答下列问题：(1)分别写出，与之间的关系式．(2)若只能在一家超市购买，当取何值时，在甲商场购买更划算．(3)若可以同时在两家商场分别购买部分商品，每副球拍配个羽毛球，则购买费用最少为多少元？【答案】(1)， (2) (3)元【分析】（1）根据甲乙两家商场销售方法分别计算即可．（2）根据（1）的结论列不等式即可解决．（3）采用混合购买的方法解决问题．（1）由题意得：．．（2）当时，，得．当时，在甲超市划算．（3）设在乙超市买副拍，送只羽毛球，则在甲超市买副拍，买个羽毛球，设总费用元，则： ，，随的增大而减小，当时，最小，（元）．购买费用最少为元．【点睛】此题考查一次函数的应用，一元一次不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会利用不等式或方程解决实际问题，学会采用混合购买的方法解决问题中省钱的方案，属于中考常考题型．变式1．（2022·广西玉林·八年级期末）为了节能减排，某公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需560万元；若购买A型公交车3辆，B型公交车2辆，共需540万元．(1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？(2)预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为80万人次和100万人次.若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1120万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于810万人次，则该公司有多少种购车方案？请求出购车费用最少的方案及最少费用．【答案】(1)购买A型公交车每辆需100万元，B型公交车每辆需120万元；(2)公司有6种购车方案，当购买A型公交车9辆，购买B型公交车1辆时，购车费用最少，为1020万元．【分析】（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，由若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需560万元；若购买A型公交车3辆，B型公交车2辆，共需540万元列出方程组，解方程组即可求解；（2）设购买A型公交车m辆，可列得不等式组，求得m的值；设总费用为w万元，由一次函数性质可得答案．（1）解：设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，由题知：，解得：，答：A型公交车每辆需100万元，B型公交车每辆需120万元；（2）解：设购买A型公交车m辆，购买B型公交车（10-m）辆，根据题意得：，解得：，∵m为整数，∴m取4，5，6，7，8，9，∴有6种购车方案；设总费用为w万元，∴w=100m+120（10-m）=-20m+1200，∵-20＜0，∴w随m的增大而减小，又4≤m≤9.5，且m为正整数，∴当m=9时，w最小，最小值是1020万元；答：该公司有6种购车方案，当采购A型9辆，采购B型1辆时，费用最低，最低费用为1020万元．【点睛】本题考查二元一次方程组、不等式组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组、不等式组和函数关系式，利用一次函数的性质解答．．分层提分题组A 基础过关练1．（2022·山东邹平·初二期末）方程的解就是直线与（ ）．A．轴交点的横坐标 B．轴交点的纵坐标 C．轴交点的横坐标 D．轴交点的纵坐标【答案】A【分析】先把方程化为2x-3=0，利用一次函数与一元一次方程的关系可判断方程2x-3=0的解就是直线与x轴的交点的横坐标．【解析】解：由得2x-3=0，所以一元一次方程2x-3=0的解就是直线与x轴的交点的横坐标．故选：A．【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：对于一次函数y=kx+b（k≠0），把求它与x轴的交点的横坐标转化为解一元一次方程kx+b=0．2．（2022·河北秦皇岛·八年级期末）生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度与观察时间（天）的关系，并画出如图所示的图象（轴），该植物最高的高度是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数图象中的数据，可以计算出当0≤x≤50时，y与x的函数解析式，然后将x=50代入函数解析式求出相应的y的值，从而可以写出该植物最高的高度．【详解】解：当0≤x≤50时，设y与x的函数解析式为y=kx+b，∵点（0，6），（30，12）在该函数图象上，∴，解得，即当0≤x≤50时，y与x的函数解析式为y=0.2x+6，当x=50时，y=0.2×50+6=16，故选：C．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．3．（2022·四川遂宁·八年级期末）爸爸为小明买了一双新的运动鞋，但要小明自己算出穿几码的鞋，小明回家量了一下妈妈36码的鞋子长23厘米，爸爸42码的鞋子长26厘米，那么自己穿的鞋子23.5厘米是几码呢（    ）A．35 B．37 C．39 D．40【答案】B【分析】设y=kx+b（k≠0），然后把x=23时，y=36；x=26时，y=42代入得到关于k、b的方程组，然后求得k和b的值，得到一次函数关系式；然后令x=23.5，计算对应的y的值即可．【详解】解：设人的鞋子的码数y，鞋长为x，设y=kx+b（k≠0），∵当x=23时，y=36；当x=26时，y=42，∴ ，解得：∴y=2x-10，当x=23.5时，y=2×23.5-10=37，所以小明买了鞋是37码．故选：B．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，先设出一次函数的关系式y=kx+b（k≠0），然后根据已知条件确定k和b的值得到一次函数的关系式是解答本题的关键．4．（2022·上海·复旦二附中八年级期中）如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标为（-2，0），则下列说法正确的是（    ）A．随的增大而减小 B．关于的方程的解为C．当时， D．，【答案】B【分析】根据函数图象和一次函数的性质，可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：∵图象过第一、二、三象限，∴k＞0，b＞0，y随x的增大而增大，故A、D错误；又∵图象与x轴交于（-2，0），∴kx+b=0的解为x=-2，故B正确；当x＞-2时，图象在x轴上方，y＞0，故C错误；故选：B．【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．5．（2022·全国·八年级专题练习）若关于x的方程4x-b=0的解是x=-2，则直线y=4x-b一定经过点（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据方程可知当x=-2时，y=0，从而可判断直线经过点（-2，0）．【详解】解：由方程可知：当x=-2时，4x-b=0，即当x=-2时，y=0，∴直线y=4x-b的图象一定经过点（-2，0）．故选：C．【点睛】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键．6．（2022·安徽·风华中学八年级阶段练习）一次函数y=-x+4的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为(   )A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出一次函数y＝−x＋4的图象与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积计算公式，即可求出答案．【详解】解：∵当x＝0时，y＝4，∴一次函数y＝−x＋4的图象与y轴交于点（0，4），∵当y＝0时，即−x＋4＝0，解得：x＝4，∴一次函数y＝−x＋4的图象与x轴交于点（4，0），∴一次函数y＝−x＋4的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为：×4×4＝8．故选：C．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．7．（2022·河北省·初二期中）一次函数（k，b为常数，)的图象如图所示，根据图象信息可得到关于x的方程的解为__________.【答案】x＝3【分析】直接根据图象找到y＝kx＋b＝4的自变量的值即可．【解析】观察图象知道一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的图象经过点（3，4），所以关于x的方程kx＋b＝4的解为x＝3，故答案为：x＝3．【点睛】本题考查了一次函数与一元一方程，能结合图象确定方程的解是解答本题的关键．8．（2022·福建福州·八年级期中）已知直线和图像上部分的横坐标和纵坐标如下表所示，则方程的解是______．【答案】x=1【分析】根据两个函数交点的横坐标就是一元一次方程的解可直接得到答案．【详解】解：由表格数据可知，直线l1：y=-2x+a和l2：y=x+b交于（1，-1）点，∴方程-2x+a=x+b的解是x=1，故答案为：x=1．【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，解题的关键是理解方程的根和函数图像交点的横坐标之间的关系.9．（2022·山东烟台·七年级期末）某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为________．【答案】8：50【分析】分别求出甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式，求出两条直线的交点坐标即可．【详解】设甲仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y1=k1x+40，根据题意得60k1+40=400，解得k1=6，∴y1=6x+40；设乙仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y2=k2x+240，根据题意得60k2+240=0，解得k2=-4，∴y2=-4x+240，联立，解得，8：30开始经过20分钟后，两仓的快递件数相同，∴此刻的时间为8：50．故选B．【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，理解图形中点的坐标代表的意义．10．（2022·江西南昌·八年级期末）某种子站销售一种玉米种子，单价为5元千克，为惠民促销，推出以下销售方案：付款金额（元）与购买种子数量（千克）之间的函数关系如图所示．（1）当时，求与之间的的函数关系式：（2）徐大爷付款20元能购买这种玉米种子多少千克？【答案】（1）；（2）4.5千克．【分析】（1）当x≥2时函数为一次函数，用待定系数法求函数解析式；（2）把y＝20代入（1）中解析式求解即可.【详解】解：（1）当时，设与之间的的函数关系式为，将点，带入解析式得解得∴． （2）将时，带入中解得千克．答：徐大爷付款20元能购买这种玉米种子4.5千克．【点睛】本题考查一次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式．11．（2022·江苏常州市·八年级期末）如图，一次函数y＝x＋3的图象与x轴交于点B，与过点A（3，0）的一次函数的图象交于点C（1，m）．（1）求m的值；（2）求一次函数图象相应的函数表达式；（3）求的面积．【答案】（1）4；（2）y＝﹣2x＋6；（3）12【分析】（1）把点C（1，m）代入y＝x＋3即可求得；（2）根据待定系数法即可求得；（3）求得B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可．【详解】解：（1）∵点C（1，m）在一次函数y＝x＋3的图象上，∴m＝1＋3＝4；（2）设一次函数图象相应的函数表达式为y＝kx＋b，把点A（3，0），C（1，4）代入得，解得，∴一次函数图象相应的函数表达式y＝﹣2x＋6；（3）∵一次函数y＝x＋3的图象与x轴交于点B，∴B（﹣3，0），∵A（3，0），C（1，4），∴AB＝6，∴.【点睛】本题考查了一次函数上点的特征、用待定系数法求解析式、一次函数与坐标轴交点的问题；关键在于掌握好与一次函数相关的基础知识．11．（2022·福建·平潭第三中学八年级期末）如图，已知函数y＝2x﹣1和y＝x﹣3的图像交于点P．(1)求出点P的坐标；(2)求两函数图像与y轴围成的图形面积．【答案】(1)（﹣2，﹣5） (2)2【分析】（1）联立两函数解析式，解方程组可求两函数图象交点P的坐标；（2）求得两直线与y轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式即可求得．（1）解：联立，解得，∴P点坐标为（﹣2，﹣5）．（2）当x=0时，y＝2x﹣1=-1，y＝x﹣3=-3，∴两条直线与y轴的交点分别为（0，﹣1），（0，﹣3），∴两函数图象与y轴围成的图形面积为：×2＝2．【点睛】本题考查了两条直线的交点，求两函数图象的交点坐标，联立两函数解析式，解方程组即可；也考查了求三角形面积．题组B 能力提升练1．（2022·山东淄博·八年级期中），两地相距100 km，甲、乙两人骑车同时分别从，两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到地的距离都是骑车时间的一次函数，其图像如图所示．已知1 h后乙距离地80 km，2 h后甲距离地30 km，则经过多长时间两人将相遇？（    ）A．3 h B． C． D．4 h【答案】B【分析】利用待定系数法分别求出一次函数解析式，联立函数解析式即可求出相遇的时间．【详解】设表示甲的直线的关系式为：，则，解得：，故；设表示乙的直线关系式为：，将，代入，得，解得：，∴；当，则，解得：．故选B【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，根据题意求出函数解析式是解题关键．2．（2022·河北· 沧州渤海新区京师学校八年级阶段练习）某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示，用户5月份交水费45元，则所用水为____方．【答案】20【分析】根据题意可知：先判断出该用户用的水与18方的关系，再设用水x方，水费为y元，继而求得关系式为y=39+3（x-18）；将y=45时，代入上式即可求得所用水的方数．【详解】解：∵45＞12×2+6×2.5=39，∴用户5月份交水费45元可知5月用水超过了18方，设用水x方，水费为y元，则关系式为y=39+3（x-18）．当y=45时，x=20，即用水20方．故答案为：20．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，用待定系数法求函数的解析式和根据自变量的值求函数值．弄清对应的水费是解决问题的关键．3．（2022·四川·广汉市金轮第一中学九年级期末）和谐号动车刹车后作匀减速运动，速度与刹车时间与之间满足关系式．匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度与路程s、时间t的关系为：动车要准确停站，应在距离站台停止线______千米开始刹车．【答案】10【分析】根据题意求得刹车时的速度，以及刹车到停止的时间间隔，再求得平均速度，代入函数关系式即可求解．【详解】解：∵速度与刹车时间与之间满足关系式，均速度与路程s、时间t的关系为：∴，解得当时， 当时，，当时故答案为：10【点睛】本题考查了一次函数的应用，理解题意求得平均速度是解题的关键．4．（贵州省黔西南布依族苗族自治州2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）为庆祝六一儿童节，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡．设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示，根据图中信息，解答下列问题：(1)分别求出选择甲、乙两种消费卡消费时，关于x的函数解析式．(2)求点B的坐标，并说明点B的实际意义．(3)洋洋爸爸准备240元钱用于洋洋在该游乐场的消费，选择哪种消费卡划算？【答案】(1)选择甲种消费卡消费时为y＝20x；选择乙种消费卡消费时为y＝10x＋100；(2)B（10，200），点B的实际意义是：当去游乐场消费10次时，两种消费卡消费一样，都是200元；(3)选择乙种消费卡划算．【分析】（1）根据函数图象中的数据，分别利用待定系数法求解即可；（2）联立两函数解析式成方程组，解方程组即可得出点B的坐标，再根据横、纵坐标的意义写出点B表示的实际意义即可；（3）将y＝240分别代入甲和乙的解析式中，求出相应的x的值，然后比较大小即可．（1）解：设选择甲种消费卡消费时，y关于x的函数解析式为y＝kx，∵点（5，100）在该函数图象上，∴100＝5k，解得k＝20，∴选择甲种消费卡消费时，y关于x的函数解析式为y＝20x；设选择乙种消费卡消费时，y关于x的函数解析式为y＝ax＋b，∵点（0，100），（20，300）在该函数图象上，∴，解得，∴选择乙种消费卡消费时，y关于x的函数解析式为y＝10x＋100；（2）联立，解得：，∴点B的坐标为（10，200），点B的实际意义是：当去游乐场消费10次时，两种消费卡消费一样，都是200元；（3）当y＝240时，选择甲时：有240＝20x，解得x＝12，选择乙时：有10x＋100＝240，解得x＝14，∵14＞12，∴洋洋爸爸准备240元钱用于洋洋在该游乐场的消费，选择乙种消费卡划算．【点睛】本题考查一次函数的应用，熟练掌握待定系数法以及求直线交点坐标的方法是解题的关键．5.（2022•郑州期末）工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间t（时），甲组加工零件的数量为y甲（个），乙组加工零件的数量为y乙（个），其函数图象如图所示．（1）求y乙与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；（2）求a的值，并说明a的实际意义；（3）甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为480个．【解题思路】（1）根据函数图象中的数据，可以得到y乙与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；（2）根据函数图象中的数据，可以得到甲的速度，然后即可计算出a的值，然后再说明a的实际意义即可；（3）根据题意，可以列出相应的方程，然后即可得到甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为480个．【解答过程】解：（1）设y乙与t之间的函数关系式是y乙＝kt+b，，解得，即y乙与t之间的函数关系式是y乙＝120t﹣600（5≤t≤8）；（2）由图象可得，甲的工作效率为120÷3＝40（个/时），a＝120+40×（8﹣4）＝280，即a的值是280，实际意义是当甲加工8小时时，一共加工了280个零件；（3）设甲组加工c小时时，甲、乙两组加工零件的总数为480个，120+40（c﹣4）+（120c﹣600）＝480，解得c＝7，即甲组加工7小时时，甲、乙两组加工零件的总数为480个．6．（2022·河南·南阳市宛城区官庄镇第一初级中学八年级阶段练习）秤是我国传统的计重工具．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据． (1)上表中有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？并说明理由；(2)求出这个一次函数的关系式；(3)当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，求秤钩所挂物重是多少斤？【答案】(1)x=7，y=2.75这组数据错误，理由见解析(2)y=0.25x+0.5(3)4.5斤【分析】（1）利用描点法画出函数图象即可进行判断；（2）设直线y=kx+b，代入（1，0.75）和（2，1.00），用待定系数法求解即可；（3）将x=16代入解析式，即可求出y．（1）解：函数图象如图2所示：观察图象可知：x=7，y=2.75这组数据错误．∵（7，2.75）这点和其他点不在一条直线上，∴x=7，y=2.75这组数据错误．（2）设直线解析式：y=kx+b，代入（1，0.75）和（2，1.00），得，解得，∴y=0.25x+0.5．（3）当x=16时，y=4+0.5=4.5．∴当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是4.5斤．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，理解题意并用待定系数法求解析式是解题的关键．7．（2022·山东青岛·八年级期末）甲乙两地相距450千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，折线OAB表示货车离甲地的路程y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系，线段CD表示轿车离甲地的路程y（千米）与x（小时）之间的函数关系，C（1，0），则在轿车追上货车后至到达乙地前，当轿车在货车前105千米时，所用的时间x为______小时．【答案】4或【分析】先用待定系数法求出CD、OA、AB的函数关系式，再根据已知列方程，可解得答案．【详解】解：设线段CD解析式为y＝kx＋b，将C（1，0），D（7，450）代入得：，解得，∴线段CD的解析式为y＝75x−75（1≤x≤7），∵线段OA过点（5，150），∴线段OA的解析式为y＝30x（0≤x≤5），设线段AB的解析式为y＝mx＋n，将（5，150），（8，450）代入得：，解得，∴线段AB的解析式为y＝100x−350（5≤x≤8）；由（75x−75）−30x＝105，解得：x＝4，由（75x−75）−（100x−350）＝105，解得：x＝，综上所述，当轿车在货车前105千米时，所用的时间x为4或小时，故答案为：4或．【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图，掌握待定系数法并求出函数关系式．8．（2022·湖南常德·八年级期末）某医药研究所研发了一种新药，经临床实验发现，成人按规定剂量服用，每毫升血液中含药量（微克）随时间（小时）而变化的情况如图所示．研究表明，当血液中含药量（微克）时，对治疗疾病有效，则有效时间是__________小时．【答案】【分析】当时，设，把（2，6）代入计算即可得，当时，设，把点（2，6），（10，3）代入计算即可得，把代入中得，把代入中得，进行计算即可得．【详解】解：当时，设，把（2，6）代入得，，解得，，∴当，，当时，设，把点（2，6），（10，3）代入得，解得，，∴当时，，把代入中，得，把代入中，得，则（小时），即该药治疗的有效时间是3小时，故答案为：3．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是掌握一次函数的性质．9．（2022·新疆克拉玛依·八年级期末）市和市分别库存某种机器台和台，现决定支援给市台和市台．已知从市调运一台机器到市和市的运费分别为元和元；从市调运一台机器到市和市的运费分别为元和元．(1)设市运往市机器台，求总运费元关于的函数关系式．(2)若要求总运费不超过元，问共有几种调运方案？(3)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？【答案】(1)(2)有三种调运方案(3)最低费用是元，此时的调运方案是：市运往市台，运往市台；市运往市台，运往市台【分析】（1）从市运往市台，则运费为，还需从市往市运送台，运费为，那么从市运往市台，运费为，从市运往市台，运费为，从而得到总运费关于的函数关系式；（2）根据运费单价列出函数关系式，根据每次运出台数为非负数，列不等式组求的范围．（3）因为所求一次函数解析式中，一次项系数，越小，越小，为使总运费最低，应取最小值．（1）由题意可知： 由此．（2）由题意得，．又市可支援外地台，．综上，可取，，，有三种调运方案；（3），且随的值增大而增大，当时，的值最小，最小值是元．此时的调运方案是：市运往市台，运往市台；市运往市台，运往市台．【点睛】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，解题的关键是应用一次函数的性质；即由函数随的变化，结合自变量的取值范围确定最值．10.（2022•连山区期末）由于新能源汽车越来越受到消费者的青睐，某经销商决定分两次购进甲、乙两种型号的新能源汽车（两次购进同一种型号汽车的每辆的进价相同）．第一次用270万元购进甲型号汽车30辆和乙型号汽车20辆；第二次用128万元购进甲型号汽车14辆和乙型号汽车10辆．（1）求甲、乙两种型号汽车每辆的进价；（2）经销商分别以每辆甲型号汽车8.8万元，每辆乙型号汽车4.2万元的价格销售后，根据销售情况，决定再次购进甲、乙两种型号的汽车共100辆，且乙型号汽车的数量不少于甲型号汽车数量的3倍，设再次购进甲型汽车a辆，这100辆汽车的总销售利润为W万元．①求W关于a的函数关系式；并写出自变量的取值范围；②若每辆汽车的售价和进价均不变，该如何购进这两种汽车，才能使销售利润最大？最大利润是多少？【解题思路】（1）设甲种型号汽车的进价为a万元、乙种型号汽车的进价为b万元，根据“第一次用270万元购进甲型号汽车30辆和乙型号汽车20辆；第二次用128万元购进甲型号汽车14辆和乙型号汽车10辆”得到相应的二元一次方程组，解方程组即可得到甲、乙两种型号汽车每辆的进价；（2）①根据题意可以得到利润与购买甲种型号汽车数量的函数关系；②根据乙型号汽车的数量不少于甲型号汽车数量的3倍，可以得到购买甲种型号汽车数量的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到最大利润和此时的购买方案．【解答过程】解：（1）设甲种型号汽车的进价为a万元、乙种型号汽车的进价为b万元，，解得：，答：甲、乙两种型号汽车每辆的进价分别为7万元、3万元；（2）①由题意得：购进乙型号的汽车（100﹣a）辆，则W＝（8.8﹣7）a+（4.2﹣3）×（100﹣a）＝0.6a+120，乙型号汽车的数量不少于甲型号汽车数量的3倍，∴100﹣a≥3a，且a≥0，解得，0≤a≤25，∴W关于a的函数关系式为W＝0.6a+120（0≤a≤25）；②W＝0.6a+120，∵0.6＞0，∴W随着a的增大而增大，∵0≤a≤25，∴当a＝25时，W取得最大值，此时W＝0.6×25+120＝135（万元），100﹣25＝75（辆），答：获利最大的购买方案是购进甲型汽车25辆，乙型汽车75辆，最大利润是135万元．11．（2022·江西·信丰县第七中学八年级期末）如图，直线y＝﹣2x+7与x轴、y轴分别相交于直C、B．与直线y＝x相交于点A．(1)求A点坐标；(2)如果在y轴上存在一点P，使OAP是以OA为底边的等腰三角形，求P点坐标；(3)在直线y＝﹣2x+7上是否存在点Q，使OAQ的面积等于6？若存在，请求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2,3)(2)(0,)(3)存在，(,)或(,﹣)【分析】（1）联立方程组，即可求得；（2）设P点坐标是(0，y)，根据勾股定理列出方程，解方程即可求得；（3）分两种情况：①当Q点在线段AB上：作QD⊥y轴于点D，则QD＝x，根据列出关于x的方程解方程求得即可；②当Q点在AC的延长线上时，作QD⊥x轴于点D，则QD＝﹣y，根据列出关于y的方程解方程求得即可．（1）解：联立方程组得：，解得：，∴A点坐标是(2,3)；（2）解：设P点坐标是(0，y)，∵△OAP是以OA为底边的等腰三角形，∴OP＝PA，∴，解得y＝，∴P点坐标是(0,)，故答案为(0,)；（3）解：存在；∵直线y＝﹣2x+7与x轴、y轴分别相交于直C、B．∴C(,0)，B(0,7)，∴＝＜6，＝×7×2＝7＞6，∴Q点有两个位置：Q在线段AB上和AC的延长线上，设点Q的坐标是(x，y)，当Q点在线段AB上：作QD⊥y轴于点D，如图①，则QD＝x，∴＝7﹣6＝1，∴OB•QD＝1，即×7x＝1，∴x＝，把x＝代入y＝﹣2x+7，得y＝，∴Q的坐标是(,)，当Q点在AC的延长线上时，作QD⊥x轴于点D，如图②则QD＝﹣y，∴＝6﹣＝，∴OC•QD＝，即××(﹣y)＝，∴y＝﹣，把y＝﹣代入y＝﹣2x+7，解得x＝，∴Q的坐标是(，﹣)，综上所述存在满足条件的点Q，其坐标为(，)或(，﹣)．【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了两直线交点的求法，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，三角形面积的求法等，分类讨论思想的运用是解题的关键．题组C 培优拔尖练1．（2022·湖北湖北·八年级期末）某社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积S（单位：）与工作时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示．则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出2至5小时的一次函数解析式，从而求出当x=2时的纵坐标，然后再除以2即可．【详解】解：从图像可以知2至5时的函数图像经过(4，1600)，(5，2100)设该时段的一次函数解析式为y=kx+b(x≥2)，依题意，将点(4，1600)，(5，2100)分别代入，可列方程组有 解得： ∴一次函数的解析式为：y=500x-400∴当x=2时，解得y=600．∴前两小时每小时完成的绿化面积是600÷2=300(m2) ．故选D．【点睛】此题主要考查求一次函数的解析式与函数的图像的关系．运用待定系数法求得一次函数的解析式是解答本题的关键．2．（2022·湖北武汉·八年级期末）物理课上，于老师让同学们做这样的实验：在放水的盆中放入质地均匀的木块，再在其上方放置不同质量的铁块．已知木块全程保持漂浮状态，通过测量木块浮在水面上的高度与铁块的质量，可得它们之间满足一次函数关系．据此可以判断下表中记录错误的数据是（    ）A．第一次的数据 B．第二次的数据 C．第三次的数据 D．第四次的数据【答案】C【分析】先假设第一次和第二数据都是正确的，求出函数解析式，把第三次和第四次数据代入解析式，判断是否与表格中的数据相符即可．【详解】解：设h=kx+b（k≠0），由表格中数据可得，当x=25时，y=40，当x=50时，y=30，假设第1次和第2次数据都是正确的，则，解得，∴h=-0.4x+50，当x=75时，h=-0.4×75+50=20，这与表格中的数据不符，当x=100时，h=-0.4×100+50=100这与表格中的数据相符，假设成立，故第3次数据是错误的．故选：C．【点睛】本题考查了一次函数的应用和待定系数法求函数解析，关键是对函数解析式中x，h的对应值的判定．3．（2022·浙江台州·八年级期末）迭代是重复反馈过程的活动，其目的通常是为了逼近所需目标或结果．每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值．对于一次函数，当时，．将代入，得出，此过程称为一次迭代：再将代入，得出，此过程称为二次迭代……为了更直观的理解，我们不妨借助于函数图象，请你根据图象，得出经过十次迭代后，y的值接近于下列哪个整数（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，得出一次函数y=x+2经过横纵坐标相等的点（4，4），观察图象即可得出结论．【详解】解：由得，∴直线y=x与直线y=x+2的交点为（4，4），由图象可知，经过十次迭代后，y的值接近于整数4，故选：C．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，明确一次“迭代”的含义是解题的关键．4．（2022·河南南阳·八年级期中）如图，点A，B，C在一次函数y＝－2x＋b的图象上，它们的横坐标依次为－1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积和是（    ）A．1 B．3 C．3（b－1） D．【答案】B【分析】先表示出点A，C两点的坐标，再根据阴影部分的特征表示出阴影部分的面积，求解即可．【详解】解：由题意可得A、C的坐标分别为（－1，b＋2）、（2，b－4），又阴影部分为三个有一直角边都是1，另一直角边的长度和为A点纵坐标与C点纵坐标之差的三角形，所以阴影部分的面积为：，故选B．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，平面直角坐标系中图形的面积，解题的关键是正确地表示出阴影部分的面积．5．（2022·广东·测试·八年级阶段练习）一个小球从点A（2，3）出发，经过y轴上点C反弹后经过点B（1，0），则小球从A点经过点C到B点经过的路线最短，则点C的坐标是（　　）A．（0，2） B．（0，1） C．（0，） D．（0，）【答案】B【分析】如果设A点关于y轴的对称点为，那么C点就是与y轴的交点．易知（-2，3），又B（1，0），可用待定系数法求出直线的方程．再求出C点坐标．【详解】解：如果将y轴当成平面镜，设A点关于y轴的对称点为，则由小球路线知识可知，相当于A的像点，光线从A到C到B，相当于小球路线从直接到B，所以C点就是与y轴的交点．∵A点关于y轴的对称点为，A（2，3），∴（-2，3），设直线的解析式为y=kx+b．，解得：，∴直线的解析式为：y=-x+1．令x=0，求得y=1．所以C点坐标为（0，1）．故选：B．【点睛】此题考查轴对称的基本性质，勾股定理的应用等知识点．关键是根据小球路线从A点到B点经过的路线长是．6．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，点的坐标为，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上运动．当线段最短时，求点的坐标（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】方法一：先分别求出，，根据等腰直角三角形的判定与性质可得，再根据垂线段最短可知，当时，线段最短，过点作轴于点，利用等腰三角形的三线合一可得，再然后将代入直线可得点的纵坐标，由此即可得；方法二：先根据垂线段最短可知，当时，线段最短，再设直线的解析式为，将点的坐标代入可得直线的解析式，与直线联立，解方程组即可得．【详解】解：方法一：对于直线，当时，，解得，即，当时，，即，是等腰直角三角形，，由垂线段最短可知，如图，当时，线段最短，则是等腰直角三角形，过点作轴于点，点是的中点（等腰三角形的三线合一），点的坐标为，即为，点的横坐标为，将代入直线得：，则点的坐标为，故选：A．方法二：由垂线段最短可知，当时，线段最短，则可设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，联立，解得，则点的坐标为，故选：A．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、垂线段最短、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握待定系数法和垂线段最短是解题关键．7．（2022·江西·赣州市赣县区思源实验学校八年级期末）如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点A，，点在轴上（不与原点重合），并且使以点A，，为顶点的三角形是等腰三角形，则的坐标为______ ．【答案】、或【分析】根据题意，可以求得点A和点的坐标，再根据勾股定理，可以得到的长，然后利用分类讨论的方法可以求得点的坐标．【详解】解：一次函数，当时，，当时，，点A的坐标为，点的坐标为，，，，当点在点上方时，此时，点的坐标为；当点在点的下方时，此时，点的坐标为；当时，点在轴的负半轴上时，此时点的坐标为；由上可得，点的坐标为、或，故答案为：、或．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8．（2022·浙江丽水·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=－2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，过点B的直线BC：y=kx+b交x轴于点C（－8，0）．（1）k的值为___；（2）点M为直线BC上一点，若∠MAB=∠ABO，则点M的坐标是___．【答案】          （－2，3），（2，5）【分析】（1）由y=－2x+4求得点的坐标，根据的坐标待定系数法求解析式即可求解；（2）根据题意画出图形，分在点左边与右边两种情况分类讨论即可求解．【详解】（1）解：∵一次函数y=－2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，令，得，则，令，得，则，将，代入y=kx+b，得，解得，∴直线得到解析式为，故答案为：；（2）∵，，，∴，∴，∴，如图，∠MAB=∠ABO，点M为直线BC上①当在点右侧时，∵∠MAB=∠ABO，点M为直线BC上,所以的横坐标为2，代入，得，所以，②当在点左侧时，如果，设交轴于点，∵∠MAB=∠ABO，∴，设，所以，在中，，∴，解得，∴，设解析式为，，解得，∴的解析式为，联立解析式得，解得：，∴，综上，，，故答案为：或【点睛】本题考查了一次函数综合问题，求一次函数解析式，等角对等边，勾股定理及其逆定理，待定系数法求解析式是解题的关键．9．（2022·天津益中学校八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是直线上一点，且，则点的坐标为______．【答案】【分析】将线段绕点逆时针旋转得到线段，根据全等三角形的性质易得到，取的中点，直线与直线的交点即为点求出直线的解析式，利用方程组确定交点坐标即可．【详解】解：将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点B作y轴的垂线与分别过点A，作x轴的垂线，交于点M和点N，交x轴于点E，MN与y轴交于点C，如下图．∴，∴，由旋转的性质可知，，，∴，∴，∴(AAS)，∴，，∴，，∴，取的中点，直线与直线的交点即为点，设直线的解析式为，把B、K坐标代入得，解得 ，∴直线的解析式为，将直线与直线联立组成方程组，解得，点坐标为．故答案为：．【点睛】本题考查一次函数图象上的点的特征，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数解析式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．10．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校八年级期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y＝x交于点C．(1)若直线AB解析式为y＝﹣2x+12，求：①求点C的坐标；②求△OAC的面积．(2)在（1）的条件下，若P是x轴上的一个动点，直接写出当△POC是等腰三角形时P的坐标．(3)如图2，作∠AOC的平分线OF，若，垂足为E，OA＝4，P是线段AC上的动点，过点P作OC，OA的垂线，垂足分别为M，N，试问PM+PN的值是否变化，若不变，求出PM+PN的值；若变化，请说明理由．【答案】(1)①（4，4）；②12(2)（4，0）或（8，0）或（，0）或（－，0）(3)不变，【分析】（1）①当−2x＋12＝x时，解方程即可；②当y＝0时，则−2x＋12＝0，得出点A的坐标，即可得出答案；（2）首先利用勾股定理得出OC的长，再分OC＝OP，CO＝CP，PO＝PC三种情形，进而得出答案；（3）首先利用ASA证明△AOE≌△COE，得OA＝OC＝4，再利用面积法可得PN＋PM＝AH，再利用勾股定理求出AH的长即可．（1）解：①由题意得−2x＋12＝x，解得x＝4，∴y＝4，∴点C（4，4）；②当y＝0时，−2x＋12＝0，∴x＝6，∴A（6，0），∴OA＝6，∴△OAC的面积为；（2）解：∵C（4，4），∴，当OC＝OP＝ 时，点P（，0）或（，0），当CO＝CP时，点P（8，0），当PO＝PC时，点P（4，0），综上：点P（4，0）或（8，0）或（，0）或（－，0）；（3）解：PM＋PN的值不变，连接OP，作AH⊥OC于H，∵OF平分∠AOC，∴∠AOE＝∠COE，∵OF⊥AB，∴∠AEO＝∠CEO，∵OE＝OE，∴△AOE≌△COE（ASA），∴OA＝OC＝4，∵，∴OC×AH＝OC×PN＋OC×PM，∴PN＋PM＝AH，∵直线OC的解析式为y＝x，∴∠AOC＝45°，∴，∴．∴PM＋PN的值不变，为．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了两条直线的交点问题，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，利用全等证明OA＝OC＝4是解题的关键．11．（2022·福建厦门·八年级期末）厦门市同安区A、B两村生产龙眼，A村生产的龙眼重量为200吨，B村生产的龙眼重量为300吨．现将这些龙眼运到C、D两个冷藏仓库，已知C仓库可存储240吨，D仓库可存储260吨；从A村运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B村运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元设从A村运往C仓库的龙眼重量为x吨，A、B两村运往两仓库的龙眼运输费用的分别为元和元(1)当x为何值时，A村和B村的运输费用相等；(2)考虑到B村的经济承受能力，B村的龙眼运费不得超过4830元，在这种情况下，请问怎么样调运，才能使两村运费之和最小?求出这个最小值．【答案】(1)当x＝40时，两村费用相等；(2)从A村运往C仓库的龙眼重量为50吨，运往D仓库的龙眼重量为150吨，从B村运往C仓库的龙眼重量为190吨，运往D仓库的龙眼重量为110吨才能使两村所花运费之和最小，最少总运费是9580元．【分析】（1）由A村共有龙眼200吨，从A村运往C仓库x吨，故运往D仓库为（200﹣x）吨，故B村应往C仓库运（240﹣x）吨，剩下的为300﹣（240﹣x），化简后即可得到B村运往D仓库的吨数，由从A村运往C、D两厂的费用分别为每吨20元和25元，从B村运往C、D两厂的费用分别为每吨15元和18元，由表格中的代数式分别求得、与x之间的函数关系式；令=时，x＝40，即可解答；（2）由B村的龙眼运费不得超过4830元得出不等式，求出自变量的取值范围，再由两个函数和，根据自变量的取值范围，利用一次函数的性质求得最值．（1）解：由A村共有龙眼200吨，从A村运往C仓库x吨，剩下的运往D仓库，故运往D仓库为（200﹣x）吨，由A村已经运往C仓库x吨，C仓库可储存240吨，故B村应往C仓库运（240﹣x）吨，剩下的运往D仓库，剩下的为300﹣（240﹣x）＝（60+x）吨，∴＝20x+25（200﹣x）＝5000﹣5x，＝15（240﹣x）+18（60+x）＝3x+4680，令＝时，5000﹣5x＝3x+4680，解得：x＝40，∴当x＝40时，两村费用相等；（2）由≤4830，得3x+4680≤4830，解得x≤50，设A、B两村运费之和为y，则y＝+＝5000﹣5x+3x+4680＝﹣2x+9680，∵﹣2＜0，∴y随着x的增大而减小，又0≤x≤50，∴当x＝50时，y有最小值，最小值是y＝﹣2×50+9680＝9580（元），200﹣50＝150，240﹣50＝190，60+50＝110．答：从A村运往C仓库的龙眼重量为50吨，运往D仓库的龙眼重量为150吨，从B村运往C仓库的龙眼重量为190吨，运往D仓库的龙眼重量为110吨才能使两村所花运费之和最小，最少总运费是9580元．【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式应用，能把实际问题转化成数学问题是解此题的关键．12．（2022·辽宁大连·八年级期末）如图1，直线交y轴于点C，交x轴于点A，直线交x轴于点B，直线，交于点D．(1)求点D坐标：(2)垂直于x轴的x＝a分别与，交于E，F，若EF＝8，求a的值；(3)如图2，若，连接CM，BC，在线段BC上存在点N，使，求点N坐标．【答案】(1)(2)4或−2(3)【分析】（1）将两直线的函数表达式联立求解即可求出点D的坐标；（2）将x=a分别代入两直线的函数表达式即可求出点E和点F的坐标，根据EF=8将纵坐标相减等于8即可；（3）过点M作MP⊥AC于点P，过点D作DG⊥y轴于点G，过点N作NQ⊥x轴于点Q，根据函数表达式可求出点A、C、B的坐标，根据点的坐标可求出CD和PM的长度，再证明△PMC≌△DCN，最后求出点N的坐标即可．（1）联立两直线的函数表达式得：，解得：，∴（2）当x＝a时，；当x＝a时，∵EF＝8，∴，∴∴a＝4或a＝−2；（3）过点M作MP⊥AC于点P，过点D作DG⊥y轴于点G，过点N作NQ⊥x轴于点Q，当y＝0时，0＝x＋4∴x＝−4，∴，同理当x＝0时，y＝4，∴，∴OA＝OB＝OC∵∠AOC＝∠BOC＝90°，∴∠OAC＝∠OCA＝∠OBC＝∠OCB＝45°，AC＝BC，∴∠ACB＝∠DCN＝90°∵MP⊥AC，∴∠APM＝90°，∴∠PAM＝∠AMP＝45°，∵M（－2，0），∴AM＝2，∴，∵，，∴CG＝DG＝1，∵DG⊥y轴，∴，∠DCN＝90°，∴CD＝PM∵∠MPC＝∠DCN＝90°，∠DNC＝∠PCM，∴△PMC≌△CDN，∴CP＝CN∵AC＝BC，∴AP＝BN＝∵NQ⊥x轴，∴∠BQN＝90°，∴∠NBQ＝∠QNB＝45°∴NQ＝BQ＝1，∴OQ＝4－1＝3，∴【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练地求出直线与坐标轴的交点坐标以及两直线的交点坐标，并根据点的坐标求出需要线段的长度是解题的关键．甲商品乙商品进价（元/件）355售价（元/件）458x0125310月用水量不超过12方部分超过12方不超过18方部分超过18方部分收费标准（元/方）22.53（厘米）12471112y（斤）0.751.001.502.753.253.50