初中数学北师大版八年级上册3 平行线的判定同步测试题

这是一份初中数学北师大版八年级上册3 平行线的判定同步测试题，文件包含专题72平行线的判定与性质教师版docx、专题72平行线的判定与性质学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共67页， 欢迎下载使用。

1、了解并掌握平行线的判定公理和定理；
2、了解证明的一-般步骤；
3、理解并掌握平行线的性质公理和定理；
4、能熟练运用平行线的性质进行简单的推理证明。
知识精讲
知识点01 平行线的判定
知识点
平行线的判定
1）判定方法一：同位角相等，两直线平行
2）判定方法二：内错角相等，两直线平行
3）判定方法三：同旁内角互补，两直线平行
4）在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。即：若a⊥c，且b⊥c，则a∥b
5）平行线的传递性：若l1∥l3，l2∥l3，则l1∥l2（用共面知识可证明，此处不证）
【知识拓展1】平行公理及推论
例1．（2022·北京初二期末）已知同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中错误的是（ ）
A．如果a∥b，b∥c，那么a∥cB．如果a⊥b，b⊥c，那么a⊥c
C．如果a⊥b，b⊥c，那么a∥cD．如果a⊥b，a∥c，那么b⊥c
【答案】B
【分析】根据平行公理，平行线的判定对各选项作出图形判断即可得解．
【解析】解：A、，是真命题，故本选项不符合题意；
B、，应为a∥c，故本选项是假命题，故本选项符合题意；
C、，是真命题，故本选项不符合题意；
D、，是真命题，故本选项不符合题意．故选：B．
【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
【即学即练】
1．（2022·江苏清江浦·初二期末）下列命题中，是真命题的有（ ）
①同位角相等；②对顶角相等；③同一平面内，如果直线l1∥l2，直线l2∥l3，那么l1∥l3；④同一平面内，如果直线l1⊥l2，直线l2⊥l3，那么l1∥l3．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【分析】根据平行线的性质、对顶角、平行线的判定判断即可.
【解析】解：①两直线平行，同位角相等，原命题是假命题；②对顶角相等，是真命题；
③同一平面内，如果直线l1∥l2，直线l2∥l3，那么l1∥l3；是真命题；
④同一平面内，如果直线l1⊥l2，直线l2⊥l3，那么l1∥l3，是真命题；故选：D.
【点睛】此题靠平行线的性质、对顶角的性质、平行线的判定定理，正确掌握各知识点是解题的关键.
【知识拓展2】平行线的判定
例2．（2022·辽宁·丹东市七年级期末）如图，下列结论不成立的是（ ）
A．如果∠1＝∠3，那么 B．如果∠2＝∠4，那么
C．如果∠1+∠2+∠C＝180°，那么 D．如果∠4＝∠5，那么
【答案】D
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
【详解】A．如果∠1＝∠3，那么能得到，故本选项结论成立，不符合题意．
B．如果∠2＝∠4，那么能得到，故本选项结论成立，不符合题意．
C．如果∠1+∠2+∠C＝180°，能得到，故本选项结论成立，不符合题意．
D．如果∠4＝∠5，那么不能得到，故本选项结论不成立，符合题意．故选：D．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
【即学即练】
2．（2022·广西·柳州市七年级阶段练习）如图，下面哪个条件不能判断的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由平行线的判定定理求解判断即可．
【详解】解：A．由，根据内错角相等，两直线平行可判定，故A不符合题意；
B．由，根据同位角相等，两直线平行可判定，故B不符合题意；
C．由，根据同旁内角互补，两直线平行可判定，不能判定，故C符合题意；
D．由，根据同旁内角互补，两直线平行可判定，故D不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握“内错角相等，两直线平行”、“同位角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．
【知识拓展3】平行线的判定（实际背景）
例3．（2022·浙江台州·七年级期末）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平行( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】因为∠2是直角，只要找出与∠2互为同位角、内错角、同旁内角的其他角，根据平行线的判定定理判定即可得到正确答案．
【详解】因为∠2是直角，∠4和∠2是同位角，如果度量出，
根据“同位角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，
∠5和∠2是内错角，如果度量出，
根据“内错角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，
∠3和∠2是同旁内角，如果度量出，
根据“同旁内角互补，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，所以答案为：A．
【点睛】本题考查两直线平行的判定定理，解决本题的关键是熟练的掌握平行线的判定定理．
【即学即练】
3．（2022·河南·郑州七年级阶段练习）如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（ ）
A．如图1，展开后测得∠1=∠2B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C．如图3，测得∠1=∠2D．在图4中，展开后测得∠1+∠2=180°
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答．
【详解】A、 当∠1=∠2时，内错角相等，两直线平行，所以；
B、由∠1=∠2且∠3=∠4可得∠1=∠2=∠3=∠4=90∘，所以；
C、∠1=∠2不能判定a，b互相平行；
D、∠1+∠2=180°时，同旁内角互补，两直线平行，所以．故选：C．
【点睛】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
4．（2022·江苏·南京七年级期中）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，现将木棒a、b同时顺时针旋转一周，速度分别为18度/秒和3度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则___________秒后木棒a，b平行．
【答案】2或14或50或110
【分析】设t秒后木棒a，b平行，分四种情况讨论：当秒时，当时，当时，当时，即可求解．
【详解】解：设t秒后木棒a，b平行，根据题意得：
当秒时，，解得：t=2；
当时，，解得：t=14；
当时，木棒a停止运动，
当时，，解得：t=-10；（不合题意，舍去）
当时，或，解得：t=50或t=110；
综上所述，2或14或50或110秒后木棒a，b平行．
故答案为：2或14或50或110
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，明确题意，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
知识点02 平行线的性质
知识点
平行线的性质
1）两直线平行，同位角相等; 2）两直线平行，内错角相等; 3）两直线平行，同旁内角互补
注： = 1 \* GB3 ①仅当两直线平行式，3类角才有数量关系；当两直线不平行是，3类角只有位置关系，没有大小关系。
【知识拓展1】平行线的性质
例1．（2022·上海·七年级期中）如图，AB∥CD，EF⊥DB，垂足为点E，则∠1与∠2的关系是_____________．
【答案】∠1+∠2＝90°或互余
【分析】根据平行线的性质可得∠2＝∠CDE，根据垂直的定义可得∠1+∠FDE＝90°，即可求解．
【详解】解：∵AB∥CD，∴∠2＝∠CDE．
∵EF⊥BD，∴∠FED＝90°．∴∠1+∠FDE＝90°．∴∠1+∠2＝90°．
故答案为：∠1+∠2＝90°或互余．
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
【即学即练1】
1．（2022·广西贵港·七年级期末）如图，∠C=90°，∠CAB=30°，AD∥BE，∠DAE=120°．给出以下结论：①∠2=∠EAB；②CA平分∠DAB；③∠1+∠2=90°；④BC∥AE．其中正确的结论有______．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①③##③①
【分析】先由∠BAC=30°、∠C=90°得到∠ABC=60°，从而得到∠ABE+∠2=120°，再利用平行线的性质得到∠2=∠EAB；再结合∠BAC=30°、∠DAE=120°得到∠EAB+∠1=90°，进而得到∠1+∠2=90°；由∠1+∠EAB=90°得到∠1=90°-∠EAB，然后由∠EAB的度数不固定得到∠1不一定等于30°，即∠1=∠BAC不一定成立，进而得到CA不一定平分∠DAB；同理可知∠2=60°不一定成立．
【详解】解：∵∠BAC=30°，∠C=90°，∴∠ABC=60°，
∴∠ABE+∠2=180°-∠ABC=180°-60°=120°，∵AD∥BE，∴∠ABE=∠BAD，
∵∠DAE=120°，∴∠BAD+∠EAB=120°，即∠ABE+∠EAB=120°，
∴∠2=∠EAB，故①正确，符合题意；
∵∠BAC=30°，∠DAE=120°，∴∠EAB+∠1=90°，
∵∠EAB=∠2，∴∠1+∠2=90°，故③正确，符合题意；
∵∠1+∠EAB=90°，∴∠1=90°-∠EAB，∴∠1的大小随∠EAB的大小变化而变化，
∵∠EAB的度数不固定，∴∠1=30°不一定成立，即∠1=∠BAC不一定成立，
∴AC不一定平分∠DAB，故②错误，不符合题意；
同理可知，∠2=60°不一定成立，∴BC∥AE不一定成立，故④错误，不符合题意．故答案为：①③．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟知平行线的性质．
【知识拓展2】平行线的性质与判定（实际背景）
例2．（2022·贵州·八年级阶段练习）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，．当为（ ）度时，与平行．
A．16B．60C．66D．114
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
【详解】解：∵，都与地面l平行，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴当时，．故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
【即学即练2】
2．（2022·江苏·泰兴市济川初级中学七年级阶段练习）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有∠1＝∠2．
(1)如图2，已知镜子MO与镜子ON的夹角∠MON＝90°，请判断入射光线AB与反射光线CD的位置关系，并说明理由；
(2)如图3，有一口井，已知入射光线AO与水平线OC的夹角为50°，当平面镜MN与水平线OC的夹角为 °，能使反射光线OB正好垂直照射到井底；
(3)如图4，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射线AB、CD分别绕A点、C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线AB转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．
【答案】(1)ABCD，理由见解析 (2)65或115
(3)在射线AB转动一周的时间内，存在时间t，使得CD与AB平行，其t=10s或100s．
【分析】（1）计算∠ABC+∠BCD的值便可得出结论；
（2）先计算出∠AOB，进而得∠AOM+∠BON的值，再根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，得出结果；
（3）分四种情况讨论：当0s≤t≤20s时，当20s＜t≤40s时，当40s＜t≤80s时，当80s＜t≤120s时，根据角度大小变化关系锁确ABCD时的t值．
（1）解： ABCD．理由如下：
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠ABC=180°-∠1-∠2=180°-2∠2，∠BCD=180°-∠3-∠4=180°-2∠3，
∴∠ABC+∠BCD=360°-2（∠2+∠3），
∵∠BOC=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB∥CD；
（2）解：∵∠AOC=40°，∠BOC=90°，
∴∠AOM+∠BON=180°-90°=40°=50°，
∵∠AOM=∠BON，
∴∠AOM=∠BON=25°，
∴∠COM=25°+40°=65°，∠CON=25°+90°=115°，
∴当平面镜MN与水平线OC的夹角为65°或115°时，能使反射光线OB正好垂直照射到井底，
故答案为：65或115；
（3）解：①当0s≤t≤20s时，如下图，
若ABCD，则∠BAC=∠ACD，
即120+3t=140+t，
解得t=10，
∴当t=10s时ABCD；
②当20s＜t≤40s时，如下图，
有∠BAE＜90°＜∠ACD，则AB与CD不平行；
③当40s＜t≤80s时，如下图，
有∠BAC＜∠ACD，AB与CD不平行；
④当80s＜t≤120s时，如下图，
若ABCD，则∠BAC=∠DCF，
即3t-240=t-40，
解得t=100，
∴当t=100s时，ABCD；
综上可知，在射线AB转动一周的时间内，存在时间t，使得CD与AB平行，其t=10s或100s．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，关键是应用分类讨论思想解决问题．
【知识拓展3】平行线的性质与判定综合
例3．（2022·湖北·十堰市北京路中学七年级期中）如图，AECF，∠ACF的平分线交AE于点B，G是CF上的一点，∠GBE的平分线交CF于点D，且BD⊥BC，下列结论：①BC平分∠ABG；②ACBG；③与∠DBE互余的角有2个；④若∠A=α，则∠BDF=180°−．其中正确的有（ ）
A．①②B．②③④C．①②④D．①②③④
【答案】C
【分析】根据平行线的性质得出∠A和∠ACB的关系，再根据角平分线的性质找出图中相等的角，由等角的余角相等即可得出结论．
【详解】解：∵CBD=90°，
∴∠ABC+∠EBD=90°，∠CBG+∠DBG=90°，
又∵∠DBG=∠EBD，
∴∠ABC=∠CBG，
∴BC平分∠ABG，故①正确；
∵AECF，
∴∠ABC=∠BCG，
∵BC平分∠ACF，
∴∠ACB=∠BCG，
∵∠ABC=∠CBG，
∴∠CBG=∠ACB，
∴ACBG，故②正确，
∵AECF，
∴∠DBE=∠BDG，
∵∠ABC=∠CBG=∠ACB=∠BCG，∠DBE=∠DBG=∠BDG
∴与∠DBE互余的角有∠ABC，∠GBC，∠ACB，∠GCB，有4个，
故③错误，
∵∠BDF=180°-∠BDG，∠BDG=90°-∠BCG=90°-∠ACB，
又∵∠ACB=×（180°-α）=90°-，
∴∠BDF=180°-[90°-（90°-）]=180°-，故④正确，
综上，正确的有①②④．
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，关键是要牢记平行线的三个性质，即两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补．
【即学即练】
3．（2022·陕西·西安市雁塔区第二中学七年级阶段练习）问题情境：如图1，，，，求的度数．
小明的思路是：过作，通过平行线性质来求．
(1)按小明的思路，易求得的度数为___________度；（直接写出答案）
(2)问题迁移：如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由；
(3)在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请写出与、之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)110
(2)，见解析
(3)，见解析
【分析】（1）根据平行线的性质，同旁内角互补，进行计算即可；
（2）过点作，利用平行线的判定和性质即可得解；
（3）根据分别在的延长线上和在的延长线上分类讨论，利用平行线的判定和性质进行求解即可．
（1）
解：过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴．
（2）
解：，
理由：如图2，过作交于，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）
解：如图所示，当在延长线上时，
过点作交于，则，
∴，，
∴；
如图所示，当在延长线上时，
过点作交于，则，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查利用平行线的判定和性质证明角之间的关系．熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．平行线中遇到拐点问题，通常过拐点作平行线进行解题．
【知识拓展4】平行线的性质判定与角平分线综合
例4．（2022·湖北武汉·七年级期中）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC．则下列结论：①；②GK平分∠AGC；③；④∠MGK＝16°．其中正确结论的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理得到，故①正确；由平行线的性质得到∠AGK=∠CKG，等量代换得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正确；根据平行线同旁内角互补得，再根据题目已知∠CKG＝∠CGK，得，又根据，得，但根据现有条件无法证明GD=GC，故③错误；设∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=α+β，根据角平分线的性质即可得到结论．
【详解】解：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，
∴∠EAD=∠B，∴，故①正确；∴∠AGK=∠CKG，
∵∠CKG=∠CGK，∴∠AGK=∠CGK，∴GK平分∠AGC；故②正确；
∵，∴，
∵∠CKG＝∠CGK，∴，∴，
又∵，∴，∴，
要使，就要使且，∴就要GD=GC，
但题目没给出这个条件且利用现有条件也无法证明GD=GC，∴故③错误；
设∠AGM=α，∠MGK=β，∴∠AGK=α+β，
∵GK平分∠AGC，∴∠CGK=∠AGK=α+β，
∵GM平分∠FGC，∴∠FGM=∠CGM，
∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，
∴37°+α=β+α+β，∴β=18.5°，
∴∠MGK=18.5°，故④错误，故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，对顶角性质，正确的识别图形是解题的关键．
【即学即练】
4．（2022·黑龙江·七年级期中）点E在射线DA上，点F、G为射线BC．上两个动点，满足∠DBF＝∠DEF，∠BDG＝∠BGD，DG平分∠BDE．（1）如图，当点G在F右侧时，求证：；
（2）如图，当点G在BF左侧时，求证：；
（3）如图，在（2）的条件下，P为BD延长线上一点，DM平分∠BDG，交BC于点M，DN平分∠PDM，交EF于点N，连接NG，若DG⊥NG，，求∠B的度数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）60°
【分析】（1）根据角平分线的定义即可得到∠BDG＝∠ADG，从而可得∠ADG＝∠DGB，则，可得∠DEF＝∠EFG，即可得到∠DBF＝∠EFG，从而证明；
（2）过点G作交AD于K，则，可得∠BDG＝∠DGK，∠GEF＝∠KGE，即可得到∠DGE＝∠BDG＋∠FEG；
（3）设，则，，由角平分线的定义可得，然后分别求出，，进行求解即可．
【详解】解：（1）∵DG平分∠BDE，∴∠BDG＝∠ADG，
又∵∠BDG＝∠BGD，∴∠ADG＝∠DGB，∴，∴∠DEF＝∠EFG，
∵∠DBF＝∠DEF，∴∠DBF＝∠EFG，∴；
（2）过点G作交AD于K，同理可证，
∴，∴∠BDG＝∠DGK，∠GEF＝∠KGE，
∴∠DGE＝∠DGK＋∠KGE，∴∠DGE＝∠BDG＋∠FEG；
（3）设，则，，，∵DN平分∠PDM，∴，
∴，，
∵DG⊥NG，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义，余角的计算，解题的关键在于能够熟知平行线的性质与判定条件．
能力拓展
考法01 平行线中的辅助线添加问题
【典例1】（2022·广东·广州九年级开学考试）下列各图中，当a∥b时，符合∠1＝∠2+∠3关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质，以及三角形的外角性质，进行计算即可解答．
【详解】解：A.如图：
∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD=∠1+∠3，
∵ab，∴∠ACD=∠2，
∴∠2=∠1+∠3，故A不符合题意；
B.如图：延长AD交BF于点C，
∵ab，∴∠1=∠ACF，
∵∠ACF=∠3+∠2，∴∠1=∠3+∠2，故B符合题意；
C.如图：过点A作ABa，
∴∠2+∠CAB=180°，
∵ab，∴ABb，∴∠1+∠BAD=180°，
∴∠2+∠CAB+∠1+∠BAD=360°，
∴∠1+∠2+∠3=360°，故C不符合题意；
D.如图：延长DA交直线b于点C，
∵ab，∴∠2=∠DCB，
∵∠3=∠1+∠DCB，∴∠3=∠1+∠2，故D不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
变式1．（2022·天津红桥·七年级期末）如图，已知，，，则________度．
【答案】120
【分析】过E作一条直线，根据题意，得；根据平行线同旁内角互补的性质，推导得，再根据平行线内错角相等的性质计算，即可得到答案．
【详解】解：过E作一条直线，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴
又∵，
∴．
故答案为：120．
【点睛】本题考查了平行线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线的性质，从而完成求解．
变式2．（2022·河北·武邑武罗学校七年级期末）【发现】如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC．
(1)当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB与CD的位置关系是______；
当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB与CD的位置关系是______；
当∠EAC+∠ACE＝90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
(2)【探究】如图2，AB∥CD，M是AE上一点，∠AEC＝90°保持不变，移动顶点E，使CE平分∠MCD，∠BAE与∠MCD存在怎样的数量关系？并说明理由，
(3)【拓展】如图3，AB∥CD，P为线段AC上一定点，Q为直线CD上一动点，且点Q不与点C重合．直接写出∠CPQ+∠CQP与∠BAC的数量关系．
【答案】(1)AB∥CD；AB∥CD；AB∥CD，理由见解析
(2)∠BAE+∠MCD＝90°，理由见解析
(3)∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°
【分析】（1）由角平分线的定义得∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，则∠BAC+∠ACD＝180°，可得结论AB∥CD；
（2）过点E作EF∥AB，利用平行线的性质可得答案；
（3）利用平行线的性质和三角形内角和定理可得答案．
（1）
解：当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＝∠ACE＝45°，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD，
故答案为：AB∥CD；
当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＝50°，∠ACE＝40°
∴∠BAC＝100°，∠ACD＝80°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD，故答案为：AB∥CD；
当∠EAC+∠ACE＝90°，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴AB∥CD；
（2）
解：∠BAE+∠MCD＝90°，理由如下：
过点E作EF∥AB，如图所示，
∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，
∵∠AEC＝90°，∴∠AEF+∠FEC＝∠BAE+∠ECD＝90°，
∵CE平分∠MCD，
∴∠ECD＝∠MCD，
∴∠BAE+∠MCD＝90°；
（3）解：分两种情况分类讨论，
第一种情况如图，当点Q在射线CD上运动时，∠BAC＝∠PQC+∠QPC，
理由：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，∴EP∥AB∥CD，
∴∠BAC＝∠EPC，∠PQC＝∠EPQ，
∵∠EPC＝∠EPQ+∠QPC
∴∠BAC＝∠PQC+∠QPC；
第二种情况如图，当点Q在射线CD的反向延长线上运动时（点C除外）∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，
理由：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠PCQ，
∵∠PQC+∠QPC +∠PCQ＝180°，
∴∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，
综上，∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键需要根据题意作出相关的辅助线，运用数形结合的思想方法，从图形中寻找角之间的位置关系，根据平行线的性质从而判断角之间的大小关系，同时注意运用分类讨论的思想方法．
分层提分
题组A 基础过关练
1．（2022·山东烟台·期中）2022年北京冬奥会男子500米短道速滑冠军高亭玉在一次速滑训练中，经过两次拐弯后的速滑方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次向左拐52°，第二次向右拐52°B．第一次向左拐48°，第二次向左拐48°
C．第一次向左拐73°，第二次向右拐107°D．第一次向左拐32°，第二次向左拐148°
【答案】D
【分析】两次转弯后行进的方向与原来相反，说明两次转弯的方向相同，而且一共转过了180°，由此求解即可．
【详解】∵经过两次拐弯后的速滑方向与原来的方向相反，
∴两次转弯的方向相同，而且一共转过了180°，
∴A、两次转弯方向相反，故不符合题意；
B、，故不符合题意；
C、两次转弯方向相反，故不符合题意；
D、两次转弯的方向相同，，一共转过了180°，符合题意．故选：D．
【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定方法．平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．平行线的判定：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
2．（2022·山东·夏津县七年级阶段练习）下列命题错误的是（ ）
A．所有的实数都可用数轴上的点表示 B．无理数包括正无理数，0，负无理数
C．在同一平面内，如果，，则 D．在同一平面内，如果，，则
【答案】B
【分析】根据实数与数轴上的点一一对应可判断选项A；根据无理数的分类可判断选项B；根据同一平面内垂直于同一直线的两直线平行判断选项C；根据同一平面内平行于同一直线的两直线平行判断选项D．
【详解】A. 所有的实数都可用数轴上的点表示，说法正确，不符合题意；
B. 0是有理数，该选项说法错误，符合题意；
C. 在同一平面内，如果，，则，说法正确，不符合题意；
D. 在同一平面内，如果，，则，说法正确，不符合题意．故选：B．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴、无理数的分类、平行公理的推论以及平面内两直线的位置关系等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
3．（2022·广东广雅中学花都校区七年级期中）如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中不能判断（ ）
A．∠3＝∠4B．∠1＝∠2C．∠D＝∠DCED．∠D+∠ACD＝180°
【答案】B
【分析】根据平行线的判定，逐项判断即可求解．
【详解】解：A．因为∠3＝∠4，所以，故本选项不符合题意；
B．因为∠1＝∠2，所以，不能判断，故本选项符合题意；
C．因为∠D＝∠DCE，所以，故本选项不符合题意；
D．因为∠D+∠ACD＝180°，所以，故本选项不符合题意；故选：B
【点睛】本题考查了平行线的判定的应用，能熟记平行线的判定定理是解此题的关键，注意：平行线的判定有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行．
4．（2022·广东·深圳市布心中学七年级期末）如图，已知直线a、直线b和直线c均为直线l所截，∠1=68°，∠2=68°，∠3=112°．

（1）因为∠1=68°，∠2=68°（已知），所以∠1=∠2（等量代换），所以___________（同位角相等，两直线平行）．
（2）因为∠3+∠4=180°（邻补角定义)，∠3=112°，所以∠4=68°．
又因为∠2=68°，所以∠2=∠4（等量代换），所以_____________（同位角相等，两直线平行）．
【答案】 a b b c
【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行直接作答即可；
（2）根据邻补角互补先求出∠4，再根据同位角相等，两直线平行作答即可．
【详解】解：（1）∵∠1=68°，∠2=68°，∴∠1=∠2，
∴，故答案为：a，b；
（2）∵∠3+∠4=180°，3=112°，∴∠4=68°，
∵∠2=68°，∴∠2=∠4，
∴，故答案为：b，c．
【点睛】本题主要考查了同位角相等，两直线平行的知识，平行的判定：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④垂直于同一直线的两条直线平行．
5．（2022·北京市第三十九中学七年级期中）如图，利用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线，这种画法依据的是______．
【答案】同位角相等，两直线平行
【分析】利用同位角相等，两直线平行画一条直线与原直线平行．
【详解】解：在图中画两个相等的同位角，则可判断所画直线与原直线平行．
故答案为同位角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
6．（2022·湖北武汉·七年级期末）如图，一个弯形管道，若它的两个拐角，，则管道．这里用到的推理依据是_________．
【答案】同旁内角互补，两直线平行
【分析】由已知∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，即∠ABC＋∠BCD＝120°＋60°＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行即可得到．
【详解】解：∵∠ABC＝120°，∠BCD＝60°
∴∠ABC＋∠BCD＝180°，
∴（同旁内角互补，两直线平行），
故答案为：同旁内角互补，两直线平行．
【点睛】本题考查的是平行线的判定，解答本题的关键是掌握平行线的判定定理：同旁内角互补，两直线平行．
7．（2022·辽宁丹东·七年级期末）如图，，与互补，当，时，的度数为______．
【答案】16°#16度
【分析】已知∠ABD＝∠EFD，根据平行线的判定可得AB∥EF；已知∠FEC与∠ECD互补，根据平行线的判定可得EF∥CD，进而可得AB∥CD，最后根据∠FEC＝150°，∠ABC＝46°可得∠BCE的度数．
【详解】解：∵∠ABD＝∠EFD，
∴AB∥EF，
∵∠FEC与∠ECD互补，∠FEC＝150°，
∴EF∥CD，
∴∠ECD＝180°−150°＝30°，AB∥CD，
∴∠BCD＝∠ABC，
∵∠ABC＝46°，
∴∠BCD＝46°，
∴∠BCE＝∠BCD−∠ECD＝46°−30°＝16°．
故答案为：16°．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并能熟练运用．
8．（2022·浙江温州·七年级期中）如图，直线l分别与直线AB、CD相交于点E、F，EG平分交直线CD于点G，若，则______°．
【答案】30
【分析】先根据，得出，根据EG平分，得出，最后根据平行线的性质，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
EG平分，
∴，
．
故答案为：30．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握两直线平行内错角相等，同位角相等，两直线平行，是解题的关键．
9．（2022·浙江·温州七年级阶段练习）如图，在中，于点，点在上，且，点在直线上，交直线于点．
(1)当点在线段的延长线上时，判断与的大小关系，并说明理由．
(2)当点在射线上，且时，请直接写出的度数．
【答案】(1)
(2)或．
【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行，得，推出；根据，得，推出，等量代换，即可；
（2）分类讨论点在线段上和点在射线上，根据平行线的性质，邻补角互补，即可求出的角度．
（1）
解：
理由如下：
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴．
（2）
当点在线段上，如图
由（1）得，，
∴，
∴
∵
∴
∴；
当点在射线上，如图
∵，
∴，
∴
∵
∴
∴或．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，分类讨论的位置．
10．（2022·湖北黄冈·八年级月考）已知：如图，点E在线段CD上，EA、EB分别平分∠DAB和∠ABC，∠AEB＝90°，设AD＝x，BC＝y，且（x﹣2）2＋|y﹣5|＝0．
（1）求AD和BC的长．（2）试说线段AD与BC有怎样的位置关系？并证明你的结论．
（3）你能求出AB的长吗？若能，请写出推理过程，若不能，说明理由．
【答案】（1），；（2），见解析；（3）能，见解析
【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性即可得出AD、BC的长度；（2）根据题意证明即可得出结果；（3）延长交直线于，先证明△AEB≌△FEB，然后证明，
即可得出结果．
【详解】解：（1），，，解得，，即，；
（2）．理由如下：、分别平分和，
，，，
，，，；
（3）能．理由如下：延长交直线于，如图，

，，而，，
在△AEB和△FEB中，
∴△AEB≌△FEB（AAS），AE＝EF．
在△ADE和△FCE中，
，，．
【点睛】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，角平分线的定义，平行线的判定，全等三角形的判定与性质，熟知相关性质定理是解本题的关键．
题组B 能力提升练
1．（2022·四川·泸州市七年级阶段练习）如图，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠1，且∠1＋∠2＝180°。则下列结论：①CEBF；②∠A＝∠D；③ABCD；④∠C＝∠B，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】根据邻补角互补和平行线的判定可得，欲证明，只需推知即可；由平行四边形的判定与性质可知．
【详解】证明：∵∠1＋∠2＝180°，
又∵∠CGD＋∠2＝180°，
∴∠CGD＝∠1，
∴，故①正确；
∵∠A＝∠AGE，∠D＝∠1=∠DGC，
又∵∠AGE＝∠DGC，
∴∠A＝∠D，故②正确；
∴，故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确．
综上分析可知，正确的结论有4个，故D正确．故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，补角的性质，对顶角性质，解题的关键是熟练掌握平行的判定和性质，找出相应的同位角、内错角和同旁内角．
2．（2022·浙江·嘉兴一中七年级期中）小明、小亮、小刚、小颖一起研究一道数学题，如图，BD⊥AC与点D，点E是BC边上的一动点，过E作EF⊥AC与点F，点G在AB上，连DG，GE．
小明说：“如果还知道∠GDB＝∠FEC，则能得到∠AGD＝∠ABC．”
小亮说：“如果∠AGD＝∠ABC，可得到∠GDB＝∠FEC．”
则下列判断正确的是（ ）
A．小明说法正确，小亮说法错误B．小明说法正确，小亮说法正确
C．小明说法错误，小亮说法正确D．小明说法错误，小亮说法错误
【答案】B
【分析】由题意易得BD∥EF，则有∠DBC=∠FEC，由∠GDB=∠FEC可得∠DBC=∠GDB，则有GD∥BC，进而问题可求解．
【详解】解：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴BD∥EF，∴∠DBC=∠FEC，
当∠GDB＝∠FEC时，则有∠DBC=∠GDB，
∴GD∥BC，∴∠AGD＝∠ABC；
当∠AGD＝∠ABC时，则有GD∥BC，
∴∠DBC=∠GDB，∴∠GDB＝∠FEC，
∴小明与小亮的说法都正确；故选B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
3．（2022·陕西商洛·七年级期末）如图，在三角形ABC中，，平分，，，以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义、余角的性质等来判断即可．
【详解】解：∵AH⊥BC，EF∥BC，
∴AH⊥EF，故①正确；
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵EF∥BC，
∴∠EFB＝∠CBF，
∴∠ABF＝∠EFB，故②正确；
∵BE⊥BF，而AC与BF不一定垂直，
∴BE∥AC不一定成立，故③错误；
∵BE⊥BF，
∴∠E和∠EFB互余，∠ABE和∠ABF互余，而∠EFB＝∠ABF，
∴∠E＝∠ABE，故④正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及余角的性质等的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
4．（2022·浙江杭州·七年级期末）如图，已知∥，，分别平分和，且交于点，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点作，利用平行线的性质可证得，可以得到与的关系
【详解】解：过点作，如图：

，
∴CD∥EM ，
∴
∵的平分线与的平分线相交于点，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
整理得：．故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意数形结合思想的运用．
5．（2022·河北石家庄·七年级期中）用两个完全一样的含30°角的三角尺画平行线，下列画出的直线a与b不一定平行的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用平行线的判定定理即可得到结论．
【详解】解：．根据同位角相等，两直线平行得到；故不符合题意；
B．根据内错角相等，两直线平行得到，故不符合题意；
C．画出的直线与不一定平行；故符合题意；
D．根据内错角相等，两直线平行得到；故不符合题意；故选C．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
6．（2022·石家庄市初一期中）①如图1,AB∥CD,则∠A +∠E +∠C=180°；②如图2,AB∥CD,则∠E =∠A +∠C;③如图3,AB∥CD,则∠A +∠E－∠1=180° ； ④如图4,AB∥CD,则∠A=∠C +∠P.以上结论正确的个数是( )

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】①如图1，过点E作EF∥AB，
因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，所以∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，
所以∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①错误；
②如图2，过点E作EF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，所以∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，
所以∠A+∠C=∠AEC+∠AEF=∠AEC，则②正确；
③如图3，过点E作EF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，所以∠A+∠AEF=180°，∠1=∠CEF，所以∠A+∠AEC-∠1=∠A+∠AEC-∠CEF=∠A+∠AEF=180°，则③正确；
④如图4，过点P作PF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥PF∥CD，
所以∠A=∠APF，∠C=∠CPF，所以∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，则④正确；故选C.
7．（2022·北京延庆·七年级期末）已知：在同一平面内，三条直线a，b，c．下列四个命题为真命题的是_____________．（填写所有真命题的序号）
①如果ab，，那么； ②如果，，那么；
③如果ab，cb，那么ac； ④如果，，那么bc．
【答案】①③④
【分析】分别根据每种情况画出符合条件的图形，再结合垂直的定义，平行线的判定逐一判断即可．
【详解】解：如图，ab，，
则，故①符合题意；
如图，，，
则 故②不符合题意；④符合题意；
如图，ab，cb，
则ac；故③符合题意；故答案为：①③④
【点睛】本题考查的是平面内直线与直线的位置关系，平行线的性质，垂直的定义，命题真假的判断，掌握“平行公理，平面内垂直于同一直线的两直线平行”是解本题的关键．
8．（2022·河南郑州·七年级期末）利用如图所示的方法，可以折出“过已知直线外一点和已知直线平行”的直线，请说明其中的道理______．
【答案】内错角相等，两直线平行（答案不唯一）
【分析】由题意可得，，利用内错角相等，两直线平行可得，从而得解．
【详解】解：如图，
由题意得：，，
∵与是内错角，故（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：内错角相等，两直线平行．（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是对平行线的判定条件的掌握与灵活运用．
9．（2022·太原初一月考）如图所示，点，分别在，上，，，，，则，，之间满足的关系式是______．
【答案】
【分析】过B作BH∥DF，由 DF//EG，可知BH∥EG，由平行线∠ABH=∠ADF=α，∠CBH=∠CEG=β，由∠ABC=∠ABH+∠CBH即可的结论．
【解析】过B作BH∥DF，∵DF//EG，∴BH∥EG，∵DF//EG，∴∠ABH=∠ADF=α
∵BH∥EG，∠CBH=∠CEG=β ．
．故答案为：
【点睛】本题考查三个角之间的关系问题，掌握利用平行线把两角和问题转化为与之相等的两角是关键．
10．（2022·山东·德州市第五中学七年级期中）（1）如图1，直线l1l2，直线EF与l1和l2分别相交于C、D两点，点P在线段CD上（不与C、D重合）运动，A、B分别是直线l1和l2上两个定点，连接A、P和B、P，直接写出∠1，∠2，∠3之间的数量关系： ；
（2）若点P运动到射线DF上，∠1，∠2，∠3之间的数量关系怎样？写出结论，并证明．
（3）若点P运动到射线CE上，请在图3中画出图形并直接写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系？
【答案】（1）∠2＝∠3+∠1，证明见解析；（2）∠1＝∠2+∠3，理由见解析；（3）图见解析，∠PBD＝∠BPA+∠PAC，理由见解析
【分析】（1）如图1中．延长BP交AC于H，利用平行线的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题．
（2）分点P在射线DF上时及点P在射线CE上时两种情况进行讨论，再利用平行线的性质以及三角形的外角的性质进行证明即可；
（3）结论：∠PBD＝∠BPA+∠PAC，利用平行线的性质以及三角形的外角的性质进行证明即可；
【详解】（1）结论：∠2＝∠3+∠1．
理由：如图1中．延长BP交AC于H，
∵BDAH，
∴∠3＝∠4，
∵∠2＝∠1+∠4，
∴∠2＝∠1+∠3，
故答案为∠2＝∠1+∠3．
（2）若点P在射线DF上时，结论：∠1＝∠2+∠3．
理由：如图2中，设AF与BD交于点H．
∵BDAC，
∴∠AHB＝∠1，
∵∠AHB＝∠2+∠3，
∴∠1＝∠2+∠3．
（3）若点P在射线CE上时，结论：∠PBD＝∠BPA+∠PAC，
理由：如图3中，设BE与CA交于点H
∵BDAC，
∴∠PBD＝∠PHC，
∵∠PHC＝∠PAC+∠BPA，
∴∠PBD＝∠BPA+∠PAC，
【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是记住平行线的性质，学会条件常用辅助线，属于中考常考题型．
题组C 培优拔尖练
1．（2022·江苏·仪征市古井中学七年级阶段练习）如图，是的角平分线，，是的角平分线，有下列四个结论： ①； ②； ③； ④．其中，正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．②③④D．①②④
【答案】D
【分析】利用，BD平分，EF平分，可以判断出①②正确；再根据 与不一定相等，再利用 与相等，可判断出③不一定正确；根据，推出与是等底等高的三角形，最后利用等式性质可得到④正确．
【详解】∵，∴，，
∵BD平分，EF平分，
∴，，
∴，，
∴，故①②正确；∴ 与不一定相等，
由题意可知，∴与不一定相等，故③错误；
∵，∴与是等底等高的三角形，
∴，∴，故④正确，
∴①②④正确．故选：D．
【点睛】此题考查了角平分线的定义，平行线的判定及性质，平行线间的距离处处相等等相关内容，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
2．（2022·浙江·杭州七年级月考）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC，则下列结论：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③∠E＋∠EAG＋∠HCK＝180°；④∠MGK的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】根据平行线的判定定理得到AD∥BC，故①正确；由平行线的性质得到∠AGK=∠CKG，等量代换得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正确；延长EF交AD于P，延长CH交AD于Q，根据平行线的性质和三角形外角的性质得到∠E+∠EAG+∠HCK=180°；故③正确；根据题意列方程得到∠FGA=∠DGH=37°，设∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=α+β，根据角平分线的定义即可得到结论．
【详解】解：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，∴∠EAD=∠B，
∴AD∥BC，故①正确；∴∠AGK=∠CKG，
∵∠CKG=∠CGK，∴∠AGK=∠CGK，
∴GK平分∠AGC；故②正确；
延长EF交AD于P，延长CH交AD于Q，
∵EF∥CH，∴∠EPQ=∠CQP，
∵∠EPQ=∠E+∠EAG，∴∠CQG=∠E+∠EAG，
∵AD∥BC，∴∠HCK+∠CQG=180°，
∴∠E+∠EAG+∠HCK=180°；故③正确；
∵∠FGA的余角比∠DGH大16°，∴90°-∠FGA-∠DGH=16°，
∵∠FGA=∠DGH，∴90°-2∠FGA=16°，
∴∠FGA=∠DGH=37°，
设∠AGM=α，∠MGK=β，∴∠AGK=α+β，
∵GK平分∠AGC，∴∠CGK=∠AGK=α+β，
∵GM平分∠FGC，∴∠FGM=∠CGM，
∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，
∴37°+α=β+α+β，∴β=18.5°，
∴∠MGK=18.5°，故④错误，故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
3．（2022·浙江·七年级期中）如图，ABCD，PG平分∠EPF，∠A+∠AHP＝180°，下列结论：①CDPH；②∠BEP+∠DFP＝2∠EPG；③∠FPH＝∠GPH；④∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°；其中正确结论是（ ）
A．①②③④B．①②④C．①③④D．①②
【答案】B
【分析】由∠A+∠AHP＝180°，可得PHAB，根据ABCD，可得ABCDPH，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论．
【详解】解：∵∠A+∠AHP＝180°，∴PHAB，
∵ABCD，∴CDPH，故①正确；
∴ABCDPH，
∴∠BEP＝∠EPH，∠DFP＝∠FPH，
∴∠BEP+∠DFP＝∠EPF，
又∵PG平分∠EPF，∴∠EPF＝2∠EPG，
∴∠BEP+∠DFP＝2∠EPG，故②正确；
∵∠GPH与∠FPH不一定相等，
∴∠FPH＝∠GPH不一定成立，故③错误；
∵∠AGP＝∠HPG+∠PHG，∠DFP＝∠FPH，∠FPH+∠GPH＝∠FPG，∠FPG＝∠EPG，
∴∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠DFP﹣∠EPG
＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠FPH﹣∠FPG＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠FPH﹣（∠FPH+∠GPH）
＝∠A+∠PHG，
∵ABPH，∴∠A+∠PHG＝180°，
即∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°．故④正确；
综上所述，正确的选项①②④，故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题的关键是注意：两直线平行，内错角相等．
4．（2022·江西·信丰七年级期末）如图，直线，被所截得的同旁内角为，，要使，只要使（ ）
A． B． C． D．，
【答案】C
【分析】由同旁内角互补两直线平行即可判定出，变形后即可得到正确的选项．
【详解】解：当，即时，，故C正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
5．（2022·山东泰安·七年级期中）在数学课上，老师要求同学们利用一副三角板任作两条平行线．小明的作法如下：
如图，（1）任取两点A，B，画直线．
（2）分别过点A，B作直线的两条垂线；则直线即为所求．
老师说：“小明的作法正确．”请回答：小明的作图依据是________________________．
【答案】在同一平面上,垂直于同一直线的两直线平行
【分析】根据在同一平面上，垂直于同一直线的两直线平行，即可求解．
【详解】解：∵
∴（在同一平面上，垂直于同一直线的两直线平行）
故答案为：在同一平面上，垂直于同一直线的两直线平行
【点睛】本题考查了平行线的判定定理，掌握在同一平面上，垂直于同一直线的两直线平行是解题的关键．
6．（2022·浙江·杭州七年级期中）将一块三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1．能判断直线mn的有__．（填序号）
【答案】①④⑤
【分析】根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，逐一判断是否可以得到m∥n，从而可以解答本题．
【详解】解：∵∠1=25.5°，∠2=55°，∠ABC=30°，
∴∠ABC+∠1=55.5°=55°=∠2，∴mn，故①符合题意；
∵∠1+∠2=90°，∠ABC=30°，∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故②不符合题意；
∵∠2=2∠1，∠ABC=30°，∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故③不符合题意； 过点C作CEm，
∴∠3=∠4，∵∠ACB=∠1+∠3，∠ACB=∠4+∠5，
∴∠1=∠5，∴ECn，∴mn，故④符合题意；
∵∠ABC=∠2-∠1，∴∠2=∠ABC+∠1，
∴mn，故⑤符合题意；故答案为：①④⑤．
【点睛】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．（2022·河南襄城·七年级月考）（1）学习了平行线以后，香橙同学想出了过一点画一条直线的平行线的新方法，她是通过折纸做的，过程如（图1）．
①请你仿照以上过程，在图2中画出一条直线b，使直线b经过点P，且，要求保留折纸痕迹，画出所用到的直线，指明结果．无需写画法：
②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的 线．
（2）已知，如图3，，BE平分，CF平分．求证：（写出每步的依据）．
【答案】（1）①见解析；②垂；（2）见解析
【分析】（1）①过点折纸，使痕迹垂直直线，然后过点折纸使痕迹与前面的痕迹垂直，从而得到直线；②步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点的直线的垂线．
（2）先根据平行线的性质得到，再利用角平分线的定义得到，然后根据平行线的判定得到结论．
【详解】（1）解：①如图2所示：
②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点的直线的垂线．故答案为垂；
（2）证明：平分，平分（已知），，（角平分线的定义），
（已知），（两直线平行，内错角相等），
（等量代换），（等式性质），
（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质与判定．
8．（2022·黑龙江·七年级期中）如图，直线AB∥直线CD，线段EF∥CD，连接BF、CF．
（1）求证：∠ABF+∠DCF＝∠BFC；（2）连接BE、CE、BC，若BE平分∠ABC，BE⊥CE，求证：CE平分∠BCD；（3）在（2）的条件下，G为EF上一点，连接BG，若∠BFC＝∠BCF，∠FBG＝2∠ECF，∠CBG＝70°，求∠FBE的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠FBE＝35°．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠ABF＝∠BFE，∠DCF＝∠EFC，进而解答即可；
（2）由（1）的结论和垂直的定义解答即可；（3）由（1）的结论和三角形的角的关系解答即可．
【详解】证明：（1）∵AB∥CD，EF∥CD，∴AB∥EF，∴∠ABF＝∠BFE，
∵EF∥CD，∴∠DCF＝∠EFC，∴∠BFC＝∠BFE+∠EFC＝∠ABF+∠DCF；
（2）∵BE⊥EC，∴∠BEC＝90°，∴∠EBC+∠BCE＝90°，
由（1）可得：∠BFC＝∠ABE+∠ECD＝90°，∴∠ABE+∠ECD＝∠EBC+∠BCE，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠ECD＝∠BCE，∴CE平分∠BCD；
（3）设∠BCE＝β，∠ECF＝γ，
∵CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠BCE＝β，
∴∠DCF＝∠DCE﹣∠ECF＝β﹣γ，∴∠EFC＝β﹣γ，
∵∠BFC＝∠BCF，∴∠BFC＝∠BCE+∠ECF＝γ+β，∴∠ABF＝∠BFE＝2γ，
∵∠FBG＝2∠ECF，∴∠FBG＝2γ，∴∠ABE+∠DCE＝∠BEC＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣β，∴∠GBE＝∠ABE﹣∠ABF﹣∠FBG＝90°﹣β﹣2γ﹣2γ，
∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE＝90°﹣β，∴∠CBG＝∠CBE+∠GBE，
∴70°＝90°﹣β+90°﹣β﹣2γ﹣2γ，整理得：2γ+β＝55°，
∴∠FBE＝∠FBG+∠GBE＝2γ+90°﹣β﹣2γ﹣2γ＝90°﹣（2γ+β）＝35°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解决本题的关键是根据平行线的性质解答．
9．（2022·湖北十堰·七年级期末）在△ABC中，∠C＝90°，AM平分∠BAC，D为直线BC上一点，DE⊥AB于点E，∠CDE的平分线交直线AC于点F．

(1)如图①，当点D在边BC上时，判断DF与AM的位置关系，并说明理由；
(2)①如图②，当点D在边BC延长线上时，则DF与AM的位置关系是______；
②如图③，当点D在边CB延长线上时，则DF与AM的位置关系是______；
(3)请就（2）中①或②中的一种情况，给出证明．
【答案】(1)DF//AM，理由见解析
(2)①DF⊥AM；②DF⊥AM．
(3)选①证明见解析；选②证明见解析．
【分析】（1）先判断出∠BAC +∠CDE = 180°，可得∠C AM + ∠CDF= 90°，进而判断出
∠CDF=∠CMA即可得出结论；
（2）①，先判断出∠BAC =∠CDE，可得∠CAM =∠CDF,进而判断出∠CDF + ∠AMC= 90°,即可得出结论解答;选②，先判断出∠BAC= ∠CDE，可得∠CAM=∠CDF，进而判断出∠CAM + ∠F = 90°,即可得解答；
（3）（2）中任选一个进行证明即可．
（1）
解：（1）DF//AM．理由如下：
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠BAC+∠CDE=360°﹣90°×2=180°，
∵AM平分∠BAC，DF平分∠CDE，
∴∠CAM=∠BAC，∠CDF=∠CDE，
∴∠CAM+∠CDF=（∠BAC+∠CDE）=90°，
又∵∠CAM+∠CMA=90°，
∴∠CDF=∠CMA，
∴BD//MF．
（2）
①∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠BAC+∠B=∠BDE+∠B=90°，
∴∠BAC=∠CDE，
∵AM平分∠BAC，DF平分∠CDE，
∴∠CAM=∠CDF，
∵∠CAM+∠AMC=90°，
∴∠CDF+∠AMC=90°，
∴DF⊥AM．
故答案为DF⊥AM．
②∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠BAC+∠B=∠BDE+∠B=90°，
∴∠BAC=∠CDE，
∵AM平分∠BAC，DF平分∠CDE，
∴∠CAM=∠CDF，
∵∠CDF+∠F=90°，
∴∠CAM+∠F=90°，
∴DF⊥AM．
故答案为DF⊥AM．
（3）
解：选②证明． 证明如下：
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠BAC+∠B=∠BDE+∠B=90°，
∴∠BAC=∠CDE，
∵AM平分∠BAC，DF平分∠CDE，
∴∠CAM=∠CDF，
∵∠CDF+∠F=90°，
∴∠CAM+∠F=90°，
∴DF⊥AM．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了角平分线的定义、同角的余角线段、平行线的判定、垂直的判定等知识点，说明∠C AM =∠CDF是解答本题的关键．