数学九年级上册2 矩形的性质与判定课时练习

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知识精讲
知识点01 矩形的概念
定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。
注意：矩形的定义的两个要素
①是平行四边形。
②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件。
知识点02 矩形的性质
矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。
1．矩形的性质定理
（1）定理1：矩形的四个角都是直角。
（2）定理2：矩形的对角线相等。
归纳：矩形的角、边、对角线的性质
（1）角：各角相等，均为90°。
（2）边：矩形的对边平行且相等，领边互相垂直。
（3）对角线：矩形的对角线互相平分且相等。
2．矩形的对称性
（1）矩形是轴对称图形，他有两条对称轴，分别是过每一组对边中点的直线，它们互相垂直。
（2）矩形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。
知识点03 直角三角形斜边上的中线的性质
性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
注意：
（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用。
（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半。
（3）性质定理可以用来解决有关线段倍分的问题。
知识点04 矩形的判定
（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
（2）定理1：对角线相等的平行四边形是矩形。
（3）定理2：有三个角是直角的四边形是矩形。
注意：
在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形。
能力拓展
考法01 矩形的性质
【典例1】如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【解析】解：连接AF，
根据折叠的性知AF=CF，AC⊥EF，OA=OC，由AD=2，CD=4，根据勾股定理可求得AC=，所以OC=，然后根据矩形的性质可得△COF∽△CDA，因此根据相似的性质可得，代入数值可得，可求得OF=，所以EF=2OF=．
故答案为：B．
【即学即练】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AC交BC于点E，EF⊥BD于点F，则OE＋EF的值为（ ）
A．B．2C．D．2
【答案】A
【解析】解：，，
矩形的面积为8，，
，
对角线，交于点，
的面积为2，
，，
，即，
，
，
，
故答案为：A．
【典例2】如图，将矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为．若，则的大小为 （度）．
【答案】20
【解析】∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A′B′C′D′的位置，
∴∠ADC=∠D=90°，∠DAD′=α，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAD’=180°-∠1=180°-110°=70°，
∴∠DAD′=90°-70°=20°，
即α=20°．
故答案为：20．
【即学即练】如图，矩形中，，，以点为中心，将矩形旋转得到矩形，使得点落在边上，则的度数为 ．
【答案】90
【解析】解：∵将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转90°，得到矩形AB′C′D′，
∴CD=C'D=AB=AB'=3，A'D=AD=BC=B'C'=4，
∴
延长C'B'交BC于点E，连接CC'，如图，
则四边形 是矩形
∴
∴
∴
而
∴
∴是直角三角形
∴
故答案为：90
考法02 矩形的判定
【典例3】如图所示，四边形ABCD的对角线为AC，BD，且 ，则下列条件能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．B．AC，BD互相平分
C．D．
【答案】B
【解析】解：能判定四边形ABCD是矩形的条件为AC、BD互相平分，
理由如下： 、BD互相平分，
四边形ABCD是平行四边形，
，
▱ABCD是矩形，
其它三个条件再加上 均不能判定四边形ABCD是矩形.
故答案为：B.
【即学即练】如图，在四边形 中，对角线 ， 相交于点 ，且 ， .若要使四边形 为矩形，则可以添加的条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵在四边形 中， ，
∴四边形 是平行四边形
若添加 ，无法判断，故A不符合题意；
若添加 ，则四边形 是矩形，故B符合题意；
若添加 ，则四边形 是菱形，故C不符合题意；
若添加 ，则四边形 是菱形，故D不符合题意；
故答案为：B.
【典例4】如图，在平行四边形 中， 交 于O，试添加一个条件使四边形 成为矩形．你添加的条件是 ．（只填一个即可）
【答案】AC=BD或∠ABC=90°等
【解析】解：根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可得∠ABC=90°，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可得AC=BD，
故答案为：AC=BD或∠ABC=90°.
【即学即练】如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，请添加一个条件 ，使四边形BEFD为矩形.（填一个即可）
【答案】AB⊥BC
【解析】解：∵D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，
∴DF、EF都是△ABC的中位线，
∴DF∥BC，EF∥AB，
∴四边形BEFD为平行四边形，
当AB⊥BC时，∠B＝90°，
∴平行四边形BEFD为矩形.
故答案为：AB⊥BC.
考法03 直角三角形斜边上的中线的性质
【典例5】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC=10，BD=24，则FG的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=5，OB=OD=12，AC⊥BD，
在Rt△AOD中，AD= =13，
又∵E是边AD的中点，
∴OE= AD= ×13=6.5，
∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD，
∴∠EFO=90°，∠EGO=90°，∠GOF=90°，
∴四边形EFOG为矩形，
∴FG=OE=6.5．
故答案为：B．
【即学即练】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别是AB，AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F，若四边形DCFE的周长为25cm，AC的长5cm，则AB的长为（ ）
A．13cmB．12cmC．10cmD．8cm
【答案】A
【解析】解：如图，∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，
∴ED是Rt△ABC的中位线，
∴ED∥FC，BC=2DE，
又 EF∥DC，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∴DC=EF，
∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴AB=2DC，
∴四边形DCFE的周长=AB+BC，
∵四边形DCFE的周长为25cm，
∴BC=25﹣AB，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC的长5cm，
∴AB2=BC2+AC2，即AB2=（25﹣AB）2+52，
解得，AB=13cm，
故答案为：A．
分层提分
题组A 基础过关练
1．在下列条件中，能够判定为矩形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：当AB=AC时，不能说明平行四边形ABCD是矩形，所以A不符合题意；
当AC⊥BD时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，能说明平行四边形ABCD是菱形，不能说明平行四边形ABCD是矩形，所以B不符合题意；
当AB=AD时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，能说明平行四边形ABCD是菱形，不能说明平行四边形ABCD是矩形，所以C不符合题意；
当AC=BD时，根据对角线相等的平行四边形是矩形，能说明平行四边形ABCD是矩形，所以D符合题意.
故答案为：D.
2．有下列四个条件：①对角线互相平分的四边形；②对角线互相垂直的四边形；③对角线相等的平行四边形；④有一个角是直角的平行四边形，其中能作为矩形的判定条件的是（ ）
A．①②B．③④C．①③D．②④
【答案】B
【解析】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本条件不合题意；
②对角线互相垂直的四边形不一定互相平分，不一定是平行四边形，故本条件不合题意；
③对角线相等的平行四边形是矩形，故本条件符合题意；
④有一个角是直角的平行四边形是矩形，故本条件符合题意；
故答案为：B．
3．有一个矩形，它的相邻两边长分别为1和2，则它的对角线长为（ ）
A．B．C．3D．2
【答案】B
【解析】解：如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵AB＝1，AD＝2，
∴BD＝ ，
故答案为：B.
4．如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在点D处，已知 ，则点D的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图，过点D作DG⊥OA于点G
∵四边形OABC是矩形
∴
在Rt△OAB中，OA= ，OB=1，由勾股定理得：
∴
∴
根据折叠的性质，得：OD=OA= ，
∴ ，
∵DG⊥OA
∴
由勾股定理得：
∴点G的坐标为
故答案为：A
5．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，试添加一个条件 ，使为矩形．
【答案】或（答案不唯一）
【解析】解：①从角的角度考虑
有一个角是直角的平行四边形是矩形
∴可以添加条件
②对角线的角度考虑
对角线相等的平行四边形是矩形
∴可以添加的条件为
故答案为：或（答案不唯一）
6．如图，将矩形ABCD沿AC折叠，使点B落在点B'处，B'C交AD于点E，若∠1＝25°，则∠2的度数为 ．
【答案】50°
【解析】由折叠的性质得：∠ACE=∠1=25°
∴∠BCE=∠1+∠ACE=50°
∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠2=∠BCE=50°
故答案为：50°
7．如图，在中，，，，，是的中位线.求证：四边形是矩形.
【答案】证明：∵是的中位线，
∴，.
∵，∴.
∴四边形是平行四边形.
∵，，，
∴.
∴是直角三角形，且.
∴四边形是矩形.
【解析】根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半可得EF∥BC，EF=BC，结合已知可得EF=BD，然后根据一组对边平行且相等的四边形时平行四边形可得四边形BDEF是平行四边形，计算可得AB2+BC2=AC2，根据勾股定理的逆定理可得三角形ABC是直角三角形，且∠B=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可求解.
8．如图，E、F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点，且AE=DF。求证：BE=CF
【答案】证明：∵矩形ABCD的对角线为AC和BD，
∴AO=CO=BO=DO，
∵E、F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点，AE=DF，
∴EO=FO，
在△BOE和△COF中，
,
∴△BOE≌△COF（SAS），
∴BE=CF.
【解析】根据矩形对角线的性质，矩形对角线互相平分且相等，可知EO=FO，BO=CO，∠BOE=∠COF，可知△BOE≌△COF，即可得出BE=CF.
题组B 能力提升练
1．一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若，则的度数为（ ）
A．28°B．56°C．36°D．62°
【答案】D
【解析】解：如图所示标注字母，
∵四边形EGHF为矩形，
∴EF∥GH，
过点C作CA∥EF，
∴CA∥EF∥GH，
∴∠2=∠MCA，∠1=CAN，
∵∠1=28°，∠MCN=90°，
∴∠2=∠MCA=90°-∠1=62°，
故答案为：D.
2．如图，菱形中，点E是边的中点，垂直交的延长线于点F，若，则菱形的边长是（ ）
A．3B．4C．5D．
【答案】B
【解析】过C作CM⊥AB延长线于M，
∵
∴设
∵点E是边的中点
∴
∵菱形
∴，CE∥AB
∵⊥，CM⊥AB
∴四边形EFMC是矩形
∴，
∴BM=3x
在Rt△BCM中，
∴，解得或（舍去）
∴
故答案为：B.
3．如图，矩形中，，四边形是平行四边形，点在边上且，的面积是矩形面积的，则平行四边形的面积是（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】C
【解析】解：∵点D1在BC边上，且△ABD1的面积是矩形ABCD面积的，
∴AB•BD1＝AB•AD，
∴BD1＝AD，
又∵AD1＝AD，
∴BD1＝AD1，
设BD1＝2x，则AD1＝3x，
在Rt△ABD1中，BD12＋AB2＝AD12，
∴（2x）2＋（）2＝（3x）2，
解得：x＝±1（负值舍去），
∴BD1＝2，AD1＝3，
∵点D1在BC边上，
∴平行四边形ABC1D1的面积＝2S△ABD1＝2×××2＝2，
故答案为：C．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F.下列结论：
①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF.
其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解析】解：如图，设AC与MN的交点为O，
根据作图可得MN⊥AC，且平分AC，
，
四边形ABCD是矩形，
，
，
又， ，
，
，
，
四边形AECF是平行四边形，
∵MN垂直平分AC，
，
四边形AECF是菱形，故①正确；
②，
，
∠AFB＝2∠ACB；故②正确；
③由菱形的面积可得AC•EF＝CF•CD；故③不正确，
④四边形ABCD是矩形，
，
若AF平分∠BAC，，
则，
，
，
，
，
，
，
CF＝2BF.故④正确；
故答案为：B.
5．如图，矩形的对角线，相交于点，//，//.若，则四边形的周长是 .
【答案】20
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=10，OA=OC，OB=OD，
∴OC=OD=BD=5，
∵//，//.，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵OC=OD =5，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC=4×5=20.
故答案为20.
6．如图，矩形 中， ， 是 的中点，线段 在边 上左右滑动；若 ，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】解：作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，
∴G'E=GE，AG=AG'，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD=BC=2
∴CH∥EF，
∵CH=EF=1，
∴四边形EFCH是平行四边形，
∴EH=CF，
∴G'H=EG'+EH=EG+CF，
∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点，
∴AG=AG'=1
∴DG′=AD+A G'=2+1=3，DH=4-1=3，
∴，
即CE+CF的最小值为.
故答案为：.
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF.
（1）求证：△AOE≌△DFE；
（2）判定四边形AODF的形状并说明理由.
【答案】（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵DF∥AC，
∴∠OAD＝∠ADF，
∵∠AEO＝∠DEF，
∴△AOE≌△DFE（ASA）.
（2）解：四边形AODF为矩形.
理由：∵△AOE≌△DFE，
∴AO＝DF，
∵DF∥AC，
∴四边形AODF为平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
即∠AOD＝90°，
∴平行四边形AODF为矩形.
【解析】（1）根据中点的概念可得AE＝DE，根据平行线的性质可得∠OAD＝∠ADF，根据对顶角的性质可得∠AEO＝∠DEF，然后利用全等三角形的判定定理进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得AO＝DF，推出四边形AODF为平行四边形，根据菱形的性质可得AC⊥BD，然后利用矩形的判定定理进行解答.
8．如图所示，在中，E，F分别为边，的中点，连接，，，作，交的延长线于点G，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当平分时，求证：四边形是矩形．
【答案】（1）解：∵F是边的中点，
∴．
∵，
∴．
又，
∴，
∴．
又，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵平分，
∴．
∵E、F分别为边、的中点，
又∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴四边形为平行四边形．
∴．
∴．
∴．即得．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形．
【解析】（1）先证明，再结合CG//DE可得四边形是平行四边形；
（2）先证明四边形是平行四边形，再结合可得四边形是矩形。
题组C 培优拔尖练
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，P，Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，当四边形APQE的周长最小时，BP的长为（ ）
A．0B．3C．4D．6
【答案】C
【解析】解：如图，在AD上截取线段AF＝PQ＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．
∵四边形ABCD是矩形，
∴，，∠QCE＝90°，
∵，
∴，
∵点F点关于BC的对称点G，
∴
∴
∴四边形FGHD是矩形，
∴GH＝DF＝6，∠H＝90°，
∵点E是CD中点，
∴CE=2，
∴EH＝2+4＝6，
∴∠GEH＝45°，
∴∠CEQ＝45°，
设BP＝x，则CQ＝BC﹣BP﹣PQ＝8﹣x﹣2＝6﹣x，
在△CQE中，
∵∠QCE＝90°，∠CEQ＝45°，
∴CQ＝EC，
∴6﹣x＝2，
解得x＝4．
故答案为：C．
2．如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点（不与端点重合），若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最小值等于（ ）
A．10B．10C．5D．5
【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，，，
∵，，
∴，，
在和中
∵，
∴，
∴，
同理，
∴，
如图，作关于的对称点，连接交于，此时最小，即四边形周长最小，作于，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴四边形的周长，
故答案为：A．
3．如图，在矩形中，，，动点满足，则点到、两点距离之和的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：设△PAB的AB边上的高为h
∵
∴
∴h=2
表明点P在平行于AB的直线EF上运动，且两平行线间的距离为2，如图所示
∴BF=2
∵四边形ABCD为矩形
∴BC=AD=3，∠ABC=90゜
∴FC=BC-BF=3-2=1
延长FC到G，使CG=FC=1，连接AG交EF于点H
∴BF=FG=2
∵EF∥AB
∴∠EFG=∠ABC=90゜
∴EF是线段BG的垂直平分线
∴PG=PB
∵PA+PB=PA+PG≥AG
∴当点P与点H重合时，PA+PB取得最小值AG
在Rt△GBA中，AB=5，BG=2BF=4，由勾股定理得：
即PA+PB的最小值为
故答案为：D．
4．如图，一块长方形场地 的长 与宽 的比是 ： ， ， ，垂足分别是 、 两点.现计划在四边形 区域种植花草，则四边形 与长方形 的面积比等于（ ）
A．1：3B．2：3C．1：2D．1：4
【答案】A
【解析】解： 四边形 ABCD 是矩形，
， ， ，
.
， ，
， .
在 和 中，
，
≌△CBF（AAS） ，
， ，
又 ，
四边形DEBF是平行四边形，
设 ，则 ，
，
于点 ，
，
，
，
在 中， ，
，
，
，
，
四边形DEBF与矩形ABCD的面积之比为1：3.
故答案为：A.
5．如图，矩形ABCD中，AB＝6，MN在边AB上运动，MN＝3，AP＝2，BQ＝5，PM+MN+NQ最小值是 .
【答案】
【解析】解：作QQ'∥AB，使得QQ'=MN=3，作点Q'关于直线AB的对称点Q''，连接PQ''交AB于M，此时PM+MN+NQ的值最小.作Q''H⊥DA于H.
在Rt△PHQ''中，PQ''=，
∴PM+MN+NQ的最小值=
故答案为： .
6．如图，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点M在对角线BD上，点N为射线BC上一动点，连接MN，DN，且∠DNM＝∠DBC，当DMN是等腰三角形时，线段BN的长为 ．
【答案】15或24或
【解析】解：①如图1中，
当NM=ND时，
∴∠NDM=∠NMD，
∵∠MND=∠CBD，
∴∠BDN=∠BND，
∴BD=BN==15；
②如图2中，
当DM=DN时，
此时M与B重合，
∴BC=CN=12，
∴BN=24；
③如图3中，
当MN=MD时，
∴∠NDM=∠MND，
∵∠MND=∠CBD，
∴∠NDM=∠MND=∠CBD，
∴BN=DN，
设BN=DN=x，
在Rt△DNC中，∵DN2=CN2+CD2，
∴x2=（12-x）2+92，
∴x=，
综上，当DMN是等腰三角形时，线段BN的长为15或24或．
故答案为：15或24或．
7．如图，将矩形ABCD绕着点B逆时针旋转得到矩形GBEF，使点C恰好落到线段AD上的E点处，连接CE，连接CG交BE于点H．
（1）求证：CE平分∠BED；
（2）取BC的中点M，连接MH，求证：MHBG；
（3）若BC＝2AB＝4，求CG的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=BE，DE∥BC，
∴∠BEC=∠BCE，∠BCE=∠DEC，
∴∠BEC=∠DEC，
∴CE平分∠BED．
（2）证明：过点C作CN⊥BE，垂足为N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD⊥DE，
∵CE平分∠BED，
∴CD=CN，
∵矩形ABCD绕着点B逆时针旋转得到矩形GBEF，
∴CD=BG，∠GBH=∠CNH=90°，
∴CN=BG，∠BHG=∠NHC，
∴△BHG≌△CHN，
∴HG=HC，
∴H是GC的中点，
∵BC的中点是M，
∴MH是△BGC中位线，
∴MH BG．
（3）解：过点C作CN⊥BE，垂足为N，过G作GQ⊥CB，垂足为Q
∵四边形ABCD是矩形，BC＝2AB＝4，矩形ABCD绕着点B逆时针旋转得到矩形GBEF，
∴GB⊥BH，GB=BM=2，
∵MH是△BGC中位线，
∴MH=1，
∴∠HBM=∠QGB，
∵GB=BM=2，∠BHM=∠GQB，
∴△QBG≌△HMB，
∴QB=MH=1，GQ=BH= ，QC=5，
∴CG= ．
【解析】（1）根据旋转的性质得到CB=CE，求得∠BEC=∠BCE，根据平行线的性质得到∠BCE=∠DEC，可证得结论；
（2）过点C作CN⊥BE，垂足为N，根据角平分线的性质可得CN=BG，根据全等三角形的性质得到CH=GH，再根据三角形的中位线定理可得结论；
（3）过点C作CN⊥BE，垂足为N，过点G作GQ垂直CB的于点Q，利用中位线的性质求出MH=1，再利用△QBG≌△HMB，可得QB=MH=1，GQ=BH= ，QC=5， 最后利用勾股定理求出CG的长即可。
8．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，BC＝AD＝8.
（1）P为BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点E处）.
①如图①，当点E落在边CD上时，利用尺规作图，在图①中作出满足条件的图形（即△AEP的位置，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出此时DE＝ .
②如图②，PE与CD相交于点F，AE与CD相交于点G，且FC＝FE，求BP的长.
（2）如图③，已知点Q为射线BA上的一个动点，将△BCQ沿CQ翻折，点B恰好落在直线DQ上的点B’处，求BQ的长.
【答案】（1）解：①以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，再作∠EAB的角平分线交BC于点P，连接EP、AP，如下图： ；DE＝6
②由折叠的性质，可设BP＝EP＝x， 在 和 中 ∴△GEF≌△PCF（ASA） ∴GF＝FP，GE＝CP＝8－x ∴GC＝EP＝x ∴∴在Rt△ADG中， 解得x＝ ，即BP＝
（2）解：①点Q在线段AB上，
由翻折得 ，
∵CD∥AB，
∴∠DCQ＝∠CQB
∴∠DCQ＝∠CQD
∴CD＝QD＝10
∵
∴
∴
②点Q在BA延长线上
由翻折得
∵CD＝10，
∴
设
∴在Rt△ADQ中，
解得x＝16，即BQ＝16
综上所述，BQ＝4或16
课程标准
1.理解矩形的概念，知道它与平行四边形之间的关系；
2.掌握矩形的性质和判定定理，并能熟练地运用其解决问题；
3.掌握并能运用直角三角形斜边上的中线的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。