九年级数学上册同步精品讲义 第5讲 特殊平行四边形单元复习（北师大版）（原卷版+解析版）

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第5讲 特殊平行四边形单元复习知识精讲知识点01 平行四边形1．定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2．性质（1）对边平行且相等；（2）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形.3．面积4．判定边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.注意：平行线的性质（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等.知识点02 菱形1．定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2．性质（1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积4．判定（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.知识点03 矩形1．定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2．性质（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积4．判定（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形.（3）有三个角是直角的四边形是矩形.注意：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．知识点04 正方形1. 定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2．性质（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积边长×边长＝×对角线×对角线4．判定（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.能力拓展考法01 平行四边形【典例1】如图，在□ABCD中，将△ABD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若∠ABD＝48°，∠CFD＝40°，则∠E为（     ）A．112° B．118° C．120° D．122°【答案】A【解析】解：∵△ABD沿对角线BD折叠，得到△EBD，∴，，∵平行四边形ABCD，∴，∴，∵，∴．∵，，，∴．∵，，∴．在中，∵，，∴．故选：A．【即学即练】如图，在平行四边形ABCD中，，，，点E在AB边上，将沿着直线DE翻折得．连结，若点恰好落在的平分线上，则，C两点间的距离为（     ）A．3或6 B．3或 C． D．6【答案】A【解析】：如图，过点A′作A′F⊥CD于D，∵平行四边形ABCD，∴∠BCD=∠A=60°，CD=AB=3，由翻折可得，A′D=AD=3，∵点恰好落在的平分线上，∴CA′平分∠BCD，∴∠A′CF=30°，∵A′F⊥CD，∴CA′=2A′F，设A′F=x，则CA′=2x，由勾股定理，得CF=x，∴DF=3-x,在Rt△D A′F中,由勾股定理，得32=（3-x）2+x2，   解得：x1=，x2=3，∴CA′=2x=3或6，故选：A．【典例2】如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应增加的条件是（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】A.错误，当四边形是等腰梯形时，也满足条件．B.正确，∵，∴，∵，∴四边形是平行四边形．C.错误，当四边形是等腰梯形时，也满足条件．D.错误，∵，∴，与题目条件重复，无法判断四边形是不是平行四边形．故选：B．【即学即练】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O．下列条件：①AD∥BC，②AB＝CD，③AD＝BC，④∠ADC＝∠ABC，⑤BO＝DO，⑥∠DBA＝∠CAB．若添加其中一个，可得到该四边形是平行四边形，则添加的条件可以是（　　）A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②④⑥ D．①③④⑥【答案】B【解析】解：①∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确；②∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故②正确；③∵AB∥CD，AD=BC无法得出四边形ABCD是平行四边形，故③不正确；④∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵∠ADC=∠ABC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故④正确；⑤∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO，在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（ASA），∴AO=CO，又∵OB=OD，∴四边形ABCD为平行四边形，故⑤正确；∵∠BCD+∠ADC=180°，∴AD∥BC，又∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；⑥∵∠DBA=∠CAB，∴OA=OB，∵AB∥CD，∴∠DBA=∠CDB，∠CAB=∠ACD，∵∠DBA=∠CAB，∴∠CDB=∠ACD，∴OC=OD，不能得出四边形ABCD是平行四边形，故⑥不正确；故选：B．考法02 菱形【典例3】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是(     )A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC⊥BD，∠DAC＝∠BAC，故A、B、D选项正确，不能得出，故C选项不正确，故选：C.【即学即练】如图，在菱形中，，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵四边形ABCD是菱形，∠DAC=25°，∴AD∥BC，∠BAC=2∠DAC=50°，∴∠BAC+∠B=180°，∴∠B=180°-∠BAC=180°-50°=130°，故选：B．【典例4】）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法能判定四边形ABCD是菱形的是（　　）A．AB＝CD B．BA⊥BD C．AC⊥BD D．AC＝BD【答案】C【解析】A.四边形ABCD是平行四边形，AB＝CD，不能判定四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B.四边形ABCD是平行四边形，BA⊥BD，不能判定四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；C.四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，平行四边形ABCD是菱形,选项C符合题意；D.四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；故选：C．【即学即练】如图，在平行四边形ABCD中，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．添加一个条件，使四边形AEBD是菱形，这个条件是（     ）A． B．C． D．DE平分【答案】D【解析】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAB=∠EBA，∵点F是AB的中点，∴AF=BF，∵∠AFD=∠BFE，∴△ADF≌△BEF，∴AD=BE，∵AD∥BE，∴四边形AEBD是平行四边形，A、当时，得到AB=BD，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；B、AB=BE时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；C、DF=EF时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；D、当DE平分时，四边形AEBD是菱形，故该选项符合题意；故选：D．考法03 矩形【典例5】如图，在矩形中，对角线，相交于点O，垂直平分，交于点E，交于点F，连接．若，则的长为（       ）A．3 B． C． D．【答案】B【解析】解：四边形是矩形，，，垂直平分，，，是等边三角形，，，，是等边三角形，，，，，，，故选：B．【即学即练】如图，矩形ABCD中，点E为AB上一个动点，沿DE折叠得到，点A的对应点为点F，连接CF，过点F作交BC于点G，若，，当为等腰直角三角形时，AE的长为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：如图，作，∵为等腰直角三角形，∴，设，，即，解得：，∴，∴，∴E、F、C三点共线，∵，∴∴，∴；故选：D．【典例6】如图，在中，，是边的中点，于点，若，，则的面积是（       ）A．660 B．50 C．40 D．30【答案】D【解析】解：在△ABC中， ∠ACB=90°，D是AB边的中点，∴AB=2CD，∵CD=6，∴AB=12，∵CE⊥AB于点E，CE=5，∴△ABC的面积=故选：D．【即学即练】如图，在中，，以B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点D，作射线BD交AC于点E，点F为BC的中点，连接EF．若，则的周长为（       ）A． B． C． D．4【答案】B【解析】解：∵以B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，∴BM=BN，∵以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点D，∴MD=ND，在和中，，∴，∴，∴BE为的角平分线，又∵AB=BC，∴是等腰三角形，∴BE⊥AC，E为AC的中点，在中，BE=2，，∴，∵点F为斜边BC上的中点，∴，∴的周长=EF+CF+CE=BF+CF+CE=BC+CE=．故选：B．考法04 矩形【典例7】四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD∥BC，AD＝BC，使四边形ABCD为正方形，下列条件中：①AC＝BD；②AB＝AD； ③AB＝CD；④AC⊥BD．需要满足（　　）A．①② B．②③ C．②④ D．①②或①④【答案】D【解析】解：∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，若AB＝AD，则四边形ABCD为正方形；若AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形．故选：D．【即学即练】如图，AC，BD是四边形ABCD对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需要添加的条件是（     ） A． B．C． D．【答案】A【解析】解：点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，、、、分别是、、、的中位线，∴，，，，四边形为平行四边形，当时，，平行四边形是菱形；当时，，则，菱形是正方形；故选：A．【典例8】如图，在正方形ABCD中，AB=8，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFC=120°，若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则AE的长度为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴，∠A=90°，∴∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，∴∠BEF=∠FEB'=60°，BE=B'E，∴∠AEB'=180°-∠BEF-∠FEB'=60°，∴∠AB'E=30°，∴B'E=2AE，设AE=x，则B'E=2x=BE，∵AB=8，∴x+2x=8，解得．故选：A．【即学即练】如图，将边长为9的正方形ABCD沿MN折叠，使点B落在CD边上的处，点A对应点为，且，则AM的长是（     ）A．2 B．3 C． D．【答案】A【解析】解：连接，过M作交BC于点H，MN交于点I，由翻折可知：，，设，正方形ABCD的边长为9，，在中，，，即，解得，，，四边形ABHM为矩形，，，，，即，，，，，．故选：A．考法05 综合应用【典例9】如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（       ）A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形【答案】D【解析】解：A．当时，它是菱形，选项正确，不符合题意；B．当时，它是菱形，选项正确，不符合题意；C．当时，它是矩形，选项正确，不符合题意；D．当且AC⊥BD时，它是正方形，选项错误，【即学即练】如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．下列三种说法：① .四边形EFGH一定是平行四边形；②.若AC＝BD，则四边形EFGH 是菱形；③.若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形．其中正确的是（     ）A．① B．①② C．①③ D．①②③【答案】D【解析】解：∵点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点， ∴，EH=BD， EF=AC， ∴四边形EHGF是平行四边形，故①符合题意；若AC=BD，则EF=EH， ∴平行四边形EHGF是菱形，故②符合题意； 若AC⊥BD，则EF⊥EH， ∴平行四边形EHGF是矩形，故③符合题意； 故选：D．【典例10】如图，菱形的对角线相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F．若，，则的最小值为（       ）A． B． C．4 D．【答案】D【解析】解：连接OP，∵是菱形，∴，即，∵，，∴四边形OEPF是矩形，∴，当时，OP的值最小，∵，，∴，，，∵，∴，即EF的最小值为：，故选：D．【即学即练】如图，已知点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H得到四边形EFGH，我们把四边形EFGH叫做四边形ABCD的“中点四边形”．若四边形ABCD是矩形，则矩形ABCD的“中点四边形”一定是（       ）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】C【解析】解：连接AC和BD、分别是、的中点，是的中位线，，同理，，，．四边形是平行四边形．四边形是矩形时，，则，平行四边形是菱形故选：C.分层提分题组A 基础过关练1．在菱形ABCD中，周长为24，已知其两个相邻的内角度数比为，则菱形ABCD中较短对角线长度为（       ）A．6 B．8 C． D．【答案】A【解析】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，且周长为24，∴，，∴，∵两个相邻的内角度数比为，∴，∴△ABD是等边三角形，∴，即菱形较短的对角线长为6；故选A．2．如图，长方形沿折叠后，若，则的度数是（       ）A．65° B．60° C．55° D．50°【答案】D【解析】解：如图，由折叠可得：∠BFE＝∠GFE，∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF＝65°，∴∠GFE＝65°，∴∠1＝180°−∠BFE−∠GFE＝50°．故选：D．3．一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若，则的度数为（       ）A．28° B．56° C．36° D．62°【答案】D【解析】解：如图所示标注字母，∵四边形EGHF为矩形，∴EF∥GH，过点C作CA∥EF，∴CA∥EF∥GH，∴∠2=∠MCA，∠1=CAN，∵∠1=28°，∠MCN=90°，∴∠2=∠MCA=90°-∠1=62°，故选：D．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，若EF=12，则CD的长为（            ）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【解析】解：∵点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，∴EF是△CAB的中位线，CD是Rt△ABC的斜边中线，∴EF=AB，CD=AB，∴CD=EF=12，故选：D．5．如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（   ）A．12 B．9 C．6 D．【答案】B【解析】解： AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，，，∠EBC＝45°，，为等腰直角三角形，，，则△EBC的面积是．故选B．6．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是OB的中点，连接AE，若AB=4，则线段AE的长为（       ）A． B．3 C． D．【答案】C【解析】解：在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=4，∴AC=BD=4，AC⊥BD，∴AO=BO=2，∵点E是OB的中点，∴EO=，在Rt△EOA中，EO=，AO=2，∴AE=，故选：C．7．如图，在正方形ABCD中，点E为边长AB延长线上一点，且，则______．【答案】【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAE=∠ACB=45°，∵，∴，∴；故答案为．8．如图，将沿着方向平移得到，只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是____________．（写出一个即可）【答案】AB=BE（答案不唯一）【解析】解：添加AB=BE，∵将沿着方向平移得到，∴AB=DE，AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形，又∵AB=BE，∴四边形是菱形，故答案为：AB=BE（答案不唯一）9．如图，在ABC中，AB＝AC，过A、C两点分别作ADBC，CDAB交于点D，延长DC至点E，使DC＝CE，连接BE．(1)求证：四边形ACEB是菱形；(2)若AB＝4，BC＝6，求四边形ACEB的面积．【答案】(1)见解析；(2)；【解析】(1)∵AD∥BC，CD∥AB，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，∵DC＝CE，∴AB＝CE，∵AB∥CD，∴AB∥CE，∴四边形ACEB是平行四边形，∵AB＝AC，∴平行四边形ACEB是菱形；(2)如图，连接AE，交BC于点O，∵四边形ACEB是菱形，∴AE⊥BC，∵AB＝4，BC＝6，∴OB＝BC＝3，∴OA＝，∴AE＝2OA＝2，∴S四边形ACEB．10．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，O为AC的中点，连接BO并延长至D使OD=OB，连AD、CD．(1)求证：四边形ABCD为矩形；(2)若∠AOB＝60°，E为BC的中点，连OE，OE=2．求对角线的长及矩形的面积．【答案】(1)见解析(2)对角线的长为8，矩形的面积为【解析】(1)证明：∵O为AC的中点，∴OA=OC，又∵OD=OB，∴四边形ABCD为平行四边形，又∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD为矩形；(2)解：∵OA=OC，∴E为BC的中点，∴BE=CE，∴OE为△ABC的中位线，∴AB=2OE=2×2=4，∵ABCD为矩形，∴OA=AC，OB=BD， ∵AC= BD，∴OA= OB，又∵∠AOB＝60°，∴△AOB为等边三角形，∴OA=BO=AB=4，∴对角线AC=BD=2OA=8，∵∠ABC＝90°， 在Rt△ABC中，AB=4，AC=8，∴，∴ 矩形的面积.题组B 能力提升练1．如图，在中，，，点为边的中点，，则的长为（　　　）A． B． C．2 D．4【答案】C【解析】解：∵∠ABC=90°，∠C=60°，∴∠A=30°，∵点D为边AC的中点，BD=2∴AC=2BD=4，∴BC=，故选：C．2．如图，四边形ABCD是菱形，∠BAD＝70°，则∠ACD的大小为（　　）A．25° B．35° C．45° D．55°【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAD＝∠BCD，AC平分∠BAD和∠BCD，∵∠BAD＝70°，∴∠BCD＝70°，∴∠ACD＝∠ACB＝35°，故选：B．3．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（       ）A．1cm B．2cm C．(－1)cm D．(2－1)cm【答案】D【解析】解：由题意，BD=cm，由平移性质得=1cm，∴点D，之间的距离为==（）cm，故选：D．4．如图，O为正方形对角线的中点，为等边三角形．若，则的长度为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】在正方形中：，∴，∵O为正方形对角线的中点，∴，∵为等边三角形, O为的中点，∴，，∴,∴,故选：B．5．如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（       ）A．3 B．5 C． D．【答案】A【解析】如图：连接BE， ，∵菱形ABCD，∴B、D关于直线AC对称，∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．，∵菱形ABCD，，点，∴，，∴∴△CDB是等边三角形∴∵点是的中点，∴,且BE⊥CD， ∴故选：A．6．如图，在正方形ABCD中，点E是边AB上一动点，将△CBE沿直线CE折叠，点B落在点F处，连接DF交CE的延长线于点H，连接BH．下列四个结论：①BH＝FH；②∠CHD＝45°；③DF∶AH＝；④∠AHD＝∠BHC；其中正确的是（       ）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④【答案】D【解析】连接BF交HC于点O，过点A作交DH于点N，过点C作，交DH于点M；∵∴∴故①BH＝FH正确∵∴∴∵∴为等腰三角形∵∴∵=∵，∴∵∴故②∠CHD＝45°正确∵∴∵∴∵∴∵∴为等腰直角三角形∴∴∴∵∴∵∴∴故④正确∵∵∴故③DF∶AH＝正确故选：D．7．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，AB上一点，且EF＝EC，，若DE＝2，矩形ABCD的周长为24，则矩形ABCD的面积为________．【答案】35【解析】解：∵四边形ABD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠D=90°，∵EF⊥EC，∴∠FEC=90°，∴∠AEF+∠DEC=90°，∵∠DCE+∠DEC=90°．∴∠AEF=∠DCE，在△AEF和△DCE中，，∴△AEF≌△DCE（AAS）．∴AE=CD，AF=DE=2，∴AD=AE+DE=AE+2，∵矩形ABCD的周长为24，∴2（AE+ED+CD）=24，∴2（2AE+2）=24，解得：CD=AE=5，∴AD=7，∴矩形ABCD的面积=AD×CD=7×5=35，故答案为：35．8．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 _____．【答案】10【解析】解：延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，∵，EF＝CG，∴四边形EFGC是平行四边形，∴CE＝FG，∴AF+CE＝AF+FG，∴当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，由勾股定理得，AG＝＝＝10，∴AF+CE的最小值为10，故答案为：10．9．综合与实践【问题情境】如图①，在中，，，点D为AB上一点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到的对应线段为CE，连接BE．【问题解决】(1)试判断AD与BE的位置关系和数量关系，并直接写出你的结论；(2)如图②，将沿AB的垂直平分线对折，得到，连接EG，过点E作，交BC于点F，交AC于点H，连接HD，FG．①试判断线段EG与EF的数量关系，并证明你的结论；②试判断四边形DGFH的形状，并证明你的结论．【答案】(1)，(2)①，证明见解析；②四边形是矩形，证明见解析【解析】(1)解：与的位置关系为，数量关系为；∵将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到的对应线段为CE，∴CD=CE，，，∵，AC=BC， 在与中， ，，，，，∴与的位置关系为，数量关系为；(2)解：①；证明：∵，，，，由对折知：CD=CG=CE，，BG=BE，，∴HD=FG=EF，∵AD=GB=BE，BF=BF，GF=EF，，，∵，，，又∵BG=BE，∴四边形FGBE为正方形，∴；②四边形是矩形；证明：由①知，，∵，∴AH=BF，AD=BG，，∴，．∴四边形为矩形．10．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，AE是折痕．(1)如图1，若AB=4，AD=5，求折痕AE的长；(2)如图2，若AE=，且EC：FC=3：4，求矩形ABCD的周长．【答案】(1)(2)【解析】(1)解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AB=CD=4，AD=BC=5，由折叠可知，AD=AF=5，DE=EF，∴BF==3，∴FC=BC-BF=5-3=2，设EF=DE=x，则CE=4-x，∵CF2+CE2=EF2，∴22+（4-x）2=x2，解得：x=，∴DE=，∴AE=；(2)解：∵EC：FC=3：4，∴设EC=3x，则FC=4x，∴EF= =5x，∴DE=5x，∴AB=CD=8x，设AF=AD=y，则BF=y-4x，在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，∴（8x）2+（y-4x）2=y2，解得y=10x，在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，∴（10x）2+（5x）2=（）2，解得x=或x=-（舍去），∴AD=10x=2，AB=8x=，∴矩形ABCD的周长为（2+）×2=．题组C 培优拔尖练1．如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝，则CF的长是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠D=∠BAD=90°，AB=BC=CD=AD=1，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴∠BAE=∠DAF，∵∠EAF=60°，∴∠BAE+∠DAF=30°，∴∠DAF=15°，在AD上取一点G，使∠GFA=∠DAF=15°，如图所示：∴AG=FG，∠DGF=30°，∴DF=FG=AG，DG=DF，设DF=x，则DG=x，AG=FG=2x，∵AG+DG=AD，∴2x+x=1，解得：x=2-，∴DF=2-，∴CF=CD-DF=1-（2-）=-1；故选：C．2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，下列说法错误的是（       ）A．若AC⊥BD，四边形ABCD是菱形B．若AB＝BC，AC＝BD，四边形ABCD是正方形C．若AC＝BD，四边形ABCD是矩形D．若∠ABC＝90°，四边形ABCD是正方形【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD为平行四边形．A．∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故该选项不符合题意；B. ∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形，∵AC=BD，∴菱形ABCD是正方形；故该选项不符合题意；C. ∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故该选项不符合题意； D．∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故该选项符合题意；故选：D．3．如图，在中，点D、E、F分别为边、、的中点，分别连结、、、，点O是与的交点，下列结论中，正确的个数是（       ）①的周长是周长的一半；②与互相平分；③如果，那么点O到四边形四个顶点的距离相等；④如果，那么点O到四边形四条边的距离相等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】解：①∵点D、E、F分别为边、、的中点，∴DE、EF、DF是的中位线，∴，∴，即的周长是周长的一半，故①正确，符合题意；②∵点D、E、F分别为边、、的中点，∴是的中位线，∴，∴，∴四边形ADEF是平行四边形，∴与互相平分，故②正确，符合题意；③由②得四边形ADEF是平行四边形，当时，如图1，∴四边形ADEF是矩形，∴，∴，∴点O到四边形四个顶点的距离相等，故③正确，符合题意；④由①得，当时，如图2，∴，由②得四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF是菱形，∴，∴，∴，∴点O到四边形四条边的距离相等，故④正确，符合题意．故选D．4．如图①，在正方形中，点以每秒的速度从点出发，沿的路径运动，到点停止．过点作，与边（或边）交于点，的长度与点的运动时间（秒）的函数图象如图②所示．当点运动2.5秒时，的长是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据函数图象可知，当时，最大为，正方形的边长为4点P运动2.5秒时P点运动了5cm，且5>4，∴点P在线段BC上，且CP＝8﹣5＝3(cm)，∵PQ∥BD，∴CQ=CP=3cm，在Rt△CPQ中，由勾股定理，得PQ＝(cm)．故选：B．5．如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE + PF的最小值是（　　）A．2 B． C．1.5 D．【答案】A【解析】解：取AB中点G点，连接PG，如图，∵四边形ABCD是菱形，且边长为2，∴AD=DC=AB=BC=2，∵E点、G点分别为AD、AB的中点，∴根据菱形的性质可知点E、点G关于对角线AC轴对称，∴PE=PG，∴PE+PF=PG+PF，即可知当G、P、F三点共线时，PE+PF=PG+PF最小，且为线段FG，如下图，G、P、F三点共线，连接FG，∵F点是DC中点，G点为AB中点，∴，∵在菱形ABCD中，，∴，∴四边形AGFD是平行四边形，∴FG=AD=2，故PE+PF的最小值为2，故选：A．6．如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．已知，，垂足为，的延长线交于点．若，则的值为　　A． B．C． D．【答案】C【解析】如图，设BH交CF于P，CG交DF于Q，∵由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形，∴BE=PC=DF，AE=BP=CF，∵，∴BE=PE=PC=PF=DF，∵∠CFD=∠BPC，∴DF//EH，∴PH为△CFQ的中位线，∴PH=QF，CH=HQ，∵四边形EPFN是正方形，∴∠EFN=45°，∵GD⊥DF，∴△FDG是等腰直角三角形，∴DG=FD=PC，∵∠GDQ=∠CPH=90°，∴DG//CF，∴∠DGQ=∠PCH，在△DGQ和△PCH中，，∴△DGQ≌△PCH，∴PH=DQ，CH=GQ，∴PH=DF=BE，CG=3CH，∴BH=BE+PE+PH=，在Rt△PCH中，CH==，∴CG=BE，∴．故选：C．7．如图，已知正方形的边长为1，点是边的中点，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，联结并延长交射线于点，那么的长为______．【答案】【解析】过B作BH⊥AF于H，连接EC交BM于G∵正方形的边长为1，点是边的中点，∴∴∵将沿直线翻折，∴EC⊥BM，,∵BH⊥AF, ∴∴∴∴∵∴∴∴故答案为：．8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，点F沿线段AO从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，连接OE．现给出以下结论：①；②；③直线；④点E运动的路程是．其中正确的结论是______．（写出所有正确结论的序号）【答案】①②③【解析】解：①∵∠DAC＝60°，OD＝OA，∴△OAD为等边三角形，∴∠DOA＝∠DAO＝∠ODA＝60°，AD＝OD，∵△DFE为等边三角形，∴∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，DF＝DE，∵∠BDE+∠FDO＝∠ADF+∠FDO＝60°，∴∠BDE＝∠ADF，∵∠ADF+∠AFD+∠DAF＝180°，∴∠ADF+∠AFD＝180°﹣∠DAF＝120°，∵∠EFC+∠AFD+∠DFE＝180°，∴∠EFC+∠AFD＝180°﹣∠DFE＝120°，∴∠ADF＝∠EFC，∴∠BDE＝∠EFC，故结论①正确；②如图，连接OE，在△DAF和△DOE中， ，∴△DAF≌△DOE（SAS），∴∠DOE＝∠DAF＝60°，∵∠COD＝180°﹣∠AOD＝120°，∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝120°﹣60°＝60°，∴∠COE＝∠DOE，在△ODE和△OCE中，，∴△ODE≌△OCE（SAS），∴ED＝EC，∠OCE＝∠ODE，故结论②正确；③∵∠ODE＝∠ADF，∴∠ADF＝∠OCE，即∠ADF＝∠ECF，故结论③正确；④如图，延长OE至，使＝OD，连接，∵△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，∴点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段运动到，∵＝OD＝AD＝AB•tan∠ABD＝4•tan30°＝ ，∴点E运动的路程是，故结论④错误．故答案为①②③．9．某数学兴趣小组开展图形的折叠实验探究，如图，在矩形纸片ABCD中，，，点E为CD上一动点（不与C，D重合）(1)如图（1），将沿BE折叠，使得点C的对应点恰好落在AD边上的F处，求DE的长；(2)如图（2），将沿BE折叠，使得点C的对应点为F，连接DF，当DF取得最小值时，求DE的长；(3)如图（3），小明准备用上述纸片折叠一种纸飞机，发现其中一个步骤是需将沿BE折叠，使点C的对应点F落在矩形ABCD的对称轴上，在这种情况下，求DE的长．【答案】(1)(2)(3)或【解析】(1)解：∵，，由翻折可知，，FE=EC，设DE=x，则FE=EC=6-x，，FD=AD-AF=2，∴，解得，，DE长为．(2)解：连接BD，如图1所示，∵DF≥BD-BF，当B、F、D三点共线时，DF最小，如图2所示，，设DE=x，则FE=EC=6-x，FD=BD-BF= ，∴，解得，，DE长为．图1                                                     图2(3)解：如图3所示，点F落在CD中垂线上，设中垂线与CD、AB分别交于M、N，则BN=CM=DM=3，由折叠可知，BF=BC=10，，设ME=y，则FE=EC=3-y，FM=MN-NF= ，，，DE长为．如图4所示，点F落在AD中垂线上，设中垂线与AD、CB分别交于U、T，作FV⊥DC，交CD延长线于点V，则BT=CT=DU= FV=5，由折叠可知，BF=BC=10，，设VE=m，则FE=EC= ，，，∵，DE长为．图3                                                                             图410．已知，AB＝AC，AB＞BC．(1)如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；(2)如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；(3)如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若，求∠ADB的度数．【答案】(1)见解析(2)，见解析(3)30°【解析】(1)∵，∴AC＝DC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC，∵CB平分∠ACD，∴，∴，∴，∴四边形ABDC是平行四边形，又∵AB＝AC，∴四边形ABDC是菱形；(2)结论：．证明：∵，∴，∵AB＝AC，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；(3)在AD上取一点M，使得AM＝CB，连接BM，∵AB＝CD，，∴，∴BM＝BD，，∴，∵，∴，设，，则，∵CA＝CD，∴，∴，∴，∴，∵，   ∴，∴，即∠ADB＝30°．