初中数学北师大版九年级上册3 相似多边形综合训练题

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知识精讲
知识点01 相似多边形的定义
1．相似多边形的定义
、 的两个多边形叫做相似多边形。
2．记法
相似符号：“∽”，读作“ ”。在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
注意：
（1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
（2）“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；
（3）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质。
知识点02 相似多边形的性质及判定
1．相似多边形的性质
相似多边形的 、 。
2．相似多边形的判定
、 的两个多边形叫做相似多边形。
知识点03 相似三角形的概念
1．概念
三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
2．符号语言
如图所示，在和中，，，，，∽。
3．相似三角形的“三性”
（1）对应性：两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上。找对应元素的方法同全等三角形。
（2）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，如：∽，它们的相似比为；如果写成∽，那么它们的相似比是，且
（3）传递性：若∽，∽，则∽
知识点04 相似三角形的判定定理
（一）相似三角形的判定定理1
1．定理
的两个三角形相似。
2．符号语言
已知和，若，，则∽。
3．归纳：有关三角形相似的基本图形
（二）相似三角形的判定定理2
1．定理
且 的两个三角形相似。
2．符号语言
已知和，若，，则∽。
（三）相似三角形的判定定理3
1．定理
的两个三角形相似.
2．符号语言
已知和，若，则∽。
注意：
（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似。
（2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的。
知识点05 黄金分割的有关概念
1．定义
一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。
2．作一条线段的黄金分割点
如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB。
（2）连接AD，在DA上截取DE=DB。
（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点。
注意：
（1）≈0.618AB(0.618是黄金分割的近似值，是黄金分割的准确值)。
（2）一条线段的黄金分割点有两个。
能力拓展
考法01 相似多边形性质的应用
【典例1】如图，把一张矩形纸片ABCD沿着AD和BC边的中点连线EF对折，对折后所得的矩形正好与原来的矩形相似，则原矩形纸片长与宽的比为（ ）
A．4：1B．C．D．2：1
【即学即练】如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BE＝2，EF⊥BC．若四边形EFDC与四边形BEFA相似而不全等，则CE的值为（ ）
A．B．6C．D．9
【典例2】若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ）
A．1：4B．1：2C．2：1D．1：16
【即学即练】把一张矩形的纸片对折后和原矩形相似，那么大矩形与小矩形的相似比是（ ）
A．:1B．4:1C．3:1D．2:1
考法02 相似多边形的判定
【典例3】下列说法正确的是（ ）
A．所有等边三角形都相似B．有一个角相等的两个等腰三角形相似
C．所有直角三角形都相似D．所有矩形都相似
【即学即练】下列说法中，不正确的是（ ）
A．所有的菱形都相似B．所有的正方形都相似
C．所有的等边三角形都相似D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似
【典例4】在如图所示的各组图形中，相似的是( )
A．①②B．①③C．②③D．②④
【即学即练】如图所示的四边形，与选项中的四边形一定相似的是（ ）
A．B．
C．D．
考法03 相似三角形的概念
【典例5】下列各组条件中，一定能够判定△ABC与△DEF相似的是（ ）
A．∠A＝∠B，∠D＝∠E
B．∠B＝∠E，AB＝3，AC＝4，DE：DF＝3：4
C．△ABC三边长分别为6，18，21，△DEF三边之比为2：7：6
D．∠C＝91°，∠E＝91°，DE：AB＝EF：AC
【即学即练】下列各组条件中不能使△ABC与△DEF相似的是（ ）
A．∠A＝∠D＝40°，∠B＝∠E＝60°，AB＝DE
B．∠A＝∠D＝60°，∠B＝ 40°，∠E＝80°
C．∠A＝∠D＝50°，AB＝3 ，AC＝5 ，DE＝6 ，DF＝10
D．∠B＝∠E＝70°，AB：DE＝AC：DF
考法04 相似三角形的三个判定定理
【典例6】如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件不能满足△ADE∽△ACB的条件是（ ）
A．∠AED=∠BB．
C．AD·BC= DE·ACD．DE//BC
【即学即练】如图，在中，点分别在边上，与不平行，那么下列条件中，不能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例7】如图所示，给出下列哪个条件单独能够判定的是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练】如图所示，若，则需满足（ ）
A．B．C．D．
考法05 黄金分割
【典例8】生活中到处可见黄金分割的美，如上图,在设计人体雕像时：使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为（ ）．
A．1.52米B．1.38米C．1.42米D．1.24米
【即学即练】某校开展“展青春风采，树强国信念”科普大阅读活动．小明看到黄金分割比是一种数学上的比例关系，它具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，应用时一般取0.618．特别奇妙的是在正五边形中，如图所示，连接AB，AC，的角平分线交边AB于点D，则点D就是线段AB的一个黄金分割点，且，已知，那么该正五边形的周长为（ ）
A．19.1cmB．25cmC．30.9cmD．40cm
分层提分
题组A 基础过关练
1．观察下列图形，这四组形状各异的图形中，是相似图形的有（ ）

A．1组B．2组C．3组D．4组
2．已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列命题中正确的个数是（ ）
（1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似
（2）斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似
（3）两个等边三角形一定相似
（4）任意两个矩形一定相似
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．如图，要使，需要具备的条件是（ ）
A．B．
C．D．
5．两个相似六边形，若对应边之比为3：2，则这两个六边形的周长比为（ ）
A．9：4B．9：2C．3：1D．3：2
6．如图，点O是四边形ABCD内一点，、、、分别是OA、OB、OC、OD上的点，且，若四边形的面积为12cm2，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．18cm2B．27cm2C．36cm2D．54cm2
7．如图，D是ΔABC边AB延长线上一点，请添加一个条件_______，使ΔACD∽ΔABC．
8．图，方桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射方桌后，在地面上形成阴影（正方形）示意图，已知方桌边长，桌面离地面，灯泡离地面，则地面上阴影部分的面积为__________．
9．如图，E是平行四边形ABCD的边DA延长线上一点，连结EC交AD于P．
(1)写出图中的三对相似三角形（不添加辅助线）；
(2)请在你所写的相似三角形中选一对，说明相似的理由．
10．如图，四边形ABCD为平行四边形，AE平分∠BAD交BC于点E，过点E作EF∥AB，交AD于点F，连结BF．
（1）求证：BF平分∠ABC；
（2）若AB＝6，且四边形ABCD与CEFD相似，求BC长．
题组B 能力提升练
1．若一个矩形剪掉一个面积最大的正方形，剩下的小矩形与原来的矩形相似，且原矩形的较长边长为，则剩下的小矩形的较短边长为（ ）
A．B．C．D．
2．对于题目：“在长为6，宽为2的矩形内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案，并求出这个最大值．”甲、乙两个同学设计了自认为满足条件的方案，并求出了周长和的最大值．
甲方案：如图1所示，最大值为16；
乙方案：如图2所示，最大值为16．
下列选项中说法正确的是（ ）
A．甲方案正确，周长和的最大值错误
B．乙方案错误，周长和的最大值正确
C．甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确
D．甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误
3．如图，矩形ABCD的对称轴分别交AB于点E，交CD于点F．若矩形AEFD与矩形ABCD相似，则AB：BC的值为（ ）
A．2B．C．D．
4．如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ADE与△ABC相似的是（ ）
A．B＝∠DB．∠C＝∠AEDC．＝D．＝
5．如图，，交于点O，有下列三个结论：①，②，③．则一定成立的有（ ）．
A．0个B．1个C．2个D．3个
6．如图，在中，是边的中点，于点，交边于点，连接，则图中与相似的三角形共有（ ）
A．个B．个C．个D．个
7．已知四边形ABCD与四边形A'B'C′D'相似，边AB与边A'B'是对应边，S四边形ABCD：S四边形A'B′C′D′＝2：4，AB＝2，则A'B'＝_____．
8．如图，在中，，，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过______秒时与相似．
9．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．
（1）求证：EB＝GD；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，AG＝，求GD的长．
10．如图，在中，，是边上的中线，垂直平分，分别交，于，，连接，．
(1)求证：．
(2)当，时，求线段的长．
题组C 培优拔尖练
1．下列各选项：①两个边长不等的等边三角形；②两个边长不等的正方形；③两个边长不等的菱形；④两个斜边不等的等腰直角三角形，其中的两个图形一定相似的有（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
2．如图，矩形在矩形的内部，且，点，在对角线BD的异侧，连结，，，，若矩形矩形，且两个矩形的周长已知，则只需要知道下列哪个值就一定可以求得四边形的面积（ ）
A．矩形的面积B．的度数
C．四边形的周长D．的长度
3．我们把宽与长的比等于黄金比()的矩形称为黄金矩形.如图,在黄金矩形中,的平分线交边于点,于点,则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图所示，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点恰好在AB上，交AC于F，在不添加其他线段的情况下，图中与相似的三角形有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
5．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边BC上，BE=EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出下列结论：①△DAG≌△DFG；②BG=2AG；③△EBF∽△DEG；④S△BEF=.其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．如图，点E为▱ABCD的AD边上一点，且AE∶ED＝1∶3，点F为AB的中点，EF交AC于点G，则AG∶GC等于( )
A．1∶2B．1∶5C．1∶4D．1∶3
7．四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是相似图形，点A、B、C、D分别与A'、B'、C'、D'对应，已知BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，那么C′D'的长是____．
8．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则图中相似三角形有_____对．
9．已知正方形，为射线上的一点，以为边作正方形，使点在线段的延长线上，连接
(1)如图，若点在线段的延长线上，求证：；
(2)如图，若点在线段的中点，连接，判断的形状，并说明理由；
(3)如图，若点在边上，连接，当平分时，设，求度数.

10．正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，点F在CD上，且CF＝BE，AE与BF交于G点．
（1）如图1，求证：①AE＝BF，②AE⊥BF．
（2）连接CG并延长交AB于点H，
①若点E为BC的中点（如图2），求BH的长；
②若点E在BC的边上滑动（不与B、C重合），当CG取得最小值时，求BE的长．
课程标准
1.了解相似多边形和相似比的定义。
2.会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形，会求两个相似多边形的相似比。
3.掌握相似多边形的性质，能据此进行简单的计算。
4.了解相似三角形的概念。
5.熟练掌握三角形相似的判定方法，并能灵活运用判定定理判断两个三角形是否相似。
6.能综合运用相似三角形的判定定理解决简单的问题。
7.了解黄金分割的概念及黄金比，能作出线段的黄金分割点，并会求满足黄金分割的线段的长，体会黄金分割的美。