初中数学北师大版九年级上册第四章 图形的相似5 相似三角形判定定理的证明同步达标检测题

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知识点01 相似三角形判定定理的证明
（一）相似三角形的判定定理1的证明过程
已知：如图,在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.求证：△ABC∽△A′B′C′.
证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D作BC的平行线，交AC于点E,
则∠ADE=∠B，∠AED=∠C,

过点D作AC的平行线，交BC与点F,则
∴
∵DE∥BC,DF∥AC,
∴四边形DFCE是平行四边形.
∴DE=CF.
∴AE:AC=DE:CB
∴.
而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C,
∴△ADE∽△ABC.
∵∠A=∠A′,∠ADE=∠B=∠B′,AD=A′B′,
∴△ADE∽△A′B′C′.
∴△ABC∽△A′B′C′.
（二）相似三角形的判定定理2的证明过程
已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′, ,求证：△ABC∽△A′B′C′.
证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D作BC的平行线，交AC于点E,
则∠B=∠ADE,∠C=∠AED,
∴△ABC∽△ADE(两角分别相等的两个三角形相似).
∴.
∵ ,AD=A′B′,
∴
∴
∴AE=A′C′
而∠A=∠A′
∴△ADE≌△A′B′C′.
∴△ABC∽△A′B′C′.
（三）相似三角形的判定定理3的证明过程
已知：在△ABC和△A′B′C′中， .求证：△ABC∽△A′B′C′.
证明：在△ABC的边AB，AC（或它们的延长线）上截取AD=A′B′,AE=A′C′,连接DE.
∵，AD=A′B′,AE=A′C′,
∴
而∠BAC=∠DAE,
∴△ABC∽△ADE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).
∴
又，AD= A′B′,
∴
∴
∴DE=B′C′,
∴△ADE≌△A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′.
知识点02 证明相似三角形的一般思路
（1）有平行线——用平行线的性质，找“等角”（用判定定理1）。
（2）有一对等角——找“另一对等角”（用判定定理1）或“夹这对等角的两组边对应成比例”（用判定定理2）。
（3）有两组边对应成比例——找“夹角相等”（用判定定理2）或“第三边也对应成比例”（用判定定理3）。
（4）直角三角形——找“一对锐角相等”（用判定定理1）或“两直角边对应成比例”（用判定定理2）。
能力拓展
考法01 相似三角形判定定理的证明
【典例1】如图，在等腰梯形ABCD中，，，对角线AC，BD相交于点O，有如下四个结论：①梯形ABCD是轴对称图形；②；③；④.其中正确结论的个数为（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【解析】等腰梯形是轴对称图形，故①正确；
可证明△ABC≌△DCB
∴
,
∴△AOB≌△DOC，故③正确；
AD∥BC
∴△AOD∽△BOC,故④正确.
故选B.
【即学即练】如图，是正方形的边上一点，下列条件中：①；②；③；④；⑤．其中能使的有（ ）
A．①②B．①②③
C．①②③④D．①②③④⑤
【答案】D
【解析】解：∵∠B=∠C=90°，∴只要满足或，均可判定△ABE∽△ECF，所以①②都正确；
③中，当时，∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△ABE∽△ECF，故③正确；
④中对应边成比例，且夹角均为90°，∴△ABE∽△ECF，故④正确；
⑤中，当时，则，即，
∴，∴，∴，
又∵∠B=∠C=90°，∴△ABE∽△ECF，∴⑤正确；
综上，故选D.
【典例2】在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题
（1）若AB=A1B2，AC=A1C1，∠A在∠A，则△ABC≌△A1B1C1；
（2）若AB=A1B2，AC=A1C1，∠B=∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；
（3）若∠A=∠A1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；
（4）若AC：A1C1=CB：C1B1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1．
其中真命题的个数为（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【解析】解：（1）若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠A＝∠A1，能用SAS定理判定△ABC≌△A1B1C1，故（1）正确；
（2）若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠B＝∠B1，不能用ASS判定△ABC≌△A1B1C1，故（2）错误；
（3）若∠A＝∠A1，∠C＝∠C1，能判定△ABC∽△A1B1C1，故（3）正确；
（4）若AC：A1C1＝CB：C1B1，∠C＝∠C1，能利用两组对应边的比相等且夹角相等的两三角形相似判定△ABC∽△A1B1C1，故（4）正确．
正确的个数有3个；
故选：B．
【即学即练】△ABC和△DEF满足下列条件,其中能使△ABC与△DEF相似的是( )
A．AB=c,AC=b,BC=a,DE=,EF=,DF=
B．AB=1,AC=1.5,BC=2,DE=12,EF=8,DF=1
C．AB=3,AC=4,BC=6,DE=12,EF=8,DF=6
D．AB=,AC=,BC=,DE=,EF=3,DF=3
【答案】C
【解析】A、根据AB=c，BC=a，AC=b，DE=,EF=,DF=，不能推出三组对应边的比相等，即这两个三角形不相似，故本选项错误；
B、∵AB=1，AC=1.5，BC=2，DE=12，EF=8，DF=1，
∴ AB:DF=1,AC:EF=1:6,BC:DE=1:6，
∴三组对应边的比不相等，即这两个三角形不相似，故本选项错误；
C、∵AB=3，AC=4，BC=6，DE=12，EF=8，DF=6，
∴ AB:DF=AC:EF=BC:DE=1:2，
∴△ABC和△DEF相似，故本选项正确；
D、AB=,AC=,BC=,DE=,EF=3,DF=3,
∴ AB:DE=:3,AC:EF=:3,BC:DF=:3，
∴三组对应边的比不相等，即这两个三角形不相似，故本选项错误；
故选C．
【典例3】如图，在中，、分别是边、上的点，下列命题中，假命题是（ ）
A．若，则与相似B．若，则与相似
C．若，则与相似D．若，则与相似
【答案】A
【解析】解:若,不满足三角形相似的判定方法,不一定相似,A是假命题;
若,则DE∥BC，△ADE~ △ACB B正确;
若又∠A=∠A,△ADE~△ACB, C正确;
若∠ADE=∠B,又∠A=∠A,
△ADE~△ABC, D正确;
所以选A.
【即学即练】如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的是（ ）
A．△BAC∽△BDAB．△BFA∽△BEC
C．△BDF∽△BECD．△BDF∽△BAE
【答案】C
【解析】∵∠BAD=∠C，
∠B=∠B，
∴△BAC∽△BDA．故A正确．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴△BFA∽△BEC．故B正确．
∴∠BFA=∠BEC，
∴∠BFD=∠BEA，
∴△BDF∽△BAE．故D正确．
而不能证明△BDF∽△BEC，故C错误．
故选C．
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图，锐角，是边上异于、的一点，过点作直线截，所截得的三角形与原相似，满足这样条件的直线共有（ ）条．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】
（1）如图1，作PE平行于BC，则△APE△ABC,（2）如图2，作PE平行于AC，则△BPE△BAC,（3）如图3，作PE，使AE：AB=AP：AC,此时∠A.是公共角，△APE△ACB,（4）如图4，作PE，使BP：CB=BE：AB．此时∠B是公共角，△PEB△ACB
所以共有四种画法，即四条直线满足条件，故选D．
2．在下列各图中，不添加任何辅助线，若每个图所给出的两个三角形都是相似的，则位似图形的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】解：根据位似图形的定义可知，第1,2,4个图形是位似图形，而第3个图形对应点的连线不能交于一点，故位似图形有3个
故选C
3．如图，已知为的角平分线，交于，如果，那么
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠EAD，
∵DEAB，
∴△CED∽△CAB，∠BAD=∠EDA.
∴∠EDA=∠EAD，
∴EA=ED，
∵,
∴ED:EC=2:3，
那么
故选:B.
4．D为△ABC边AB上一点，下列说法中错误的是 ( )
A．若∠ACD=∠B，则△ACD∽△ABCB．若∠ADC=∠ACB，则△ACD∽△ABC
C．若AC2=AD·AB，则△ACD∽△ABCD．若AC：CD=AB：BC， 则△ACD∽△ABC
【答案】D
【解析】试题分析：根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可．
：∵∠A是公共角，
∴再加上∠B=∠ACD，或∠ADC=∠ACB都可判定△ABC∽△ACD，
∵∠A是公共角，再加上AC2=AD•AB，即AC：CD=AB：BC，也可判定△ABC∽△ACD，
∴选项A、B、D都可判定△ABC∽△ACD．
而选项D中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项D不能．
故选D．
5．给出下列结论：
①任意两个等边三角形相似
②顶角对应相等的两个等腰三角形相似
③两条边对应成比例的两个直角三角形相似
其中正确的是( )
A．②③B．①③C．①②D．①②③
【答案】C
【解析】①任意两个等边三角形相似，利用三边对应比相等的两个三角形相似即可得到一定相似；
②两三角形的顶角相等，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得底角一定相等，则根据两个角对应相等的三角形相似，可得结论正确；
③若直角三角形两直角边的比值等于一个直角三角形的直角边与另一个直角三角形的斜边的比，则两三角形不相似．可得③错误.
故选C.
6．在与’中，有下列条件，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断的共有（ ）组．
①； ②； ③；④．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】能判断△ABC∽△A′B′C′的有①②或②④或③④，共3组，
故选C.
7．如图，在中，，分别与边，相交于点D，E，，若，则______.
【答案】6
【解析】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即
解得：BC=6．
故答案为6．
8．如图，在中，D是边上的点，如果________或________，则.
【答案】
【解析】由图可知,根据相似三角形的判定，再加一个对应角相等即可，
所以，可以为：或使得
故答案为或
9．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．
【答案】证明见解析．
【解析】∵在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC．
又∵CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBE．
10．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE =∠ACD，BE、CD交于点G．
（1）求证：△AED∽△ABC；
（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE=CE．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）先证△ABE∽△ACD，得出，再利用∠A是公共角，即可求证；（2）在BC上截取BF=BD，连接EF，先证△BDE≌△BFE，得出DE=FE，∠BDE=∠BFE，再证EF=EC即可.
解：（1）∵∠ABE =∠ACD，且∠A是公共角，
∴△ABE∽△ACD．
∴，即，
又∵∠A是公共角，
∴△AED∽△ABC．
（2）在BC上截取BF=BD，连接EF，
在△BDE与△BFE中，BD=BF,∠DBE=∠FBE，BE=BE，
∴△BDE≌△BFE，
∴DE=FE，∠BDE=∠BFE，∴∠ADE=∠EFC，
∵△AED∽△ABC，∴∠ADE=∠ACB，
∴∠EFC=∠ACB，
∴EF=EC，
∴DE=CE．
题组B 能力提升练
1．如图，是斜边上的高，则图中相似三角形的对数有（ ）
A．0对B．1对C．2对D．3对
【答案】D
【解析】由题意得：△ADC∽△ACB；△ADC∽△CDB；△CDB∽△ACB．
故选D．
2．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC边，CD边的中点，AE、AF分别交BD于点G，H，设△AGH的面积为S1，平行四边形ABCD的面积为S2，则S1：S2的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△AGD∽△EGB，
∵E，F分别是平行四边形ABCD边BC，CD中点，
∴BG:GD=BE:AD=1:2，
同理△AHB∽FHD，
∴DH:HB=DF:AB=1:2，
∴
同理：
∴BG=DH=GH，
即G，H是BD三等分点，
∴
∵AH:HF=2:1，
∴AG:GE=2:1，
∴
又∵S△ABE=S平行四边形ABCD，
∴S平行四边形ABCD

故选:A.
3．如图在△ABC中，DE∥BC，且AD：BD=1：2，则S△ADE：S四边形DBCE=（ ）
A．1：B．1：2C．1：4D．1：8
【答案】D
【解析】由已知条件易得△ADE∽△ABC，且相似比为1：3，由此可得S△ADE：S△ABC=1：9，从而可得S△ABC：S四边形DBCE=1：8.
详解：
∵DE∥BC，且AD：BD=1：2，
∴△ADE∽△ABC，AD：AB=1：3，
∴S△ADE：S△ABC=1：9，
∴S△ABC：S四边形DBCE=1：8.
故选D.
4．下列能判定的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【解析】A. ，,两边成比例但夹角不一定相等，故两个三角形不一定相似.
B. ，，两边成比例但夹角不一定相等，故两个三角形不一定相似.
C. ，，两边成比例但夹角不一定相等，故两个三角形不一定相似.
D. ，，两边成比例且夹角相等，故两个三角形一定相似.
故选D
5．下列各组条件中，不能判定与相似的是（ ）
A．，B．，，
C．，D．，
【答案】C
【解析】A. ，,有两个角对应相等的两个三角形相似.
B. ，，,得，有两个角对应相等的两个三角形相似.
C. ，，两个等腰三角形不一定相似；
D. ①，②，①+②得，所以，有两个角对应相等的两个三角形相似.
故选C
6．如图，正方形ABCD中，以BC为边向正方形内部作等边△BCE，连接AE并延长交CD于F，连接DE，下列结论：①AE＝DE；②∠CEF＝45°；③AE＝EF；④△DEF∽△ABE，其中正确的结论共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解析】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，
∵△EBC是等边三角形，
∴BC=BE=CE，∠EBC=∠EBC=∠ECB=60°，
∴∠ABE=∠ECF=30°，
∵BA=BE，EC=CD，
∴∠BAE=∠BEA=∠CED=∠CDE=（180°-30°）=75°，
∴∠EAD=∠EDA=15°，
∴EA=ED，故①正确，
∴∠DEF=∠EAD+∠ADE=30°，
∴∠CEF=∠CED-∠DEF=45°，故②正确，
∵∠EDF=∠AFD=75°，
∴ED=EF，
∴AE=EF，故③正确，
∵∠BAE=∠BEA=∠EDF=∠EFD=75°，
∴△DEF∽△ABE，故④正确，
故选D．
7．如图，，゜，，．当________，________时，．
【答案】 ,
【解析】当，∠A＝∠A′时，△ABC∽△A′B′C′．
∵AB＝8，∠A＝50゜，A′B′＝4，A′C′＝3，∴∠A′＝50°，，∴AC＝6．
故答案为6，50°．
8．如图，在中，，，，点是边上的动点（点与点、不重合），过动点作交于点．若与相似，则________．
【答案】或
【解析】∵∠BAC=90°，PD∥AB，
∴∠PDA=90°，
又∵∠C=60°，
∴∠APD=30°或60°时，△ABC与△DAP相似，
∴∠APD=30°或60°.
9．如图，在中，交AC于E点，DE交AB于D点，若求BC的长．
【答案】
【解析】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵AE=5，CE=2，DE=3，AC=AE+EC=7，
∴BC=.
10．如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝120°．
（1）求证：△ACP∽△PDB；
（2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值．
【答案】（1）详见解析；（2）6．
【解析】（1）证明：∵△PCD为等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝60°．
∴∠ACP＝∠PDB＝120°．
∵∠APB＝120°，
∴∠A+∠B＝60°．
∵∠PDB＝120°，
∴∠DPB+∠B＝60°．
∴∠A＝∠DPB．
∴△ACP∽△PDB．
（2）解：由（1）得△ACP∽△PDB，
∴，
∵△PCD是等边三角形，
∴PC＝PD＝CD，
∴，
∴CD2＝AC•BD．
∵AC＝4，BD＝9，
∴CD＝6．
题组C 培优拔尖练
1．如图，已知P是RtΔABC的斜边BC上任意一点，若过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D，截得的小三角形与ΔABC相似，那么点D的位置最多有（ ）
A．2处B．3处C．4处D．5处
【答案】B
【解析】∵截得的小三角形与△ABC相似，∴过P作AC的垂线，作AB的垂线，作BC的垂线，所截得的三角形满足题意，则D点的位置最多有3处．
故选B．
2．如图，在中，点在的延长线上，分别交、于点、，则图中相似三角形共有（ ）
A．4对B．5对C．6对D．7对
【答案】C
【解析】解：在▱ABCD中，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△FDE，△ABG∽△FCG；
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△GBE，△FDA∽△FCG，
∴△ABG∽△FDA，△ABD∽△BCD
∴图中相似三角形有6对．
故答案为6．
3．如图，点是的边延长线上一点，分别交、的延长线于点、，则图中相似三角形共有（ ）对．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD，AB∥CD，△ABD∽△CDB，
∵AB∥CF，
∴△EAB∽△EFC，
∵AD∥EC，
∴△AFD∽△EFC，
∴△EAD∽△AFD；
∵AD∥BE，
∴△ADG∽△EBG；
∵DF∥AB，
∴△GDF∽△GBA．
故选C．
4．如图，在△ABC中，D是边AC上一点，连BD，给出下列条件：①∠ABD=∠ACB；②AB2=AD•AC；③AD•BC=AB•BD；④AB•BC=AC•BD．其中单独能够判定△ABC∽△ADB的个数是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【答案】A
【解析】①∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB；
②∵AB2=AD•AC，∴=．
∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB；
③∵AD•BC=AB•BD，∴=，∠A=∠A，△ABC与△ADB不相似；
④∵AB•BC=AC•BD，∴=，∠A=∠A，△ABC与△ADB不相似．
故选A．
5．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】A
【解析】∵菱形ABCD的周长为16，∴菱形ABCD的边长为4，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
又∵O是菱形对角线AC、BD的交点，
∴AC⊥BD，
在Rt△AOD中，
∴AO=，
∴AC=2AO=4，
∴S△ACD=OD·AC= ×2×4=4，
又∵O、E分别是中点，
∴OE∥AD，
∴△COE∽△CAD，
∴，
∴，
∴S△COE=S△CAD=×4=，
故选A.
6．和符合下列条件，其中使与不相似的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】A选项，△ABC中的三个角分别为45°、26°、109°，△A’B’C’中的三个角也分别为45°、26°、109°，故两个三角形相似；
B选项，AB:BC= B’C’ :A’C’ =1:2，AB:AC=A’C’:A’B’=1:1.5，AC:BC= A’B’ :B’C’=1.5:2，故两三角形相似；
C选项，AB:AC=B’C’ : A’B’=1.4，∠A和∠B’分别为其两边的夹角，且∠A=∠B’， 故两个三角形相似；
D选项，三边对应比例不相等，故两个三角形不相似；
故选择D.
7．在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在直线AB上取一点F，使△CBF与△CDE相似，则BF的长为________
【答案】或20
【解析】解：∵在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点
∴AE=DE=3，AB=DC=10，AD=BC=6
∵△CBF与△CDE相似
∴=，或=
∴=，或=
解得：BF=或20
故答案为或20．
8．如图，在边长为2的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（点P不与B、C重合），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA、NA，则以下结论：①△CMP∽△BPA；②四边形AMCB的面积最大值为2.5；③△ADN≌△AEN；④线段AM的最小值为2.5；⑤当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线．正确的有_____（只填序号）
【答案】①②③④
【解析】分析：①正确．只要证明∠CPM=∠PAB，∠C=∠B=90°，即可；
②正确，设PB=x，构建二次函数，利用二次函数性质解决问题即可；
③正确．根据HL即可证明；
④正确，作MG⊥AB于G，因为AM=，所以AG最小时AM最小，构建二次函数，求得AG的最小值为，AM的最小值为．
⑤错误，设ND=NE=y，在Rt△PCN中，利用勾股定理求出y即可解决问题．
详解：①由翻折可知，∠APE=∠APB，∠MPC=∠MPN，
∴∠APE+∠MPF=∠CPN+∠BPE=90°，
∴∠CPM+∠APB=90°，∵∠APB+∠PAB=90°，
∴∠CPM=∠PAB，∵∠C=∠B=90°，
∴△CMP∽△BPA．故①正确；
②设PB=x，则CP=2-x，
∵△CMP∽△BPA，
∴，，
∴CM=x（2-x），
∴S四边形AMCB= [2+x（2-x）]×2=-x2+x+2=-（x-1）2+2.5，
∴x=1时，四边形AMCB面积最大值为2.5，故②正确；
③在Rt△ADN和Rt△AEN中，
，
∴△ADN≌△AEN．故③正确；
④作MG⊥AB于G，
∵AM=，
∴AG最小时AM最小，
∵AG=AB-BG=AB-CM=2-x（2-x）=（x-1）2+，
∴x=1时，AG最小值=，
∴AM的最小值=，故④正确．
⑤当PB=PC=PE=1时，
由折叠知，ND=NE，
设ND=NE=y，
在Rt△PCN中，（y+1）2=（2-y）2+12解得y=
∴NE=，
∴NE≠EP，故⑤错误，
9．如图1，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，∠EBF=45°．
（1）当BE=BF时，求证：AE=CF；
（2）求证：△ABF∽△CEB；
（3）如图2延长BF交CD于点G，连接EG．判断线段BE与EG的关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）EB=EG，BE⊥EG．理由见解析．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BAE=∠BCF=．
∵BE= BF，
∴∠BEF=∠BFE．
∴∠AEB=∠CFB．
∴△ABE ≌△CBF．
∴AE=CF．
（2）∵∠BEC=∠BAE+∠ABE =+∠ABE，
∠ABF=∠EBF+∠ABE=+∠ABE，
∴∠BEC=∠ABF．
∵∠BAF=∠BCE=，
∴△ABF∽△CEB．
（3）答：EB=EG，BE⊥EG
理由如下：如图.
∵∠EBF=∠GCF=45°，∠EFB=∠GFC，
∴△BEF∽△CGF
∴.即.
∵∠EFG=∠BFC，
∴△EFG∽△BFC.
∴∠EGF=∠BCF=45°.
∴∠EBF =∠EGF=45°.
∴EB=EG，∠BEG=90°
∴EB=EG，BE⊥EG．
10．如图，点E是矩形ABCD的边BC的中点，连接DE交AC于点F．
如图，求证：；
如图，作于G，试探究：当AB与AD满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论；
如图，以DE为斜边在矩形ABCD内部作等腰，交对角线BD于N，连接AM，若，请直接写出的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）结论：当时，成立；（3）.
【解析】证明：点E是矩形ABCD的边BC的中点， ，
在矩形ABCD中，， ， ．
结论：当时，成立．
设，则，， ，
， ， ， ，
， ， ， ．
如图，过M作，交AD于G，交BC于F，
是等腰直角三角形， ，
，， ，
在和中，， ≌，
，， ， ，
， ， ，
，
在和中，， ∽，
， ， ，
， 即的值是．
课程标准
1.了解相似三角形判定定理的证明过程，会选择恰当的方法证明两个三角形相似；
2.会作辅助线来证明两个三角形相似，掌握证明过程。