湖南省衡阳市衡山县三校联考2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份湖南省衡阳市衡山县三校联考2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（30分）
1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列图形中−定相似的是（ ）
A．直角三角形都相似B．等腰三角形都相似C．矩形都相似D．等腰直角三角形都相似
3．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是( )
A．B．C．且D．且
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．方程的解为（ ）
A．B．，C．D．，
6．如图，直线，若，，则的值是（ ）

A．B．C．D．
7．某班毕业时，每位同学将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1892张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程（ ）
A．B．
C．D．
8．若0＜ ＜1，那么 的化简结果是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，则（ ）

A．2：3B．1：2C．1：3D．1：4
10．如图，小明晚上由路灯下的点处走到点处时，测得自身影子的长为1米，他继续往前走3米到达点处，测得自己影子的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯的高度是（ ）

A．4.5米B．6米C．7.5米D．8米
二、填空题（18分）
11．式子在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是 ．
12．若方程的一个根是，则另一个根是 ．
13．计算： ．
14．如图，要使，可以添加条件∶ ．

15．已知是方程的一个根，那么代数式的值为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，点在函数图象上，若，，则的值为 ．
三、解答题
17．解方程：
(1)
(2)．
18．计算：
(1)
(2)
19．化简求值：，其中x是的整数部分，y是的小数部分．
20．如图，在和中，，．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
21．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论p为何值，方程总有两个不等的实数根；
(2)若方程的两根满足，求p的值．
22．阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦-秦九韶公式”．完成下列问题：如图，在中，，，．

(1)求的面积；
(2)过点A作，垂足为D、求线段的长．
23．超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
(2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？
24．如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为和，动点从点出发在线段上以每秒的速度向原点运动，动直线从轴开始以每秒的速度向上平行移动即轴，分别与轴、线段交于点、，连接、，设动点与动直线同时出发，运动时间为秒．

(1)求时，的面积；
(2)直线、点在运动过程中，是否存在这样的使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由；
(3)当为何值时，与相似．
25．我们知道求函数图像的交点坐标，可以联立两个函数解析式组成方程组，方程组的解就是交点的坐标．如：求直线与的交点坐标，我们可以联立两个解析式得到方程组，解得，所以直线与的交点坐标为．请利用上述知识解决下列问题：
（1）求直线和双曲线的交点坐标；
（2）已知直线和抛物线，若直线与抛物线只有一个交点，则的值为_______________；
（3）如图已知点是x轴上的动点，，以AB为边在AB右侧作正方形ABCD，当正方形ABCD的边与反比例函数的图像有4个交点时，请直接求出a的取值范围．
参考答案与解析
1．D
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是.
【详解】A. =，故A选项不符合题意；
B. ，故B选项不符合题意；
C. =，故C选项不符合题意；
D. ，是最简二次根式，符合题意，
故选D.
【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2．D
【分析】根据相似图形的对应边成比例，对应角相等，结合直角三角形、等腰三角形、矩形以及等腰直角三角形的特点对各选项进行分析判断即可．
【详解】解：A、两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，故本选项不符合题意；
B、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，故本选项不符合题意；
C、两个矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，故本选项不符合题意；
D、两个等腰直角三角形的对应边一定成比例，对应角一定相等，所以一定相似故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似图形的定义，从边和角的角度去考虑是本题的关键．
3．D
【分析】本题考查一元二次的定义，以及判别式的意义，据此先得到，从而即可求出的取值范围．
【详解】解：根据题意
解得且
故选：D．
4．D
【分析】分别根据算术平方根的定义、二次根式的加减法则、二次根式的除法和乘法法则逐项判断即得答案．
【详解】解：A、，故本选项运算错误，不符合题意；
B、，故本选项运算错误，不符合题意；
C、，故本选项运算错误，不符合题意；
D、，故本选项运算正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的运算和算术平方根的定义，属于基础题型，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
5．D
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，先移项，再提公因式得到，原方程可化为或，然后解一次方程即可．
【详解】解：，
，
，
或，
，．
故选：D．
6．A
【分析】由平行线分线段成比例直接得到答案．
【详解】解：∵
∴
∵，，则
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，解题的关键在于能够熟练掌握平行线分线段成比例．
7．B
【分析】设全班有x名同学，每位同学送出张照片，据此列出一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设全班有x名同学，根据题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
8．B
【分析】根据x的取值范围，先判断x-1的符号，再开方合并
【详解】∵0∴|x−1|=1−x
∴=x+1+|x−1|=x+1+1−x=2
故选B
【点睛】本题主要考查了绝对值和开平方根的计算能力，解题的关键是要注意符号
9．C
【分析】先根据平行四边形的性质得到，再证明，得到，然后根据，推出，由此即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
10．B
【分析】设米，米，先根据题意可得出，，再根据相似三角形的判定与性质即可得．
【详解】设米，米，
则米，米，
由题意得：，，米，
，，
，，
即，
解得，
经检验，是所列分式方程组的解，
则米，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
11．a≥-
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴2a＋1≥0，
∴a≥，
故答案为：a≥．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义，即使得被开方式大于等于零．
12．-2
【分析】设方程的另一个根是α，根据根与系数的关系可得0+α=-2，由此即可解答.
【详解】∵方程x2+2x-k=0的一个根是0，设另一个根是α，
则0+α=-2，
∴α=-2.
故答案为-2.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则x1+x2=，x1•x2=．
13．2
【分析】先把分子中的二次根式化为最简二次根式，然后合并后进行二次根式的除法运算．
【详解】解：原式＝．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，然后进行二次根式的乘除运算．
14．（答案不唯一）
【分析】由图可得，两三角形已有一组角对应相等，再加一组角对应相等即可．
【详解】解：可添加条件：．证明如下：
∵，
∴．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定．相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似．
15．
【分析】本题考查了方程的根的定义，代数式求值；由题意可得，，再整体代入求值即可.
【详解】解：由题意得，，
则，
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质，过点作轴于点，过点作轴于点，易得，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得，继而根据反比例函数系数的几何意义即可求得答案．
【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
，
，
，
，
，
，
，
∵，
，
点在函数的图象上，点在函数图象上，
，，
，
解得，
故答案为：．
17．(1)，
(2)，
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）
或
解得，；
（2）
，，
∴
∴
解得，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
18．(1)6
(2)3
【分析】（1）直接利用立方根以及二次根式的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
19．，
【分析】先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的法则展开计算，然后求得y的值后再代值计算即可．
【详解】解：
，
∵，x是的整数部分，y是的小数部分，
∴，
∴原式．
【点睛】本题考查了整式的乘法、无理数的估算和二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则、正确估算的范围是解题的关键．
20．(1)详见解析
(2)
【分析】（1）根据相似三角形的判定，即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质，即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）由（1）得，，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【详解】（1）证明：整理得：
∵
∴无论p取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系，得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】（1）把，，代入公式进行计算即可；
（2）由的面积，再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴的面积；
（2）∵的面积，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是二次根式的应用，化为最简二次根式，熟练的代入计算是解本题的关键．
23．(1)四、五这两个月的月平均增长百分率为
(2)当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元
【分析】（1）设四、五这两个月的月平均增长率为x，利用“五月的销售量=三月的销售量×(1+平均增长率）²”，即可得出关于x的一元二次方程，解出x即可求解．
（2）设商品降价y元，则每件获利元，月销量为件，利用“月销售利润=每件销售利润×月销售量”，即可得出关于y的一元二次方程，解出y即可求解．
【详解】（1）解：设平均增长率为，
由题意得：，
解得：或（舍）；
∴四、五这两个月的月平均增长百分率为；
（2）解：设降价元，
由题意得：，
整理得：，
解得：或（舍）；
∴当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用——平均增长率问题和销售问题 ，解题的关键是熟练掌握起始量、终止量、增长次数、增长率的关系，销售量、利润、进价、售价之间的关系，正确列出一元二次方程．
24．(1)
(2)不存在，理由见解析
(3)当或时，与相似
【分析】（1）由于轴，则时，，关键是求易证，则，从而求出的长度，得出的面积；
（2）假设存在这样的，使得的面积等于，则根据面积公式列出方程，由根的判别式进行判断，得出结论；
（3）如果与相似，由于，则只能点与点对应，然后分两种情况分别讨论：点与点对应；点与点对应．即可得解．
【详解】（1），
又，
，
，
当时，，，，，
，
；
（2）不存在．
理由：，
，
，
整理，得，
，
方程没有实数根．
不存在使得的面积等于的值；
（3）当时，∽，
，即，
解得；
当时，∽，
，即，
解得．
当或时，与相似．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式等知识点，要注意最后一问中，要分对应角的不同来得出不同的对应线段成比例，从而得出运动时间的值．不要忽略掉任何一种情况．
25．（1）交点坐标为；（2）；（3）或
【分析】（1）令，解得，，即可求解；
（2）先联立方程，再利用即可求解；
（3）分a＞0、a＜0两种情况，探讨正方形的边与反比例函数图象交点的情况，进而求解．
【详解】解：（1）令，
∴，
∴，，
当时，，
当时，，
∴交点坐标为；
（2）令，
整理，得：，
∵直线与抛物线只有一个交点，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：；
（3）①当a＞0时，如图1，
点A、B的坐标分别为：（a，0）、（0，），
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝－x＋，
当线段AB与双曲线有一个交点时，
联立AB表达式与反比例函数表达式得：－x＋＝，
整理得：4x2－4ax＋2a＝0，
＝（－4a）2－16×2a＝0，
解得：a＝2，
故当a＞2时，正方形ABCD与反比例函数的图象有4个交点；
②当a＜0时，如图2，
（Ⅰ）当边AD与双曲线有一个交点时，
过点D作ED⊥x轴于点E，
∵∠BAO＋∠DAE＝90°，∠DAE＋∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠BAO，
∵AB＝AD，∠AOB＝∠DEA＝90°，
∴AOB≌DEA（AAS），
∴ED＝AO＝－a，AE＝OB＝4，
故点D（a＋4，a），
由点A、D的坐标可得，直线AD的表达式为：y＝a（x－a），
联立AD与反比例函数表达式并整理得：ax2－a2x－16＝0，
＝（－a2）2－4a×（－16）＝0，
解得：a＝－4（不合题意，舍去）；
（Ⅱ）当边BC与双曲线有一个交点时，
同理可得：a＝－16，
所以当正方形ABCD的边与反比例函数的图象有4个交点时，a的取值范围为－16＜a＜－4；
综上所述，a的取值范围是a＞2或－16＜a＜－4．
【点睛】本题考查的是反比例函数的综合运用，涉及到一次函数的性质、根的判别式的应用、三角形全等等，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏．