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初中数学人教版九年级下册27.2.3 相似三角形应用举例课堂检测
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这是一份初中数学人教版九年级下册27.2.3 相似三角形应用举例课堂检测，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2022秋·河南焦作·九年级统考期末）如图所示，王华晚上在路灯下散步，已知王华的身高米，灯柱的高米，两灯柱之间的距离米，王华在两路灯之间行走时（O、A、三点在一条直线上），则他身子前后的两个影子之和的长为（ ）米．
A．6B．5C．4D．3
2．（2022秋·河南郑州·九年级统考期末）如图，小明探究“利用镜子反射测量旗杆的高度”．小明作为观测者，在旗杆和小明之间的地面上平放一面镜子，在镜子上作一个标记，小明看着镜子来回移动，当看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，通过测量得到以下数据：小明的眼睛到地面的距离为，小明的站的位置到镜子上标记的距离是，旗杆的底部到小明的位置是，则旗杆的高度为（ ）
A．B．16C．9D．
3．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）大约在两千五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm
4．（2022秋·河南信阳·九年级统考期末）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯O的水平距离，则树的高度AB长是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022秋·河南周口·九年级统考期末）如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m远，该同学的身高为1.7m，则树高为（ ）m．
A．3.4B．5.1C．6.8D．8.5
7．（2022秋·河南信阳·九年级统考期末）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（ ）
A．图形的平移B．图形的旋转C．图形的轴对称D．图形的相似
8．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（ ）
A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺
二、填空题
9．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）如图是用杠杆撬石头的示意图，点C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起，已知，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压 ．
10．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，甲楼AB高16米，乙楼CD坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是1：，已知两楼相距BD为12米，那么甲楼的影子落在乙楼上的高DE＝ 米（结果保留根号）．
11．（2022秋·河南信阳·九年级统考期末）如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸岸边每隔5m有一棵树，小华站在离南岸20m的点P处看北岸，在两棵树之间的空隙中，恰好看见一条龙舟的龙头和龙尾（假设龙头、龙尾和小华的眼睛位于同一水平平面内），已知龙舟的长为18.5m，若龙舟行驶在河的中心，且龙舟与河岸平行，则河宽为 m．
12．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点D）直行8里有一塔（点A），自西门（点E）直行2里至点B，切城角（点C）也可以看见塔，则CE的长是 里．
13．（2022秋·河南开封·九年级统考期末）如图，小刚在打网球时，球恰好能打过网，且落在离网5m的位置上，则他的球拍击球的高度是 m．
14．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）《九章算术》中记载了一种测距的方法．如图，有座塔在河流北岸的点E处，一棵树位于河流南岸的点A处，从点A处开始，在河流南岸立4根标杆，以这4根标杆为顶点，组成边长为10米的正方形，且A，D，E三点在一条直线上，在标杆B处观察塔E，视线与边相交于点F，如果测得米，那么塔与树的距离为 米．
15．（2022秋·河南洛阳·九年级统考期末）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB=1.8米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC为 米．
16．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，小明周末晚上陪父母在锦江绿道上散步，他由灯下A处前进4米到达B处时，测得影子BC长为1米，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到达D处，此时影子DE长为 米．
17．（2022秋·河南洛阳·九年级统考期末）如图，一条宽的道路将矩形花坛分为一个直角三角形和一个直角梯形，根据图中数据，可知这条道路的占地面积为 ．
18．（2022秋·河南郑州·九年级期末）在某一时刻，测得一根高为m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为 m．
三、解答题
19．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑的高度（如图1），如图2，在地面上取，两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且古建筑，标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到处，从处观察A点，A，，三点成一线；从标杆后退到处，从处观察A点，A，，三点也成一线，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑的高度．
20．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．
(1)如图1，垂直于地面放置的正方形框架，边长为，在其上方点处有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子，的长度和为．那么灯泡离地面的高度为多少．
(2)不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子，的长度和为多少？
21．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）位于沱河南岸的永城沱南生态广场，有座雕塑《汉韵南风袅袅歌》，雕塑由主体和书着《永城赋》的基座两部分构成（如图），其立意是“这里是汉兴腹地，这里是豫东江南……”九·1班数学社团的同学们想利用学过的测量旗杆高度的方法测量这座雕塑（含基座，下同）的高度（从雕塑周围地平面算起），已知负责测量的小永身高为h米（眼睛以上的高度忽略不计），测量时小永的影长为a米，雕塑的影长为b米；利用小镜测量时，小永离镜子的距离为c米，镜子离雕塑的最高点所在直线的距离为d米．请你帮助小永选择其中一个方案，画出图形并计算出雕塑的高度（结果用含字母的式子表示），
22．（2022秋·河南三门峡·九年级统考期末）如图，已知直角三角形的铁片ABC的两直角边BC、AC的长分别为3cm和4cm，分别采用（1）、（2）两种剪法，剪出一块正方形铁片，为使所得的正方形面积最大，问哪一种剪法好？为什么？
23．（2022秋·河南许昌·九年级统考期末）如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量水平地面上树AB的高度，已知两直角边，他调整自己的姿势和三角形纸板的位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，DM垂直于地面，测得，边DF离地面的距离为，求树高AB．
24．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）河南省实验中学指路灯，一直陪伴着我校航空班、足球队、田径队日夜奋战、不断训练的同学们．一数学兴趣小组为了测量灯柱AB的高度，设计了以下三个方案；
方案一：在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退1m到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动4 m(即 FC=4 m)放在F处．从点F处向后退1.5 m到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得的眼睛距地面的高度ED、GH为1.5m、已知点B，C、D，F、H在同一水平线上，且GH⊥FH，ED⊥CD，AB⊥BH．(平面镜的大小忽略不计)
方案二：利用标杆CD测量灯柱的高度．已知标杆CD高1.5 m，测得DE=2 m，CE=2.5 m．
方案三：利用三角板的斜边CE保持水平，并且边CE与点M在同一直线上．已知两条边CE=0.4m，EF=0.2 m，测得边CE离地面距离DC=1.5 m． 三种方案中，方案_________不可行，请选择可行的方案求出灯柱的高度．
参考答案：
1．B
【分析】证明，得，则，证，得到，则，根据，即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由题意可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴,
即的长为5米．
故选：B
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
2．D
【分析】如图，，利用题意得，则可判断，然后利用相似比计算出的长．
【详解】解：如图，，
∴
由题意得，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
即旗杆的高度为．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
3．A
【分析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可．
【详解】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为xcm，则
，解得：x=6，
即蜡烛火焰的高度为6cm，
故答案为：A．
【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．
4．C
【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB．
【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm），
第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm），
因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯，
所以图1和图2中的两个三角形相似，
∴，
∴（cm），
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是读懂题意，与图形建立关联，能灵活运用相似三角形的判定得到相似三角形，并能运用其性质得到相应线段之间的关系等，本题对学生的观察分析的能力有一定的要求．
5．A
【分析】利用相似三角形的性质得到对应边成比例，列出等式后求解即可．
【详解】解：由题可知，，
∴,
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与应用，解决本题的关键是能读懂题意，建立相似关系，得到对应边成比例，完成求解即可，本题较基础，考查了学生对相似的理解与应用等．
6．B
【分析】根据相似三角形的性质即可列方程求解．
【详解】由相似三角形的性质，设树高x米，则，
∴x＝5.1m．
故选：B．
【点睛】此题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟知相似三角形的性质．
7．D
【分析】根据在同一时刻的太阳光下物体的影长和物体的实际高度成比例即可判断；
【详解】根据题意画出如下图形：可以得到，则
即为金字塔的高度，即为标杆的高度，通过测量影长即可求出金字塔的高度
故选：D.
【点睛】本题主要考查将实际问题数学化，根据实际情况画出图形即可求解.
8．B
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【详解】设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，
∴，
解得x=45（尺），
即竹竿的长为四丈五尺．
故选B
【点睛】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
9．45
【分析】如图：都与水平线的垂直，M，N是垂足，则，即，然后根据相似三角形的对应边成比例求解即可．
【详解】解：如图，都与水平线的垂直，M，N是垂足，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴当时，，
故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压．
故答案为：45．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的实际应用，正确作出辅助线、构造相似三角形是解题的关键．
10．/
【分析】过点E作FE⊥AB于点F，解直角三角形AEC可以求得AF的长，进而求得DE=AB-AF即可解题．
【详解】解：如图，过点E作FE⊥AB于点F，则四边形BDEF是矩形，则BF=DE，EF=BD=12
在Rt△AEF中，∠AFE=90°，EF=BD=12米．
∵物高与影长的比是1：，
，
即米，
（米），
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角似三角形的应用，根据物高与影长的比是1：，得出AF的值是解题的关键．
11．108
【分析】根据题意画出示意图，过点P作于点F，交AB于点E，证明，再借助相似三角形的性质计算PF的长，再由题意计算河宽即可．
【详解】解：根据题意画出示意图，过点P作于点F，交AB于点E，
由题意可知，两树之间的距离m，龙舟的长m，点P到南岸的距离m，
∵，
∴，
∴，即，
∴m，
∴m，
∵龙舟行驶在河的中心，
∴河宽为m．
故答案为：108．
【点睛】本题主要考查了利用相似三角形解决实际问题，解题关键是根据题意作出示意图，构建相似三角形．
12．4
【分析】设CE的长为x里，根据题意得到BE∥CD，∠BEC=∠ADC=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：设CE的长为x里，
由题意得，BE∥CD，∠BEC=∠ADC=90°，CE=CD=x，BE=2里，AD=8里，
∴∠B=∠ACD，
∴△CEB∽△ADC，
∴，
∴
∴x=4，（负值舍去）
故答案为：4．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
13．2.4
【分析】根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE∥BC可知，△ADE∽△ACB，根据其相似比即可求解．
【详解】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，即，
则，
∴h=2.4m．
故答案为：2.4．
，
【点睛】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
14．25
【分析】根据题意可以利用正方形的性质求出FD，并且得到△FDE∽△FCB，从而运用相似三角形的性质求解ED，即可得出结论．
【详解】∵四边形ABCD为正方形，边长为10米，
∴AD=CD=BC=10，FD=CD-CF=6，
∵AD∥BC，且A，D，E三点在一条直线上，
∴AE∥BC，
∴△FDE∽△FCB，
∴，
即：，
∴ED=15，
∴AE=AD+ED=25米，
故答案为：25．
【点睛】本题考查相似三角形判定与性质的实际应用，准确判断出相似三角形，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
15．8米．
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴BDAC，
∴△ACE∽△DBE，
∴，
∴，
∴AC=8(米)，
故答案为：8(米) ．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形，掌握相似三角形的判定及性质是解决此类题的关键．
16．2
【分析】依据△CBF∽△CAP，即可得到AP=8，再依据△EDG∽△EAP，即可得到DE长．
【详解】如图，
由FB∥AP可得，△CBF∽△CAP，
∴，即，
解得AP=8，
由GD∥AP可得，△EDG∽△EAP，
∴，即，
解得ED=2，
故答案为2．
【点睛】此题考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的长度．
17．
【分析】作DE⊥AC于点E，根据∠DAE+∠BAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，得到∠BAE=∠ADE，从而得到△DAE∽△ACB，求得AB=16cm，利用平行四边形的面积公式求解即可．
【详解】如图，作DE⊥AC于点E，
∵道路的宽为4m，
∴DE=4米，
∴AE=3m，
∵∠DAE+∠BAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAE=∠ADE，
∴△DAE∽△ACB，
∴ DE：AB = AE：BC，
即4：AB = 3：12，
解得：AB=16（cm），
∴道路的面积为AD×AB=5×16=80（m2），
故答案为80.
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据相似三角形的性质求得线段AB的长．
18．15
【详解】解：根据同时同地物高与影长成正比．
设旗杆高度为x米，
由题意得，，
解得x=15．
故答案为15．
19．
【分析】设，由题意可知两组三角形相似，利用相似比找出关于x的方程，即可求出建筑物的高度．
【详解】解：由题意可知：，
，，
，
，
．
设，则，
解得：，
，
，
．
答：该古建筑高．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，求出的值是解题的关键．
20．(1)灯泡离地面的高度为
(2)横向影子，的长度和为
【分析】（1）根据相似三角形的判定可得，利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，可得灯泡离地面的高度；
（2）同法可得到横向影子的长度和．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∴．
∴，
∴，
解得；
∴灯泡离地面的高度为；
（2）设横向影子，的长度和为，
同理可得．
∴，
即，
解得：，
∴横向影子，的长度和为．
【点睛】本题考查了中心投影，相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
21． ；图像见解析．
【分析】根据同一时刻，用物体与影子构成相似三角形，再根据对应边成比例即可求解．
【详解】图像如下：
如图分别为雕塑与小永的实物与影子图
两物与地面垂直
都在同一时间点的阳光照射下，
~
则雕塑高为
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握同一时刻构造出相似三角形为关键．
22．（1）的情形下正方形的面积大，理由见解析
【分析】求出两个正方形的边长，根据面积大的比较合理来选择．
【详解】解：（1）设正方形边长为ycm，则DE=CD=EF=CF=ycm，
∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴；
（2）．
作边上的高，交于点M．
由，
得，解得．
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴．
设正方形的边长为，
则，解得．
∵，
∴（1）的情形下正方形的面积大．
【点睛】本题考查相似三角形的应用、正方形的面积等知识，解题的关键是根据相似三角形的性质列出方程解决问题，学会转化的思想思考问题．
23．15.6米
【分析】证明，根据相似三角形对应边成比例即可求解．
【详解】∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
答：树高15.6m．
【点睛】本题考查利用相似三角形测高，灵活运用相似三角形的性质是解题的关键．
24．二、三，12米
【分析】根据相似三角形的知识可知方案二中缺少边长的条件，故方案二不可行，根据光的反射角相等，以及，进而证明，同理可得，根据方案一的数据计算即可
【详解】解：相似三角形的知识可知方案二中缺少边长的条件，故方案二不可行，方案三中缺少边长的条件，故方案三不可行，
故答案为：二，三
选方案一
，
，
，
，
设BC=x，则，
同理可得，
，
，
，
解得x=8．
=12米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
一、单选题
1．（2022秋·河南焦作·九年级统考期末）如图所示，王华晚上在路灯下散步，已知王华的身高米，灯柱的高米，两灯柱之间的距离米，王华在两路灯之间行走时（O、A、三点在一条直线上），则他身子前后的两个影子之和的长为（ ）米．
A．6B．5C．4D．3
2．（2022秋·河南郑州·九年级统考期末）如图，小明探究“利用镜子反射测量旗杆的高度”．小明作为观测者，在旗杆和小明之间的地面上平放一面镜子，在镜子上作一个标记，小明看着镜子来回移动，当看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，通过测量得到以下数据：小明的眼睛到地面的距离为，小明的站的位置到镜子上标记的距离是，旗杆的底部到小明的位置是，则旗杆的高度为（ ）
A．B．16C．9D．
3．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）大约在两千五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm
4．（2022秋·河南信阳·九年级统考期末）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯O的水平距离，则树的高度AB长是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022秋·河南周口·九年级统考期末）如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m远，该同学的身高为1.7m，则树高为（ ）m．
A．3.4B．5.1C．6.8D．8.5
7．（2022秋·河南信阳·九年级统考期末）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（ ）
A．图形的平移B．图形的旋转C．图形的轴对称D．图形的相似
8．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（ ）
A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺
二、填空题
9．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）如图是用杠杆撬石头的示意图，点C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起，已知，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压 ．
10．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，甲楼AB高16米，乙楼CD坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是1：，已知两楼相距BD为12米，那么甲楼的影子落在乙楼上的高DE＝ 米（结果保留根号）．
11．（2022秋·河南信阳·九年级统考期末）如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸岸边每隔5m有一棵树，小华站在离南岸20m的点P处看北岸，在两棵树之间的空隙中，恰好看见一条龙舟的龙头和龙尾（假设龙头、龙尾和小华的眼睛位于同一水平平面内），已知龙舟的长为18.5m，若龙舟行驶在河的中心，且龙舟与河岸平行，则河宽为 m．
12．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点D）直行8里有一塔（点A），自西门（点E）直行2里至点B，切城角（点C）也可以看见塔，则CE的长是 里．
13．（2022秋·河南开封·九年级统考期末）如图，小刚在打网球时，球恰好能打过网，且落在离网5m的位置上，则他的球拍击球的高度是 m．
14．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）《九章算术》中记载了一种测距的方法．如图，有座塔在河流北岸的点E处，一棵树位于河流南岸的点A处，从点A处开始，在河流南岸立4根标杆，以这4根标杆为顶点，组成边长为10米的正方形，且A，D，E三点在一条直线上，在标杆B处观察塔E，视线与边相交于点F，如果测得米，那么塔与树的距离为 米．
15．（2022秋·河南洛阳·九年级统考期末）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB=1.8米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC为 米．
16．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，小明周末晚上陪父母在锦江绿道上散步，他由灯下A处前进4米到达B处时，测得影子BC长为1米，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到达D处，此时影子DE长为 米．
17．（2022秋·河南洛阳·九年级统考期末）如图，一条宽的道路将矩形花坛分为一个直角三角形和一个直角梯形，根据图中数据，可知这条道路的占地面积为 ．
18．（2022秋·河南郑州·九年级期末）在某一时刻，测得一根高为m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为 m．
三、解答题
19．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑的高度（如图1），如图2，在地面上取，两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且古建筑，标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到处，从处观察A点，A，，三点成一线；从标杆后退到处，从处观察A点，A，，三点也成一线，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑的高度．
20．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．
(1)如图1，垂直于地面放置的正方形框架，边长为，在其上方点处有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子，的长度和为．那么灯泡离地面的高度为多少．
(2)不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子，的长度和为多少？
21．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）位于沱河南岸的永城沱南生态广场，有座雕塑《汉韵南风袅袅歌》，雕塑由主体和书着《永城赋》的基座两部分构成（如图），其立意是“这里是汉兴腹地，这里是豫东江南……”九·1班数学社团的同学们想利用学过的测量旗杆高度的方法测量这座雕塑（含基座，下同）的高度（从雕塑周围地平面算起），已知负责测量的小永身高为h米（眼睛以上的高度忽略不计），测量时小永的影长为a米，雕塑的影长为b米；利用小镜测量时，小永离镜子的距离为c米，镜子离雕塑的最高点所在直线的距离为d米．请你帮助小永选择其中一个方案，画出图形并计算出雕塑的高度（结果用含字母的式子表示），
22．（2022秋·河南三门峡·九年级统考期末）如图，已知直角三角形的铁片ABC的两直角边BC、AC的长分别为3cm和4cm，分别采用（1）、（2）两种剪法，剪出一块正方形铁片，为使所得的正方形面积最大，问哪一种剪法好？为什么？
23．（2022秋·河南许昌·九年级统考期末）如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量水平地面上树AB的高度，已知两直角边，他调整自己的姿势和三角形纸板的位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，DM垂直于地面，测得，边DF离地面的距离为，求树高AB．
24．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）河南省实验中学指路灯，一直陪伴着我校航空班、足球队、田径队日夜奋战、不断训练的同学们．一数学兴趣小组为了测量灯柱AB的高度，设计了以下三个方案；
方案一：在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退1m到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动4 m(即 FC=4 m)放在F处．从点F处向后退1.5 m到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得的眼睛距地面的高度ED、GH为1.5m、已知点B，C、D，F、H在同一水平线上，且GH⊥FH，ED⊥CD，AB⊥BH．(平面镜的大小忽略不计)
方案二：利用标杆CD测量灯柱的高度．已知标杆CD高1.5 m，测得DE=2 m，CE=2.5 m．
方案三：利用三角板的斜边CE保持水平，并且边CE与点M在同一直线上．已知两条边CE=0.4m，EF=0.2 m，测得边CE离地面距离DC=1.5 m． 三种方案中，方案_________不可行，请选择可行的方案求出灯柱的高度．
参考答案：
1．B
【分析】证明，得，则，证，得到，则，根据，即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由题意可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴,
即的长为5米．
故选：B
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
2．D
【分析】如图，，利用题意得，则可判断，然后利用相似比计算出的长．
【详解】解：如图，，
∴
由题意得，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
即旗杆的高度为．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
3．A
【分析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可．
【详解】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为xcm，则
，解得：x=6，
即蜡烛火焰的高度为6cm，
故答案为：A．
【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．
4．C
【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB．
【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm），
第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm），
因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯，
所以图1和图2中的两个三角形相似，
∴，
∴（cm），
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是读懂题意，与图形建立关联，能灵活运用相似三角形的判定得到相似三角形，并能运用其性质得到相应线段之间的关系等，本题对学生的观察分析的能力有一定的要求．
5．A
【分析】利用相似三角形的性质得到对应边成比例，列出等式后求解即可．
【详解】解：由题可知，，
∴,
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与应用，解决本题的关键是能读懂题意，建立相似关系，得到对应边成比例，完成求解即可，本题较基础，考查了学生对相似的理解与应用等．
6．B
【分析】根据相似三角形的性质即可列方程求解．
【详解】由相似三角形的性质，设树高x米，则，
∴x＝5.1m．
故选：B．
【点睛】此题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟知相似三角形的性质．
7．D
【分析】根据在同一时刻的太阳光下物体的影长和物体的实际高度成比例即可判断；
【详解】根据题意画出如下图形：可以得到，则
即为金字塔的高度，即为标杆的高度，通过测量影长即可求出金字塔的高度
故选：D.
【点睛】本题主要考查将实际问题数学化，根据实际情况画出图形即可求解.
8．B
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【详解】设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，
∴，
解得x=45（尺），
即竹竿的长为四丈五尺．
故选B
【点睛】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
9．45
【分析】如图：都与水平线的垂直，M，N是垂足，则，即，然后根据相似三角形的对应边成比例求解即可．
【详解】解：如图，都与水平线的垂直，M，N是垂足，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴当时，，
故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压．
故答案为：45．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的实际应用，正确作出辅助线、构造相似三角形是解题的关键．
10．/
【分析】过点E作FE⊥AB于点F，解直角三角形AEC可以求得AF的长，进而求得DE=AB-AF即可解题．
【详解】解：如图，过点E作FE⊥AB于点F，则四边形BDEF是矩形，则BF=DE，EF=BD=12
在Rt△AEF中，∠AFE=90°，EF=BD=12米．
∵物高与影长的比是1：，
，
即米，
（米），
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角似三角形的应用，根据物高与影长的比是1：，得出AF的值是解题的关键．
11．108
【分析】根据题意画出示意图，过点P作于点F，交AB于点E，证明，再借助相似三角形的性质计算PF的长，再由题意计算河宽即可．
【详解】解：根据题意画出示意图，过点P作于点F，交AB于点E，
由题意可知，两树之间的距离m，龙舟的长m，点P到南岸的距离m，
∵，
∴，
∴，即，
∴m，
∴m，
∵龙舟行驶在河的中心，
∴河宽为m．
故答案为：108．
【点睛】本题主要考查了利用相似三角形解决实际问题，解题关键是根据题意作出示意图，构建相似三角形．
12．4
【分析】设CE的长为x里，根据题意得到BE∥CD，∠BEC=∠ADC=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：设CE的长为x里，
由题意得，BE∥CD，∠BEC=∠ADC=90°，CE=CD=x，BE=2里，AD=8里，
∴∠B=∠ACD，
∴△CEB∽△ADC，
∴，
∴
∴x=4，（负值舍去）
故答案为：4．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
13．2.4
【分析】根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE∥BC可知，△ADE∽△ACB，根据其相似比即可求解．
【详解】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，即，
则，
∴h=2.4m．
故答案为：2.4．
，
【点睛】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
14．25
【分析】根据题意可以利用正方形的性质求出FD，并且得到△FDE∽△FCB，从而运用相似三角形的性质求解ED，即可得出结论．
【详解】∵四边形ABCD为正方形，边长为10米，
∴AD=CD=BC=10，FD=CD-CF=6，
∵AD∥BC，且A，D，E三点在一条直线上，
∴AE∥BC，
∴△FDE∽△FCB，
∴，
即：，
∴ED=15，
∴AE=AD+ED=25米，
故答案为：25．
【点睛】本题考查相似三角形判定与性质的实际应用，准确判断出相似三角形，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
15．8米．
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴BDAC，
∴△ACE∽△DBE，
∴，
∴，
∴AC=8(米)，
故答案为：8(米) ．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形，掌握相似三角形的判定及性质是解决此类题的关键．
16．2
【分析】依据△CBF∽△CAP，即可得到AP=8，再依据△EDG∽△EAP，即可得到DE长．
【详解】如图，
由FB∥AP可得，△CBF∽△CAP，
∴，即，
解得AP=8，
由GD∥AP可得，△EDG∽△EAP，
∴，即，
解得ED=2，
故答案为2．
【点睛】此题考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的长度．
17．
【分析】作DE⊥AC于点E，根据∠DAE+∠BAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，得到∠BAE=∠ADE，从而得到△DAE∽△ACB，求得AB=16cm，利用平行四边形的面积公式求解即可．
【详解】如图，作DE⊥AC于点E，
∵道路的宽为4m，
∴DE=4米，
∴AE=3m，
∵∠DAE+∠BAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAE=∠ADE，
∴△DAE∽△ACB，
∴ DE：AB = AE：BC，
即4：AB = 3：12，
解得：AB=16（cm），
∴道路的面积为AD×AB=5×16=80（m2），
故答案为80.
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据相似三角形的性质求得线段AB的长．
18．15
【详解】解：根据同时同地物高与影长成正比．
设旗杆高度为x米，
由题意得，，
解得x=15．
故答案为15．
19．
【分析】设，由题意可知两组三角形相似，利用相似比找出关于x的方程，即可求出建筑物的高度．
【详解】解：由题意可知：，
，，
，
，
．
设，则，
解得：，
，
，
．
答：该古建筑高．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，求出的值是解题的关键．
20．(1)灯泡离地面的高度为
(2)横向影子，的长度和为
【分析】（1）根据相似三角形的判定可得，利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，可得灯泡离地面的高度；
（2）同法可得到横向影子的长度和．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∴．
∴，
∴，
解得；
∴灯泡离地面的高度为；
（2）设横向影子，的长度和为，
同理可得．
∴，
即，
解得：，
∴横向影子，的长度和为．
【点睛】本题考查了中心投影，相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
21． ；图像见解析．
【分析】根据同一时刻，用物体与影子构成相似三角形，再根据对应边成比例即可求解．
【详解】图像如下：
如图分别为雕塑与小永的实物与影子图
两物与地面垂直
都在同一时间点的阳光照射下，
~
则雕塑高为
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握同一时刻构造出相似三角形为关键．
22．（1）的情形下正方形的面积大，理由见解析
【分析】求出两个正方形的边长，根据面积大的比较合理来选择．
【详解】解：（1）设正方形边长为ycm，则DE=CD=EF=CF=ycm，
∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴；
（2）．
作边上的高，交于点M．
由，
得，解得．
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴．
设正方形的边长为，
则，解得．
∵，
∴（1）的情形下正方形的面积大．
【点睛】本题考查相似三角形的应用、正方形的面积等知识，解题的关键是根据相似三角形的性质列出方程解决问题，学会转化的思想思考问题．
23．15.6米
【分析】证明，根据相似三角形对应边成比例即可求解．
【详解】∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
答：树高15.6m．
【点睛】本题考查利用相似三角形测高，灵活运用相似三角形的性质是解题的关键．
24．二、三，12米
【分析】根据相似三角形的知识可知方案二中缺少边长的条件，故方案二不可行，根据光的反射角相等，以及，进而证明，同理可得，根据方案一的数据计算即可
【详解】解：相似三角形的知识可知方案二中缺少边长的条件，故方案二不可行，方案三中缺少边长的条件，故方案三不可行，
故答案为：二，三
选方案一
，
，
，
，
设BC=x，则，
同理可得，
，
，
，
解得x=8．
=12米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
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