第27章 相似 人教版九年级数学下册单元测试题(含解析)

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2022-2023学年人教版九年级数学下册《第27章相似》单元综合测试题（附答案）一．选择题（满分30分）1．已知＝，那么下列等式中不一定正确的是（　　）A．2x＝5y B．＝ C．＝ D．＝2．如图，直线l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB：BC＝1：2，DE＝2（　　）A．2 B．3 C．4 D．53．如图，下列选项中不能判定△ACD∽△ABC的是（　　）A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C．AC2＝AD•AB D．BC2＝BD•AB4．已知点A（0，3），B（﹣4，8），以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的（　　）A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2）或（1，﹣2） D．（2，﹣1）或（﹣2，1）5．如图，已知△ABC，点D，AC的反向延长线上，且DE∥BC．若AE＝4，AD＝5，则AB为（　　）A．5 B．8 C．10 D．156．凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线DB的距离之比为5：4，则物体被缩小到原来的（　　）A． B． C． D．7．如图，在△ABC中，AB＝8cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动（　　）秒时△QBP与△ABC相似．A．2秒 B．4秒 C．2或0.8秒 D．2或4秒8．如图，锐角△ABC的边AB、AC上的高线BD、CE交于点O，连接ED（　　）A．5对 B．6对 C．7对 D．8对9．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC边上的点且BE：EC＝3：1，设△BEF的面积为S1，平行四边形ABCD的面积为S2，则S1：S2的值为（　　）A． B． C． D．10．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，AF的中点为H，连接BG、DH．给出下列结论：①AF⊥DE；③HD∥BG；④△ABG与△DFH相似．其中正确的结论有（　　）个A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（满分24分）11．已知线段a＝1，b＝4，则a、b的比例中项为 　 　．12．如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝2：3，其中CB＝，DE＝　 　．13．边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图）　 　．14．如图，在△ABC中，D、E为边AB的三等分点，H为AF与DG的交点．若AC＝12，则DH＝　 　．15．一般认为，如果一个人的上半身（肚脐以上的高度）与下半身（肚脐以下的高度），则这个人好看．某位参加空姐选拔的选手身高160厘米，上半身长65厘米　 　cm的鞋子才能好看？（精确到1cm）．16．如图，射线AM，BN都与线段AB垂直，过点A作BE的垂线AC，分别交BE，过点C作CD⊥AM于点D．若CD＝CF，则＝　 　．17．已知：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、C的坐标分别为A（6，0）、C（0，4），过P作PQ⊥OP，交AB边于Q　 　．18．如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，DE和FG相交于点O，设AB＝a（a＞b）．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③；④（a﹣b）2•S△EFO＝b2•S△DGO．其中结论正确的是 　 　．三．解答题（满分66分）19．如图，△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，AD＝6，CD＝2．求EB的长．20．如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，在AD边上取一点F，并延长BF交CD的延长线于点G．（1）若∠ABF＝∠ACF，求证：CE2＝EF•EG；（2）若DG＝DC，BE＝7，求EF的长．21．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上（1）当点P恰好为AB中点时，PQ＝　 　．（2）当PQ＝40mm，求出PN的长度．（3）若这个矩形的边PN：PQ＝1：2．则这个矩形的长、宽各是多少7．22．如图，在平面直角坐标系中，已知线段A1B1与线段AB关于原点O中心对称，点A1（﹣1，2）是点A的对应点，点B1是点B（3，1）的对应点．（1）画出线段AB和A1B1；（2）画出线段AB以点O为位似中心，位似比为1：2的线段A2B2．23．小明利用数学课所学知识测量学校门口路灯的高度．如图：AB为路灯主杆，AE为路灯的悬臂，CD是长为1.8米的标杆．已知路灯悬臂AE与地面BG平行，主杆顶端A、标杆顶端D和地面上一点G在同一直线上，此时小明发现路灯E、标杆顶端D和地面上另一点F也在同一条直线上（路灯主杆底端B、标杆底端C和地面上点F、点G在同一水平线上），路灯的正下方H距离路灯主杆底端B的距离为3米．请根据以上信息求出路灯主杆AB的高度．24．如图，延长弦DB、弦EC，交于圆外一点A（1）证明：△ACD∽△ABE；（2）若AB＝5，AC＝6，AD＝1225．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律．【同题解决】如图2．小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，B，C，D在同一条直线上．（1）求BC的长；（2）求灯泡到地面的高度AG．参考答案一．选择题（满分30分）1．解：∵＝，∴8x＝5y，∴y＝x，∴＝＝，＝＝，≠，不一定正确的是D；故选：D．2．解：∵直线l1∥l2∥l4，∴，∴EF＝6DE＝2×2＝4．故选：C．3．解：由题意可得：△ACD和△ABC中，∠CAD＝∠BAC，若∠ACD＝∠B，由有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ACD∽△ABC；若∠ADC＝∠ACB，由有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ACD∽△ABC；若AC2＝AD•AB，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可得△ACD∽△ABC；故选：D．4．解：∵以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的，8），∴点D的坐标为（﹣4×，8×，即（﹣1，2）或（4．故选：C．5．解：∵DE∥BC，∴，∵AE＝4，AC＝8，∴，解得：AB＝10．故选：C．6．解：∵BC∥l，CG⊥l，∴四边形OBCG为矩形，∴OB＝CG，∵AH⊥HO，BO⊥HO，∴△AHF1∽△BOF1，∴＝＝，∴＝，∴物体被缩小到原来的．故选：A．7．解：设经过t秒时，△QBP与△ABC相似，则AP＝cmcmcm，∵∠PBQ＝∠ABC，∴当时，△BPQ∽△BAC，即;，解得：t＝2，当时，△BPQ∽△BCA，即，解得：t＝0.3，综上所述：经过0.8s或7s秒时，△QBP与△ABC相似，故选：C．8．解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BEC＝∠AEC＝∠BDC＝∠ADB＝90°，∴∠A+∠ABD＝∠A+∠ACE，∴∠ABD＝∠ACE，∴△ABD∽△ACE∽△BOE∽△COD，即有6对相似三角形，∴，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∵，∠DOE＝∠BOC，∴△BOC∽△EOD，故选：D．9．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，BC∥AD，∴△BEF∽△DAF，∴，＝，∵BE：EC＝3：5，∴BE：AD＝3：4，∴，，∴，设S△BEF＝9x，则S△ADF＝16x，S△ABF＝12x，∴S△ABD＝S△ABF+S△ADF＝12x+16x＝28x，∴平行四边形ABCD的面积为S3＝56x，∴S1：S2＝．故选：C．10．解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，∵E和F分别为BC和CD中点，∴DF＝EC＝2，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴∠AFD＝∠DEC，∠FAD＝∠EDC，∵∠EDC+∠DEC＝90°，∴∠EDC+∠AFD＝90°，∴∠DGF＝90°，即DE⊥AF；∵AD＝4，DF＝，∴AF＝＝＝2，∴DG＝AD×DF÷AF＝，故②错误；∵H为AF中点，∴HD＝HF＝AF＝，∴∠HDF＝∠HFD，∵AB∥DC，∴∠HDF＝∠HFD＝∠BAG，∵AG＝＝，AB＝6，∴，∴△ABG∽△DHF，故④正确；∴∠ABG＝∠DHF，而AB≠AG，则∠ABG和∠AGB不相等，故∠AGB≠∠DHF，故HD与BG不平行，故③错误；综上所述：①④正确．故选：B．二．填空题（满分24分）11．解：设线段x是线段a，b的比例中项，∵a＝1，b＝4，∴，∴x2＝ab＝4×1＝7，∴x＝2或x＝﹣2（舍去）．故答案为：3．12．解：∵△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝2：3，∴S△ABC：S△ADE＝2：5，∴BC：DE＝：，∵CB＝，∴DE＝，故答案为：．13．解：如图，∵BF∥DE，∴△ABF∽△ADE，∴＝，∵AB＝4，AD＝4+4+10＝20，∴＝，∴BF＝2，∴GF＝7﹣2＝4，∵CK∥DE，∴△ACK∽△ADE，∴＝，∵AC＝6+6＝10，AD＝20，∴＝，∴CK＝5，∴HK＝7﹣5＝1，∴阴影梯形的面积＝（HK+GF）•GH＝（1+4）×8＝15．故答案为：15．14．解：∵D、E为边AB的三等分点，∴BE＝DE＝AD，BF＝GF＝CG，∴AB＝3BE，DH是△AEF的中位线，∴DH＝EF，∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴，即，解得：EF＝4，∴DH＝EF＝，故答案为：2．15．解：设某位参加空姐选拔的选手应穿xcm的鞋子，根据题意，得：＝，解得：x≈10.18，经检验，x≈10.18是原方程的解，即某位参加空姐选拔的选手应穿10cm的鞋子才能好看．故答案为：10．16．解：设AF＝a，FC＝b；∵AM⊥AB，BN⊥AB，∴AM∥BN；∴△AEF∽△CBF；∴AE：BC＝AF：FC＝a：b；Rt△ABC中，BF⊥AC，∴∠ABC＝∠AFB＝90°，又∠BAC＝∠FAB，∴△AFB∽△ABC，∴＝，∴AB2＝AF•AC＝a（a+b）；∵AM⊥AB，BN⊥AB，∴四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝CF＝b；∴b2＝a（a+b），即a3+ab﹣b2＝0，（）2+（）﹣1＝0，解得＝（负值舍去）；∴＝，∴＝＝2﹣＝．故答案为：．17．解：设CP为x，BQ为y，则PB＝6﹣x，∵四边形OABC是矩形，PQ⊥OP，∴△OCP∽△PBQ，∴＝，∴y＝﹣x2+x＝﹣5+，y的最大值为：，∴AQ的最小值为：4﹣＝，故答案为：．18．解：①∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴BC＝DC，CG＝CE，∴∠BCG＝∠DCE，在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（SAS），故①正确；②延长BG交DE于点H，∵△BCG≌△DCE，∴∠CBG＝∠CDE，又∵∠CBG+∠BGC＝90°，∴∠CDE+∠DGH＝90°，∴∠DHG＝90°，∴BH⊥DE；∴BG⊥DE．故②正确；③∵DC∥EF，∴∠GDO＝∠OEF，∵∠GOD＝∠FOE，∴△OGD∽△OFE，∴＝（ ）2＝（ ）2＝，∴（a﹣b）2•S△EFO＝b4•S△DGO．故④正确；故答案为：①②④．三．解答题（满分66分）19．解：∵AE＝5，AD＝6，∴AC＝5，∵BD，CE分别是AC，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，又∵∠A＝∠A，∴△ADB∽△AEC，∴＝，∴AB＝＝＝，∴EB＝AB﹣AE＝﹣3＝，∴EB的长为．20．（1）证明：∵AB∥CG，∴∠ABF＝∠G，又∵∠ABF＝∠ACF，∴∠ECF＝∠G，又∵∠CEF＝∠CEG，∴△ECF∽△EGC，∴，即CE2＝EF•EG；（2）解：∵平行四边形ABCD中，AB＝CD，又∵DG＝DC，∴AB＝CD＝DG，∴AB：CG＝1：8，∵AB∥CG，∴，即，∴EG＝14，BG＝21，∵AB∥DG，∴＝6，∴BF＝BG＝，∴EF＝BF﹣BE＝﹣7＝．21．解：（1）∵四边形PNQM为矩形，∴MN∥PQ，即PQ∥BC，∵点P恰好为AB中点时，∴AP＝BP，∴AQ＝CQ，∴PQ＝BC＝，故答案为：60mm；（2）∵四边形PNMQ为矩形，∴PQ∥BC，∵AD⊥BC，∴PQ⊥AD，∴△APQ∽△ABC，∴＝，∴＝，∴AH＝，∴PN＝HD＝（mm）；（3）设边宽为xmm，则长为2xmm，∵四边形PNMQ为矩形，∴PQ∥BC，∵AD⊥BC，∴PQ⊥AD，∵PN：PQ＝1：6，∴PQ为长，PN为宽，∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴，由题意知PQ＝2xmm，AD＝80mm，PN＝xmm，∴＝，解得x＝，2x＝．答：矩形的长mmmm．22．解：（1）如图，线段AB和A1B1即为所求；（2）如图，线段A2B2，线段A′2B′8即为所求．23．解：过点D作DM⊥AB于M，交EH于点N，∵AE∥BG，AB⊥BG，∴AE⊥AB，∵DM⊥AB，∴AE∥MD∥BG，∴AM等于△ADE的边AE上的高，∵AB⊥BG，EH⊥BG，∴AB∥EH∥CD，∴AE＝BH＝3米．BM＝CD＝1.5米，∵AE∥BG，∴△ADE∽△GDF，∴，即，∴AM＝5.6（米），∴AB＝AM+BM＝5.4（米），答：路灯主杆AB的高度为5.4米．24．（1）证明：∵∠D和∠E是所对的圆周角，∴∠D＝∠E，∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABE．（2）∵△ACD∽△ABE，∴＝，∵AB＝5，AC＝6，∴AE＝＝＝10，∴AE的长为10．25．解：（1）由题意可得：FC∥DE，则△BFC∽BED，∴＝，即＝，解得：BC＝5，答：BC的长为3m；（2）∵AC＝5.8m，∴AB＝5.4﹣5＝2.4（m），∵光在镜面反射中的反射角等于入射角，∴∠FBC＝∠GBA，又∵∠FCB＝∠GAB，∴△BGA∽△BFC，∴＝，∴＝，解得：AG＝1.8（m），答：灯泡到地面的高度AG为1.2m．