2024东莞虎门中学等七校高三上学期联考试题数学含解析

这是一份2024东莞虎门中学等七校高三上学期联考试题数学含解析，共25页。试卷主要包含了 已知集合，，则， 在复平面内，复数对应点为，则， 等边边长为，，则， 已知正实数满足，则的最小值为， 向量，，则在上的投影向量为等内容，欢迎下载使用。

一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数对应点为，则（ ）
A. 2B. 1C. D.
3. 对于定义域是的任意奇函数，都有（ ）
A. B.
C. D.
4. 假设你有一笔资金，现有三种投资方案，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
现打算投资10天，三种投资方案的总收益分别为，，，则
A. B.
C. D.
5. 函数在上单调递减，则t的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6. 等边边长为，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A. 9B. 8C. 3D.
8. 向量，，则在上的投影向量为（ ）
A B. C. D.
二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
9. 某学校一同学研究温差x（℃）与本校当天新增感冒人数y（人）的关系，该同学记录了5天的数据：
经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则（ ）
A. 经验回归直线经过B.
C. 时，残差为D. 若去掉样本点，则样本的相关系数r增大
10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. 的图象可由曲线向左平移个单位长度得到
B
C. 是图象的一个对称中心
D. 在区间上单调递增
11. 如图，圆锥的底面圆的直径，母线长为，点是圆上异于，的动点，则下列结论正确的是（ ）

A. 与底面所成角为45°
B. 圆锥的表面积为
C. 的取值范围是
D. 若点为弧的中点，则二面角的平面角大小为45°
12. 已知大气压强随高度的变化满足关系式是海平面大气压强，.我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表：
若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围，设在第一、二、三级阶梯某处的压强分别为，则（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.
13. 已知，则的值为________．
14. 已知，则值为______.
15. 某公司员工小明上班选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是________．
16. 已知是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为6，则球的表面积为________.
四､解答题：本大题共6小题，第17题10分，18､19､20､21､22题各12分，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.
17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求B；
（2）若，的面积为，求的周长.
18. 如图，在长方体中，和交于点为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求点A到平面的距离.
19. 记为数列的前项和，已知．
（1）求；
（2）若，记为的前项和，且满足，求的最大值．
20. 某乡镇在实施乡村振兴的进程中，大力推广科学种田，引导广大农户种植优良品种，进一步推动当地农业发展，不断促进农业增产农民增收.为了解某新品种水稻品种的产量情况，现从种植该新品种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取400亩，统计其亩产量（单位：吨）.并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图.
附：.
（1）求这400亩水稻平均亩产量的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，精确到小数点后两位）；
（2）若这400亩水稻的灌溉水源有河水和井水，现统计了两种水源灌溉的水稻的亩产量，并得到下表：
试根据小概率值的独立性检验分析，用井水灌溉是否比河水灌溉好？
21. 适量的运动有助于增强自身体质，加快体内新陈代谢，有利于抵御疾病．某社区组织社区居民参加有奖投篮比赛，已知小李每次在罚球点投进的概率都为．
（1）若每次投篮相互独立，小李在罚球点连续投篮6次，恰好投进4次的概率为，求的最大值点；
（2）现有两种投篮比赛规则，规则一：在罚球点连续投篮6次，每投进一次，奖励两盒鸡蛋，每次投篮相互独立，每次在罚球点投进的概率都以（1）中确定的作为p的值；规则二：连续投篮3次，每投进一次，奖励四盒鸡蛋．第一次在罚球点投篮，投进的概率以（1）中确定的作为p的值，若前次投进，则下一次投篮位置不变，投进概率也不变，若前次未投进，则下次投篮要后退1米，投进概率变为上次投进概率的一半．请分析小李应选哪种比赛规则对自己更有利．
22. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，且，证明：，且．
东莞市2023-2024学年第一学期七校联考试卷
高三数学
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析可得，由此可得出结论.
【详解】任取，则，其中，所以，，故，
因此，.
故选：C.
2. 在复平面内，复数对应的点为，则（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的几何意义及复数的除法法则，结合复数的模公式即可求解.
【详解】因为复数z在复平面内对应的点为，
所以.
所以，
所以.
故选：B.
3. 对于定义域是的任意奇函数，都有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据为奇函数，可得，再对四个选项逐一判断即可得正确答案.
【详解】∵为奇函数，
∴，
∴，
又，∴，
故选：C
【点睛】本题主要考查了奇函数的定义和性质，属于基础题.
4. 假设你有一笔资金，现有三种投资方案，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
现打算投资10天，三种投资方案的总收益分别为，，，则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设三种方案第天的回报分别为，，，由条件可知为常数列；是首项为10，公差为10的等差数列；是首项为0.4，公比为2的等比数列，然后求出投资10天三种投资方案的总收益为，，，即可判断大小．
【详解】解：设三种方案第天的回报分别为，，，则，
由条件可知为常数列；是首项为10，公差为10的等差数列；
是首项为0.4，公比为2的等比数列．
设投资10天三种投资方案的总收益为，，，
则；；
，
所以．
故选：．
【点睛】本题考查数列的实际应用，关键在于根据生活中的数据，转化到数列中所需的基本量，公差，公比等，属于中档题.
5. 函数在上单调递减，则t的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复合函数的单调性可得的单调性，从而可求得t的取值范围.
【详解】因为函数在上单调递增，所以根据复合函数的单调性可得函数在上单调递减，则，解得.
故选：A
6. 等边边长为，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，结合向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解.
【详解】如图所示，由是边长为的等边三角形，且，可得，
所以.
故选：D.
7. 已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A. 9B. 8C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式进行求解即可
【详解】由条件知，
，
当且仅当时取等号.
故选：C
8. 向量，，则在上投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接由投影向量公式求解即可.
【详解】在上的投影向量为.
故选：D.
二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
9. 某学校一同学研究温差x（℃）与本校当天新增感冒人数y（人）的关系，该同学记录了5天的数据：
经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则（ ）
A. 经验回归直线经过B.
C. 时，残差为D. 若去掉样本点，则样本相关系数r增大
【答案】ABC
【解析】
【分析】计算样本中心点可得验证选项A；由样本中心点计算验证选项B；根据残差的定义计算验证选项C；根据相关系数r的分析验证选项D．
【详解】，，
所以样本中心点为，则A正确；
由，得，则B正确；
由B知，，当时，，
则残差为，则C正确；
由相关系数公式可知，去掉样本点后，相关系数r的公式中的分子、分母的大小都不变，故相关系数r的大小不变，故D不正确．
故选：ABC．
10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. 的图象可由曲线向左平移个单位长度得到
B.
C. 是图象的一个对称中心
D. 在区间上单调递增
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数的图象确定函数的表达式为，即可结合选项逐一求解.
【详解】由图可知：，
又经过点，所以,故，
由于故，
对于A，的图象可由曲线向左平移个单位长度得到，故A错误，
对于B，，故B正确，
对于C， ，故是图象的一个对称中心，故C正确，
对于D，令，解得，
故的其中两个单调递增区间为，，故在不单调递增，故D错误，
故选:BC
11. 如图，圆锥的底面圆的直径，母线长为，点是圆上异于，的动点，则下列结论正确的是（ ）

A. 与底面所成角为45°
B. 圆锥的表面积为
C. 的取值范围是
D. 若点为弧的中点，则二面角的平面角大小为45°
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，根据面，由判断；对于B，由圆锥的侧面积公式求解判断；对于C，由求解判断；对于D，取的中点，连接，，易得为二面角的平面角求解判断.
【详解】对于A，因为面，所以是与底面所成角，
在中，圆锥的母线长是，半径，
则，所以，则A正确；
对于B，圆锥的侧面积为，表面积为，则B错误；
对于C，当点与点重合时，为最小角，
当点与点重合时，达到最大值，
又因为与，不重合，则，
又，可得，则C正确；
对于D，如图所示，
，
取的中点，连接，，又为的中点，则，
因为，所以，又面，面，所以，
又，面，故，
所以为二面角的平面角，
因为点为弧的中点，所以，，则，则D错误.
故选：AC.
12. 已知大气压强随高度的变化满足关系式是海平面大气压强，.我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表：
若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围，设在第一、二、三级阶梯某处的压强分别为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，列出不等式，根据对数函数的性质解对数不等式即可求解.
【详解】设在第一级阶梯某处的海拔为，则，即.
因为，所以，解得A正确；
由，得.当时，，即，所以，B错误；
设在第二级阶梯某处的海拔为，在第三级阶梯某处的海拔为，
则两式相减可得.
因为，所以，则，即，故均正确.
故选:ACD.
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.
13. 已知，则的值为________．
【答案】10
【解析】
【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接列式计算作答.
【详解】依题意，.
故答案为：10
14. 已知，则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用三角函数的诱导公式、二倍角的正余弦公式以及同角三角函数的基本关系求解.
【详解】.
故答案为: .
15. 某公司员工小明上班选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】设小明迟到为事件A，小明自驾为事件B，由题可得，后由条件概率公式可得答案.
【详解】设小明迟到为事件A，小明自驾为事件B，则， .
则在小明迟到的条件下，他自驾去上班的概率为.
故答案为：
16. 已知是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为6，则球的表面积为________.
【答案】
【解析】
【分析】当平面时，三棱锥体积最大，设球的半径为，列方程求解即可.
【详解】如图所示，当平面时，三棱锥的体积最大，
设球的半径为，此时，
故，则球的表面积为.
故答案为：.
四､解答题：本大题共6小题，第17题10分，18､19､20､21､22题各12分，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.
17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求B；
（2）若，的面积为，求的周长.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出，进而求出；
（2）根据余弦定理可得到，再根据三角形面积公式得到 ，即可求出 ，进而求出的周长.
【详解】解：（1），
由正弦定理得：，
整理得：，
∵在中，，
∴，
即，
∴，
即；
（2）由余弦定理得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为.
18. 如图，在长方体中，和交于点为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求点A到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）1
【解析】
【分析】（1）利用空间中直线与平面平行的判定定理，结合三角形中位线即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，求平面法向量，再根据面面夹角的向量公式及点到面的距离公式运算求解．
【小问1详解】
如图，连接，，.
因为长方体中,且，
所以四边形为平行四边形.
所以为的中点，
在中，因为，分别为和的中点，
所以.
因为平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
如图建立空间直角坐标系，因为长方体中,，
则，，，，，
，.
所以，，.
设平面的法向量为，
则即，
令，则，，可得.
，
所以点A到平面的距离为.
19. 记为数列的前项和，已知．
（1）求；
（2）若，记为的前项和，且满足，求的最大值．
【答案】（1）
（2）12
【解析】
【分析】（1）利用与的关系计算即可；
（2）利用等比数列、等差数列的求和公式及分组求和法求，再由函数的单调性解不等式即可.
【小问1详解】
当时，，解得，
当时，，
因为，所以，即，
所以，
所以，是首项为3，公比为3的等比数列，
所以数列的通项公式为；
【小问2详解】
由题意知：，
所以，
易知在上单调递增，
而，
所以满足的的最大值为12．
20. 某乡镇在实施乡村振兴的进程中，大力推广科学种田，引导广大农户种植优良品种，进一步推动当地农业发展，不断促进农业增产农民增收.为了解某新品种水稻品种的产量情况，现从种植该新品种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取400亩，统计其亩产量（单位：吨）.并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图.
附：.
（1）求这400亩水稻平均亩产量的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，精确到小数点后两位）；
（2）若这400亩水稻的灌溉水源有河水和井水，现统计了两种水源灌溉的水稻的亩产量，并得到下表：
试根据小概率值的独立性检验分析，用井水灌溉是否比河水灌溉好？
【答案】（1）
（2）用河水灌溉是比井水灌溉好.
【解析】
【分析】（1）先根据频率之和为1求出的值，再根据公式求出平均值；
（2）运用卡方公式进行求解.
【小问1详解】
由题：，解得，
所以这400亩水稻平均亩产量的估计值为：
；
【小问2详解】
，
因为，
所以根据小概率值的独立性检验分析，有95%的把握认为亩产量与所用灌溉水源相关,用河水灌溉是比井水灌溉好.
21. 适量的运动有助于增强自身体质，加快体内新陈代谢，有利于抵御疾病．某社区组织社区居民参加有奖投篮比赛，已知小李每次在罚球点投进的概率都为．
（1）若每次投篮相互独立，小李在罚球点连续投篮6次，恰好投进4次的概率为，求的最大值点；
（2）现有两种投篮比赛规则，规则一：在罚球点连续投篮6次，每投进一次，奖励两盒鸡蛋，每次投篮相互独立，每次在罚球点投进的概率都以（1）中确定的作为p的值；规则二：连续投篮3次，每投进一次，奖励四盒鸡蛋．第一次在罚球点投篮，投进的概率以（1）中确定的作为p的值，若前次投进，则下一次投篮位置不变，投进概率也不变，若前次未投进，则下次投篮要后退1米，投进概率变为上次投进概率的一半．请分析小李应选哪种比赛规则对自己更有利．
【答案】（1）最大值点
（2）小李应选规则一参加比赛．
【解析】
【分析】（1）先求出连续投篮6次，恰好投进4次的概率的解析式，再利用导数研究其单调性及其最值即可；
（2）若选规则一,利用二项分布概念即可求出其数学期望；若选规则二，可分别求出离散型随机变量的各种情况概率，从而可求得其分布列，进而得出其数学期望，比较这两种规则下求得的数学期望，进而判断即可.
【小问1详解】
由题意得则，
则，
令，得，
当时，，在区间内单调递增，当时，，在区间内单调递减，所以的最大值点．
【小问2详解】
若选规则一，记X为小李投进的次数，则X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6．
则，则，
记Y为小李所得鸡蛋的盒数，则，．
若选规则二，记Z为小李投进的次数，则Z的所有可能取值为0，1，2，3．
记小李第k次投进为事件，未投进为事件，
所以投进0次对应事件为，其概率为；
投进1次对应事件为，
其概率；
投进2次对应事件为，
其概率．
投进3次对应事件为，
其概率，
所以Z的分布列为
所以；
记L为小李所得鸡蛋的盒数，则，，
因为，所以小李应选规则一参加比赛．
22. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，且，证明：，且．
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数的单调性；
（2）变形为是方程的两个实数根，构造函数，得到其单调性和极值最值情况，结合图象得到，再构造差函数，证明出.
小问1详解】
的定义域为R，
由题意，得，，
当时，恒成立，在上单调递增；
当，且当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
【小问2详解】
证明：由，得，是方程的两个实数根，
即是方程的两个实数根．
令，则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以．
因为当时，；当时，，，所以．
不妨设，因为，是方程的两个实数根，则．
要证，只需证．
因为，，
所以只需证．
因为，
所以只需证．
今，，
则
在恒成立．
所以在区间上单调递减，
所以，
即当时，．
所以，
即成立．
【点睛】极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，若等式中含有参数，则先消去参数.
x
5
6
8
9
12
y
17
20
25
28
35
平均海拔
第一级阶梯
第二级阶梯
第三级阶梯
0.100
0.050
0010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
亩产量超过
亩产量不超过
合计
河水灌溉
180
90
270
井水灌溉
70
60
130
合计
250
150
400
x
5
6
8
9
12
y
17
20
25
28
35
平均海拔
第一级阶梯
第二级阶梯
第三级阶梯
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
亩产量超过
亩产量不超过
合计
河水灌溉
180
90
270
井水灌溉
70
60
130
合计
250
150
400
Z
0
1
2
3
P