辽宁省沈阳市东北育才双语学校2022-2023学年高二上学期期末数学试题（答案在卷尾）

这是一份辽宁省沈阳市东北育才双语学校2022-2023学年高二上学期期末数学试题（答案在卷尾），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知椭圆x225+y2m2=1（m>0）的一个焦点为F10,−4，则m=（ ）
A．41B．3C．41D．9
2．已知a=2x,1,3,b=1,−2y,9，如果a//b，则x+y=（ ）
A．−43B．0C．43D．—1
3．过点A1,2在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（ ）
A．y=2xB．x+y−3=0
C．x=y或x+y−3=0D．y=2x或x+y−3=0
4．如图， “天宫空间站”是我国自主建设的大型空间站，其基本结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱三个部分. 假设有6名航天员(4男2女) 在天宫空间站开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人， 且两名女航天员不在一个舱内，则不同的安排方案种数为（ ）
A．14B．18C．30D．36
5．若圆C:x+12+y−22=2被直线2ax+by+6=0平分，由点Pa,b向圆C作切线，切点为A，则PA的最小值是（ ）
A．4B．25C．3D．6
6．已知x−2xn的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（ ）
A．−448B．−1024C．−1792D．−5376
7．设点P是抛物线C1:x2=4y上的动点,点M是圆C2:(x−5)2+(y+4)2=4上的动点,d是点P到直线y=−2的距离,则d+|PM|的最小值是（ ）
A．52−2B．52−1C．52D．52+1
8．P是双曲线x24−y25=1右支在第一象限内一点，F1，F2分别为其左、右焦点，A为右顶点，如图圆C是△PF1F2的内切圆，设圆与PF1，PF2分别切于点D，E，当圆C的面积为4π时，直线PF2的斜率为（ ）
A．±43B．43或0C．0D．43
二、多选题
9．已知直线l1：2mx−3y+4=0，l2：(m+2)x−(m+1)y+2m+5=0(m∈R)，则下列选项正确的为（ ）
A．直线l2过定点−3,−1B．当l1⊥l2时，m=−3或m=−12
C．当m≠2时，l1和l2相交D．当l1∥l2时，两直线l1，l2之间的距离为1
10．将甲，乙，丙，丁4个志愿者分别安排到学校图书馆，食堂，实验室帮忙，要求每个地方至少安排一个志愿者帮忙，则下列选项正确的是（ ）
A．总其有36种安排方法
B．若甲安排在实验室帮忙，则有6种安排方法
C．若图书馆需要安排两位志愿者帮忙，则有24种安排方法
D．若甲､乙安排在同一个地方帮忙，则有6种安排方法
11．如图，四边形ABCD为正方形，平面PCD⊥平面ABCD，且△PCD为正三角形，CD=2，M为BC的中点，则下列命题中正确的是（ ）
A．BC⊥PDB．AM//平面PCD
C．直线AM与PC所成角的余弦值为55D．二面角C−PD−M大小为π6
12．已知C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左，右焦点分别为F1，F2，长轴长为6，点M6,1在椭圆C外，点N在椭圆C上，则下列说法中正确的有（ ）
A．椭圆C的离心率的取值范围是63,1
B．椭圆C上存在点Q使得QF1⋅QF2=0
C．已知E0,−2，当椭圆C的离心率为223时，NE的最大值为13
D．NF1+NF2NF1⋅NF2的最小值为23
三、填空题
13．已知抛物线C:y2=16x的焦点为F，在C上有一点P满足PF=13，则点P到x轴的距离为 .
14．在3×3的方格中放入1个白球和完全相同的2个黑球，每一行、每一列各只有一个球，每球占一格，则不同的放法种数为 ．（结果用数字作答）
15．如图，∠BOC在平面α内，OA是α的斜线，若∠AOC=∠AOB=60°,OA=OB=OC=1,BC=2，则OA与平面α所成角是 ．
16．已知F1，F2是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a,b>0)的左、右焦点，过F2的直线交双曲线的右支于A，B两点，且AF1=2AF2，∠AF1F2=∠F1BF2，则在下列结论中，正确结论的序号为 ．
①双曲线C的离心率为2；②双曲线C的一条渐近线的斜率为2；
③线段AB的长为6a ；④△AF1F2的面积为15a2．
四、解答题
17．已知2x−1x5.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）设2x−1x5的展开式中前三项的二项式系数之和为M，1−ax4的展开式中各项系数之和为N，若M=N，求实数a的值.
18．已知点A1,−2，B−1,4，求：
(1)过点A，B且周长最小的圆的标准方程；
(2)过点A，B且圆心在直线2x−y−4=0上的圆的标准方程．
(3)圆C的圆心为C1,0，且过点A12,32．直线l：kx−y+2=0与圆C交M，N两点，且MN=2，求k．
19．在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1，E是DC的中点，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求平面A1B1C1D1与平面AED1夹角的余弦值；
(2)求点B1到平面AED1的距离；
(3)向量m=−2,1,1是否与向量AE、AD1共面?
20．已知椭圆E的焦点为F1−1,0，F21,0，且经过点P−1,22.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)直线l：y=x+t与曲线E交于M，N两点，求四边形MF1NF2面积的最大值.
21．如图,在四棱锥P−ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠ADC=60,平面PBC ⊥平面ABCD,且侧面PBC为等边三角形.E为线段BC的中点.
(1)求证:直线BC⊥PA;
(2)在线段AP上是否存在点F,使得直线EF与平面PAC所成角的正弦值为35.
22．设抛物线y2=2pxp>0的准线为l，A、B为抛物线上两动点，AA′⊥l于A′，定点K0,1使KA+AA′有最小值2．
(1)求抛物线的方程；
(2)当KA=λKB（λ∈R且λ≠1）时，是否存在一定点T满足TA⋅TB为定值？若存在，求出T的坐标和该定值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．A
【分析】根据椭圆中a,b,c的关系运算求解，注意焦点所在的位置.
【详解】由题意可知：椭圆的焦点在y轴上，且c=4,b=5,a=m，
则m=b2+c2=41.
故选：A.
2．A
【分析】根据向量共线定理，结合空间向量线性关系的坐标关系列方程求参数，即可得结果.
【详解】由题设，存在λ∈R使a=λb，则2x=λ1=−2λy3=9λ，可得x=16y=−32λ=13，
所以x+y=16−32=−43.
故选：A
3．D
【分析】按截距为0和不为0分类讨论分别求得符合题意的直线方程
【详解】当截距a≠0时，设直线方程为xa+ya=1，
将x=1，y=2代入得a=3，∴方程为x+y−3=0
当截距a=0时，过原点和点A1,2的直线方程为y=2x
又y=2x且在两坐标轴上的截距相等，
∴过点A且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为y=2x和x+y−3=0
故选：D.
4．B
【分析】先求出总的安排方案数，再求出两名女航天员在一个舱内的方案数，两者相减即可.
【详解】将6名航天员安排在3个实验舱的方案数为C64C21C11=30
其中两名女航天员在一个舱内的方案数为C42C21C12=12
所以满足条件的方案数为30−12=18种.
故选:B.
5．A
【分析】根据圆x+12+y−22=2被直线2ax+by+6=0平分，得到直线2ax+by+6=0过圆的圆心，代入圆心坐标的a−b=3，即可得到点P的轨迹方程为x−y=3，然后根据相切得到PA⊥AC，利用勾股定理得到PA=PC2−2，然后求PC的最小值即可.
【详解】因为圆x+12+y−22=2被直线2ax+by+6=0平分，所以直线2ax+by+6=0过圆的圆心，
由圆的方程得圆心C −1,2，代入直线得−2a+2b+6=0，整理得a−b=3，
因为点Pa,b，所以P为直线x−y=3上一动点，
因为PA与圆相切，所以PA⊥AC，PA=PC2−AC2=PC2−2，所以PA最小时，PC也最小，PCmin=−1−2−31+1=62=32，所以PAmin=18−2=4.
故选：A.
6．C
【分析】先根据二项式系数的性质可得n=8，再结合二项展开式的通项求各项系数ar=−2rC8r，分析列式求系数最小项时r的值，代入求系数的最小值.
【详解】∵展开式中只有第5项是二项式系数最大，则n=8
∴展开式的通项为Tr+1=C8rx8−r−2xr=−2rC8rx8−3r2,r=0,1,...,8
则该展开式中各项系数ar=−2rC8r,r=0,1,...,8
若求系数的最小值，则r为奇数且ar−ar+2≤0ar−ar−2≤0，即−2rC8r−−2r+2C8r+2≤0−2rC8r−−2r−2C8r−2≤0，解得r=5
∴系数的最小值为a5=−25C85=−1792
故选：C.
7．B
【分析】根据题意画出图像,将d转化为抛物线上点到准线的距离再加1,也即是抛物线上点到焦点的距离加1,若求d+|PM|的最小值,转化为抛物线上点到焦点距离和到圆上点的距离再加1即可,根据三角形两边之和大于第三边,即当F,P1,M1,C2共线时,d+|PM|取最小值为1+FC2−r,算出结果即可.
【详解】解:由题知圆C2:(x−5)2+(y+4)2=4,
∴C25,−4,r=2
F0,1为抛物线焦点,y=−1为抛物线准线,
则过点P向y=−1作垂线垂足为D,如图所示:
则d=1+PD,
根据抛物线定义可知PD=PF,
∴d=1+PF,
∴d+|PM|=1+PF+PM,
若求d+|PM|的最小值,只需求PF+PM的最小值即可,
连接FC2与抛物线交于点P1,与圆交于点M1,如图所示,
此时PF+PM最小,为FC2−r,
d+PMmin=1+FC2−r,
∵F0,1,C25,−4,∴FC2=52,
∴d+PMmin=1+FC2−r=52−1.
故选:B
8．D
【分析】由双曲线的定义以及切线的性质可得圆心横坐标为x0=a，又根据圆的面积可求出半径r=2，可知圆心C 2,2，可求出tan∠CF2A，因为CF2是∠PF2F1的角平分线，借助于角相等可求直线PF2的斜率.
【详解】由题意可知PD=PE,F1D=F1A，F2A=F2E，
所以PF1−PF2=PD+DF1−PE+EF2
=DF1−EF2=AF1−AF2=2a，设Ax0,0，
则x0+c−c−x0=2a，即x0=a，即Aa,0=2,0，
设圆C半径为rr>0，因为圆C的面积为4π，
则πr2=4π，即r=2，因为CA⊥F1F2，所以C 2,2，
于是tan∠CF2A =CAAF2 =23−2=2，
因为CF2是∠PF2F1的角平分线，所以
tan∠PF2F1 =tan2∠CF2A=2tan∠CF2A1−tan2∠CF2A=−43，
所以tan∠PF2x=tanπ−∠PF2F1=−tan∠PF2F1=43，
即直线PF2的斜率为43.
故选：D
9．AB
【分析】直线l2方程整理为关于m的方程，由恒等式知识可求得定点坐标，判断A，由垂直的条件求得参数范围，判断B，由两直线平行的条件求得m的值可得相交的条件，判断C，由两直线平行，然后求得m值，代入后得两平行线的方程，由距离公式计算．
【详解】直线l2方程整理为m(x−y+2)+2x−y+5=0，
由x−y+2=02x−y+5=0，解得x=−3y=−1，因此直线l2过定点(−3,−1)，A正确；
l1⊥l2，则2m(m+2)+3(m+1)=0，解得m=−3或m=−12，B正确；
由−(m+1)⋅2m+3(m+2)=0得m=2或m=−32，
所以m≠2且m≠−32时，l1和l2相交，C错；
m=2时，两直线方程分别为4x−3y+4=0，4x−3y+9=0，两直线平行，它们的距离为4−942+(−3)2=1，
m=−32时，两直线方程分别为−3x−3y+4=0和12x+12y+2=0，即x+y−43=0和x+y+4=0，两直线平行，距离为−43−42=823，
D错．
故选：AB．
10．AD
【分析】先将4人分成3组，再将3组安排到3个场馆，即可判断A；分实验室只安排甲1人和实验室安排2人，即可判断B；先安排2人去图书馆，再将其他2人安排到其他两个场馆，即可判断C；将甲､乙看成一人，则将3人安排到3个不同的地方，即可判断D.
【详解】解：对于A，先将4人分成3组，再将3组安排到3个场馆，
有C42⋅A33=36种安排方法，故A正确；
对于B，若实验室只安排甲1人，则有C32⋅A22=6种安排方法，
若实验室安排2人，则有A33=6种安排方法，
所以若甲安排在实验室帮忙，则有12种安排方法，故B错误；
对于C，先安排2人去图书馆，再将其他2人安排到其他两个场馆，
则有C42⋅A22=12种安排方法，故C错误；
对于D，若甲､乙安排在同一个地方帮忙，则有A33=6种安排方法，故D正确.
故选：AD.
11．ACD
【分析】取CD的中点O，连接OP，证明出PO⊥平面ABCD，以点O为坐标原点，DA、OC、OP的方向分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误.
【详解】取CD的中点O，连接OP，
因为△PCD为等边三角形，O为CD的中点，则PO⊥CD，
因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，PO⊂平面PCD，
所以，PO⊥平面ABCD，
又因为四边形ABCD为正方形，以点O为坐标原点，DA、OC、OP的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如上图所示的空间直角坐标系，
则A2,−1,0、B2,1,0、C0,1,0、D0,−1,0、P0,0,3、M1,1,0，
BC=−2,0,0，PD=0,−1,−3，BC⋅PD=0，则BC⊥PD，A对；
AM=−1,2,0，易知平面PCD的一个法向量为m=1,0,0，∴AM⋅m≠0，
故AM与平面PCD不平行，B错；
PC=0,1,−3，cs=AM⋅PCAM⋅PC=25×2=55，
所以，直线AM与PC所成角的余弦值为55，C对；
设平面PDM的法向量为n=x,y,z，DP=0,1,3，DM=1,2,0，
则n⋅DP=y+3z=0n⋅DM=x+2y=0，取y=3，则n=−23,3,−1，
所以，cs=m⋅nm⋅n=−231×4=−32，
由图可知，二面角C−PD−M的平面角为锐角，故二面角C−PD−M为π6，D对.
故选：ACD.
12．ABD
【分析】对于A，根据点在椭圆外利用离心率的公式可确定离心率的取值范围；对于B，转化为上下顶点处∠F1QF2≥90∘；对于C，根据点与椭圆的位置关系确定距离最值；对于D，利用基本不等式求解.
【详解】对于A，由题意可知2a=6，所以a=3，所以椭圆方程为x29+y2b2=1，
因为M6,1在椭圆C外，所以69+1b2>1解得b21−39=23，所以630)，
所以2a=|PF1|+|PF2|=0+(22)2+22+(22)2=22，
所以a=2,c=1,∴b=a2−c2=1，
所以椭圆E的标准方程为x22+y2=1.
（2）将y=x+t代入方程x22+y2=1，得3x2+4tx+2t2−2=0．
设M(x1，y1)、N(x2，y2)，
∴ Δ =16t2−4⋅3⋅(2t2−2)>0①，x1+x2=−4t3②，x1x2=2t2−23③，
由①得0≤t20，则t1.
y1+y2=4t，y1y2=4t，x1=ty1−1，x2=ty2−1，
且有TA⋅TB=x1−mx2−m+y1−ny2−n，
而TA⋅TB=ty1−m+tty2−m+t+y1−ny2−n
=t2+1y1y2−tm+t+ny1+y2+m+t2+n2
=t2+14t−tm+t+n4t+m+t2+n2
=1−4mt2+22−2n+mt+m2+n2，
因为，t的任意性，要使该值为定值，需满足
1−4m=02−2n+m=0，可得m=14n=98，此时TA⋅TB=8564.