2021-2022学年江苏省南京市六校联考高一（上）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年江苏省南京市六校联考高一（上）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知M＝{x|x∈A且x∉B}，若集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，4，6，8}，则M＝（ ）
A．{2，4}B．{6，8}C．{1，3，5}D．{1，3，6，8}
2．（5分）命题“∀x≥0，x3+x≥0”的否定是（ ）
A．∀x≥0，x3+x＜0B．∀x＜0，x3+x≥0
C．∃x≥0，x3+x＜0D．∃x≥0，x3+x≥0
3．（5分）已知0＜x＜1，若a＝lg2x，b＝2x，c＝x2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．c＜b＜a
4．（5分）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题，一不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深CD1，锯道AB＝2，则图中的长度为（ ）
A．B．πC．πD．π
5．（5分）要得到函数的图象，只需（ ）
A．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
B．将函数图象上所有点的横坐标变为原来倍（纵坐标不变）
C．将函数y＝3sin2x图象上所有点向左平移个单位
D．将函数y＝3sin2x图象上所有点向左平移个单位
6．（5分）已知b，c∈R，关于x的不等式x2+bx+c＜0的解集为（﹣2，1），则关于x的不等式cx2+bx+1＞0的解集为（ ）
A．（，1）B．（﹣1，）
C．（﹣∞，）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）
7．（5分）函数f（x）的图象如图所示，则（ ）
A．a＜0，b＜0，c＜0B．a＞0，b＜0，c＞0
C．a＞0，b＞0，c＜0D．a＞0，b＜0，c＜0
8．（5分）设函数f（x）＝x（x2﹣cs2），x∈（﹣3，3），则不等式f（1+x）+f（2）＜f（1﹣x）的解集是（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（﹣1，2）D．（1，2）
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对
（多选）9．（5分）已知x，y∈R，且0＜x＜y，则（ ）
A．sinx＜sinyB．C．2x﹣y＜1D．
（多选）10．（5分）已知函数y＝f（x），x∈R，对于任意x，y∈R，f（x+y）＝f（x）+f（y），则（ ）
A．f（x）的图象经过坐标原点
B．f（3x）＝3f（x）
C．f（x）单调递增
D．f（﹣x）+f（x）＝0
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝2sin（2x），则（ ）
A．函数f（x）的图象关于点（，0）对称
B．函数f（x）的图象关于直线x对称
C．若x∈[0，]，则函数f（x）的值域为[，]
D．函数f（x）的单调递减区间为[kπ，kπ]（k∈Z）
（多选）12．（5分）已知f（x）是定义域为R的奇函数，满足f（x+2）＝﹣f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝2，则（ ）
A．f（﹣3）＝﹣2
B．函数f（x）是周期函数
C．不等式f（x）＞0的解集是{x|4k＜x＜4k+2，k∈Z}
D．当关于x的方程f（x）＝mx恰有三个不同的解时，m＝2
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．（5分）已知角θ的终边经过点P（x，1）（x＞0），且tanθ＝x，则sinθ的值为 ．
14．（5分）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1℃，空气温度为θ0℃，则t分钟后物体的温度θ（单位：℃）满足：θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt．若当空气温度为30℃时，某物体的温度从90℃下降到60℃用时14分钟．则再经过28分钟后，该物体的温度为 ℃．
15．（5分）设函数f（x），若f（﹣1），则a＝ ．若函数f（x）有最小值，且无最大值，则实数a的取值范围是 ．
16．（5分）已知正实数x，y满足3x2+4xy+y2＝2，则9x+5y的最小值为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知集合M＝{x|x2﹣12x+20＜0，x∈R}，N＝{x||x﹣1|＜m，x∈R}．
（1）当m＝2时，求M∩N；
（2）在①充分条件，②必要条件这两个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的m存在，求出m的取值范围；若问题中的m不存在，请说明理由．问题：是否存在正实数m，使得“x∈M”是“x∈N”的___？
18．（12分）已知函数f（x）．
（1）求值；
（2）若f（α）＝2，求的值．
19．（12分）如图，有一块半径为1的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在圆周上．记梯形ABCD的周长为y．
（1）设∠CAB＝θ，将y表示成θ的函数；
（2）求梯形ABCD周长的最大值．
20．（12分）已知1＜a＜b＜c，且lgab+lgbcc．
（1）若c＝a3，求lgab的值；
（2）求lgab+lgbc的最小值．
21．（12分）已知函数f（x），g（x）＝2x+1﹣1．
（1）利用函数单调性的定义，证明：函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数；
（2）若存在实数x1，x2（0＜x1＜x2），使得函数f（x）在区间[x1，x2]上的值域为[，]，求实数m的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）＝x3+2x+3a|x|，a∈R．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性；
（2）设集合M＝{x|f（x+1）≥f（x），x∈R}，N＝{x|﹣1≤x≤1}，若N⊆M，求实数a的取值范围．
2021-2022学年江苏省南京市六校联考高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．（5分）已知M＝{x|x∈A且x∉B}，若集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，4，6，8}，则M＝（ ）
A．{2，4}B．{6，8}C．{1，3，5}D．{1，3，6，8}
【分析】根据集合M的定义即可求解．
【解答】解：因为M＝{x|x∈A且x∉B}，
又集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，4，6，8}，
则M＝{1，3，5}，
故选：C．
【点评】本题考查了新定义的应用，考查了学生的理解能力，属于基础题．
2．（5分）命题“∀x≥0，x3+x≥0”的否定是（ ）
A．∀x≥0，x3+x＜0B．∀x＜0，x3+x≥0
C．∃x≥0，x3+x＜0D．∃x≥0，x3+x≥0
【分析】根据全称命题与特称命题的否定关系即可求解．
【解答】解：因为已知命题为全称命题，
所以该命题的否定是“∃x≥0，x3+x＜0”，
故选：C．
【点评】本题考查了命题的否定，涉及到全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题．
3．（5分）已知0＜x＜1，若a＝lg2x，b＝2x，c＝x2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．c＜b＜a
【分析】在同一直角坐标系中分别画出三个函数的图象判断即可．
【解答】解：在同一直角坐标系中分别画出三个函数的图象，如图：
由图可知：．
即a＜c＜b，
故选：B．
【点评】本题考查对数的大小比较，属于中档题．
4．（5分）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题，一不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深CD1，锯道AB＝2，则图中的长度为（ ）
A．B．πC．πD．π
【分析】根据勾股定理先求出r，再根据弧长公式即可求出．
【解答】解：设半径为r，
则OD＝OC﹣CD＝r+1，
∵AB＝2，
∴AD＝1，
∴OD2＝OA2﹣AD2，
即（r+1）2＝r2﹣1，
解得r，
∴∠AOC，
即∠AOB，
∴的长度为π．
故选：B．
【点评】本题考查了弧长公式，勾股定理，考查了运算求解能力，属于基础题．
5．（5分）要得到函数的图象，只需（ ）
A．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
B．将函数图象上所有点的横坐标变为原来倍（纵坐标不变）
C．将函数y＝3sin2x图象上所有点向左平移个单位
D．将函数y＝3sin2x图象上所有点向左平移个单位
【分析】根据函数图象平移的“左加右减”原则对四个选项逐一进行平移变换可得正确答案．
【解答】解：将y＝3sin（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝3sin（x），故A错误；
将y＝3sin（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数y＝3sin（2x），故B错误；
将函数y＝3sin2x的图象上所有点向左平移个单位，得到函数y＝3sin（2x），故C错误；
将函数y＝3sin2x的图象上所有点向左平移个单位，得到函数y＝3sin（2x），故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了三角函数的图象平移变换，属于基础题．
6．（5分）已知b，c∈R，关于x的不等式x2+bx+c＜0的解集为（﹣2，1），则关于x的不等式cx2+bx+1＞0的解集为（ ）
A．（，1）B．（﹣1，）
C．（﹣∞，）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）
【分析】先利用一元二次不等式和一元二次方程的关系 得到b，c的值，再通过解一元二次不等式进行求解．
【解答】解：因为关于x的不等式 x2+bx+c＜0的解集为（﹣2，1），
所以，即，
则cx2+bx+1＞0 化为﹣2x2+x+1＞0，
即 （2x+1）（x﹣1）＜0，
解得x＜1
故选：A．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法、三个“二次”间的关系等知识，意在考查学生的数学转化能力和基本计算能力，属于中档题．
7．（5分）函数f（x）的图象如图所示，则（ ）
A．a＜0，b＜0，c＜0B．a＞0，b＜0，c＞0
C．a＞0，b＞0，c＜0D．a＞0，b＜0，c＜0
【分析】由函数的定义域可判断c的符号，分别令x＝0，y＝0可判断a，b的符号．
【解答】解：函数f（x）的定义域为{x|x≠﹣c}，
由图象可知﹣c＞0，∴c＜0，
令f（x）＝0得x，则0，∴，
令x＝0得y，则，∴b＜0，
∴a＞0，
即a＞0，b＜0，c＜0，
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的图象的应用，是基础题．
8．（5分）设函数f（x）＝x（x2﹣cs2），x∈（﹣3，3），则不等式f（1+x）+f（2）＜f（1﹣x）的解集是（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（﹣1，2）D．（1，2）
【分析】先判断函数f（x）的单调性与奇偶性，由f（x）的定义域可求得不等式中x的范围，对x分类讨论，利用单调性可得不等式的解集．
【解答】解：函数f（x）＝x（x2﹣cs2），x∈（﹣3，3），定义域关于原点对称，
且f（﹣x）＝﹣x（x2﹣cs2）＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数，
当x∈[0，3）时，y＝x≥0，y＝x2≥0，y＝﹣cs2＞0，且都为增函数，
（或利用导数f′（x）＝3x2﹣csxsin2＞0），
所以函数f（x）单调递增，则当x∈（﹣3，0]时，函数f（x）单调递增，
所以令﹣3＜1+x＜3，﹣3＜1﹣x＜3，解得﹣2＜x＜2，
则当x∈（0，2）时，f（1+x）+f（2）＞f（1+x）＞f（1﹣x），不符合题意；
当x∈（﹣2，0）时，令g（x）＝f（1+x）+f（2）﹣f（1﹣x），则不等式可化为g（x）＜0，
可知g（x）在（﹣2，0）上单调递增，且g（﹣1）＝f（0）+f（2）﹣f（2）＝0，
所以g（x）＜g（﹣1），
解得x＜﹣1，则﹣2＜x＜﹣1，即解集为（﹣2，﹣1）．
故选：A．
【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查不等式的解法，考查转化讨论思想与运算求解能力，属于中档题．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对
（多选）9．（5分）已知x，y∈R，且0＜x＜y，则（ ）
A．sinx＜sinyB．C．2x﹣y＜1D．
【分析】直接利用不等式的性质，函数的单调性，作差法的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于A：由于x和y的范围不确定，故sinx＜siny不一定成立，故A错误；
对于B：由于0＜x＜y，所以，故B正确；
对于C：由于x﹣y＜0，所以0＜2x﹣y＜1，故C正确；
对于D：，故，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，函数的单调性，作差法的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
（多选）10．（5分）已知函数y＝f（x），x∈R，对于任意x，y∈R，f（x+y）＝f（x）+f（y），则（ ）
A．f（x）的图象经过坐标原点
B．f（3x）＝3f（x）
C．f（x）单调递增
D．f（﹣x）+f（x）＝0
【分析】通过赋值法逐一对选项进行判断即可．
【解答】解：因为对于任意x，y∈R，f（x+y）＝f（x）+f（y），
令x＝y＝0，得f（0）＝f（0）+f（0）＝2f（0），
所以f（0）＝0，故A正确；
令y＝x，
所以f（x+x）＝f（x）+f（x），
即f（2x）＝2f（x），
所以f（2x+x）＝f（2x）+f（x），
即f（3x）＝3f（x），故B正确；
令y＝﹣x代入得f（0）＝f（x）+f（﹣x）＝0，故D正确；
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
由D选项可知，函数f（x）为奇函数，
所以f（﹣x2）＝﹣f（x2）
代入得f（x1﹣x2）＝f（x1）+f（﹣x2）＝f（x1）﹣f（x2），
因为x1﹣x2＜0，而f（x1﹣x2）的符号不确定，
所以不能确定函数的单调性，故C错；
故选：ABD．
【点评】本题考查了抽象函数的性质的判断，属于中档题．
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝2sin（2x），则（ ）
A．函数f（x）的图象关于点（，0）对称
B．函数f（x）的图象关于直线x对称
C．若x∈[0，]，则函数f（x）的值域为[，]
D．函数f（x）的单调递减区间为[kπ，kπ]（k∈Z）
【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：已知函数f（x）＝2sin（2x），
对于A：当x时，f（）＝0，故A正确；
对于B：当x时，f（）＝2sin（）＝0，故B错误；
对于C：由于，故，故．
故f（x）的值域为[，故C错误；
对于D：令，整理得x∈[kπ，kπ]（k∈Z），函数f（x）的单调递减区间为[kπ，kπ]（k∈Z）故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
（多选）12．（5分）已知f（x）是定义域为R的奇函数，满足f（x+2）＝﹣f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝2，则（ ）
A．f（﹣3）＝﹣2
B．函数f（x）是周期函数
C．不等式f（x）＞0的解集是{x|4k＜x＜4k+2，k∈Z}
D．当关于x的方程f（x）＝mx恰有三个不同的解时，m＝2
【分析】由已知可求出f（x）的周期，即可判断B；由周期及已知解析式可求得f（﹣3），即可判断A；求出函数f（x）在一个周期[﹣1，3]内的解析式，作出图象即可判断CD．
【解答】解：由题意可知，f（x+2）＝﹣f（x），所以f[（x+2）+2]＝﹣f（x+2）＝﹣[﹣f（x）]＝f（x），
所以函数f（x）是周期为4的周期函数，故B正确；
对于选项A，f（﹣3）＝f（1）＝2，故A错误；
对于选项C，当x∈（0，1]时，f（x）＝2，当x∈[﹣1，0）时，f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣2，
因为f（x+2）＝﹣f（x），f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（﹣x）＝f（x+2），则函数f（x）关于x＝1对称，
所以当x∈（1，2]时，f（x）＝f（﹣x+2）＝2，当x∈（2，3]时，f（x）＝f（﹣x+2）＝﹣22，
则可作出函数f（x）在一个周期[﹣1，3]上的图象，如图所示，
所以在一个周期[﹣1，3]时，f（x）＞0，解得x∈（0，2），
所以在整个定义域上，f（x）＞0的解集是{x|4k＜x＜4k+2，k∈Z}，故C正确；
对于D，根据函数f（x）的图象可知，当m＞2时，f（x）＝mx也有三个不同的解，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查函数的周期性，不等式的解法，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．（5分）已知角θ的终边经过点P（x，1）（x＞0），且tanθ＝x，则sinθ的值为 ．
【分析】直接利用三角函数的定义的应用求出结果．
【解答】解：角θ的终边经过点P（x，1）（x＞0），且tanθ＝x，
解得x＝±1（负值舍去）；
则sin．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的定义，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
14．（5分）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1℃，空气温度为θ0℃，则t分钟后物体的温度θ（单位：℃）满足：θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt．若当空气温度为30℃时，某物体的温度从90℃下降到60℃用时14分钟．则再经过28分钟后，该物体的温度为 37.5 ℃．
【分析】根据已知条件，结合指数函数的公式，即可求解．
【解答】解：∵θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt，
又∵当空气温度为30℃时，某物体的温度从90℃下降到60℃用时14分钟，
∴60＝30+（90﹣30）e﹣14k，解得，
当过了42分钟，θ＝30+（90﹣30）e﹣42k＝30+60×（e﹣14k）3．
故答案为：37.5．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握指数函数的公式是解本题的关键，属于基础题．
15．（5分）设函数f（x），若f（﹣1），则a＝ ．若函数f（x）有最小值，且无最大值，则实数a的取值范围是 ．
【分析】将x＝﹣1，x分别对应的函数中，即可求解a的值，分别求出当， 时，f（x）的值域，再结合函数f（x）有最小值，且无最大值，即可求解．
【解答】解：∵f（x），
又∵f（﹣1），
∴1+a，解得a，
当时，
，
当时，
，
∵函数f（x）有最小值，且无最大值，
∴，解得，
故实数a的取值范围为．
故答案为：；．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
16．（5分）已知正实数x，y满足3x2+4xy+y2＝2，则9x+5y的最小值为 4 ．
【分析】由已知得，（3x+y）（x+y）＝2，而9x+5y＝2（3x+y）+3（x+y），然后利用基本不等式即可求解．
【解答】解：因为正实数x，y满足3x2+4xy+y2＝2，
即（3x+y）（x+y）＝2，
则9x+5y＝2（3x+y）+3（x+y）4，
当且仅当2（3x+y）＝3（x+y）且（3x+y）（x+y）＝2时取等号，此时9x+5y取得最小值4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是基本不等式应用条件的配凑，属于中档题．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知集合M＝{x|x2﹣12x+20＜0，x∈R}，N＝{x||x﹣1|＜m，x∈R}．
（1）当m＝2时，求M∩N；
（2）在①充分条件，②必要条件这两个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的m存在，求出m的取值范围；若问题中的m不存在，请说明理由．问题：是否存在正实数m，使得“x∈M”是“x∈N”的___？
【分析】（1）m＝2时，求解集合N和集合M，根据交集定义可求M∩N；
（2）将充分必要条件的问题转换为集合间的关系进行计算即可．
【解答】解：集合M＝{x|x2﹣12x+20＜0，x∈R}＝{x|2＜x＜10}，
（1）当m＝2时，N＝{x||x﹣1|＜2，x∈R}＝{x|﹣1＜x＜3}，
所以M∩N＝{x|2＜x＜3}；
（2）选①，即“x∈M”是“x∈N”的充分条件，则M⊆N，
显然此时集合N≠∅，即m＞0，
所以N＝{x|1﹣m＜x＜1+m}，
则有，解得m≥9；
所以m的取值范围是[9，+∞）．
选②，即“x∈M”是“x∈N”的必要条件，则N⊆M，
1°当N＝∅时，m≤0，此时满足条件；
2°当N≠∅时，m＞0，N＝{x|1﹣m＜x＜1+m}，
则有，此时不等式组无解；
综上，m的取值范围是（﹣∞，0]．
【点评】本题考查了集合的运算，集合间的关系，属于中档题．
18．（12分）已知函数f（x）．
（1）求值；
（2）若f（α）＝2，求的值．
【分析】（1）直接利用三角函数的诱导公式的应用和三角函数的化简求出结果；
（2）利用（1）的结论，进一步利用同角三角函数的值的应用求出结果．
【解答】解：（1）tanx，
所以f（）＝tan（2）；
（2）由（1）得：f（α）＝tanα＝2，
故．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，三角函数的值，同角三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
19．（12分）如图，有一块半径为1的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在圆周上．记梯形ABCD的周长为y．
（1）设∠CAB＝θ，将y表示成θ的函数；
（2）求梯形ABCD周长的最大值．
【分析】（1）过点C作CF垂直于AB于点F，由∠ACB＝90°可得BC＝2sinθ，BF＝BCsinθ＝2sin2θ，进而得到CD＝2﹣4sin2θ，从而求出y关于θ的表达式．
（2）由（1）可知y＝﹣4sin2θ+4sinθ+4，，设t＝sinθ，则t∈（0，），所以y＝﹣4t2+4t+4，利用二次函数的性质即可求出y的最大值．
【解答】解：（1）过点C作CF垂直于AB于点F，如图所示，
∵下底AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°，AB＝2，
∴BC＝ABsinθ＝2sinθ，
又∵∠BCF＝∠CAB＝θ，∴BF＝BCsinθ＝2sin2θ，
∴CD＝AB﹣2BF＝2﹣4sin2θ，
∴梯形ABCD的周长y＝AB+CD+2BC＝2+2﹣4sin2θ+4sinθ＝﹣4sin2θ+4sinθ+4，且，
即y＝﹣4sin2θ+4sinθ+4，．
（2）y＝﹣4sin2θ+4sinθ+4，，
设t＝sinθ，则t∈（0，），
∴y＝﹣4t2+4t+4，
∴当t时，y取得最大值5，
即当θ时，y取得最大值5．
【点评】本题主要考查了三角函数的实际应用，考查了利用二次函数的性质求最值，属于中档题．
20．（12分）已知1＜a＜b＜c，且lgab+lgbcc．
（1）若c＝a3，求lgab的值；
（2）求lgab+lgbc的最小值．
【分析】（1）将题中的条件c＝a3代入，即可解出；
（2）利用基本不等式，将其转化成一元二次不等式，即可解出．
【解答】解：（1）若c＝a3，则lgab+lgba3，
即lgab+3lgba，所以（lgab）2b+3＝0，
解得lgab＝2或，
（2）因1＜a＜b＜c，则lga＞0，lgb＞0，lgc＞0，
由c＝lgab+lgbc22，
当且仅当时取等号，
令lgac＝x，则x＞1，
∴x≥2，
∴2x﹣41≥0，
∴1，
∴lgab+lgbc2，
即lgab+lgbc的最小值为2．
【点评】本题考查了对数的运算性质，涉及到基本不等式的应用，考查了学生的数学运算能力，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x），g（x）＝2x+1﹣1．
（1）利用函数单调性的定义，证明：函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数；
（2）若存在实数x1，x2（0＜x1＜x2），使得函数f（x）在区间[x1，x2]上的值域为[，]，求实数m的取值范围．
【分析】（1）根据题意，利用作差法分析可得结论；
（2）根据题意，原问题等价于方程f（x）g（x）＝m存在两个正根，设F（x）＝f（x）g（x），将F（x）的解析式变形，分析其最小值，即可得答案．
【解答】解：（1）证明：根据题意，f（x）1，
设0＜x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）＝（1）﹣（1）2，
若0＜x1＜x2，则1＞0，1＞0，0，
则有f（x1）﹣f（x2）＞0，即函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数；
（2）根据题意，由（1）的结论，函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数，
若存在实数x1，x2（0＜x1＜x2），使得函数f（x）在区间[x1，x2]上的值域为[，]，
则有f（x1）且f（x2），
变形可得f（x1）g（x1）＝m且f（x2）g（x2）＝m，
则方程f（x）g（x）＝m存在两个正根，
设F（x）＝f（x）g（x），
又由函数f（x），g（x）＝2x+1﹣1，
则F（x）＝f（x）g（x）[2（2x﹣1）+1]＝2（2x+1）2（2x﹣1）5，
又由2（2x﹣1）2[（2x﹣1）]≥2×24，当且仅当2x﹣1＝1时等号成立，
故F（x）的最小值为9，没有最大值，
若f（x）g（x）＝m存在两个正根，必有m＞9，
故m的取值范围为（9，+∞）．
【点评】本题考查函数与方程的关系，涉及函数单调性的判断以及性质的应用，属于难题．
22．（12分）已知函数f（x）＝x3+2x+3a|x|，a∈R．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性；
（2）设集合M＝{x|f（x+1）≥f（x），x∈R}，N＝{x|﹣1≤x≤1}，若N⊆M，求实数a的取值范围．
【分析】（1）分a＝0和a≠0两种情况分别讨论函数的奇偶性；
（2）由题意可得x2+x+1+a|x+1|⩾a|x|恒成立，分别在﹣1⩽x⩽0时，0＜x≤1时求解，最终可得a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝0时，f（x）＝x3+2x，定义域为R．
且f（﹣x）＝（﹣x）3+2（﹣x）＝﹣x3﹣2x＝﹣f（x）．
故f（x）为奇函数；
当a≠0 时，f（﹣1）＝﹣3+3a，f（1）＝3+3a，
f（﹣1）+f（1）＝6a≠0，
即f（﹣1）≠﹣f（1），且f（﹣1）≠f（1），
因此f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
综上，当a＝0时，f（x）为奇函数；
当a≠0时，f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
（2）由f（x+1）⩾f（x）得（x+1）3+2（x+1）+3a|x+1|⩾x3+2x+3a|x|，
整理得x2+x+1+a|x+1|⩾a|x|，
由题意知，当﹣1⩽x⩽1时，x2+x+1+ax+1|⩾a|x|恒成立，
当﹣1⩽x⩽0时，x+1⩾0，
则x2+x+1+a（x+1）⩾﹣ax，
即x2+（2a+1）x+a+1⩾0，
设g（x）＝x2+（2a+1）x+a+1，x∈[﹣1，0]，
①当，即时，
g（x）min＝g（﹣1）＝1﹣a⩾0，即a≤1，
又，所以；
②当，即时，
，
即，
又，所以；
③当，即时，
g（x）min＝g（0）＝a+1⩾0，即a≥﹣1，
又，所以；
综上，﹣1⩽a⩽1．
当0＜x≤1时，x2+x+1+a（x+1）⩾ax，即x2+x+a+1⩾0，
因为﹣1⩽a⩽1，所以x2+x+a+1⩾x2+x＞0恒成立，
由此﹣1⩽a⩽1，
故a的取值范围是[﹣1，1]．
【点评】本题考查了函数奇偶性，不等式的恒成立问题，属于难题．
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