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2022-2023学年安徽省黄山市高一（上）期末数学试卷
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这是一份2022-2023学年安徽省黄山市高一（上）期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）cs（﹣510°）的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）设集合A＝{0，2，4，6，8，10}，B＝{x|3x＜x2}，则下列说法正确的是（ ）
A．A∪B＝{4，6，8，10}B．A∩B＝∅
C．A⊆BD．A∩∁RB＝{0，2}
3．（5分）已知“p：一元二次方程x2+bx+c＝0有一正根和一负根；q：c＜0．”则p是q的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（5分）方程x＝3﹣lgx的根所在的区间为（ ）
A．[1，2]B．[2，3]C．[3，4]D．[4，5]
5．（5分）已知f（x）＝2sin（ωx+φ），φ∈（0，π）是定义在R上的偶函数，且周期T＝4π，则（ ）
A．B．C．﹣1D．1
6．（5分）已知，则tan2α＝（ ）
A．B．1C．D．
7．（5分）已知函数的单调递增区间是[2，3），则f（2）＝（ ）
A．﹣1B．1C．0D．2
8．（5分）对于函数f（x），若x1，x2满足f（x1）f（x2）＝f（x1+x2），则称x1，x2为函数f（x）的一对“类指数”．若
正实数a与b为函数f（x）＝kx（k＞0）的一对“类指数”，a+4b的最小值为9，则k的值为（ ）
A．B．1C．D．2
二、多选题。（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。选错不得分，选不全得2分。）
（多选）9．（5分）已知正数x，y，z满足等式2x＝3y＝6z，下列说法正确的是（ ）
A．x＞y＞zB．x＞2y
C．D．
（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（
A．f（x）的图像关于点对称
B．f（x）的图像关于直线对称
C．f（x）在上为增函数
D．把f（x）的图像向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图像
（多选）11．（5分）已知a＞0、b＞0，a+2b＝ab，则下列说法正确的是（ ）
A．a＞2，b＞1
B．ab的最小值为8
C．a+b的最小值为3
D．（a﹣2）2+（b﹣1）2的最小值为4
（多选）12．（5分）已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数f（x）在[2，3]∪[4，+∞）上单调递增
B．函数g（x）＝lg4（x+2）的图象与函数f（x）的图象仅有4个交点
C．不等式f（x）≥3的解集为（﹣∞，﹣5]∪[5，+∞）
D．方程[f（x）]2﹣a•f（x）+（2a﹣4）＝0有6个不相等的实数根，则实数a＞5
三、填空题。（本题共4小题，每小题5分，共20分。请在答题卷的相应区域答题。）
13．（5分）已知“命题p：∀α＞90°，则α是钝角”，则命题p的否定为 ．
14．（5分）cs346°•cs419°+sin14°•sin121°＝ ．
15．（5分）写出一个同时满足下列三个性质的函数：f（x）＝ ．
①f（x）为奇函数；
②f（x+1）为偶函数；
③f（x）在R上的最大值为2．
16．（5分）已知函数f（x），若f（a）+f（﹣5）＝0，则a＝ ；若存在x1＜x2，满足f（x1）＝f（x2），则x2﹣lg2（x1+1）的取值范围是 ．
四、解答题。（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。请在答题卷的相应区域答题。）
17．（10分）已知函数f（x）＝x2+bx﹣3有两个零点x1、x2，且x1、x2的倒数和为．
（1）求不等式f（x）≤0的解集P；
（2）已知集合S＝{x|x＜m或x＞m+1}．若（∁RS）∩P＝∅，求实数m的取值范围．
18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，角，其终边与以原点为圆心的单位圆O交于点．
（1）将射线OP绕点O按逆时针方向旋转弧度后交单位圆O于点Q，求点Q的坐标；
（2）若角，且，求sinγ的值．
19．（12分）已知函数f（x）＝（a2﹣4a+4）•ax是指数函数，函数．
（1）求函数y＝（f（x）﹣2）•（f（x）+1）在[0，1]上的值域；
（2）若函数g（x）是定义域为R的奇函数，试判断函数g（x）的单调性，并用定义证明．
20．（12分）近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就．2022年11月29日，神舟十五号载人飞船搭载航天员费俊龙、邓清明、张陆飞往中国空间站，与神舟十四航天员“会师”太空，12月4日晚神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲安全顺利出舱，圆满完成飞行任务．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可用公式计算火箭的最大速度v（m/s），其中v0（m/s）是喷流相对速度，m（kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为500（m/s）．
（1）当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的2倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加500（m/s），求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值．（参考数据：ln2≈0.7，ln5≈1.6，2.718＜e＜2.719）
21．（12分）已知函数f（x）的定义域为R，其图象关于原点成中心对称，且对任意的a，b∈R，当a+b≠0时，都有成立．
（1）试讨论f（a）与f（b）的大小；
（2）若关于x的不等式在x∈（m，+∞）上恒成立，求实数m的最小值．
22．（12分）如图，扇形OPQ的半径OP＝1，圆心角，点C是圆弧PQ上的动点（不与P、Q点重合），现在以动点C为其中一个顶点在扇形中截出一个四边形，下面提供了两种截出方案，如果截出的两个四边形面积的最大值之差的绝对值不大于，则称这两个四边形为“和谐四边形”．试问提供的两种方案截出的两个四边形是否是“和谐四边形”？请说明理由．
2022-2023学年安徽省黄山市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题。（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请在答题卷的相应区域答题。）
1．（5分）cs（﹣510°）的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用余弦函数为偶函数将所求式子化简，再利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简，即可求出值．
【解答】解：cs（﹣510°）＝cs510°＝cs（360°+150°）
＝cs150°＝cs（180°﹣30°）＝﹣cs30°．
故选：B．
2．（5分）设集合A＝{0，2，4，6，8，10}，B＝{x|3x＜x2}，则下列说法正确的是（ ）
A．A∪B＝{4，6，8，10}B．A∩B＝∅
C．A⊆BD．A∩∁RB＝{0，2}
【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合B＝{x|x＞3或x＜0}，然后根据集合的运算和基本关系逐项判断即可求解．
【解答】解：由题意可得：B＝{x|3x＜x2}＝{x|x＞3或x＜0}，
对A，又因为A＝{0，2，4，6，8，10}，所以A∪B＝{x|x≤0或x＝2或x＞3}，故选项A错误；
对B，A∩B＝{4，6，8，10}，故选项B错误；
对C，集合A，B不存在包含关系，故选项C错误；
对D，因为∁RB＝{x|0≤x≤3}，所以A∩∁RB＝{0，2}，故选项D正确，
故选：D．
3．（5分）已知“p：一元二次方程x2+bx+c＝0有一正根和一负根；q：c＜0．”则p是q的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据韦达定理，p成立q一定成立，得出p是q的充分条件；反之q成立可得出p成立，得出p是q的必要条件，从而得出p是q的充分必要条件．
【解答】解：一元二次方程x2+bx+c＝0有一正根和一负根，则这两根的乘积小于0，
∴根据韦达定理c＜0，
∴p是q的充分条件；
若c＜0，则Δ＝b2﹣4c＞0，根据韦达定理方程x2+bx+c＝0有一正根和一负根，
∴p是q的必要条件，
∴p是q的充分必要条件．
故选：C．
4．（5分）方程x＝3﹣lgx的根所在的区间为（ ）
A．[1，2]B．[2，3]C．[3，4]D．[4，5]
【分析】方程x＝3﹣lgx的根为x+lgx﹣3＝0的根，令f（x）＝x+lgx﹣3，则方程的根为函数f（x）的零点，求出零点所在区间，即可得出答案．
【解答】解：方程x＝3﹣lgx的根为x+lgx﹣3＝0的根，
令f（x）＝x+lgx﹣3，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，
因为f（2）＝2+lg2﹣3＝lg2﹣1＜0，f（3）＝3+lg3﹣3＝lg3＞0，
所以f（x）在（2，3）上存在零点，
所以方程x＝3﹣lgx的根所在区间为[2，3]，
故选：B．
5．（5分）已知f（x）＝2sin（ωx+φ），φ∈（0，π）是定义在R上的偶函数，且周期T＝4π，则（ ）
A．B．C．﹣1D．1
【分析】由题意，根据三角函数的奇偶性、周期性、诱导公式，得出结论．
【解答】解：∵f（x）＝2sin（ωx+φ），φ∈（0，π）是定义在R上的偶函数，
∴φ，f（x）＝2csωx．
∵函数的周期T＝4π，∴ω，f（x）＝2cs．
则2cs，
故选：A．
6．（5分）已知，则tan2α＝（ ）
A．B．1C．D．
【分析】根据二倍角余弦公式、正切公式，同角三角函数的基本关系求解．
【解答】解：由，
解得tanα＝2，
所以，
故选：D．
7．（5分）已知函数的单调递增区间是[2，3），则f（2）＝（ ）
A．﹣1B．1C．0D．2
【分析】利用函数的定义域和复合函数的单调性求解即可．
【解答】解：设u＝﹣x2+ax+b，则u为开口向下，对称轴为的抛物线，
因为函数y＝lg0.5u在定义域内单调递减，函数f（x）的单调递增区间是[2，3），
所以由复合函数单调性的定义可得，解得，
所以，
所以，
故选：C．
8．（5分）对于函数f（x），若x1，x2满足f（x1）f（x2）＝f（x1+x2），则称x1，x2为函数f（x）的一对“类指数”．若
正实数a与b为函数f（x）＝kx（k＞0）的一对“类指数”，a+4b的最小值为9，则k的值为（ ）
A．B．1C．D．2
【分析】根据题意，由“类指数”的定义可得（ka）（kb）＝k（a+b），变形可得k，结合基本不等式的性质求出a+4b的最小值，可得关于k的方程，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，若正实数a与b为函数f（x）＝kx（k＞0）的一对“类指数”，
则（ka）（kb）＝k（a+b），变形可得k，
则a+4b（a+4b）（）（5）（5+2），
若a+4b的最小值为9，则9，解可得k＝1；
故选：B．
二、多选题。（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。选错不得分，选不全得2分。）
（多选）9．（5分）已知正数x，y，z满足等式2x＝3y＝6z，下列说法正确的是（ ）
A．x＞y＞zB．x＞2y
C．D．
【分析】设2x＝3y＝6z＝k，则x＝lg2k，y＝lg3k，z＝lg6k，再利用对数的运算性质逐个判断各个选项即可．
【解答】解：设2x＝3y＝6z＝k，则x＝lg2k，y＝lg3k，z＝lg6k，
对于选项A：∵lg2k＞lg3k＞lg6k，∴x＞y＞z，故选项A正确，
对于选项B：∵2y＝2lg3klg2k，∴2y＞x，故选项B错误，
对于选项C：lgk2+lgk3﹣lgk6lgk1＝0，故选项C正确，
对于选项D：lgk2﹣lgk3+lgk6lgk4≠0，故选项D错误，
故选：AC．
（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（
A．f（x）的图像关于点对称
B．f（x）的图像关于直线对称
C．f（x）在上为增函数
D．把f（x）的图像向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图像
【分析】由顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点作图求出φ，可得函数的解析式，再利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图像变换规律，三角函数的图像和性 质，得出结论．
【解答】解：根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图像，
可得A＝2，，∴ω＝π．
再结合五点法作图，可得πφ＝π，∴φ，
函数f（x）＝2sin（πx）．
令x，求得f（x）＝0，可得
f（x）的图像关于点对称，故A正确；
令x，求得f（x）＝﹣2，为最小值，可得f（x）的图像关于直线对称，故B正确；
在上，πx∈[，]，f（x）单调递增，故C正确；
把f（x）的图像向右平移个单位长度，可得y＝2sin（πx）＝﹣2csπx 的图像，得到一个偶函数的图像，故D错误．
故选：ABC．
（多选）11．（5分）已知a＞0、b＞0，a+2b＝ab，则下列说法正确的是（ ）
A．a＞2，b＞1
B．ab的最小值为8
C．a+b的最小值为3
D．（a﹣2）2+（b﹣1）2的最小值为4
【分析】由条件可得2b＝a（b﹣1）＞0，a＝b（a﹣2）＞0，进而可判断A；由基本不等式可得ab＝a+2b，解之即可；由条件得，结合基本不等式即可求解；由条件得（a﹣2）（b﹣1）＝2，结合基本不等式即可求解．
【解答】解：由于a+2b＝ab，a＞0、b＞0，则2b＝a（b﹣1）＞0，a＝b（a﹣2）＞0，故b＞1，a＞2，A正确；
ab＝a+2b，即（ab）2≥8ab，故ab≥8，当且仅当a＝2b取等号，故B正确；
由于a+2b＝ab，则，于是a+b＝a1＝a﹣23≥23，当且仅当a＝2取等号，C错误；
由于a+2b＝ab，则（a﹣2）（b﹣1）＝2，故（a﹣2）2+（b﹣1）2≥2（a﹣2）（b﹣1）＝4，当且仅当a﹣2＝b﹣1，即a＝b+1取等号，D正确．
故选：ABD．
（多选）12．（5分）已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数f（x）在[2，3]∪[4，+∞）上单调递增
B．函数g（x）＝lg4（x+2）的图象与函数f（x）的图象仅有4个交点
C．不等式f（x）≥3的解集为（﹣∞，﹣5]∪[5，+∞）
D．方程[f（x）]2﹣a•f（x）+（2a﹣4）＝0有6个不相等的实数根，则实数a＞5
【分析】作出函数的图象，利用数形结合的思想对选项一一判断即可得出答案．
【解答】解：作出函数f（x）的图象如图所示，
函数f（x）在[2，3]∪[4，+∞）上单调递增，不满足增函数的定义，说法不正确，
应该为：函数f（x）在[2，3]，[4，+∞）上单调递增，故A错误；
由图中可知，函数g（x）＝lg4（x+2）的图象与函数f（x）的图象仅有4个交点，故B正确；
当0≤x＜1时，，不满足；
当x≥1时，f（x）＝|x2﹣6x+8|≥3，解得：x≥5或x＝1，
因为f（x）是定义域为R的偶函数，
所以不等式f（x）≥3的解集为（﹣∞，﹣5]∪[5，+∞）∪{﹣1，1}，故C错误；
令t＝f（x），则方程[f（x）]2﹣a⋅f（x）+（2a﹣4）＝0等价于t2﹣at+（2a﹣4）＝0，解得：t＝2或t＝a﹣2，
当t＝2时，即t＝2与f（x）的图象有4个交点，
要使方程[f（x）]2﹣a⋅f（x）+（2a﹣4）＝0有6个不相等的实数根，
当t＝a﹣2与f（x）的图象有2个交点，则a﹣2＞3，解得：a＞5，故D正确．
故选：BD．
三、填空题。（本题共4小题，每小题5分，共20分。请在答题卷的相应区域答题。）
13．（5分）已知“命题p：∀α＞90°，则α是钝角”，则命题p的否定为 ∃α＞90°，使α不是钝角 ．
【分析】根据全称命题否定的形式即可写出答案．
【解答】解：全称命题的否定为特称命题，依题意，命题p的否定为：∃α＞90°，使α不是钝角．
故答案为：∃α＞90°，使α不是钝角．
14．（5分）cs346°•cs419°+sin14°•sin121°＝ ．
【分析】利用三角函数的诱导公式以及两角和差的余弦公式进行化简即可．
【解答】解：cs346°•cs419°+sin14°•sin121°＝cs（360°﹣14°）•cs（360°+59°）+sin14°•sin（180°﹣59°）
＝cs14°•cs59°+sin14°•sin59°＝cs（14°﹣59°）＝cs（﹣45°）＝cs45
，
故答案为：．
15．（5分）写出一个同时满足下列三个性质的函数：f（x）＝ （答案不唯一） ．
①f（x）为奇函数；
②f（x+1）为偶函数；
③f（x）在R上的最大值为2．
【分析】写出符合要求的三角函数即可．
【解答】解：分析函数的性质，可考虑三角函数，
因为f（x）为奇函数，所以f（x）可以为正弦型函数，
因为f（x+1）为偶函数，f（x）在R上的最大值为2，
所以函数解析式可以为f（x）或均可．
故答案为：（答案不唯一）．
16．（5分）已知函数f（x），若f（a）+f（﹣5）＝0，则a＝ lg25 ；若存在x1＜x2，满足f（x1）＝f（x2），则x2﹣lg2（x1+1）的取值范围是 [1，+∞） ．
【分析】若f（a）+f（﹣5）＝0，则f（a）＝4，然后分a＞0，a≤0两种情况求出a的值，画出f（x）的图象，若存在x1＜x2，满足f（x1）＝f（x2），则，其中﹣1＜x1≤0，0＜x2≤1，然后x2﹣lg2（x1+1），即可求解．
【解答】解：∵函数f（x），
∴f（﹣5）＝﹣4，
若f（a）+f（﹣5）＝0，则f（a）＝4，
当a＞0时，f（a）＝2a﹣1＝4，解得a＝lg25，满足题意，
当a≤0时，f（a）＝a+1＝4，解得a＝3，不满足题意，
故f（a）+f（﹣5）＝0，则a＝lg25，
f（x）的图象如下：
若存在x1＜x2，满足f（x1）＝f（x2），
则，其中﹣1＜x1≤0，0＜x2≤1，
∴x2﹣lg2（x1+1），
∵0＜x2≤1，
∴，，
∴．
故答案为：lg25；[1，+∞）．
四、解答题。（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。请在答题卷的相应区域答题。）
17．（10分）已知函数f（x）＝x2+bx﹣3有两个零点x1、x2，且x1、x2的倒数和为．
（1）求不等式f（x）≤0的解集P；
（2）已知集合S＝{x|x＜m或x＞m+1}．若（∁RS）∩P＝∅，求实数m的取值范围．
【分析】（1）根据零点的概念得到x1，x2是方程x2+bx﹣3＝0的两实根，从而利用韦达定理，结合题设条件得到关于b的方程，求得b后再解不等式f（x）≤0即可得解；
（2）先利用集合的补集运算求得∁US，再利用集合交集为空集，结合数轴法得到关于m的不等式，解之即可．
【解答】解：（1）∵函数f（x）＝x2+bx﹣3有两个零点x1，x2，
∴x1，x2是方程x2+bx﹣3＝0的两实根，
∴Δ＝b2+12＞0恒成立，x1+x1＝﹣b，x1x2＝﹣3，
∵，，
∴，解得b＝﹣2，
∴f（x）＝x2﹣2x﹣3，
∴由f（x）≤0，得x2﹣2x﹣3≤0，即（x﹣3）（x+1）≤0，解得﹣1≤x≤3，
∴P＝{x|﹣1≤x≤3}．
（2）∵S＝{x|x＜m或x＞m+1}，
∴∁RS＝{x|m≤x≤m+1}，
∵（∁RR）∩P＝∅，P＝{x|﹣1≤x≤3}，
∴m+1＜﹣1或m＞3，解得m＜﹣2或m＞3，
故m的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．
18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，角，其终边与以原点为圆心的单位圆O交于点．
（1）将射线OP绕点O按逆时针方向旋转弧度后交单位圆O于点Q，求点Q的坐标；
（2）若角，且，求sinγ的值．
【分析】（1）由题意利用同角三角函数基本关系式可求y的值，进而利用任意角的三角函数定义以及诱导公式即可求解．
（2）由已知可求γ﹣α∈（0，π），利用同角三角函数基本关系式可求sin（γ﹣α）的值，进而利用两角和的正弦公式即可求解．
【解答】解：（1）由题意可知（）2+y2＝1，
又，
所以y，
所以csα，sinα，
又因为射线OQ是角（）的终边，
由三角函数的定义可知：yQ＝sin（）＝csα，xQ＝cs（）＝﹣sinα，
所以点Q的坐标为（，）．
（2）因为，则γ﹣α∈（0，π），
所以sin（γ﹣α），
所以sinγ＝sin[（γ﹣α）+α]＝sin（γ﹣α）csα+cs（γ﹣α）sinα．
19．（12分）已知函数f（x）＝（a2﹣4a+4）•ax是指数函数，函数．
（1）求函数y＝（f（x）﹣2）•（f（x）+1）在[0，1]上的值域；
（2）若函数g（x）是定义域为R的奇函数，试判断函数g（x）的单调性，并用定义证明．
【分析】（1）由指数函数的定义可得a2﹣4a+4＝1，a＞0且a≠1，进而求出a的值，再利用换元法结合二次函数的性质求解即可；
（2）由奇函数的性质可求出m＝1，所以g（x），再利用定义法证明函数g（x）的单调性即可．
【解答】解：（1）∵函数f（x）＝（a2﹣4a+4）•ax是指数函数，
∴a2﹣4a+4＝1，a＞0且a≠1，
解得a＝3，
∴f（x）＝3x，
∴y＝（3x﹣2）（3x+1），
令t＝3x，∴y＝（t﹣2）（t+1），
由x∈[0，1]可得t∈[1，3]，
∴y∈[﹣2，4]，
即函数y＝（f（x）﹣2）•（f（x）+1）在[0，1]上的值域为[﹣2，4]；
（2）g（x）是定义域为R的奇函数，则g（﹣x）＝﹣g（x），
由g（﹣x）g（x），
解得m＝1，
∴g（x）1是增函数，下面用定义法证明：
设任意的x1，x2∈R，且x1＜x2，
则g（x1）﹣g（x2）＝（1）﹣（1），
∵x1＜x2，则0，
又0，∴g（x1）﹣g（x2）0，
即g（x1）＜g（x2），
∴g（x）是R上的增函数．
20．（12分）近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就．2022年11月29日，神舟十五号载人飞船搭载航天员费俊龙、邓清明、张陆飞往中国空间站，与神舟十四航天员“会师”太空，12月4日晚神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲安全顺利出舱，圆满完成飞行任务．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可用公式计算火箭的最大速度v（m/s），其中v0（m/s）是喷流相对速度，m（kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为500（m/s）．
（1）当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的2倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加500（m/s），求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值．（参考数据：ln2≈0.7，ln5≈1.6，2.718＜e＜2.719）
【分析】（1）由v0＝500，代入已知公式即可求解；
（2）设材料更新和技术改进前总质量比为x，列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）由已知可得v＝500ln200＝500（ln2+ln100）＝500[ln2+2（ln2+ln5）]＝500（3ln2+2ln5）≈2650m/s．
（2）设在材料更新和技术改进前总质比为x，且v1＝v0lnx＝500lnx，，
若要使火箭的最大速度至少增加500m/s，所以，
即，，
所以，解得x≥4e，
因为2.718＜e＜2.719，所以10.872＜4e＜10.876，
所以材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为11．
21．（12分）已知函数f（x）的定义域为R，其图象关于原点成中心对称，且对任意的a，b∈R，当a+b≠0时，都有成立．
（1）试讨论f（a）与f（b）的大小；
（2）若关于x的不等式在x∈（m，+∞）上恒成立，求实数m的最小值．
【分析】（1）根据奇偶性和单调性的定义可得函数为单调递减的奇函数，然后根据函数单调性即得；
（2）利用f（x）的奇偶性和单调性将原不等式转化为2x≥7在x∈（m，+∞） 上恒成立，利用均值不等式求解即可．
【解答】解：（1）显然当a＝b时，f（a）＝f（b），
当a≠b时，因为函数f（x）的定义域为R，且图象关于原点成中心对称，
则f（x）为奇函数，即f（b）＝﹣f（﹣b），f（0）＝0，
先考虑当任意的a，b∈[0，+∞），由题可得0，
由函数单调性的定义可知f（x）在[0，+∞）上单调递减，
又f（x）是定义在R上的奇函数，所以 f（x）在定义域R上单调递减，
所以当a＜b时，f（a＞f（b）；当a＞b时，f（a）＜f（b）；当a＝b时，f（a）＝f（b）；
（2）由（1）知函数f（x）为R上的减函数且为奇函数，
由，得f（2x）≤﹣f（﹣7）＝f（7），
即2x≥7在x∈（m，+∞） 上恒成立，
因为x＞m，则2（x﹣m）+2m≥22m＝4+2m，
当且仅当2（x﹣m），即x﹣m＝1时等号成立，
所以4+2m≥7，解得m，
所以实数m的最小值为．
22．（12分）如图，扇形OPQ的半径OP＝1，圆心角，点C是圆弧PQ上的动点（不与P、Q点重合），现在以动点C为其中一个顶点在扇形中截出一个四边形，下面提供了两种截出方案，如果截出的两个四边形面积的最大值之差的绝对值不大于，则称这两个四边形为“和谐四边形”．试问提供的两种方案截出的两个四边形是否是“和谐四边形”？请说明理由．
【分析】方案一：连接OC，假设，用三角函数表示S四边形ABCD＝AB⋅BC，由三角函数的性质即可求出S四边形ABCD的最大值，方案二：连接OC，假设，过点C作CM⊥OP，CN⊥OQ，用三角函数表示出，由三角函数的性质即可求出S四边形OPCQ的最大值，得出即可得出结论．
【解答】解：方案一：连接OC，假设，则AD＝BC＝sinθ，OB＝csθ，
又，所以，
∴，
∴，
∵，
∴时，∴；
方案二：连接OC，假设，过点C作CM⊥OP，CN⊥OQ，
则CM＝sinθ，，∴，
∵，
∴时，∴；
∵，而，
即，所以截出的这两个四边形为“和谐四边形”．
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1．（5分）cs（﹣510°）的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）设集合A＝{0，2，4，6，8，10}，B＝{x|3x＜x2}，则下列说法正确的是（ ）
A．A∪B＝{4，6，8，10}B．A∩B＝∅
C．A⊆BD．A∩∁RB＝{0，2}
3．（5分）已知“p：一元二次方程x2+bx+c＝0有一正根和一负根；q：c＜0．”则p是q的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（5分）方程x＝3﹣lgx的根所在的区间为（ ）
A．[1，2]B．[2，3]C．[3，4]D．[4，5]
5．（5分）已知f（x）＝2sin（ωx+φ），φ∈（0，π）是定义在R上的偶函数，且周期T＝4π，则（ ）
A．B．C．﹣1D．1
6．（5分）已知，则tan2α＝（ ）
A．B．1C．D．
7．（5分）已知函数的单调递增区间是[2，3），则f（2）＝（ ）
A．﹣1B．1C．0D．2
8．（5分）对于函数f（x），若x1，x2满足f（x1）f（x2）＝f（x1+x2），则称x1，x2为函数f（x）的一对“类指数”．若
正实数a与b为函数f（x）＝kx（k＞0）的一对“类指数”，a+4b的最小值为9，则k的值为（ ）
A．B．1C．D．2
二、多选题。（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。选错不得分，选不全得2分。）
（多选）9．（5分）已知正数x，y，z满足等式2x＝3y＝6z，下列说法正确的是（ ）
A．x＞y＞zB．x＞2y
C．D．
（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（
A．f（x）的图像关于点对称
B．f（x）的图像关于直线对称
C．f（x）在上为增函数
D．把f（x）的图像向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图像
（多选）11．（5分）已知a＞0、b＞0，a+2b＝ab，则下列说法正确的是（ ）
A．a＞2，b＞1
B．ab的最小值为8
C．a+b的最小值为3
D．（a﹣2）2+（b﹣1）2的最小值为4
（多选）12．（5分）已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数f（x）在[2，3]∪[4，+∞）上单调递增
B．函数g（x）＝lg4（x+2）的图象与函数f（x）的图象仅有4个交点
C．不等式f（x）≥3的解集为（﹣∞，﹣5]∪[5，+∞）
D．方程[f（x）]2﹣a•f（x）+（2a﹣4）＝0有6个不相等的实数根，则实数a＞5
三、填空题。（本题共4小题，每小题5分，共20分。请在答题卷的相应区域答题。）
13．（5分）已知“命题p：∀α＞90°，则α是钝角”，则命题p的否定为 ．
14．（5分）cs346°•cs419°+sin14°•sin121°＝ ．
15．（5分）写出一个同时满足下列三个性质的函数：f（x）＝ ．
①f（x）为奇函数；
②f（x+1）为偶函数；
③f（x）在R上的最大值为2．
16．（5分）已知函数f（x），若f（a）+f（﹣5）＝0，则a＝ ；若存在x1＜x2，满足f（x1）＝f（x2），则x2﹣lg2（x1+1）的取值范围是 ．
四、解答题。（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。请在答题卷的相应区域答题。）
17．（10分）已知函数f（x）＝x2+bx﹣3有两个零点x1、x2，且x1、x2的倒数和为．
（1）求不等式f（x）≤0的解集P；
（2）已知集合S＝{x|x＜m或x＞m+1}．若（∁RS）∩P＝∅，求实数m的取值范围．
18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，角，其终边与以原点为圆心的单位圆O交于点．
（1）将射线OP绕点O按逆时针方向旋转弧度后交单位圆O于点Q，求点Q的坐标；
（2）若角，且，求sinγ的值．
19．（12分）已知函数f（x）＝（a2﹣4a+4）•ax是指数函数，函数．
（1）求函数y＝（f（x）﹣2）•（f（x）+1）在[0，1]上的值域；
（2）若函数g（x）是定义域为R的奇函数，试判断函数g（x）的单调性，并用定义证明．
20．（12分）近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就．2022年11月29日，神舟十五号载人飞船搭载航天员费俊龙、邓清明、张陆飞往中国空间站，与神舟十四航天员“会师”太空，12月4日晚神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲安全顺利出舱，圆满完成飞行任务．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可用公式计算火箭的最大速度v（m/s），其中v0（m/s）是喷流相对速度，m（kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为500（m/s）．
（1）当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的2倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加500（m/s），求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值．（参考数据：ln2≈0.7，ln5≈1.6，2.718＜e＜2.719）
21．（12分）已知函数f（x）的定义域为R，其图象关于原点成中心对称，且对任意的a，b∈R，当a+b≠0时，都有成立．
（1）试讨论f（a）与f（b）的大小；
（2）若关于x的不等式在x∈（m，+∞）上恒成立，求实数m的最小值．
22．（12分）如图，扇形OPQ的半径OP＝1，圆心角，点C是圆弧PQ上的动点（不与P、Q点重合），现在以动点C为其中一个顶点在扇形中截出一个四边形，下面提供了两种截出方案，如果截出的两个四边形面积的最大值之差的绝对值不大于，则称这两个四边形为“和谐四边形”．试问提供的两种方案截出的两个四边形是否是“和谐四边形”？请说明理由．
2022-2023学年安徽省黄山市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题。（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请在答题卷的相应区域答题。）
1．（5分）cs（﹣510°）的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用余弦函数为偶函数将所求式子化简，再利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简，即可求出值．
【解答】解：cs（﹣510°）＝cs510°＝cs（360°+150°）
＝cs150°＝cs（180°﹣30°）＝﹣cs30°．
故选：B．
2．（5分）设集合A＝{0，2，4，6，8，10}，B＝{x|3x＜x2}，则下列说法正确的是（ ）
A．A∪B＝{4，6，8，10}B．A∩B＝∅
C．A⊆BD．A∩∁RB＝{0，2}
【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合B＝{x|x＞3或x＜0}，然后根据集合的运算和基本关系逐项判断即可求解．
【解答】解：由题意可得：B＝{x|3x＜x2}＝{x|x＞3或x＜0}，
对A，又因为A＝{0，2，4，6，8，10}，所以A∪B＝{x|x≤0或x＝2或x＞3}，故选项A错误；
对B，A∩B＝{4，6，8，10}，故选项B错误；
对C，集合A，B不存在包含关系，故选项C错误；
对D，因为∁RB＝{x|0≤x≤3}，所以A∩∁RB＝{0，2}，故选项D正确，
故选：D．
3．（5分）已知“p：一元二次方程x2+bx+c＝0有一正根和一负根；q：c＜0．”则p是q的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据韦达定理，p成立q一定成立，得出p是q的充分条件；反之q成立可得出p成立，得出p是q的必要条件，从而得出p是q的充分必要条件．
【解答】解：一元二次方程x2+bx+c＝0有一正根和一负根，则这两根的乘积小于0，
∴根据韦达定理c＜0，
∴p是q的充分条件；
若c＜0，则Δ＝b2﹣4c＞0，根据韦达定理方程x2+bx+c＝0有一正根和一负根，
∴p是q的必要条件，
∴p是q的充分必要条件．
故选：C．
4．（5分）方程x＝3﹣lgx的根所在的区间为（ ）
A．[1，2]B．[2，3]C．[3，4]D．[4，5]
【分析】方程x＝3﹣lgx的根为x+lgx﹣3＝0的根，令f（x）＝x+lgx﹣3，则方程的根为函数f（x）的零点，求出零点所在区间，即可得出答案．
【解答】解：方程x＝3﹣lgx的根为x+lgx﹣3＝0的根，
令f（x）＝x+lgx﹣3，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，
因为f（2）＝2+lg2﹣3＝lg2﹣1＜0，f（3）＝3+lg3﹣3＝lg3＞0，
所以f（x）在（2，3）上存在零点，
所以方程x＝3﹣lgx的根所在区间为[2，3]，
故选：B．
5．（5分）已知f（x）＝2sin（ωx+φ），φ∈（0，π）是定义在R上的偶函数，且周期T＝4π，则（ ）
A．B．C．﹣1D．1
【分析】由题意，根据三角函数的奇偶性、周期性、诱导公式，得出结论．
【解答】解：∵f（x）＝2sin（ωx+φ），φ∈（0，π）是定义在R上的偶函数，
∴φ，f（x）＝2csωx．
∵函数的周期T＝4π，∴ω，f（x）＝2cs．
则2cs，
故选：A．
6．（5分）已知，则tan2α＝（ ）
A．B．1C．D．
【分析】根据二倍角余弦公式、正切公式，同角三角函数的基本关系求解．
【解答】解：由，
解得tanα＝2，
所以，
故选：D．
7．（5分）已知函数的单调递增区间是[2，3），则f（2）＝（ ）
A．﹣1B．1C．0D．2
【分析】利用函数的定义域和复合函数的单调性求解即可．
【解答】解：设u＝﹣x2+ax+b，则u为开口向下，对称轴为的抛物线，
因为函数y＝lg0.5u在定义域内单调递减，函数f（x）的单调递增区间是[2，3），
所以由复合函数单调性的定义可得，解得，
所以，
所以，
故选：C．
8．（5分）对于函数f（x），若x1，x2满足f（x1）f（x2）＝f（x1+x2），则称x1，x2为函数f（x）的一对“类指数”．若
正实数a与b为函数f（x）＝kx（k＞0）的一对“类指数”，a+4b的最小值为9，则k的值为（ ）
A．B．1C．D．2
【分析】根据题意，由“类指数”的定义可得（ka）（kb）＝k（a+b），变形可得k，结合基本不等式的性质求出a+4b的最小值，可得关于k的方程，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，若正实数a与b为函数f（x）＝kx（k＞0）的一对“类指数”，
则（ka）（kb）＝k（a+b），变形可得k，
则a+4b（a+4b）（）（5）（5+2），
若a+4b的最小值为9，则9，解可得k＝1；
故选：B．
二、多选题。（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。选错不得分，选不全得2分。）
（多选）9．（5分）已知正数x，y，z满足等式2x＝3y＝6z，下列说法正确的是（ ）
A．x＞y＞zB．x＞2y
C．D．
【分析】设2x＝3y＝6z＝k，则x＝lg2k，y＝lg3k，z＝lg6k，再利用对数的运算性质逐个判断各个选项即可．
【解答】解：设2x＝3y＝6z＝k，则x＝lg2k，y＝lg3k，z＝lg6k，
对于选项A：∵lg2k＞lg3k＞lg6k，∴x＞y＞z，故选项A正确，
对于选项B：∵2y＝2lg3klg2k，∴2y＞x，故选项B错误，
对于选项C：lgk2+lgk3﹣lgk6lgk1＝0，故选项C正确，
对于选项D：lgk2﹣lgk3+lgk6lgk4≠0，故选项D错误，
故选：AC．
（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（
A．f（x）的图像关于点对称
B．f（x）的图像关于直线对称
C．f（x）在上为增函数
D．把f（x）的图像向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图像
【分析】由顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点作图求出φ，可得函数的解析式，再利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图像变换规律，三角函数的图像和性 质，得出结论．
【解答】解：根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图像，
可得A＝2，，∴ω＝π．
再结合五点法作图，可得πφ＝π，∴φ，
函数f（x）＝2sin（πx）．
令x，求得f（x）＝0，可得
f（x）的图像关于点对称，故A正确；
令x，求得f（x）＝﹣2，为最小值，可得f（x）的图像关于直线对称，故B正确；
在上，πx∈[，]，f（x）单调递增，故C正确；
把f（x）的图像向右平移个单位长度，可得y＝2sin（πx）＝﹣2csπx 的图像，得到一个偶函数的图像，故D错误．
故选：ABC．
（多选）11．（5分）已知a＞0、b＞0，a+2b＝ab，则下列说法正确的是（ ）
A．a＞2，b＞1
B．ab的最小值为8
C．a+b的最小值为3
D．（a﹣2）2+（b﹣1）2的最小值为4
【分析】由条件可得2b＝a（b﹣1）＞0，a＝b（a﹣2）＞0，进而可判断A；由基本不等式可得ab＝a+2b，解之即可；由条件得，结合基本不等式即可求解；由条件得（a﹣2）（b﹣1）＝2，结合基本不等式即可求解．
【解答】解：由于a+2b＝ab，a＞0、b＞0，则2b＝a（b﹣1）＞0，a＝b（a﹣2）＞0，故b＞1，a＞2，A正确；
ab＝a+2b，即（ab）2≥8ab，故ab≥8，当且仅当a＝2b取等号，故B正确；
由于a+2b＝ab，则，于是a+b＝a1＝a﹣23≥23，当且仅当a＝2取等号，C错误；
由于a+2b＝ab，则（a﹣2）（b﹣1）＝2，故（a﹣2）2+（b﹣1）2≥2（a﹣2）（b﹣1）＝4，当且仅当a﹣2＝b﹣1，即a＝b+1取等号，D正确．
故选：ABD．
（多选）12．（5分）已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数f（x）在[2，3]∪[4，+∞）上单调递增
B．函数g（x）＝lg4（x+2）的图象与函数f（x）的图象仅有4个交点
C．不等式f（x）≥3的解集为（﹣∞，﹣5]∪[5，+∞）
D．方程[f（x）]2﹣a•f（x）+（2a﹣4）＝0有6个不相等的实数根，则实数a＞5
【分析】作出函数的图象，利用数形结合的思想对选项一一判断即可得出答案．
【解答】解：作出函数f（x）的图象如图所示，
函数f（x）在[2，3]∪[4，+∞）上单调递增，不满足增函数的定义，说法不正确，
应该为：函数f（x）在[2，3]，[4，+∞）上单调递增，故A错误；
由图中可知，函数g（x）＝lg4（x+2）的图象与函数f（x）的图象仅有4个交点，故B正确；
当0≤x＜1时，，不满足；
当x≥1时，f（x）＝|x2﹣6x+8|≥3，解得：x≥5或x＝1，
因为f（x）是定义域为R的偶函数，
所以不等式f（x）≥3的解集为（﹣∞，﹣5]∪[5，+∞）∪{﹣1，1}，故C错误；
令t＝f（x），则方程[f（x）]2﹣a⋅f（x）+（2a﹣4）＝0等价于t2﹣at+（2a﹣4）＝0，解得：t＝2或t＝a﹣2，
当t＝2时，即t＝2与f（x）的图象有4个交点，
要使方程[f（x）]2﹣a⋅f（x）+（2a﹣4）＝0有6个不相等的实数根，
当t＝a﹣2与f（x）的图象有2个交点，则a﹣2＞3，解得：a＞5，故D正确．
故选：BD．
三、填空题。（本题共4小题，每小题5分，共20分。请在答题卷的相应区域答题。）
13．（5分）已知“命题p：∀α＞90°，则α是钝角”，则命题p的否定为 ∃α＞90°，使α不是钝角 ．
【分析】根据全称命题否定的形式即可写出答案．
【解答】解：全称命题的否定为特称命题，依题意，命题p的否定为：∃α＞90°，使α不是钝角．
故答案为：∃α＞90°，使α不是钝角．
14．（5分）cs346°•cs419°+sin14°•sin121°＝ ．
【分析】利用三角函数的诱导公式以及两角和差的余弦公式进行化简即可．
【解答】解：cs346°•cs419°+sin14°•sin121°＝cs（360°﹣14°）•cs（360°+59°）+sin14°•sin（180°﹣59°）
＝cs14°•cs59°+sin14°•sin59°＝cs（14°﹣59°）＝cs（﹣45°）＝cs45
，
故答案为：．
15．（5分）写出一个同时满足下列三个性质的函数：f（x）＝ （答案不唯一） ．
①f（x）为奇函数；
②f（x+1）为偶函数；
③f（x）在R上的最大值为2．
【分析】写出符合要求的三角函数即可．
【解答】解：分析函数的性质，可考虑三角函数，
因为f（x）为奇函数，所以f（x）可以为正弦型函数，
因为f（x+1）为偶函数，f（x）在R上的最大值为2，
所以函数解析式可以为f（x）或均可．
故答案为：（答案不唯一）．
16．（5分）已知函数f（x），若f（a）+f（﹣5）＝0，则a＝ lg25 ；若存在x1＜x2，满足f（x1）＝f（x2），则x2﹣lg2（x1+1）的取值范围是 [1，+∞） ．
【分析】若f（a）+f（﹣5）＝0，则f（a）＝4，然后分a＞0，a≤0两种情况求出a的值，画出f（x）的图象，若存在x1＜x2，满足f（x1）＝f（x2），则，其中﹣1＜x1≤0，0＜x2≤1，然后x2﹣lg2（x1+1），即可求解．
【解答】解：∵函数f（x），
∴f（﹣5）＝﹣4，
若f（a）+f（﹣5）＝0，则f（a）＝4，
当a＞0时，f（a）＝2a﹣1＝4，解得a＝lg25，满足题意，
当a≤0时，f（a）＝a+1＝4，解得a＝3，不满足题意，
故f（a）+f（﹣5）＝0，则a＝lg25，
f（x）的图象如下：
若存在x1＜x2，满足f（x1）＝f（x2），
则，其中﹣1＜x1≤0，0＜x2≤1，
∴x2﹣lg2（x1+1），
∵0＜x2≤1，
∴，，
∴．
故答案为：lg25；[1，+∞）．
四、解答题。（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。请在答题卷的相应区域答题。）
17．（10分）已知函数f（x）＝x2+bx﹣3有两个零点x1、x2，且x1、x2的倒数和为．
（1）求不等式f（x）≤0的解集P；
（2）已知集合S＝{x|x＜m或x＞m+1}．若（∁RS）∩P＝∅，求实数m的取值范围．
【分析】（1）根据零点的概念得到x1，x2是方程x2+bx﹣3＝0的两实根，从而利用韦达定理，结合题设条件得到关于b的方程，求得b后再解不等式f（x）≤0即可得解；
（2）先利用集合的补集运算求得∁US，再利用集合交集为空集，结合数轴法得到关于m的不等式，解之即可．
【解答】解：（1）∵函数f（x）＝x2+bx﹣3有两个零点x1，x2，
∴x1，x2是方程x2+bx﹣3＝0的两实根，
∴Δ＝b2+12＞0恒成立，x1+x1＝﹣b，x1x2＝﹣3，
∵，，
∴，解得b＝﹣2，
∴f（x）＝x2﹣2x﹣3，
∴由f（x）≤0，得x2﹣2x﹣3≤0，即（x﹣3）（x+1）≤0，解得﹣1≤x≤3，
∴P＝{x|﹣1≤x≤3}．
（2）∵S＝{x|x＜m或x＞m+1}，
∴∁RS＝{x|m≤x≤m+1}，
∵（∁RR）∩P＝∅，P＝{x|﹣1≤x≤3}，
∴m+1＜﹣1或m＞3，解得m＜﹣2或m＞3，
故m的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．
18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，角，其终边与以原点为圆心的单位圆O交于点．
（1）将射线OP绕点O按逆时针方向旋转弧度后交单位圆O于点Q，求点Q的坐标；
（2）若角，且，求sinγ的值．
【分析】（1）由题意利用同角三角函数基本关系式可求y的值，进而利用任意角的三角函数定义以及诱导公式即可求解．
（2）由已知可求γ﹣α∈（0，π），利用同角三角函数基本关系式可求sin（γ﹣α）的值，进而利用两角和的正弦公式即可求解．
【解答】解：（1）由题意可知（）2+y2＝1，
又，
所以y，
所以csα，sinα，
又因为射线OQ是角（）的终边，
由三角函数的定义可知：yQ＝sin（）＝csα，xQ＝cs（）＝﹣sinα，
所以点Q的坐标为（，）．
（2）因为，则γ﹣α∈（0，π），
所以sin（γ﹣α），
所以sinγ＝sin[（γ﹣α）+α]＝sin（γ﹣α）csα+cs（γ﹣α）sinα．
19．（12分）已知函数f（x）＝（a2﹣4a+4）•ax是指数函数，函数．
（1）求函数y＝（f（x）﹣2）•（f（x）+1）在[0，1]上的值域；
（2）若函数g（x）是定义域为R的奇函数，试判断函数g（x）的单调性，并用定义证明．
【分析】（1）由指数函数的定义可得a2﹣4a+4＝1，a＞0且a≠1，进而求出a的值，再利用换元法结合二次函数的性质求解即可；
（2）由奇函数的性质可求出m＝1，所以g（x），再利用定义法证明函数g（x）的单调性即可．
【解答】解：（1）∵函数f（x）＝（a2﹣4a+4）•ax是指数函数，
∴a2﹣4a+4＝1，a＞0且a≠1，
解得a＝3，
∴f（x）＝3x，
∴y＝（3x﹣2）（3x+1），
令t＝3x，∴y＝（t﹣2）（t+1），
由x∈[0，1]可得t∈[1，3]，
∴y∈[﹣2，4]，
即函数y＝（f（x）﹣2）•（f（x）+1）在[0，1]上的值域为[﹣2，4]；
（2）g（x）是定义域为R的奇函数，则g（﹣x）＝﹣g（x），
由g（﹣x）g（x），
解得m＝1，
∴g（x）1是增函数，下面用定义法证明：
设任意的x1，x2∈R，且x1＜x2，
则g（x1）﹣g（x2）＝（1）﹣（1），
∵x1＜x2，则0，
又0，∴g（x1）﹣g（x2）0，
即g（x1）＜g（x2），
∴g（x）是R上的增函数．
20．（12分）近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就．2022年11月29日，神舟十五号载人飞船搭载航天员费俊龙、邓清明、张陆飞往中国空间站，与神舟十四航天员“会师”太空，12月4日晚神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲安全顺利出舱，圆满完成飞行任务．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可用公式计算火箭的最大速度v（m/s），其中v0（m/s）是喷流相对速度，m（kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为500（m/s）．
（1）当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的2倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加500（m/s），求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值．（参考数据：ln2≈0.7，ln5≈1.6，2.718＜e＜2.719）
【分析】（1）由v0＝500，代入已知公式即可求解；
（2）设材料更新和技术改进前总质量比为x，列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）由已知可得v＝500ln200＝500（ln2+ln100）＝500[ln2+2（ln2+ln5）]＝500（3ln2+2ln5）≈2650m/s．
（2）设在材料更新和技术改进前总质比为x，且v1＝v0lnx＝500lnx，，
若要使火箭的最大速度至少增加500m/s，所以，
即，，
所以，解得x≥4e，
因为2.718＜e＜2.719，所以10.872＜4e＜10.876，
所以材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为11．
21．（12分）已知函数f（x）的定义域为R，其图象关于原点成中心对称，且对任意的a，b∈R，当a+b≠0时，都有成立．
（1）试讨论f（a）与f（b）的大小；
（2）若关于x的不等式在x∈（m，+∞）上恒成立，求实数m的最小值．
【分析】（1）根据奇偶性和单调性的定义可得函数为单调递减的奇函数，然后根据函数单调性即得；
（2）利用f（x）的奇偶性和单调性将原不等式转化为2x≥7在x∈（m，+∞） 上恒成立，利用均值不等式求解即可．
【解答】解：（1）显然当a＝b时，f（a）＝f（b），
当a≠b时，因为函数f（x）的定义域为R，且图象关于原点成中心对称，
则f（x）为奇函数，即f（b）＝﹣f（﹣b），f（0）＝0，
先考虑当任意的a，b∈[0，+∞），由题可得0，
由函数单调性的定义可知f（x）在[0，+∞）上单调递减，
又f（x）是定义在R上的奇函数，所以 f（x）在定义域R上单调递减，
所以当a＜b时，f（a＞f（b）；当a＞b时，f（a）＜f（b）；当a＝b时，f（a）＝f（b）；
（2）由（1）知函数f（x）为R上的减函数且为奇函数，
由，得f（2x）≤﹣f（﹣7）＝f（7），
即2x≥7在x∈（m，+∞） 上恒成立，
因为x＞m，则2（x﹣m）+2m≥22m＝4+2m，
当且仅当2（x﹣m），即x﹣m＝1时等号成立，
所以4+2m≥7，解得m，
所以实数m的最小值为．
22．（12分）如图，扇形OPQ的半径OP＝1，圆心角，点C是圆弧PQ上的动点（不与P、Q点重合），现在以动点C为其中一个顶点在扇形中截出一个四边形，下面提供了两种截出方案，如果截出的两个四边形面积的最大值之差的绝对值不大于，则称这两个四边形为“和谐四边形”．试问提供的两种方案截出的两个四边形是否是“和谐四边形”？请说明理由．
【分析】方案一：连接OC，假设，用三角函数表示S四边形ABCD＝AB⋅BC，由三角函数的性质即可求出S四边形ABCD的最大值，方案二：连接OC，假设，过点C作CM⊥OP，CN⊥OQ，用三角函数表示出，由三角函数的性质即可求出S四边形OPCQ的最大值，得出即可得出结论．
【解答】解：方案一：连接OC，假设，则AD＝BC＝sinθ，OB＝csθ，
又，所以，
∴，
∴，
∵，
∴时，∴；
方案二：连接OC，假设，过点C作CM⊥OP，CN⊥OQ，
则CM＝sinθ，，∴，
∵，
∴时，∴；
∵，而，
即，所以截出的这两个四边形为“和谐四边形”．
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