2022-2023学年河北省石家庄二中高一（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年河北省石家庄二中高一（上）期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知集合A＝{x∈R|lg2x＜2}，集合B＝{x∈R||x﹣1|＜2}，则A∩B＝（ ）
A．（0，3）B．（﹣1，3）C．（0，4）D．（﹣∞，3）
2．（5分）“n＝1”是“幂函数在（0，+∞）上是减函数”的一个（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
3．（5分）用二分法判断方程2x3+3x﹣3＝0在区间（0，1）内的根（精确度0.25）可以是（参考数据：0.753＝0.421875，0.6253＝0.24414）（ ）
A．0.25B．0.375C．0.635D．0.825
4．（5分）已知α为锐角且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
6．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）为偶函数，且f（1）＝2，则f（2022）+f（2023）的值为（ ）
A．2B．1C．﹣1D．﹣2
7．（5分），则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b
8．（5分）已知函数f（x）＝ln（x）+1，正数a，b满足f（2a）+f（b﹣2）＝2，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．5
二、多项选择题（全部选择正确得5分，少选得2分，有错误选项不得分）
（多选）9．（5分）有以下四种说法，其中说法正确的是（ ）
A．“m是实数”是“m是有理数”的必要不充分条件
B．“a＞b＞0”是“a2＞b2”的充要条件
C．“x＝3”是“x2﹣2x﹣3＝0”的充分不必要条件
D．“a＞1”是“”的必要不充分条件
（多选）10．（5分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数y＝f（x）在[，]单调递减
B．函数y＝f（x）图像关于（，0）中心对称
C．将函数y＝f（x）的图像向左平移个单位得到函数g（x）＝2sin（2x）的图像
D．若f（x）在区间[，a]上的值域为[﹣A，]，则实数a的取值范围为[，]
（多选）11．（5分）对∀x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]＝3，[0.618]＝0，[﹣2.71828]＝﹣3，我们把y＝[x]，x∈R叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数，也有数学爱好者形象的称其为“地板函数”．早在十八世纪，人类史上伟大的数学家，哥廷根学派的领袖约翰•卡尔•弗里德里希•高斯（JhannCarlFriedrich Gaussian）最先提及，因此而得名“高斯（Gaussian）函数”．在现实生活中，这种“截尾取整”的高斯函数有着广泛的应用，如停车收费、EXCEL电子表格，在数学分析中它出现在求导、极限、定积分、级数等等各种问题之中．以下关于“高斯函数”的命题，其中是真命题有（ ）
A．∀x∈R，[|x|]＝|[x]|
B．∃x，y∈R，[x﹣y]＜[x]﹣[y]
C．∀x，y∈R，若[x]＝[y]，则x﹣y＜1
D．∃n∈N+，[lg2]+[lg3]+⋯+[lgn]＝93
（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝|x2﹣1|﹣x4+2x2﹣k，k∈R，则下列说法正确的是（ ）
A．∃k∈R，使得函数f（x）有1个零点
B．∃k∈R，使得函数f（x）有2个零点
C．∃k∈R，使得函数f（x）有4个零点
D．∃k∈R，使得函数f（x）有8个零点
三、填空题（每题5分）
13．（5分）对任意实数a＞0且a≠1，函数y＝ax﹣3+1的图象经过定点P，且点P在角θ的终边上，则 ．
14．（5分）已知函数f（x）＝ln（﹣x2+2x+3），则f（x）的单调增区间为 ．
15．（5分）“∃x∈R，ax2﹣ax+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为 ．
16．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，0＜φ＜π，恒成立，且y＝f（x）在区间上恰有3个零点，则ω的取值范围是 ．
四、解答题（17题10分，18-22题每题12分）
17．（10分）集合，B＝{x|x2﹣2ax+a2﹣4＜0}．
（1）若C＝{3，4，a2+2a﹣3}，0∈（B∩C），求实数a的值；
（2）若A∩（∁RB）＝∅，求实数a的取值范围．
18．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣bx．
（1）若f（x）≥c的解集为{x|﹣3≤x≤2}，求不等式bx2+ax+c≤0的解集；
（2）若a＞0，b＞0且f（﹣1）＝2，2a+b﹣mab≥0恒成立，求m的最大值．
19．（12分）已知．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）当时，关于x的不等式有解，求实数a的取值范围．
20．（12分）已知函数f（x）＝ex+ae﹣x是偶函数，其中e是自然对数的底数．
（1）求a的值；
（2）若关于x的不等式f（x）+me﹣x﹣1﹣m≥0在[ln3，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．
21．（12分）2020年一场突如其来的疫情让亿万中华儿女的心再一次凝结在一起，为控制疫情，让广大发热患者得到及时有效的治疗，武汉市某社区决定临时修建一个医院．医院设计平面图如图所示：矩形ABCD中，AB＝400米，BC＝300米，图中△DMN区域为诊断区（M、N分别在BC和AB边上），△ADN、△CDM及△BMN区域为治疗区．受诊断区医疗设备的实际尺寸影响，要求∠MDN的大小为．
（1）若按照AN＝CM＝200米的方案修建医院，问诊断区是否符合要求？
（2）按照疫情现状，病人仍在不断增加，因此需要治疗区的面积尽可能的大，以便于增加床位，请给出具体的修建方案使得治疗区面积S最大，并求出最大值．
22．（12分）若函数y＝T（x）对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在x2，使T（x1）⋅T（x2）＝1成立，则称该函数为“圆满函数”．已知函数；
（1）判断函数y＝f（x）是否为“圆满函数”，并说明理由；
（2）设h（x）＝lg2x+f（x），证明：h（x）有且只有一个零点x0，且．
2022-2023学年河北省石家庄二中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每题5分）
1．（5分）已知集合A＝{x∈R|lg2x＜2}，集合B＝{x∈R||x﹣1|＜2}，则A∩B＝（ ）
A．（0，3）B．（﹣1，3）C．（0，4）D．（﹣∞，3）
【分析】先求出集合A，集合B，由此能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A＝{x∈R|lg2x＜2}＝{x|0＜x＜4}，
集合B＝{x∈R||x﹣1|＜2}＝{x|﹣1＜x＜3}，
∴A∩B＝{x|0＜x＜3}＝（0，3）．
故选：A．
【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）“n＝1”是“幂函数在（0，+∞）上是减函数”的一个（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
【分析】由已知结合幂函数的定义及性质即可求解n，然后检验充分及必要性即可判断．
【解答】解：若幂函数在（0，+∞）上是减函数，
则，
解得n＝1或n＝2，
故“n＝1”是“幂函数在（0，+∞）上是减函数”的一个充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查了幂函数的定义及性质的应用，属于基础题．
3．（5分）用二分法判断方程2x3+3x﹣3＝0在区间（0，1）内的根（精确度0.25）可以是（参考数据：0.753＝0.421875，0.6253＝0.24414）（ ）
A．0.25B．0.375C．0.635D．0.825
【分析】设f（x）＝2x3+3x﹣3，由题意可得f（x）是R上的连续函数，由此根据函数零点的判定定理求得函数f（x）的零点所在的区间．
【解答】解：设f（x）＝2x3+3x﹣3，
∴f（0）＝﹣3＜0，f（1）＝2+3﹣3＝2＞0，
∵f（0.5）＝2×0.53+3×0.5﹣3＜0，
∴f（x） 在（0，0.5）内有零点，
∵f（0.75）＝2×0.753+3×0.75﹣3＞0
∴f（x） 在（0.5，0.75）内有零点，
∴方程2x3+3x﹣3＝0根可以是0.635，
故选：C．
【点评】本题主要考查用二分法求方程的近似解，函数零点的判定定理，属于基础题．
4．（5分）已知α为锐角且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先得到sin[（α）]，再利用两角和与差的正弦公式求解．
【解答】解：∵α为锐角，∴α∈（，），
∵，∴sin（α），
∴sin[（α）]
＝sin（α）cscs（α）sin
．
故选：C．
【点评】本题考查两角和与差的正弦公式，属于基础题．
5．（5分）函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】去掉绝对值，根据函数的单调性即可判断．
【解答】解：当 x ＞0时， y ＝ a x ，因为a＞1，所以函数y＝ a x ，单调递增，
当 x ＜0时，y＝﹣ a x ，因为a＞1，所以函数y＝﹣ a x ，单调递减．
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象和识别，关键掌握函数的单调性，属于基础题．
6．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）为偶函数，且f（1）＝2，则f（2022）+f（2023）的值为（ ）
A．2B．1C．﹣1D．﹣2
【分析】由已知可得f（x）是以4为周期的奇函数，再由已知结合函数的周期性求解．
【解答】解：由题意，f（﹣x）＝﹣f（x），f（﹣x+1）＝f（x+1），
则f（x）＝f（2﹣x），f（﹣x）＝f（2+x），
则f（2+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），f（x+4）＝﹣f（x+2）＝﹣[﹣f（x）]＝f（x），
可得f（x）是以4为周期的奇函数，
∵f（0）＝0，f（1）＝2，
∴f（2022）+f（2023）＝f（4×505+2）+f（4×505+3）＝f（2）+f（3），
由f（﹣x+1）＝f（x+1），得f（2）＝f（0）＝0，
f（3）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2．
∴f（2022）+f（2023）＝f（2）+f（3）＝0﹣2＝﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查推理论证能力及运算求解能力，是中档题．
7．（5分），则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b
【分析】利用对数的运算性质可求得答案．
【解答】解：∵0＜a＝lg52，lg0.70.1＞lg0.70.7＝1，
又y＝0.7x为减函数，
∴1＞c＝0.70.4＞0.70.5＞0.640.5＝0.8，
∴b＞c＞a，
故选：A．
【点评】本题考查对数大小的比较，掌握对数的运算性质是解决问题的关键，属于基础题．
8．（5分）已知函数f（x）＝ln（x）+1，正数a，b满足f（2a）+f（b﹣2）＝2，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．5
【分析】由已知先判断函数的对称性及单调性，结合单调性及对称性可得2a+b＝2，然后结合基本不等式即可求解．
【解答】解：f（x）＝ln（x）+1定义域R，
因为f（﹣x）+f（x）＝ln（x）+1+ln（x）+1＝2，
所以f（x）的图象关于（0，1）对称，
因为f′（x）（1）0，
所以f（x）在R上单调递减，
因为正数a，b满足f（2a）+f（b﹣2）＝2，
所以2a+b﹣2＝0，即2a+b＝2，
则2，当且仅当a＝2b且2a+b＝2，即b，a时取等号．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数的对称性及单调性的应用，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
二、多项选择题（全部选择正确得5分，少选得2分，有错误选项不得分）
（多选）9．（5分）有以下四种说法，其中说法正确的是（ ）
A．“m是实数”是“m是有理数”的必要不充分条件
B．“a＞b＞0”是“a2＞b2”的充要条件
C．“x＝3”是“x2﹣2x﹣3＝0”的充分不必要条件
D．“a＞1”是“”的必要不充分条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义，逐个判断各个选项即可．
【解答】解：对于A，实数包括有理数和无理数，所以“m是实数”是“m是有理数”的必要不充分条件，故A正确，
对于B，由a＞b＞0可得a2＞b2，但是由a2＞b2推不出a＞b＞0，例如a＝﹣2，b＝1，
所以“a＞b＞0”是“a2＞b2”的充分不必要条件，故B错误，
对于C，解方程x2﹣2x﹣3＝0得，x＝﹣1或3，
所以“x＝3”是“x2﹣2x﹣3＝0”的充分不必要条件，故C正确，
对于D，解得，a＜0或a＞1，
所以“a＞1”是“”充分不必要条件，故D错误，
故选：AC．
【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
（多选）10．（5分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数y＝f（x）在[，]单调递减
B．函数y＝f（x）图像关于（，0）中心对称
C．将函数y＝f（x）的图像向左平移个单位得到函数g（x）＝2sin（2x）的图像
D．若f（x）在区间[，a]上的值域为[﹣A，]，则实数a的取值范围为[，]
【分析】由顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点作图求出φ，可得f（x）的解析式，再利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图像变换规律，正弦函数的图像和性质，得出结论．
【解答】解：根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图像，
可得A＝2，，∴ω＝2．
再根据五点法作图，可得2φ，∴φ，故f（x）＝2sin（2x）．
在[，]上，2x∈[，]，函数f（x）单调递减，故A正确；
令x，求得f（x）＝2，为最大值，故B错误；
将函数y＝f（x）＝2sin（2x）的图像向左平移个单位得到函数y＝2sin2x的图像，故C错误；
∵f（x）在区间[，a]上的值域为[﹣A，]＝[﹣2，]，
∴2x∈[，2a]，∴sin（2x）∈[﹣1，]．
∴2a，求得a，故D正确，
故选：AD．
【点评】本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图像求函数的解析式，由顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点作图求出φ，函数y＝Asin（ωx+φ）的图像变换规律，正弦函数的图像和性质，属于中档题．
（多选）11．（5分）对∀x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]＝3，[0.618]＝0，[﹣2.71828]＝﹣3，我们把y＝[x]，x∈R叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数，也有数学爱好者形象的称其为“地板函数”．早在十八世纪，人类史上伟大的数学家，哥廷根学派的领袖约翰•卡尔•弗里德里希•高斯（JhannCarlFriedrich Gaussian）最先提及，因此而得名“高斯（Gaussian）函数”．在现实生活中，这种“截尾取整”的高斯函数有着广泛的应用，如停车收费、EXCEL电子表格，在数学分析中它出现在求导、极限、定积分、级数等等各种问题之中．以下关于“高斯函数”的命题，其中是真命题有（ ）
A．∀x∈R，[|x|]＝|[x]|
B．∃x，y∈R，[x﹣y]＜[x]﹣[y]
C．∀x，y∈R，若[x]＝[y]，则x﹣y＜1
D．∃n∈N+，[lg2]+[lg3]+⋯+[lgn]＝93
【分析】根据高斯函数的定义，结合特值法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择．
【解答】解：对A：不妨取x＝﹣0.2，则[|x|]＝[0.2]＝0，而|[x]|＝|﹣1|＝1，故错误；
对B：不妨取x＝3，y＝1.2，则[x﹣y]＝[1.8]＝1，而[x]﹣[y]＝3﹣1＝2，
满足[x﹣y]＜[x]﹣[y]，故B正确；
对C：因为[x]＝[y]，故可得x，y同号；
当x＝y＝0时，x﹣y＝0＜1，满足题意；
当x，y同为正数或负数时，设x＝a+b，y＝c+d，其中a，c和b，d分别为x，y的整数部分和小数部分，
因为[x]＝[y]，则a＝c，故x﹣y＝b﹣d，又b，d同为小数，且符号相同，故b﹣d＜1，
即x﹣y＜1，则∀x，y∈R，若[x]＝[y]，则x﹣y＜1，故C正确；
对D：令y＝[lgx]，x≥2，x∈N+，
当2≤x＜10，x∈N+时，[lgx]＝0；
当10≤x＜100，x∈N+时，[lgx]＝1；
当100≤x＜1000，x∈N+时，[lgx]＝2；
当10n﹣1≤x＜10n，x∈N+时，[lgx]＝n﹣1．
则当10≤n＜100时，
[lg2]+[lg3]+⋯+[lgn]＝[lg2]+[lg3]+⋯+[lg9]+[lg10]+[lg11]+⋯+[lgn]＝n﹣9；
又y＝n﹣9，10≤n＜100，n∈N+为单调增函数，故n＝99时，取得最大值90；
当100≤n＜1000时，
[lg2]+[lg3]+⋯+[lgn]＝[lg2]+[lg3]+⋯[lg99]+[lg100]+[lg101]+⋯+[lgn]＝90+2（n﹣99）＝2n﹣108；
又y＝2n﹣108，100≤n＜1000，n∈N+为单调增函数，故当n＝100时，取得最小值92，
显然，不存在n∈N+，使得[lg2]+[lg3]+⋯+[lgn]＝91，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查函数新定义问题，涉及对数的运算，函数的单调性、特值法的综合应用，属于难题．
（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝|x2﹣1|﹣x4+2x2﹣k，k∈R，则下列说法正确的是（ ）
A．∃k∈R，使得函数f（x）有1个零点
B．∃k∈R，使得函数f（x）有2个零点
C．∃k∈R，使得函数f（x）有4个零点
D．∃k∈R，使得函数f（x）有8个零点
【分析】令t＝|x2﹣1|，x∈R，则y＝t﹣t2+1﹣k，令y＝0，则k＝﹣t2+t+1，画出t＝|x2﹣1|与k＝﹣t2+t+1＝﹣（t）2的图象，由图象可判断每个选项的正确性．
【解答】解：令t＝|x2﹣1|，x∈R，则y＝t﹣t2+1﹣k，
令y＝0，则k＝﹣t2+t+1，
画出t＝|x2﹣1|与k＝﹣t2+t+1＝﹣（t）2的图象，
由图象可得当k时，t无解，此时对于函数f（x）没有零点，
当k时，t，此时对于函数f（x）有4个零点，
当1＜k时，t有两解t1，t2，且0＜t1t2＜1，此时函数f（x）有8个零点，
当k＝1时，则t＝0或t＝1，当t＝0时，函数f（x）有2个零点，当t＝1时，函数f（x）有3个零点，
所以，当k＝1时，函数f（x）有5个零点，
当k＜1时，t有一解且t＞1，此时函数f（x）有2个零点．
故选：BCD．
【点评】本题考查函数的零点，考查转化思想，属中档题．
三、填空题（每题5分）
13．（5分）对任意实数a＞0且a≠1，函数y＝ax﹣3+1的图象经过定点P，且点P在角θ的终边上，则 ．
【分析】利用指数函数的性质求出P，再利用两角差的正切公式求解．
【解答】解：令x﹣3＝0，则x＝3，y＝2，
∴函数y＝ax﹣3+1的图象经过定点P（3，2），
∵点P在角θ的终边上，∴tanθ，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查两角差的正切公式，指数函数的性质，属于中档题．
14．（5分）已知函数f（x）＝ln（﹣x2+2x+3），则f（x）的单调增区间为 （﹣1，1] ．
【分析】由对数式的真数大于0求解函数的定义域，再求出内层函数的增区间，则答案可求．
【解答】解：由﹣x2+2x+3＞0，得x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3，
令t＝﹣x2+2x+3，其对称轴方程为x＝1，图象是开口向下的抛物线，
则t＝﹣x2+2x+3在（﹣1，1]上为增函数，
又y＝lnt为定义域内的增函数，
则f（x）的单调增区间为（﹣1，1]．
故答案为：（﹣1，1]．
【点评】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．
15．（5分）“∃x∈R，ax2﹣ax+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为 [0，4] ．
【分析】根据命题与它的否定命题一真一假，写出该命题的否定命题，再求实数a的取值范围．
【解答】解：命题“∃x∈R，ax2﹣ax+1＜0”是假命题，
则它的否定命题“∀x∈R，ax2﹣ax+1≥0”是真命题，
a＝0时，不等式为1≥0，显然成立；
a≠0时，应满足，解得0＜a≤4，
所以实数a的取值范围是[0，4]．
故答案为：[0，4]．
【点评】本题考查了命题与它的否定命题应用问题，也考查了转化思想，是基础题．
16．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，0＜φ＜π，恒成立，且y＝f（x）在区间上恰有3个零点，则ω的取值范围是 （6，10） ．
【分析】由题意，利用正弦函数的周期性、零点和最值，分类讨论，求得ω的范围．
【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，0＜φ＜π， 恒成立，
∴f（）＝1，∴φ＝2kπ，k∈Z，
∴φ＝2kπ，k∈Z．
结合φ的范围，可得k＝0或k＝1．
①当k＝0时，φ，
由ω＞0，且φ∈（0，π），可得ω∈（0，2 ）．
∵y＝f（x）在区间上恰有3个零点，ωx+φ∈（φ，φ），
∴3πωπ+φ≤4π，即3πωπ4π，
即 ，即20＜ω≤28．
综合可得，ω∈∅．
②当k＝1时，φ＝2π，
由ω＞0，且φ∈（0，π），可得ω∈（6，10 ）．
∵y＝f（x）在区间上恰有3个零点，ωx+φ∈（φ，ωπ+φ），
∴3πωπ+φ≤4π，即3πωπ4π，
即 4＜ω≤12．
综合可得，此时，ω∈（6，10）．
综上，结合①②可得，ω∈（6，10），
故答案为：（6，10）．
【点评】本题主要考查了正弦函数的周期性、零点和最值，属中档题．
四、解答题（17题10分，18-22题每题12分）
17．（10分）集合，B＝{x|x2﹣2ax+a2﹣4＜0}．
（1）若C＝{3，4，a2+2a﹣3}，0∈（B∩C），求实数a的值；
（2）若A∩（∁RB）＝∅，求实数a的取值范围．
【分析】（1）由题意可知0∈B，且0∈C，进而可得a2﹣4＜0且a2+2a﹣3＝0，求出a的值即可．
（2）先求出集合A，B，再求出B的补集，由A∩（∁RB）＝∅列出不等式组，求出a的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵B＝{x|x2﹣2ax+a2﹣4＜0}，C＝{3，4，a2+2a﹣3}，且0∈（B∩C），
∴0∈B，且0∈C，
∴a2﹣4＜0且a2+2a﹣3＝0，
解得a＝1．
（2）不等式，可化为0，即（x﹣2）（2x﹣1）≤0且2x﹣1≠0，
解得，
即A＝{x|}，
∵B＝{x|x2﹣2ax+a2﹣4＜0}＝{x|a﹣2＜x＜a+2}，∴∁RB＝{x|x≤a﹣2或x≥a+2}，
∵A∩（∁RB）＝∅，
∴，解得0＜a．
即实数a的取值范围（0，]．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了一元二次不等式和分式不等式的解法，属于基础题．
18．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣bx．
（1）若f（x）≥c的解集为{x|﹣3≤x≤2}，求不等式bx2+ax+c≤0的解集；
（2）若a＞0，b＞0且f（﹣1）＝2，2a+b﹣mab≥0恒成立，求m的最大值．
【分析】（1）由题设知a＜0且ax2﹣bx﹣c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝2，利用韦达定理得到b＝﹣a，c＝6a，代入化简即可求解；
（2）由题意得到恒成立，利用基本不等式即可求解．
【解答】解：（1）由题设知a＜0且ax2﹣bx﹣c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝2，
所以，可得：b＝﹣a，c＝6a，
bx2+ax+c＝﹣ax2+ax+6a≤0可化为：x2﹣x﹣6≤0，解得：﹣2≤x≤3，
所以不等式bx2+ax+c≤0的解集为{x|﹣2≤x≤3}；
（2）a＞0，b＞0且f（﹣1）＝2⇒a+b＝2，
2a+b﹣mab≥0，则恒成立，
，
当且仅当时“＝”成立，
∴，
则m的最大值为．
【点评】本题考查了函数的恒成立问题，属于中档题．
19．（12分）已知．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）当时，关于x的不等式有解，求实数a的取值范围．
【分析】（1）利用三角恒等变换公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）依题意可得asinx﹣cs2x≥2在上成立，参变分离可得a≥（）min，，再利用常见函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）
＝（sinxcsx）csxsin（2x）
sinxcsxcs2xsin2xcs2x
sin2xsin2xcs2x
sin2xcs2x
＝sin（2x）．
令2kπ≤2x2kπ，k∈Z，
则kπ≤xkπ，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ，kπ]，k∈Z．
（2）由有解，得asinx﹣cs2x≥2在上成立，
∵，∴sinx∈[，1]，
即a在上成立，
则a≥（）min，，
设t＝sinx，t∈[，1]，则y2t在t∈[，1]上为减函数，
∴当t＝1时，ymin＝1，∴a≥1，
即实数a的取值范围为[1，+∞）．
【点评】本题考查了三角恒等变换、常见函数的单调性、正弦函数的性质，属于中档题．
20．（12分）已知函数f（x）＝ex+ae﹣x是偶函数，其中e是自然对数的底数．
（1）求a的值；
（2）若关于x的不等式f（x）+me﹣x﹣1﹣m≥0在[ln3，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）由函数f（x）是偶函数，即得f（﹣x）＝f（x），可求出a；
（2）由ex+e﹣x+me﹣x﹣1﹣m≥0恒成立，可分参转化恒成立，令ex﹣1＝t，则ex＝t+1，，然后利用基本不等式求出右边的最小值即可．
【解答】解：（1）∵函数 f（x）＝ex+ae﹣x是偶函数，
∴f（﹣x）＝f（x），即 e﹣x+aex＝ex+ae﹣x，（a﹣1）（ex﹣e﹣x）＝0恒成立，
∴a＝1．
（2）由题意，知 ex+e﹣x+me﹣x﹣1﹣m≥0在[ln3，+∞）上恒成立，
则 ex+e﹣x﹣1≥m（1﹣e﹣x），即 m（ex﹣1）≤e2x﹣ex+1，
∴，
令 ex﹣1＝t，则 ex＝t+1．∵x≥ln3，∴t＝ex﹣1≥2，
∴.，
∵在[2，+∞）上单调递增，当且仅当 t＝2 时，取到最小值 ．
∴．∴m的范围是．
【点评】本题主要考查函数恒成立问题，函数奇偶性的应用，基本不等式的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
21．（12分）2020年一场突如其来的疫情让亿万中华儿女的心再一次凝结在一起，为控制疫情，让广大发热患者得到及时有效的治疗，武汉市某社区决定临时修建一个医院．医院设计平面图如图所示：矩形ABCD中，AB＝400米，BC＝300米，图中△DMN区域为诊断区（M、N分别在BC和AB边上），△ADN、△CDM及△BMN区域为治疗区．受诊断区医疗设备的实际尺寸影响，要求∠MDN的大小为．
（1）若按照AN＝CM＝200米的方案修建医院，问诊断区是否符合要求？
（2）按照疫情现状，病人仍在不断增加，因此需要治疗区的面积尽可能的大，以便于增加床位，请给出具体的修建方案使得治疗区面积S最大，并求出最大值．
【分析】（1）依题意求tan（∠ADN+∠CDM）即可判断．
（2）设∠ADN＝θ，用θ表示诊疗区域的面积S＝S△ADN+S△BMN+S△CDM即可．
【解答】解：（1）当AN＝CM＝200时，，
所以，
因此诊断区不符合要求．
（2）设∠ADN＝θ，则，，
S＝S△ADN+S△BMN+S△CDM＝150AN+200CM（400﹣AN）（300﹣CM）AN•CM+60000，
在△ADN中，，AN＝300tanθ，
在△CDM中，，CM＝400tan（），
所以60000（），其中，
所以，当且仅当t取等号，
故按照修建，治疗区面积最大，最大值为240000﹣120000（平方米）．
【点评】本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
22．（12分）若函数y＝T（x）对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在x2，使T（x1）⋅T（x2）＝1成立，则称该函数为“圆满函数”．已知函数；
（1）判断函数y＝f（x）是否为“圆满函数”，并说明理由；
（2）设h（x）＝lg2x+f（x），证明：h（x）有且只有一个零点x0，且．
【分析】（1）根据题意取特殊值，说明函数y＝f（x）不是“圆满函数”．
（2）讨论x∈（0，2]时，利用函数零点的存在性定理判断h（x）在（0，2]上有且只有一个零点x0，x∈（2，+∞）时，h（x）在（2，+∞）上没有零点；再根据函数的单调性证明g（sin）．
【解答】（1）解：若f（x）＝sinx是“圆满函数”，
取x1＝1，存在x2∈R，使得f（x1）f（x2）＝1，即sin•sinx2＝1，
但是sinx2≤1，所以y＝f（x）不是“圆满函数”．
（2）证明：函数h（x）＝lg2x+sinx的图象在（0，+∞）上连续不断，
①当x∈（0，2]时，因为y＝lg2x与y＝sinx在（0，2]上单调递增，
所以h（x）在（0，2]上单调递增，
因为h（）＝lg2sinlg2lg20，h（1）＝sin0，
所以h（）h（1）＜0，
根据函数零点的存在性定理，存在x0∈（，1），使得h（x0）＝0，
所以h（x）在（0，2]上有且只有一个零点x0．
②当x∈（2，+∞）时，因为y＝lg2x单调递增，
所以y＝lg2x＞lg22＝1，因为y＝sinx≥﹣1，
所以h（x）＞1﹣1＝0，所以h（x）在（2，+∞）上没有零点，
综上，h（x）有且只有一个零点x0．
因为h（x0）＝lg2x0+sin0，即sinlgx0，
所以g（sin）＝g（﹣lg2x0）x0，x0∈（，1），
因为yx在（，1）上单调递减，所以x0，
所以g（sin）．
【点评】本题考查函数的新定义与函数的零点、单调性应用问题，解题时要正确理解题意，是中档题．
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