2022-2023学年河南省洛阳市高一（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年河南省洛阳市高一（上）期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知全集1＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合M＝{1，2，3，4，5}，N＝{2，4，6，8}，则∁1（M∪N）＝（ ）
A．{1，2，3，4，5，6，8}B．{7，9}
C．{2，4}D．{1，3，5，6，7，8，9}
2．（5分）使“1”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．x＞0B．xC．0＜xD．0＜x
3．（5分）已知命题p：∃x∈（0，4），x＜1或x＞3，则命题的否定是（ ）
A．∃x∈（0，4），x≥1或x≤3B．∃x∈（0，4），1≤x≤3
C．∀x∈（0，4），x≥1或x≤3D．∀x∈（0，4），1≤x≤3
4．（5分）已知a，b＝lg32，c＝2，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．b＜a＜cD．b＜c＜a
5．（5分）若函数f（x）的定义域为集合M，值域为集合N，则M∩N＝（ ）
A．[0，]B．[，3]C．（0，]D．[，]
6．（5分）若函数f（x）＝lg2x+x，则f（x）的零点所在区间是（ ）
A．（0，）B．（，）C．（）D．（，1）
7．（5分）已知a＞0，b＞0，c＞0，（a+b+c）（a+b﹣c）＝10，则3a+3b﹣c的最小值为（ ）
A．8B．10C．4D．2
8．（5分）已知函数，则f[lg（lg2）]+f[lg（lg25+1）]＝（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、选择题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）已知函数f（x）＝xα（α是常数），f（4）＝2，则以下结论错误的是（ ）
A．α
B．f（x）在区间（0，+∞）上单调递增
C．f（x）的定义域为（0，+∞）
D．在区间（0，1）上，f（x）＞l
（多选）10．（5分）已知a＞1＞b，则以下不等式成立的是（ ）
A．ab＞1B．a+b＞2C．lgba＞lD．ab＞ba
（多选）11．（5分）若不等式ax2+2bx+a+4＞0（a＞﹣4）的解集为（a，a+4），则（ ）
A．a＝1B．b＝1C．a＜0D．b＜0
（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，2π）的部分图象如图所示，有以下变换：
①向左平移个单位长度；
②向左平移个单位长度；
③各点的横坐标变为原来的倍；
④各点的横坐标变为原来的倍．
则使函数y＝2sinx的图象变为函数f（x）的图象的变换次序可以是（ ）
A．③①B．④①C．①③D．②④
三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知角α∈（0，2π），角α终边上有一点M（cs2，cs2），则α＝ ．
14．（5分）已知函数f（x）＝ax2+bx+a（a＞0），f（1）＝1，则f（）的最小值为 ．
15．（5分）已知，sin，tanα＝2tanβ则sin（α﹣β）＝ ．
16．（5分）若函数f（x）＝ex+e﹣x则f（x+1）＞f（2x﹣3）的解集为 ．
四、解答题。共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）求f（x）＝0在区间上的根．
18．（12分）已知b＞a＞1，lgab＝2，a+b＝6．
（1）求a，b的值；
（2）解不等式：bx﹣6ax+8＜0．
19．（12分）某种植户要倚靠院墙建一个高3m的长方体温室用于育苗，至多有54m2的材料可用于3面墙壁和顶棚的搭建，设温室中墙的边长分别为x，y，如图所示．
（1）写出：x，y满足的关系式；
（2）求温室体积的最大值．
20．（12分）如图，在正方形ABCD中，M，N分别为BC，CD上的动点，其中∠MAB＝α＞0，∠MAN＝β＞0，∠NAD＝γ＞0．
（1）若M为BC的中点，DNDC，求β；
（2）求证：tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα＝1．
21．（12分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）f（y），f（0）≠0．
（1）求f（0）的值；
（2）若f（1）＝3，n∈N*，求满足f（n）＜2023的n的最大值．
22．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax，g（x）＝ax+3﹣a，a∈R．
（1）若对∀x∈R，f（x）+g（x）＞0，求a的取值范围；
（2）若对∀x∈R，f（x）＞0或g（x）＞0，求a的取值范围．
2022-2023学年河南省洛阳市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知全集1＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合M＝{1，2，3，4，5}，N＝{2，4，6，8}，则∁1（M∪N）＝（ ）
A．{1，2，3，4，5，6，8}B．{7，9}
C．{2，4}D．{1，3，5，6，7，8，9}
【分析】根据集合的运算可解．
【解答】解：根据题意，M∪N＝{1，2，3，4，5，6，8}，
则∁1（M∪N）＝{7，9}，
故选：B．
【点评】本题考查集合的运算，属于基础题．
2．（5分）使“1”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．x＞0B．xC．0＜xD．0＜x
【分析】根据充分不必要条件的定义可解．
【解答】解：因为1，则，则0，
结合选项，使“1”成立的一个充分不必要条件为选项D，
故选：D．
【点评】本题考查充分不必要条件的定义，属于基础题．
3．（5分）已知命题p：∃x∈（0，4），x＜1或x＞3，则命题的否定是（ ）
A．∃x∈（0，4），x≥1或x≤3B．∃x∈（0，4），1≤x≤3
C．∀x∈（0，4），x≥1或x≤3D．∀x∈（0，4），1≤x≤3
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p的否定为：∀x∈（0，4），1≤x≤3．
故选：D．
【点评】本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．
4．（5分）已知a，b＝lg32，c＝2，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．b＜a＜cD．b＜c＜a
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
【解答】解：30＝1＜a2，
0＝lg31＜b＝lg32＜lg33＝1，
c＝2，
则a，b，c的大小关系为b＜a＜c．
故选：C．
【点评】本题考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（5分）若函数f（x）的定义域为集合M，值域为集合N，则M∩N＝（ ）
A．[0，]B．[，3]C．（0，]D．[，]
【分析】可求出M＝[0，3]，可看出f（x）在[0，3]上单调递增，从而可求出值域N，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：解得，0≤x≤3，
∴M＝[0，3]，
∵f（x）是[0，3]上的增函数，且f（0），f（3），
∴，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查了函数定义域和值域的定义及求法，增函数的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
6．（5分）若函数f（x）＝lg2x+x，则f（x）的零点所在区间是（ ）
A．（0，）B．（，）C．（）D．（，1）
【分析】由题意得函数f（x）＝lg2x+x在（0，+∞）上单调递增，利用函数零点的存在性定理，即可得出答案．
【解答】解：∵y＝lg2x在（0，+∞）上单调递增，y＝x在（0，+∞）上单调递增，
∴函数f（x）＝lg2x+x在（0，+∞）上单调递增，
又f（）＝lg20，f（）＝lg2lg23﹣2lg23，
∵34＞25，∴4lg23＞5，即lg230，则f（）＞0，
∴f（x）的零点所在区间是（，），
故选：C．
【点评】本题考查函数零点的判定定理，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
7．（5分）已知a＞0，b＞0，c＞0，（a+b+c）（a+b﹣c）＝10，则3a+3b﹣c的最小值为（ ）
A．8B．10C．4D．2
【分析】由题意可知a+b+c＞0，a+b﹣c＞0，3a+3b﹣c＝（a+b+c）+2（a+b﹣c），再利用基本不等式求解即可．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，c＞0，∴a+b+c＞0，
又∵（a+b+c）（a+b﹣c）＝10，∴a+b﹣c＞0，
∴3a+3b﹣c＝（a+b+c）+2（a+b﹣c）4，当且仅当a+b+c＝2（a+b﹣c），即a+b＝3c时，等号成立，
即3a+3b﹣c的最小值为4．
故选：C．
【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题．
8．（5分）已知函数，则f[lg（lg2）]+f[lg（lg25+1）]＝（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】先由题意判断f（x）+f（﹣x）＝lg10＝1，再利用对数的运算性质，化简要求的式子，可得结果．
【解答】解：∵函数，
∴f（﹣x）＝lg（x）
∴f（x）+f（﹣x）＝lg10＝1．
则f[lg（lg2）]+f[lg（lg25+1）]＝f[lg（lg2）]+f[lg（）]
＝f[lg（lg2）]+f[﹣lg（lg2）]＝1，
故选：B．
【点评】本题主要对数的运算性质，考查解决本题的关键细心观察自变量的相反关系，属于中档题．
二、选择题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）已知函数f（x）＝xα（α是常数），f（4）＝2，则以下结论错误的是（ ）
A．α
B．f（x）在区间（0，+∞）上单调递增
C．f（x）的定义域为（0，+∞）
D．在区间（0，1）上，f（x）＞l
【分析】利用幂函数的性质直接求解．
【解答】解：函数f（x）＝xα（α是常数），f（4）＝2，
∴4α＝2，解得，故A正确；
∴f（x）＝x，
∴f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，故B正确；
f（x）的定义域为[0，+∞），故C错误；
在区间（0，1）上，f（x）∈（0，1），故D错误．
故选：AB．
【点评】本题考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）10．（5分）已知a＞1＞b，则以下不等式成立的是（ ）
A．ab＞1B．a+b＞2C．lgba＞lD．ab＞ba
【分析】利用不等式的性质可判断A，利用基本不等式可判断B，利用对数函数的性质可判断C，利用指数函数的性质可判断D．
【解答】解：对于A，∵b，且a＞0，∴ab＞1，故A正确；
对于B，由A可知，a＞b＞0，ab＞1，
∴a+b2，故B正确；
对于C，∵a＞1＞b＞0，
∴lgba＜lgbb＝1，故C错误；
对于D，∵a＞1＞b＞0，
∴ab＞a0＝1，0＜ba＜b0＝1，∴ab＞ba，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，考查了基本不等式的应用，以及指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．
（多选）11．（5分）若不等式ax2+2bx+a+4＞0（a＞﹣4）的解集为（a，a+4），则（ ）
A．a＝1B．b＝1C．a＜0D．b＜0
【分析】由题意可得a，a+4是方程ax2+2bx+a+4＝0的两根，然后利用韦达定理建立方程即可求解．
【解答】解：由题意可得a，a+4是方程ax2+2bx+a+4＝0的两根，
则由韦达定理可得：，且a＜0，解得a＝﹣1，b＝1，
故A，D错误，B，C正确，
故选：BC．
【点评】本题考查了一元二次不等式的应用，属于基础题．
（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，2π）的部分图象如图所示，有以下变换：
①向左平移个单位长度；
②向左平移个单位长度；
③各点的横坐标变为原来的倍；
④各点的横坐标变为原来的倍．
则使函数y＝2sinx的图象变为函数f（x）的图象的变换次序可以是（ ）
A．③①B．④①C．①③D．②④
【分析】直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．
【解答】解：根据函数的图象：f（0）＝2sinφ＝1，故sinφ，由于φ∈（0，2π），故φ；
由函数的图象，将函数y＝2sinx的图象向左平移φ个单位长度，再将函数的图象上所有点的坐标变为原来的倍，得到函数f（x）的图象，
所以，解得ω，
故函数f（x）＝2sin（）；
①按照y＝2sinx的图象各点的横坐标变为原来的倍．得到函数y＝2sin的图象，再将函数的图象向左平移个单位长度，得到y＝2sin（）的图象，故B正确；
②按照y＝2sinx的图象各点的横坐标向左平移个单位长度，得到y＝2sin（x）的图象，再将各点的横坐标变为原来的倍，得到y＝2sin（）的图象，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查的知识要点：函数的图象的平移变换和伸缩变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知角α∈（0，2π），角α终边上有一点M（cs2，cs2），则α＝ ．
【分析】根据cs2＜0，结合α∈（0，2π），进一步确定α∈（π，），再由正切函数的定义，求出tanα的值，得解．
【解答】解：因为cs2＜0，且α∈（0，2π），所以α∈（π，），
又tanα1，所以α．
故答案为：．
【点评】本题考查任意角的三角函数，熟练掌握任意角的三角函数的定义，三角函数在各象限的符号判断是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
14．（5分）已知函数f（x）＝ax2+bx+a（a＞0），f（1）＝1，则f（）的最小值为 22 ．
【分析】由f（1）＝1可得：b＝1﹣2a，然后求出f（）的关系式，再利用基本不等式化简即可求解．
【解答】解：由f（1）＝1可得：a+b+a＝1，则b＝1﹣2a，
所以f（x）＝ax2+（1﹣2a）x+a，
则f（）＝a，
当且仅当，即a时取等号，此时最小值为22，
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及基本不等式的应用，属于基础题．
15．（5分）已知，sin，tanα＝2tanβ则sin（α﹣β）＝ ．
【分析】直接利用两角和的正弦求出结果．
【解答】解：已知，sin，
整理得，①，
由于tanα＝2tanβ，整理得，
转换为sinαcsβ＝2sinβcsα，②，
由①②得：，所以；
故sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：两角和的正弦值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
16．（5分）若函数f（x）＝ex+e﹣x则f（x+1）＞f（2x﹣3）的解集为 {x|} ．
【分析】先判断函数的奇偶性，然后利用单调性定义或导数与单调性关系判断函数的单调性，结合单调性及奇偶性即可求解不等式．
【解答】解：由题意可知f（﹣x）＝e﹣x+ex＝f（x），即f（x）为偶函数，
当x≥0时，设0≤x1＜x2，
所以0，10，
则f（x1）﹣f（x2）（）（1）＜0，
所以f（x1）＜f（x2），
故f（x）在[0，+∞）上单调递增，
法二：单调性的判断也可以利用导数；
当x≥0时，f′（x）单调递增，
故f′（x）≥0恒成立，
所以f（x）在[0，+∞）上单调递增，
由f（x+1）＞f（2x﹣3）可得|x+1|＞|2x﹣3|，
解得．
故答案为：{x|}．
【点评】本题主要考查函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
四、解答题。共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）求f（x）＝0在区间上的根．
【分析】（1）运用三角函数的恒等变换化简得f（x）sin（2x），再利用正弦函数的周期性、单调性可求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）x∈⇒2x∈（，），从而可求得f（x）＝0在区间上的根．
【解答】解：（1）csx（sinxcsx）sinxcsxcs2xsin2xcs2xsin（2x）；
所以f（x）的最小正周期Tπ，
令2kπ2x2kπ（k∈Z），
即kπx≤kπ（k∈Z），
所以函数f（x）的单调递增区间为[kπ，kπ]（k∈Z）；
（2）x∈⇒2x∈（，）；
由f（x）＝0得：sin（2x）＝0，
所以2xπ，
解得x．
【点评】本题考查三角函数的恒等变换及正弦函数的周期性、单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
18．（12分）已知b＞a＞1，lgab＝2，a+b＝6．
（1）求a，b的值；
（2）解不等式：bx﹣6ax+8＜0．
【分析】（1）由题意可得，解方程即可求解；（2）由（1）a，b的值化简不等式，解得2＜2x＜4，然后根据指数不等式的性质即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得，解得a＝2，b＝4；
（2）不等式化为：4x﹣6•2x+8＜0，解得2＜2x＜4，则1＜x＜2，
所以不等式的解集为（1，2）．
【点评】本题考查了对数，指数的运算性质，涉及到指数不等式的解法，属于基础题．
19．（12分）某种植户要倚靠院墙建一个高3m的长方体温室用于育苗，至多有54m2的材料可用于3面墙壁和顶棚的搭建，设温室中墙的边长分别为x，y，如图所示．
（1）写出：x，y满足的关系式；
（2）求温室体积的最大值．
【分析】（1）顶棚所用材料的面积为xy，3面墙壁所用材料的面积为3x+6y，根据题意列不等式即可；
（2）利用基本不等式得到xy+6xy+3x+6y≤54，再令t，通过换元，求解体积的最大值即可．
【解答】解：（1）由题意得，顶棚所用材料的面积为xy，3面墙壁所用材料的面积为3x+6y，
∵至多有54m2的材料可用于3面墙壁和顶棚的搭建，
∴xy+3x+6y≤54（0＜x＜18，0＜y＜9）．
（2）∵3x+6y≥26，
当且仅当x＝2y时取等号，
∴xy+6xy+3x+6y≤54，
令t＞0，则t2+6t﹣54≤0，
解得0＜t≤3，即0＜xy≤18，
当且仅当x＝6，y＝3时取等号，
∴温室体积V＝3xy≤54，
则温室体积的最大值为54m3．
【点评】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
20．（12分）如图，在正方形ABCD中，M，N分别为BC，CD上的动点，其中∠MAB＝α＞0，∠MAN＝β＞0，∠NAD＝γ＞0．
（1）若M为BC的中点，DNDC，求β；
（2）求证：tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα＝1．
【分析】（1）分别在直角三角形中表示出正切值，利用两角和差公式即可求；（2）利用tan（α+β）＝tan（90°﹣γ），化简变形即可得．
【解答】解：（1）由题意得tanα，tanγ，
故tan（α+γ）1，故α+γ，故β；
（2）证明：tan（α+β）＝tan（90°﹣γ），
即，则（tanα+tanβ）tanγ＝1﹣tanαtanβ，
故tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα＝1．
【点评】本题考查三角函数的恒等变换，属于中档题．
21．（12分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）f（y），f（0）≠0．
（1）求f（0）的值；
（2）若f（1）＝3，n∈N*，求满足f（n）＜2023的n的最大值．
【分析】（1）由f（x）满足的关系式，令x＝y＝0，可得f（0）的值；
（2）分别计算f（n）中的前几项，结合要求的不等式，可得所求最大值．
【解答】解：（1）由f（x+y）＝f（x）f（y），f（0）≠0，
可令x＝y＝0，则f（0）＝f2（0），可得f（0）＝1；
（2）若f（1）＝3，n∈N*，
由f（x+y）＝f（x）f（y），可得f（2）＝f2（1）＝9，
f（3）＝f（2）f（1）＝9×3＝27，f（4）＝f2（2）＝81，
f（5）＝f（1）f（4）＝243，f（6）＝f（1）f（5）＝729，f（7）＝f（1）f（6）＝2187，
所以满足f（n）＜2023的n的最大值为6．
【点评】本题考查抽象函数的性质和应用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于基础题．
22．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax，g（x）＝ax+3﹣a，a∈R．
（1）若对∀x∈R，f（x）+g（x）＞0，求a的取值范围；
（2）若对∀x∈R，f（x）＞0或g（x）＞0，求a的取值范围．
【分析】（1）转化为一元二次不等式恒成立问题即可；（2）对字母a需分类讨论，由于f（x）＝x2﹣2ax的函数值有正有负，由此来讨论g（x）函数值的正负即可．
【解答】解：（1）f（x）+g（x）＝x2﹣ax+3﹣a＞0恒成立，
则Δ＝a2﹣4（3﹣a）＜0，即（a+6）（a﹣2）＜0，故﹣6＜a＜2，
即a的取值范围是（﹣6，2）；
（2）当a＝0时，f（x）＝x2，g（x）＝3＞0，符合题意；
当a＜0时，由f（x）＝x2﹣2ax＞0，解得x＜2a或x＞0，
故当2a≤x≤0时，g（x）＝ax+3﹣a＞0恒成立，
而g（x）在R上为减函数，故只需g（0）＝3﹣a＞0，
而由a＜0，得3﹣a＞0，故a＜0符合题意；
当a＞0时，由f（x）＝x2﹣2ax＞0，解得x＜0或x＞2a，
故当0≤x≤2a时，g（x）＝ax+3﹣a＞0恒成立，
而g（x）在R上为增函数，故只需g（0）＝3﹣a＞0，故0＜a＜3．
综上，a的取值范围是（﹣∞，3）．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查函数的性质，属于中档题．
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