2022-2023学年广东省茂名市五校联盟高一（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省茂名市五校联盟高一（上）期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知集合，则M∩N＝（ ）
A．B．（0，1）C．D．∅
2．（5分）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（，π）上单调递减的是（ ）
A．y＝sinxB．y＝|sinx|C．y＝csxD．y＝tanx
3．（5分）已知p：﹣3＜k＜0，q：不等式的解集为R，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（5分）已知sin（α），α∈（0，），则sin（π+α）＝（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Lgistic模型：I（t），其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（ ）（ln19≈3）
A．60B．63C．66D．69
6．（5分）已知实数a满足，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．（0，1）
7．（5分）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜c＜aD．c＜a＜b
8．（5分）已知函数f（x），若关于x的方程[f（x）]2﹣kf（x）+1＝0有6个不同的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）下列判断正确的是（ ）
A．∀x∈R，x+|x|≥0
B．命题“∀x∈Z，x2＞0”的否定是“”
C．若c＞a＞b＞0，则
D．“sinθ⋅tanθ＞0”是“θ是第一象限角”的充要条件
（多选）10．（5分）已知函数，下列说法错误的是（ ）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）的图象关于直线对称
C．函数的图象关于原点中心对称
D．f（x）在上单调递增
（多选）11．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝2，则（ ）
A．a2+b2≥2B．
C．lg2a+lg2b＜0D．
（多选）12．（5分）对于函数，则下列判断正确的是（ ）
A．f（x）在定义域内是奇函数
B．∀x1，x2∈（0，2），x1≠x2，有
C．函数f（x）的值域为[4，+∞）
D．对任意x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，有
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.16题第一空2分，第二空3分.
13．（5分）已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a+2}，若B⊆A，则实数a的值为 ．
14．（5分）已知角θ的终边过点P（﹣1，﹣2），则的值为 ．
15．（5分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问出南门几何步而见木？”．若一小城，如下图长方形所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树（注：1里＝300步），则该小城的周长的最小为 里．
16．（5分）我们知道，函数y＝f（x）的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为偶函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于x＝a成轴对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）为偶函数．已知函数g（x）＝x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1），则该函数图象的对称轴为x＝ ；若该函数有唯一的零点，则a＝ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（10分）（1）求值：；
（2）若xlg32＝1，求2x+2﹣x的值；
（3）已知a＝lg2，b＝lg3，用a，b表示lg518．
18．（12分）已知函数．
（1）求的值；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）求f（x）在区间上的值域．
19．（12分）已知函数．
（1）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数；
（2）探索函数f（x）的单调性；
（3）在（1）的前提下，若对∀x∈R，不等式f（f（x））+f（3﹣m）＞0恒成立，求m的取值范围．
20．（12分）设函数f（x）是定义域为R的偶函数，g（x）是定义域为R的奇函数，且f（x）+g（x）＝2x+1．
（1）求f（x）与g（x）的解析式；
（2）若h（x）＝f（2x）﹣2mg（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．
21．（12分）已知函数f（x）＝ln（e2x+1）﹣x．
（1）当x≥0时，函数g（x）＝f（x）﹣x﹣a存在零点，求实数a的取值范围；
（2）设函数h（x）＝ln（m⋅ex﹣2m），若函数f（x）与h（x）的图象只有一个公共点，求m的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）满足如下条件：①对任意x＞0，f（x）＞0；②f（1）＝1；③对任意x＞0，y＞0，总有f（x）+f（y）≤f（x+y）；
（1）证明：满足题干条件的函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）（i）证明：对任意的，其中n∈N*；
（ii）证明：对任意的x∈（2n﹣1，2n）（n∈N*），都有．
2022-2023学年广东省茂名市五校联盟高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合，则M∩N＝（ ）
A．B．（0，1）C．D．∅
【分析】先求对数函数定义域化简集合M，求指数函数值域化简集合N，再利用交集的定义求解作答．
【解答】解：函数y＝lnx有意义，则x＞0，即有M＝（0，+∞），
函数在R上单调递减，
当x＞1时，，则，
所以．
故选：A．
【点评】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
2．（5分）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（，π）上单调递减的是（ ）
A．y＝sinxB．y＝|sinx|C．y＝csxD．y＝tanx
【分析】由题意，利用三角函数的周期性和单调性，得出结论．
【解答】解：由于函数y＝sinx的最小正周期为2π，故A不满足条件；
由于函数y＝|sinx|的最小正周期为2π＝π，且在区间（，π）上单调递减，故B满足条件；
由于函数y＝csx的最小正周期为2π，故C不满足条件；
由于函数y＝tanx的最小正周期为π，但在区间（，π）上单调递增，故D不满足条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数的周期性和单调性，属于基础题．
3．（5分）已知p：﹣3＜k＜0，q：不等式的解集为R，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】首先计算出不等式的解集为R时k的取值范围，再根据范围大小即可得出结论．
【解答】解：若不等式的解集为R，当k＝0时，符合题意；
当k≠0时，需满足k＜0且，解得﹣3＜k＜0，
综合可得﹣3＜k≤0，而p：﹣3＜k＜0，所以p能推出q，q不能推出p，
即p是q的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查充分条件与必要条件的定义，属于基础题．
4．（5分）已知sin（α），α∈（0，），则sin（π+α）＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】已知等式利用诱导公式化简求出csα的值，再由α的范围利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，原式利用诱导公式化简后将sinα的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵sin（α）＝csα，α∈（0，），
∴sinα，
则sin（π+α）＝﹣sinα．
故选：D．
【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
5．（5分）Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Lgistic模型：I（t），其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（ ）（ln19≈3）
A．60B．63C．66D．69
【分析】根据所给材料的公式列出方程0.95K，解出t即可．
【解答】解：由已知可得0.95K，解得e﹣0.23（t*﹣53），
两边取对数有﹣0.23（t*﹣53）＝﹣ln19，
解得t*≈66，
故选：C．
【点评】本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，属于中档题
6．（5分）已知实数a满足，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．（0，1）
【分析】根据分数指数幂运算可得可得0≤a＜1，再利用指数函数和对函数函数的单调性解不等式即可求得结果．
【解答】解：由，解得a＞0，
由，可得0≤a＜1，
所以由可得，
综上可知，实数a的取值范围是．
故选：A．
【点评】本题主要考查幂函数、指数函数、对数函数的性质，属于基础题．
7．（5分）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜c＜aD．c＜a＜b
【分析】先化，再分别与a，b进行比较即可．
【解答】解：，
故，
故c＜b，∴a＜c＜b．
故选：B．
【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
8．（5分）已知函数f（x），若关于x的方程[f（x）]2﹣kf（x）+1＝0有6个不同的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据函数解析式画出函数f（x）的图象，将方程根的个数转化成函数图象交点的个数，再利用一元二次函数根的分布即可求得参数k的取值范围．
【解答】解：由函数f（x）的解析式画出函数图象如下：
若方程[f（x）]2﹣kf（x）+1＝0有6个不同的实数根，
令t＝f（x），结合图象可知y＝t与函数f（x）的图象有三个交点，则；
等价于关于t的一元二次方程t2﹣kt+1＝0在上有两个不同的实数根，
所以需满足，解得，
即k的取值范围是．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）下列判断正确的是（ ）
A．∀x∈R，x+|x|≥0
B．命题“∀x∈Z，x2＞0”的否定是“”
C．若c＞a＞b＞0，则
D．“sinθ⋅tanθ＞0”是“θ是第一象限角”的充要条件
【分析】选项A分类讨论即可，选项B写出全称量词命题的否定，选项C作差法即可，选项D充要条件的判断．
【解答】解：选项A，当x≥0时，x+|x|＝2x≥0，当x＜0时，x+|x|＝x﹣x＝0，
故∀x∈R，x+|x|≥0，所以选项A正确；
对于B：命题“∀x∈Z，x2＞0”的否定是“，
故B错误；
选项C，由，
因为c＞a＞b＞0，所以a﹣b＞0，b+c＞0，
所以，故选项C正确，
对于D：由sinθ⋅tanθ＞0，
则θ在第一象限角或第四象限角，
故充分性不成立，
反之θ是第一象限角，
则sinθ⋅tanθ＞0，
故必要性成立，
故“sinθ⋅tanθ＞0”是“θ是第一象限角”的必要不充分条件，
故选项D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，象限角的概念，属于中档题．
（多选）10．（5分）已知函数，下列说法错误的是（ ）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）的图象关于直线对称
C．函数的图象关于原点中心对称
D．f（x）在上单调递增
【分析】根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象性质可知，最小正周期为π，可判断A正确；利用整体代换可得对称轴方程为，可知B错误；易知可得C错误；根据正弦函数单调性可知D正确．
【解答】解：对于A：由周期公式可得，故f（x）的最小正周期为π，故A正确；
对于B：令，可得对称轴方程为，因此f（x）的图象不关于直线对称，故B错误；
对于C：f（x）＝2sin（2x）＝2cs2x，
即为偶函数，不关于原点中心对称，故C错误；
对于D：当，此时f（x）单调递增，故D正确．
故选：BC．
【点评】本题综合考查了正弦函数的对称性，周期性及单调性，属于中档题．
（多选）11．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝2，则（ ）
A．a2+b2≥2B．
C．lg2a+lg2b＜0D．
【分析】对于A、D可依据待证式两端的式子结构，合理选择基本不等式及其变形式子进行推理判断；对于B，利用分析法来判断；对于C，观察式子结构特征，利用对数运算法则，将真数化为积的形式，利用基本不等式得出命题的真假．
【解答】解：对于A，∵a＞0，b＞0，且a+b＝2，∴，即a2+b2≥2，
当且仅当a＝b时，等号成立，A正确；
同理对于D，，即，
当且仅当a＝b时，等号成立，D正确；
对于B，利用分析法：要证，只需证：a﹣b＞﹣2，
即证a＞b﹣2，∵a＞0，b＞0，且a+b＝2，∴a＞0，b﹣2＜0，B正确；
对于C，，
当且仅当a＝b时，等号成立，C错误；
故选：ABD．
【点评】本题考查基本不等式的应用，综合法与分析法的应用，属中档题．
（多选）12．（5分）对于函数，则下列判断正确的是（ ）
A．f（x）在定义域内是奇函数
B．∀x1，x2∈（0，2），x1≠x2，有
C．函数f（x）的值域为[4，+∞）
D．对任意x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，有
【分析】根据双勾函数函数的性质可判断A，B，C，作差法比较即可判断D．
【解答】解：对于A，f（﹣x）＝﹣f（x），且定义域为{x|x≠0}，
故f（x）为奇函数，故A正确；
对于B，在（0，2）单调递减，故B正确；
对于C，当x＞0时，
当且仅当时取得等号，
当x＜0时，
当且仅当时取得等号，
所以f（x）的值域为（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞），故C错误；
对于D，对任意x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，
，∴，
而，
故，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性和对称性，考查了函数的值域，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.16题第一空2分，第二空3分.
13．（5分）已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a+2}，若B⊆A，则实数a的值为 2 ．
【分析】根据子集的定义及集合中元素的互异性求解即可．
【解答】解：因为B⊆A，所以a+2＝3或a+2＝a2，解得a＝±1或a＝2，
当a＝±1时，不满足集合中元素的互异性，故舍去，
当a＝2时，A＝{1，3，4}，B＝{1，4}满足题意，所以a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查子集定义的应用及集合中元素的互异性，属于基础题．
14．（5分）已知角θ的终边过点P（﹣1，﹣2），则的值为 3 ．
【分析】先利用三角函数的定义求出正切值，然后弦化切求值即可．
【解答】解：因为角θ的终边过点P（﹣1，﹣2），
令x＝﹣1，y＝﹣2，
则由三角函数的定义得：，
所以．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查三角函数的定义，属于基础题．
15．（5分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问出南门几何步而见木？”．若一小城，如下图长方形所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树（注：1里＝300步），则该小城的周长的最小为 里．
【分析】设GF＝x步，EF＝y步，由相似形把y表示为x的函数，然后可用x表示出周长C的函数，再由基本不等式得最小值．
【解答】解：设GF＝x步，EF＝y步，由△BEF∽△FGA得，
即，∴y，
故小城周长为C＝2（2x+2y）步里，当且仅当，即时取等号．
故答案为：．
【点评】本题考查解三角形以及基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
16．（5分）我们知道，函数y＝f（x）的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为偶函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于x＝a成轴对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）为偶函数．已知函数g（x）＝x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1），则该函数图象的对称轴为x＝ 1 ；若该函数有唯一的零点，则a＝ ．
【分析】根据偶函数的性质，结合函数对称性的性质进行求解即可．
【解答】解：∵g（1+x）﹣g（1﹣x）＝（1+x）2﹣2（1+x）+a（e1+x﹣1+e﹣1﹣x+1）﹣（1﹣x）2+2（1﹣x）﹣a（e1﹣x﹣1+e﹣1+x+1）＝0，
∴f（x）的图象关于x＝1轴对称，
∵f（x）有唯一的零点，
∴f（1）＝﹣1+2a＝0，解得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查函数的零点，属于基础题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（10分）（1）求值：；
（2）若xlg32＝1，求2x+2﹣x的值；
（3）已知a＝lg2，b＝lg3，用a，b表示lg518．
【分析】（1）根据指数运算法则计算；
（2）求出x＝lg23，从而得到；
（3）利用换底公式及对数运算法则计算出答案．
【解答】解：（1）；
（2）∵xlg32＝1，
∴x＝lg23，
∴；
（3）∵a＝lg2，b＝lg3，
∴．
【点评】本题主要考查指数、对数的运算性质，考查转化能力，属于基础题．
18．（12分）已知函数．
（1）求的值；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）求f（x）在区间上的值域．
【分析】（1）把直接代入即可；
（2）由正弦函数性质知在上递增，即可求增区间；
（3）应用整体法求的区间，再由正弦函数性质求值域．
【解答】解：（1），
（2）由得，，
∴f（x）的单调增区间为．
（3）当时，，∴，
∴，
故f（x）在区间上的值域为．
【点评】本题主要考查正弦函数的值域的应用，单调区间的应用，属于中档题．
19．（12分）已知函数．
（1）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数；
（2）探索函数f（x）的单调性；
（3）在（1）的前提下，若对∀x∈R，不等式f（f（x））+f（3﹣m）＞0恒成立，求m的取值范围．
【分析】（1）根据奇函数的性质进行判断即可；
（2）根据函数单调性的定义，结合指数函数的单调性进行判断即可；
（3）根据函数的单调性和奇偶性进行求解即可．
【解答】解：（1）假设存在实数a使函数f（x）为奇函数，
此时，解得a＝1，
故存在实数a＝1，使函数f（x）为奇函数；
（2）函数f（x）的定义域为R，∀x1，x2∈R，且，
∵，
∴f（x1）＜f（x2），
即函数f（x）在R上单调递增；
（3）当a＝1时，，
∵f（x）是奇函数，
∴f（f（x））+f（3﹣m）＞0⇔f（f（x））＞﹣f（3﹣m）⇔f（f（x））＞f（m﹣3），
又∵f（x）在R上单调递增，∴f（x）＞m﹣3，
∴，对∀x∈R恒成立，
∵ex＞0，∴ex+1＞1，∴，
∴2＜44，
∴m≤2，
即m的取值范围为（﹣∞，2]．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性和单调性的判断，考查了不等式恒成立问题，属于中档题．
20．（12分）设函数f（x）是定义域为R的偶函数，g（x）是定义域为R的奇函数，且f（x）+g（x）＝2x+1．
（1）求f（x）与g（x）的解析式；
（2）若h（x）＝f（2x）﹣2mg（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．
【分析】（1）根据函数的奇偶性可得出关于f（x）、g（x）的方程组，即可解得这两个函数的解析式；
（2）设t＝2x﹣2﹣x，可得，设h（t）＝t2﹣2mt+2，分、两种情况讨论，分析函数h（t）在上的单调性，结合h（x）min＝﹣2可求得实数m的值．
【解答】解：（1）∵f（x）为偶函数，
∴f（﹣x）＝f（x），
又∵g（x）为奇函数，
∴g（﹣x）＝﹣g（x），
∵f（x）+g（x）＝2x+1，①
∴f（﹣x）+g（﹣x）＝2﹣x+1，即f（x）﹣g（x）＝2﹣x+1，②
由得：f（x）＝2x+2﹣x，可得：g（x）＝2x﹣2﹣x．
（2）∵f（2x）＝22x+2﹣2x＝（2x﹣2﹣x）2+2，
所以，h（x）＝f（2x）﹣2mg（x）＝（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2，
令t＝2x﹣2﹣x，因为函数y＝2x、y＝﹣2﹣x在[1，+∞）上均为增函数，
故t＝2x﹣2﹣x在[1，+∞）上单调递增，则，
设h（t）＝t2﹣2mt+2，，对称轴t＝m，
①当时，函数h（t）在上为减函数，在（m，+∞）上为增函数，
则，解得：m＝2或m＝﹣2（舍）；
②当时，h（t）在上单调递增，
∴，解得：，不符合题意．
综上：m＝2．
【点评】本题考查的知识要点：函数的奇偶性，函数的单调性，函数的最值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）＝ln（e2x+1）﹣x．
（1）当x≥0时，函数g（x）＝f（x）﹣x﹣a存在零点，求实数a的取值范围；
（2）设函数h（x）＝ln（m⋅ex﹣2m），若函数f（x）与h（x）的图象只有一个公共点，求m的取值范围．
【分析】（1）根据函数零点的定义，利用转化法进行求解即可；
（2）把公共点的问题转化为方程的解的问题，结合换元法进行求解即可．
【解答】解：（1）∵f（x）＝ln（e2x+1）﹣x，当x≥0时，
函数g（x）＝f（x）﹣x﹣a存在零点，
即a＝ln（e2x+1）﹣2x在x∈[0，+∞）时有解，
设φ（x）＝ln（e2x+1）﹣2x（x≥0），
即，∵，∴φ（x）∈（0，ln2]，
即实数a的取值范围为（0，ln2]．
（2）若函数f（x）与h（x）的图象只有一个公共点，
则关于x的方程ln（m⋅ex﹣2m）＝ln（e2x+1）﹣x只有一解，
∴m⋅ex﹣2m＝ex+e﹣x只有一解，令t＝ex（t＞0），
得关于t的方程（m﹣1）t2﹣2mt﹣1＝0有一正数解，
①当m＝1时，方程的解为，不合题意；
②当m＞1时，则Δ＝4m2+4（m﹣1）＞0恒成立，
∵，∴此方程有一正一负根，负根舍去，满足题意；
③当m＜1时，满足Δ≥0的情况下，因为，t1，t2同号，所以得满足t1＝t2＞0，
只需4m2﹣4（m﹣1）×（﹣1）＝0，且，
解得；
综上，实数m的取值范围为．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的最值，函数的零点与方程的根的关系，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于难题．
22．（12分）已知函数f（x）满足如下条件：①对任意x＞0，f（x）＞0；②f（1）＝1；③对任意x＞0，y＞0，总有f（x）+f（y）≤f（x+y）；
（1）证明：满足题干条件的函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）（i）证明：对任意的，其中n∈N*；
（ii）证明：对任意的x∈（2n﹣1，2n）（n∈N*），都有．
【分析】（1）由f（x1）﹣f（x2）＝f（x1﹣x2+x2）﹣f（x2），结合已知条件和函数单调性的定义推导即可；
（2）（i）令x＝y＝2n﹣1⋅s可得，用累乘法即可证明（i）；
（ii）根据（i）的结论，可得f（2n﹣1）≥2n﹣1和f（21﹣n）≤21﹣n，结合x的范围及函数f（x）的单调性即可证明（ii）．
【解答】证明：（1）任取x1＞x2＞0，则x1﹣x2＞0，
则f（x1）﹣f（x2）＝f（x1﹣x2+x2）﹣f（x2）≥f（x1﹣x2）+f（x2）﹣f（x2）＝f（x1﹣x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
故f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（2）（i）由题意知，对任意s＞0，f（s）＞0，
由f（x）+f（y）≤f（x+y），令x＝y＝2n﹣1⋅s，得f（2n﹣1⋅s+2n﹣1⋅s）≥2f（2n﹣1⋅s），即，
故对任意正整数n与正数s，都有，
∴对任意．
（ii）由（i）知：对任意正整数n与正数s，都有f（2n⋅s）≥2nf（s），
故对任意正整数n与正数s，都有f（2n﹣1⋅s）≥2n﹣1f（s），
令s＝1，则f（2n﹣1）≥2n﹣1f（1）＝2n﹣1，
令s＝21﹣n，则f（21﹣n）≤21﹣nf（1）＝21﹣n，
对任意x∈（2n﹣1，2n）（n∈N*），可得，21﹣n），
又∵f（1）＝1，
∴由（1）中已证的单调性得：，，
∴．
【点评】本题考查抽象函数的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
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