2022-2023学年广东省深圳外国语学校博雅高中高一（上）期末数学模拟试卷

这是一份2022-2023学年广东省深圳外国语学校博雅高中高一（上）期末数学模拟试卷，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|﹣1≤x＜2}，则A⋂B＝（ ）
A．{﹣1，0}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{0，1，2}
2．（5分）“”是“x＞1”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．非充分也非必要条件
3．（5分）已知命题p：∃x0∈R，x0+1＜0，则p的否定为（ ）
A．∀x∈R，x2﹣x+1≥0B．∀x∈R，x2﹣x+1＜0
C．∃x0∈R，x0+1＞0D．∃x0∈R，x0+1＜0
4．（5分）已知幂函数f（x）图象过点，则f（6）等于（ ）
A．12B．19C．24D．36
5．（5分）若f（x）是偶函数且在[0，+∞）上单调递增，又f（﹣2）＝1，则不等式f（x）＞1的解集为（ ）
A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|x＜﹣2或x＞2}
C．{x|x＜﹣2或0＜x＜2}D．{x|x＞2或﹣2＜x＜0}
6．（5分）函数f（x）＝lg2x+2x﹣7的零点一定位于区间（ ）
A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（5，6）
7．（5分）在用“二分法”求函数f（x）零点近似值时，若第一次所取区间为[﹣2，8]，则第二次所取区间可能是（ ）
A．[﹣2，3]B．[﹣1，3]C．[4，6]D．[﹣2，2]
8．（5分）若扇形周长为10，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（每题5分，都选对得5分，对而不全得2分，有错误选项得0分，共20分）
（多选）9．（5分）下列命题中，正确的是（ ）
A．若a＞b，则ac＞bc
B．若a＞b＞0＞c＞d，则ad＞bc
C．若a＞b＞0，则
D．若2＜a＜3，﹣1＜b＜4，则﹣2＜a﹣b＜4
（多选）10．（5分）若函数在R上是单调函数，则a的值可能是（ ）
A．﹣1B．C．D．2
（多选）11．（5分）下列命题中错误的是（ ）
A．三角形的内角必是第一、二象限角
B．始边相同而终边不同的角一定不相等
C．第四象限角一定是负角
D．钝角比第三象限角小
（多选）12．（5分）下列表达式正确的是（ ）
A．若，则
B．在锐角△ABC中，sinA＞csB恒成立
C．
D．∀α，，sin2α+cs2β＜sinα+csβ
三、填空题（每题5分，共20分）
13．（5分）若正数a，b满足：，则a+4b的最小值为 ．
14．（5分）函数的定义域是 ．
15．（5分）函数的最小正周期是2π，则ω＝ ．
16．（5分）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题（第17题10分，18-22题每题12分，共70分，写出必要的解题步骤）
17．（10分）（1）化简；
（2）．
18．（12分）已知．
（1）求sin2α﹣2cs2α的值．
（2）求的值．
19．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b∈R且a≠0），x∈R．
（1）若函数f（x）的最小值为f（1）＝0，求f（x）的解析式，并写出单调区间；
（2）在（1）的条件下，f（x）＞x+k在区间[1，3]上恒成立，试求k的取值范围．
20．（12分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为10000元，每生产一台仪器需增加投入200元，已知销售额R（x）满足，其中x是仪器的月产量．
（1）将利润表示为月产量的函数f（x）；
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益＝总成本+利润）
21．（12分）已知函数的最小正周期为π．
（1）求的值；
（2）求函数f（x）的单调递减区间：
（3）若，求f（x）的最值．
22．（12分）已知函数为奇函数．
（1）求实数m的值及函数f（x）的值域；
（2）若不等式af（x）﹣f（2x）＞0对任意x＞0都成立，求实数a的取值范围．
2022-2023学年广东省深圳外国语学校博雅高中高一（上）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每题5分，共40分）
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|﹣1≤x＜2}，则A⋂B＝（ ）
A．{﹣1，0}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{0，1，2}
【分析】根据交集运算的定义可得解．
【解答】解：∵A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|﹣1≤x＜2}，
∴A⋂B＝{﹣1，0，1}．
故选：B．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2．（5分）“”是“x＞1”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．非充分也非必要条件
【分析】由1解得：x＞1或x＜0，所以{x|x＞1}⫋{x|x＞1或x＜0}，进而可以得出结论．
【解答】解：由1解得：x＞1或x＜0，
所以{x|x＞1}⫋{x|x＞1或x＜0}，
所以“1”是“x＞1”的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题考查了四个条件的应用，涉及到解不等式问题，属于基础题．
3．（5分）已知命题p：∃x0∈R，x0+1＜0，则p的否定为（ ）
A．∀x∈R，x2﹣x+1≥0B．∀x∈R，x2﹣x+1＜0
C．∃x0∈R，x0+1＞0D．∃x0∈R，x0+1＜0
【分析】对原命题“改量词，否结论”即可求得结果．
【解答】解：命题∃x0∈R，的否定是：∀x∈R，x2﹣x+1≥0．
故选：A．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，属基础题．
4．（5分）已知幂函数f（x）图象过点，则f（6）等于（ ）
A．12B．19C．24D．36
【分析】根据题意，求得f（x）＝x2，代入即可求解．
【解答】解：设幂函数f（x）＝xα（α∈R），
因为幂函数f（x）图象过点，可得，解得α＝2，即f（x）＝x2，
所以f（6）＝62＝36．
故选：D．
【点评】本题主要考查幂函数的概念，属于基础题．
5．（5分）若f（x）是偶函数且在[0，+∞）上单调递增，又f（﹣2）＝1，则不等式f（x）＞1的解集为（ ）
A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|x＜﹣2或x＞2}
C．{x|x＜﹣2或0＜x＜2}D．{x|x＞2或﹣2＜x＜0}
【分析】根据题意，由偶函数的性质有f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在[0，+∞）上单调递增，且f（﹣2）＝f（2）＝1，再由偶函数、单调性求解集．
【解答】解：根据题意，f（x）是偶函数且f（﹣2）＝1，则f（2）＝1，
又由f（x）在[0，+∞）上单调递增，
则f（x）＞1⇔f（|x|）＞f（2）⇒|x|＞2，
解可得：x＜﹣2或x＞2，即不等式的解集为{x|x＜﹣2或x＞2}．
故选：B．
【点评】本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
6．（5分）函数f（x）＝lg2x+2x﹣7的零点一定位于区间（ ）
A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（5，6）
【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（2）、f（3）的值，由二分法分析可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）＝lg2x+2x﹣7，其定义域为（0，+∞），
而函数y＝lg2x和y＝2x﹣7都在（0，+∞）上的增函数，则f（x）＝lg2x+2x﹣7在（0，+∞）递增，
又由f（2）＝lg22+2×2﹣7＝﹣2＜0，f（3）＝lg23+2×3﹣7＝lg23﹣1＝lg23﹣lg22＞0
则有f（2）f（3）＜0，
所以f（x）＝lg2x+2x﹣7的零点一定位于区间（2，3），
故选：B．
【点评】本题考查函数零点判定定理，涉及二分法的应用，属于基础题．
7．（5分）在用“二分法”求函数f（x）零点近似值时，若第一次所取区间为[﹣2，8]，则第二次所取区间可能是（ ）
A．[﹣2，3]B．[﹣1，3]C．[4，6]D．[﹣2，2]
【分析】根据题意，由“二分法”求函数零点的步骤，分析第二次所取区间即可．
【解答】解：根据题意，用“二分法”求函数f（x）零点近似值时，若第一次所取区间为[﹣2，8]，
则有f（﹣2）f（8）＜0，
根据二分法取值，即判断f（﹣2）f（3）或f（3）f（8）的符号，
所以第二次所取区间可能是[﹣2，3]或[3，8]．
故选：A．
【点评】本题考查二分法求函数零点的步骤，注意二分法的步骤，属于基础题．
8．（5分）若扇形周长为10，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设出扇形半径和圆心角，根据周长得到方程，并表示出扇形面积，利用基本不等式求出最值，得到扇形的半径和圆心角，从而结合三角函数得到，求出答案．
【解答】解：设扇形的半径为R，圆心角为θ（θ＞0），则弧长l＝θR，
故2R+θR＝10，则，
故扇形面积为，
由基本不等式得，当且仅当，即θ＝2时，等号成立，
故，
此时，
由对称性可知∠BOD＝1，
设内切圆的圆心为P，因为，故，
过点P作PE⊥OB于点E，
则PE＝r，在Rt△OEP中，，即，
解得．
故选：B．
【点评】本题主要考查扇形的面积公式，属于中档题．
二、多选题（每题5分，都选对得5分，对而不全得2分，有错误选项得0分，共20分）
（多选）9．（5分）下列命题中，正确的是（ ）
A．若a＞b，则ac＞bc
B．若a＞b＞0＞c＞d，则ad＞bc
C．若a＞b＞0，则
D．若2＜a＜3，﹣1＜b＜4，则﹣2＜a﹣b＜4
【分析】由不等式的性质对四个选项依次判断即可．
【解答】解：对于选项A，
c＝0时，ac＝bc＝0，不成立，
故错误；
对于选项B，
∵0＞c＞d，
∴﹣d＞﹣c＞0，
∴﹣ad＞﹣bc＞0，
∴ad＜bc，
故错误；
对于选项C，
∵a＞b＞0，
∴，
∴，
即，故正确．
对于选项D，
∵﹣1＜b＜4，
∴﹣4＜﹣b＜1，
∴﹣2＜a﹣b＜4，
故正确．
故选：CD．
【点评】本题考查了不等式的性质的应用，属于基础题．
（多选）10．（5分）若函数在R上是单调函数，则a的值可能是（ ）
A．﹣1B．C．D．2
【分析】根据题意，结合二次函数的性质，得到函数f（x）在R为单调递增函数，利用分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解．
【解答】解：由函数在R为单调函数，
当x≥3时，函数f（x）＝x2+2x+4a＝（x+1）2+4a﹣1，
此时函数f（x）在区间[3，+∞）上单调递增，
所以函数在R为单调递增函数，
则满足，解得0＜a≤2，
结合选项，可得B、C、D项，符合题意．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查函数的单调性，属于基础题．
（多选）11．（5分）下列命题中错误的是（ ）
A．三角形的内角必是第一、二象限角
B．始边相同而终边不同的角一定不相等
C．第四象限角一定是负角
D．钝角比第三象限角小
【分析】根据任意角的概念以及象限角轴线角以及钝角的概念一一判断各选项，即可得答案．
【解答】解：当三角形为直角三角形时，一内角为直角，直角不属于第一、二象限角，故A错误；
始边相同而终边不同的角一定不相等，故B正确；
取330°角为第四象限角，但不是负角，故C错误；
取120°为钝角，﹣110°为第三象限角，但120°＞﹣110°，故D错误．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查象限角、轴线角，属于基础题．
（多选）12．（5分）下列表达式正确的是（ ）
A．若，则
B．在锐角△ABC中，sinA＞csB恒成立
C．
D．∀α，，sin2α+cs2β＜sinα+csβ
【分析】利用诱导公式及同角三角函数关系化简判断A、C；由且结合诱导公式判断B；作差法比较大小判断D．
【解答】解：A：由题设|sinθ﹣csθ|，
又，故，错；
B：由题意且，则，所以，对；
C：，对；
D：由sin2α+cs2β﹣（sinα+csβ）＝sinα（sinα﹣1）+csβ（csβ﹣1），
又α，，故0＜sinα，csβ＜1，故sin2α+cs2β﹣（sinα+csβ）＜0，
所以sin2α+cs2β＜sinα+csβ，对．
故选：BCD．
【点评】本题考查了三角恒等变换，属于中档题．
三、填空题（每题5分，共20分）
13．（5分）若正数a，b满足：，则a+4b的最小值为 ．
【分析】利用基本不等式“1”的代换求目标式最小值，注意取值条件．
【解答】解：由a＞0，b＞0，故和均大于0，
则，
当且仅当时等号成立，
所以a+4b的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．
14．（5分）函数的定义域是 [1，+∞） ．
【分析】利用根式性质，结合指数函数单调性解不等式求函数定义域．
【解答】解：由题设3x﹣3≥0⇒3x≥3⇒x≥1，故定义域为[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．
【点评】本题主要考查函数的定义域及其求法，属于基础题．
15．（5分）函数的最小正周期是2π，则ω＝ ±1 ．
【分析】根据题意，利用三角函数的周期公式建立关于ω的等式，解之可得ω的值．
【解答】解：由的最小正周期是2π，得，解得ω＝±1．
故答案为：±1．
【点评】本题主要考查三角函数的周期公式，考查了计算能力，属于基础题．
16．（5分）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是 （﹣∞，0]⋃[4，+∞） ．
【分析】根据题意，令t＝2x＞0，转化为g（t）＝t2﹣a⋅t+a，t＞0的值域取遍一切正实数，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解．
【解答】解：由函数，令f（x）＝4x﹣a⋅2x+a，
令t＝2x＞0，可得g（t）＝t2﹣a⋅t+a，
要使得函数的值域为R，
则g（t）＝t2﹣a⋅t+a，t＞0的值域能取遍一切正实数，
当a＞0时，则满足Δ＝（﹣a）2﹣4a≥0，解得a≥4；
当a＝0时，可得g（t）＝t2≥0，符合题意；
当a＜0时，则满足g（0）＝a＜0，此时函数g（t）的值域能取遍一切正实数，符合题意，
综上可得，实数a的取值范围为（﹣∞，0]⋃[4，+∞）．
故答案为：（﹣∞，0]⋃[4，+∞）．
【点评】本题主要考查对数函数的值域与最值，属于基础题．
四、解答题（第17题10分，18-22题每题12分，共70分，写出必要的解题步骤）
17．（10分）（1）化简；
（2）．
【分析】利用指对数的运算公式计算即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
＝lg5+lg2﹣2﹣2lg23×lg32＝1﹣2﹣2＝﹣3．
【点评】本题主要指数幂的运算，以及对数的运算性质，属于基础题．
18．（12分）已知．
（1）求sin2α﹣2cs2α的值．
（2）求的值．
【分析】（1）利用平方关系及商数关系有，即可求值；
（2）应用诱导公式化简，再由商数关系及已知求值．
【解答】解：（1）；
（2）．
【点评】本题主要考查三角函数的同角公式，属于基础题．
19．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b∈R且a≠0），x∈R．
（1）若函数f（x）的最小值为f（1）＝0，求f（x）的解析式，并写出单调区间；
（2）在（1）的条件下，f（x）＞x+k在区间[1，3]上恒成立，试求k的取值范围．
【分析】（1）根据函数f（x）的最小值为f（1）＝0，可得f（1）＝a+b+1＝0，且，可得a，b的值，从而得到f（x）的解析式，根据对称轴和开口方向写单调区间；
（2）分离参数k，求解二次函数f（x）在区间[1，3]上的最小值，即可得k的范围．
【解答】解：（1）由题意知f（1）＝a+b+1＝0，且，
∴a＝1，b＝﹣2，∴f（x）＝x2﹣2x+1，
因为函数f（x）对称轴x＝1，开口向上，
∴f（x）单调减区间为（﹣∞，1]，单调增区间为[1，+∞）；
（2）f（x）＞x+k在区间[1，3]上恒成立，
转化为x2﹣3x+1＞k在[1，3]上恒成立．
设g（x）＝x2﹣3x+1，x∈[1，3]，且对称轴为，
则g（x）在取得最小值，
∴．
∴，即k的取值范围为．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，考查转化能力，属于中档题．
20．（12分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为10000元，每生产一台仪器需增加投入200元，已知销售额R（x）满足，其中x是仪器的月产量．
（1）将利润表示为月产量的函数f（x）；
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益＝总成本+利润）
【分析】（1）根据已知关系式，结合利润、收益、成本关系写出利润f（x）的解析式；
（2）由（1）所得解析式，结合对应函数的性质求最大值，并确定取值条件．
【解答】解：（1）由题设；
（2）由0≤x≤300时，，
当x＝200，取最大值为10000元；
由x＞300时，y＝70000﹣200x递减，即y＝70000﹣200x＜10000元；
综上，当月产量为200元时，公司所获利润最大，为10000元．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
21．（12分）已知函数的最小正周期为π．
（1）求的值；
（2）求函数f（x）的单调递减区间：
（3）若，求f（x）的最值．
【分析】（1）由最小正周期，求得ω，得到f（x），再求；
（2）整体代入法求函数的单调递减区间；
（3）由x的取值范围，得到的取值范围，可确定最值点，算出最值．
【解答】解：（1）由最小正周期公式得：，故ω＝2，
所以，
所以．
（2）令，解得，
故函数f（x）的单调递减区间是．
（3）因为，所以，
当，即时，f（x）的最大值为3，
当，即时，f（x）的最小值为．
【点评】本题考查正弦型函数的图象及性质，考查运算求解能力，属于基础题．
22．（12分）已知函数为奇函数．
（1）求实数m的值及函数f（x）的值域；
（2）若不等式af（x）﹣f（2x）＞0对任意x＞0都成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）利用奇函数的性质求出m＝1，再利用直接法求函数值域即可．
（2）由不等式af（x）﹣f（2x）＞0对任意x＞0都成立，可转化为恒成立，求解的最大值即可．
【解答】解：（1）由题知，f（x）的定义域为（﹣∞，0）⋃（0，+∞），
为奇函数，
所以，，
解得m＝1，此时，
因为3x＞0，且3x≠1，
所以3x﹣1＞﹣1，且3x﹣1≠0，
或，
所以或，
或，
即f（x）的值域为（1，+∞）⋃（﹣∞，﹣1）．
（2）当x＞0时，3x＞1，，
所以af（x）﹣f（2x）＞0，化为恒成立，
只需求的最大值即可，
而，
由，当，即x＝0时取等，
故，
则，，
所以，则a≥1，
故实数a的取值范围{a|a≥1}．
【点评】本题主要考查函数恒成立问题，属于中档题．
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