2023-2024学年江苏省镇江市市区九年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年江苏省镇江市市区九年级（上）期中数学试卷，共28页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．一元二次方程x2﹣9＝0的根为 ．
2．二次函数y＝3（x﹣1）2+2图象的顶点坐标为 ．
3．已知一元二次方程x2﹣6x+c＝0有一个根为2，则c＝ ．
4．已知圆锥的母线长是6cm，侧面展开图的面积是18π cm2，则此圆锥的底面半径是 ．
5．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝25°，则∠BOC＝ °．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A＝80°，则∠DCE＝ °．
7．把抛物线y＝﹣x2向左平移2个单位，然后向上平移3个单位，则平移后该抛物线相应的函数表达式为 ．
8．一个三角形的两边长为3和5，第三边长为方程x2﹣5x+6＝0的根，则这个三角形的周长为 ．
9．已知二次函数y＝x2+2x+k的最小值为5，则k＝ ．
10．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点D．若OD＝1，BC＝3，则OA＝ ．
11．已知m是方程x2﹣2024x+1＝0的一个根，则＝ ．
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的负半轴上，抛物线y＝ax2+4ax+c（a＞0）的顶点为E，且经过点A、B．若△ABE为直角三角形，则a＝ ．
二、选择题（每题3分，共18分）
13．已知⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O内B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外D．不能确定
14．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（ ）
A．（x+6）2＝28B．（x﹣6）2＝28C．（x+3）2＝1D．（x﹣3）2＝1
15．若函数y＝﹣x2+2x+m的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2＜1，则（ ）
A．y1＜y2B．y1＞y2
C．y1＝y2D．y1，y2的大小不确定
16．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且CD平分∠ACB，交AB于点E．若AE＝7，DE＝13，则⊙O的半径为（ ）
A．8B．C．D．12
17．已知二次函数y＝ax2+bx+c自变量x与函数值y之间满足下列数量关系如表，则的值（ ）
A．﹣4B．﹣8C．﹣12D．﹣24
18．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝45°，AC＝8，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为（ ）
A．B．C．D．
三、解答题（共78分）
19．用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣6x+4＝0；
（2）3x（x﹣4）＝5（4﹣x）．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m是正整数，求关于x的方程x2﹣2x+m﹣1＝0的根．
22．如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过O作OH⊥AC于点H．若OH＝3，AB＝12，BO＝13，求：⊙O的半径和AC的长．
23．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2ax+2a（a为常数）．
（1）当抛物线经过点（2，6）时，求a的值；
（2）当a＝1时，
①若y随x的增大而减小，则x的取值范围为 ；
②若0≤x≤4，则函数的最大值为 ，最小值为 ．
24．直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元．当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个．通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个．
（1）当每个水杯的售价为60元时，平均每月售出 个水杯，月销售利润是 元．
（2）若每个水杯售价上涨x元（x＞0），每月能售出 个水杯（用含x的代数式表示）．
（3）若月销售利润恰好为10000元，且尽可能让顾客得到实惠，求每个水杯的售价．
25．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（4，﹣5）和（1，﹣8），与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出顶点的坐标；
（2）连接AC、BC，求△ABC的面积；
（3）若点P是抛物线y＝x2+bx+c上一点（点P不与点C重合），且S△ABP＝S△ABC，则点P的坐标为 ．
26．如图，点D是△ABC的边BC上一点，以CD为直径的⊙O切AB于点E，BF⊥AO交AO延长线于点F，且∠FBC＝∠CAF．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AC＝6，BC＝8．
①求⊙O的半径；
②连接CF，求BF的长．
27．在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝9cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒2cm的速度移动，同时点Q从点D出发沿DA边向点A以每秒1cm的速度移动，P、Q其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒．解答下列问题：
（1）如图①，t为何值时，△APQ的面积等于20cm2；
（2）如图②，若以点P为圆心，PQ为半径作⊙P．在运动过程中，是否存在t值，使得⊙P经过点C？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，若以Q为圆心，DQ为半径作⊙Q，当⊙Q与AC相切时．
①求t的值．
②如图④，若点E是此时⊙Q上一动点，F是CE的中点，连接BF，则线段BF的最大值为 ．
28．如图1，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣4x+c的图象与y轴的交点坐标为（0，5），图象的顶点为M．矩形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为（1，5）．
（1）求c的值及顶点M的坐标．
（2）如图2，将矩形ABCD沿x轴正方向平移t个单位（0＜t＜3）得到对应的矩形A′B′C′D′．已知边C′D′，A′B′分别与函数y＝x2﹣4x+c的图象交于点P，Q，连接PQ，过点P作PG⊥A′B′于点G．
①当t＝2时，求QG的长；
②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得△PGQ的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年江苏省镇江市市区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（每题2分，共24分）
1．一元二次方程x2﹣9＝0的根为 x1＝3，x2＝﹣3 ．
【分析】利用直接开平方法求解即可得到答案．
解：x2﹣9＝0，
x2＝9，
∴x1＝3，x2＝﹣3，
故答案为：x1＝3，x2＝﹣3．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
2．二次函数y＝3（x﹣1）2+2图象的顶点坐标为 （1，2） ．
【分析】二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点坐标是（h，k）．
解：根据二次函数的顶点式方程y＝3（x﹣1）2+2知，该函数的顶点坐标是：（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式．解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程y＝a（x﹣h）2+k中的h、k所表示的意义．
3．已知一元二次方程x2﹣6x+c＝0有一个根为2，则c＝ 8 ．
【分析】直接把x＝2代入方程得到关于c的一次方程，然后解方程即可．
解：把x＝2代入方程得4﹣12+c＝0，
解得c＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查一元二次方程的解，掌握代入法是解题关键．
4．已知圆锥的母线长是6cm，侧面展开图的面积是18π cm2，则此圆锥的底面半径是 3 ．
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
解：设底面半径为R，则底面周长＝2πR，圆锥的侧面展开图的面积＝×2πR×6＝18π，
∴R＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
5．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝25°，则∠BOC＝ 50 °．
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
解：∵∠BOC与∠BAC是同弧所对的圆心角与圆周角，且∠BAC＝25°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×25°＝50°，
故答案为：50．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟记“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半”是解题的关键．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A＝80°，则∠DCE＝ 80 °．
【分析】利用圆内接四边形的对角互补和邻补角的性质求解．
解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠DCB＝180°，
又∵∠DCE+∠DCB＝180°
∴∠DCE＝∠A＝80°
故答案为：80．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质．解决本题的关键是掌握：圆内接四边形的对角互补．
7．把抛物线y＝﹣x2向左平移2个单位，然后向上平移3个单位，则平移后该抛物线相应的函数表达式为 y＝﹣（x+2）2+3 ．
【分析】直接根据“左加右减，上加下减”解答即可．
解：∵抛物线y＝﹣x2向左平移2个单位，然后向上平移3个单位，
∴平移后抛物线的表达式y＝﹣（x+2）2+3．
故答案为：y＝﹣（x+2）2+3
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
8．一个三角形的两边长为3和5，第三边长为方程x2﹣5x+6＝0的根，则这个三角形的周长为 11 ．
【分析】直接利用因式分解法解方程，进而利用三角形三边关系得出答案．
解：x2﹣5x+6＝0
（x﹣3）（x﹣2）＝0，
解得：x1＝3，x2＝2，
∵一个三角形的两边长为3和5，
∴第三边长的取值范围是：2＜x＜8，
则第三边长为：3，
∴这个三角形的周长为：11．
故答案为：11．
【点评】此题主要考查了因式分解法解方程以及三角形三边关系，正确掌握三角形三边关系是解题关键．
9．已知二次函数y＝x2+2x+k的最小值为5，则k＝ 6 ．
【分析】对于二次函数y＝a（x﹣h）+k（a≠0），当a＞0时，则当x＝h时，函数有最小值k，当a＜0时，则当x＝h时，函数有最大值k．
解：∵二次函数解析式为y＝x2+2x+k＝（x+1）2+k﹣1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＝﹣1时，函数有最小值，最小值为y＝k﹣1＝5，
∴k＝6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了二次函数的最值问题，对于二次函数y＝a（x﹣h）+k（a≠0），当a＞0时，则当x＝h时，函数有最小值k，当a＜0时，则当x＝h时，函数有最大值k．
10．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点D．若OD＝1，BC＝3，则OA＝ ．
【分析】由切线的性质得出∠OBC＝90°，证明∠CDB＝∠CBD得出BC＝CD＝3，则OC＝4，最后由勾股定理进行计算即可，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形的是解此题的关键．
解：如图，连接OB，
∵BC是⊙O的切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC＝90°，
∴∠OBA+∠ABC＝90°，
∵OC⊥AO，
∴∠OAD+∠ODA＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB，
∴∠DBC＝∠ADO，
∵∠CDB＝∠ADO，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴CD＝BC＝3，
∴OC＝OD+CD＝1+3＝4，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型．
11．已知m是方程x2﹣2024x+1＝0的一个根，则＝ 2026 ．
【分析】由根的定义得到m2﹣2024m+1＝0，恒等变形代入代数式化简求值即可得到答案．
解：∵m是方程x2﹣2024x+1＝0的一个根，
∴m2﹣2024m+1＝0，则m2﹣2023m＝m﹣1，且m2+1＝2024m，，
∴
＝
＝
＝2024+2
＝2026，
故答案为：2026．
【点评】本题考查代数式求值，涉及一元二次方程根的定义，掌握整体代入是解题关键．
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的负半轴上，抛物线y＝ax2+4ax+c（a＞0）的顶点为E，且经过点A、B．若△ABE为直角三角形，则a＝ ．
【分析】先把抛物线y＝ax2+4ax+c（a＞0）化成顶点式y＝a（x+2）2+c﹣4a（a＞0），写出E、A、B的坐标，再分别求出AB，AE，BE的长度，再根据勾股定理列出方程求出答案即可．
解：∵抛物线y＝ax2+4ax+c＝a（x+2）2+c﹣4a（a＞0）的顶点为E，且经过点A、B，
∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣2，且A，B关于直线x＝﹣2对称，即A（0，c），B（﹣4，c），E（﹣2，c﹣4a），
∴AB＝4，AE2＝[0﹣（﹣2）]2+[c﹣（c﹣4a）]2＝4+16a2，BE2＝[﹣4﹣（﹣2）]2+[c﹣（c﹣4a）]2＝4+16a2，
∵△ABE为直角三角形，
∴AE2+BE2＝AB2，即4+16a2+4+16a2＝42，
解得：（负值舍去），
故答案为：．
【点评】本题考查矩形的性质，二次函数的图象与性质，已知两点坐标求两点距离，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键．
二、选择题（每题3分，共18分）
13．已知⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O内B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外D．不能确定
【分析】根据点到圆心的距离与圆的半径大小的比较，确定点与圆的位置关系．
解：∵圆的半径是4cm，点A到圆心的距离是3cm，小于圆的半径，
∴点A在圆内．
故选：A．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，点A到圆心的距离是3cm，比圆的半径4cm小，可以判断点A就在圆内．
14．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（ ）
A．（x+6）2＝28B．（x﹣6）2＝28C．（x+3）2＝1D．（x﹣3）2＝1
【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
解：x2﹣6x+8＝0，
x2﹣6x＝﹣8，
x2﹣6x+9＝﹣8+9，
（x﹣3）2＝1，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
15．若函数y＝﹣x2+2x+m的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2＜1，则（ ）
A．y1＜y2B．y1＞y2
C．y1＝y2D．y1，y2的大小不确定
【分析】根据函数解析式得抛物线的对称轴，再根据二次函数的增减性即可求解．
解：抛物线的对称轴为：，
∵x1＜x2＜1，且a＝﹣1＜0，
∴y2＞y1，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．
16．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且CD平分∠ACB，交AB于点E．若AE＝7，DE＝13，则⊙O的半径为（ ）
A．8B．C．D．12
【分析】先根据角平分线的定义以及同弧或等弧所对的圆周角相等，得∠DBA＝∠DCA，根据等角对等边以及勾股定理进行列式，即可作答．
解：过点E作EF⊥BD，如图所示：
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵＝，＝，
∴∠ACD＝∠DBA，∠BCD＝∠DAB，
∴∠DBA＝∠DAB，
∴AD＝BD，
∵AB为⊙O的直径，EF⊥BD，
∴∠ADB＝90°＝∠EFB，
∴∠ABD＝45°，
∴EF＝BF，
设AB＝2a，
则AD2+BD2＝AD2+AD2＝AB2，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵ED2＝EF2+FD2，
∴，
整理得a2﹣7a﹣60＝（a﹣12）（a+5）＝0，
解得a1＝12，a2＝﹣5＜0（舍去），
则⊙O的半径为12，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理，角平分线的定义，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
17．已知二次函数y＝ax2+bx+c自变量x与函数值y之间满足下列数量关系如表，则的值（ ）
A．﹣4B．﹣8C．﹣12D．﹣24
【分析】由二次函数y＝ax2+bx+c经过点（2，m），（4，m），得出对称轴为，推出，再由对称性可得二次函数y＝ax2+bx+c经过点（1，4），从而得到a+b+c＝4，代入进行计算即可．
解：∵二次函数y＝ax2+bx+c经过点（2，m），（4，m），
∴二次函数的对称轴为直线，
∴，
∵二次函数y＝ax2+bx+c经过点（5，4），
∴二次函数y＝ax2+bx+c经过点（1，4），
∴a+b+c＝4，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的对称性、二次函数图象上点的特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
18．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝45°，AC＝8，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径最短，如图所示，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，由Rt△ADB为等腰直角三角形，则，即此时圆的直径为，再根据圆周角定理可得到∠EOH＝60°，则在Rt△EOH中，利用锐角三角函数可计算出，然后根据垂径定理即可得到．
解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，如图所示：
在Rt△ADC中，∠ACB＝45°，AC＝8，
∴，即此时点D在圆上，圆的直径为，
∵∠EOF＝2∠BAC＝120°，而∠EOH＝∠FOH，
∴∠EOH＝60°，
在Rt△EOH中，，
∵OH⊥EF，
∴EH＝FH，
∴，即线段EF长度的最小值为，
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了垂线段最短和解直角三角形．
三、解答题（共78分）
19．用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣6x+4＝0；
（2）3x（x﹣4）＝5（4﹣x）．
【分析】（1）根据配方法解一元二次方程的方法步骤，先配方，再直接开平方求解即可得到答案；
（2）根据所给方程结构特征，利用提公因式法解一元二次方程即可得到答案．
解：（1）x2﹣6x+4＝0，
配方得（x﹣3）2＝5，
直接开平方得，
∴；
（2）3x（x﹣4）＝5（4﹣x），
∴3x（x﹣4）+5（x﹣4）＝0，
提公因式得（x﹣4）（3x+5）＝0，
∴．
【点评】本题考查解一元二次方程，涉及配方法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程解法是解决问题的关键．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m是正整数，求关于x的方程x2﹣2x+m﹣1＝0的根．
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根知Δ＞0，据此列出关于m的不等式，解之可得；
（2）由（1）中m的范围且m为正整数得出m的值，代入方程，解之可得．
解：（1）根据题意得：（﹣2）2﹣4（m﹣1）＞0，
解不等式得：m＜2；
（2）由（1）得：m＜2
∵m为正整数，
∴m＝1，
把m＝1代入原方程得：x2﹣2x＝0，
解得：x1＝0，x2＝2．
【点评】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式及一元二次方程的解的定义是解题的关键．
22．如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过O作OH⊥AC于点H．若OH＝3，AB＝12，BO＝13，求：⊙O的半径和AC的长．
【分析】利用切线的性质得∠OAB＝90°，则根据勾股定理可计算出OA＝5，再根据垂径定理得到AH＝CH，接着利用勾股定理计算出AH，从而得到AC的长．
解：∵AB为切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
在Rt△OAB中，OA＝＝＝5，
∵OH⊥AC，
∴AH＝CH，
在Rt△OAH中，AH＝＝＝4，
∴AC＝2AH＝8，
答：⊙O的半径为5，AC的长为8．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理．
23．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2ax+2a（a为常数）．
（1）当抛物线经过点（2，6）时，求a的值；
（2）当a＝1时，
①若y随x的增大而减小，则x的取值范围为 x＜1 ；
②若0≤x≤4，则函数的最大值为 10 ，最小值为 1 ．
【分析】（1）将点（2，6）代入y＝x2﹣2ax+2a即可求解；
（2）由抛物线的解析式可确定对称轴和开口方向，据此即可求解．
解：（1）将点（2，6）代入y＝x2﹣2ax+2a得：
6＝22﹣2a×2+2a，
解得：a＝﹣1；
（2）当a＝1时，y＝x2﹣2x+2，
①抛物线的对称轴为直线：，
∵抛物线开口向上，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，
②若0≤x≤4，
则当x＝1时，函数有最小值，最小值为y＝12﹣2×1+2＝1；
当x＝4时，函数有最大值，最大值为y＝42﹣2×4+2＝10；
故答案为：①x＜1；②10，1．
【点评】本题考查了二次函数的解析式、二次函数的最值、增减性等知识点．熟记相关结论即可．
24．直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元．当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个．通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个．
（1）当每个水杯的售价为60元时，平均每月售出 400 个水杯，月销售利润是 12000 元．
（2）若每个水杯售价上涨x元（x＞0），每月能售出 （600﹣10x） 个水杯（用含x的代数式表示）．
（3）若月销售利润恰好为10000元，且尽可能让顾客得到实惠，求每个水杯的售价．
【分析】（1）利用月销售量＝600﹣10×每个水杯售价上涨上涨的钱数，可求出月销售量，再利用月销售利润＝每个水杯的销售利润×月销售量，即可求出月销售利润；
（2）利用月销售量＝600﹣10×每个水杯售价上涨上涨的钱数，可用含x的代数式表示出月销售量；
（3）设每个水杯售价上涨x元（x＞0），则每个水杯的销售利润为（40+x﹣30）元，利用月销售利润＝每个水杯的销售利润×月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
解：（1）根据题意得：600﹣10×（60﹣40）
＝600﹣10×20
＝600﹣200
＝400（个），
（60﹣30）×400
＝30×400
＝12000（元），
∴当每个水杯的售价为60元时，平均每月售出400个水杯，月销售利润是12000元．
故答案为：400，12000；
（2）根据题意得：若每个水杯售价上涨x元（x＞0），每月能售出（600﹣10x）个水杯．
故答案为：（600﹣10x）；
（3）设每个水杯售价上涨x元（x＞0），则每个水杯的销售利润为（40+x﹣30）元，
根据题意得：（40+x﹣30）（600﹣10x）＝10000，
整理得：x2﹣50x+400＝0，
解得：x1＝10，x2＝40，
又∵尽可能让顾客得到实惠，
∴x＝10，
∴40+x＝40+10＝50．
答：每个水杯的售价为50元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算：（2）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出月销售量；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
25．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（4，﹣5）和（1，﹣8），与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出顶点的坐标；
（2）连接AC、BC，求△ABC的面积；
（3）若点P是抛物线y＝x2+bx+c上一点（点P不与点C重合），且S△ABP＝S△ABC，则点P的坐标为 ．
【分析】（1）将点（4，﹣5）和（1，﹣8）代入y＝x2+bx+c得：，求出b、c的值即可，将二次函数解析式化为顶点式即可得出顶点坐标；
（2）分别令x＝0和y＝0，求出A、B、C三点坐标，从而得出AB、OC，再根据三角形面积公式计算即可；
（3）设P（x，x2﹣4x﹣5），根据S△ABP＝S△ABC得出，从而得到x2﹣4x﹣5＝5或x2﹣4x﹣5＝﹣5，解方程即可得到答案．
解：（1）将点（4，﹣5）和（1，﹣8）代入y＝x2+bx+c得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x﹣5，
∵y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，
∴抛物线的顶点为：（2，﹣9）；
（2）在y＝x2﹣4x﹣5中，当x＝0时，y＝﹣5，
∴C（0，﹣5），
当y＝0时，x2﹣4x﹣5＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（5，0），
∴AB＝5﹣（﹣1）＝6，OC＝5，
∴；
（3）设P（x，x2﹣4x﹣5），
∵S△ABP＝S△ABC，
∴，
整理得：x2﹣4x﹣5＝5或x2﹣4x﹣5＝﹣5，
解得：，或x1＝4，x2＝0（不符合题意，舍去），
当时，，
当是，，
当x＝4时，y＝42﹣4×4﹣5＝﹣5，
∴点P的坐标为，
故答案为：．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数的综合—面积问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
26．如图，点D是△ABC的边BC上一点，以CD为直径的⊙O切AB于点E，BF⊥AO交AO延长线于点F，且∠FBC＝∠CAF．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AC＝6，BC＝8．
①求⊙O的半径；
②连接CF，求BF的长．
【分析】（1）根据切线的性质，只要证明即可得证；
（2）根据题意，由勾股定理可得AB，连接OE，由切线长定理及切线性质，结合勾股定理列方程求解即可得到答案；
（3）根据切线性质，利用三角形全等的性质得到△AFG≌△AFB，最后利用勾股定理即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵BF⊥AO，
∴∠BFO＝90°，
∵∠FBC＝∠CAF，∠COA＝∠FOB，
∴∠ACO＝∠BFO＝90°，
∴OC⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：①∵AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，
∴，
连接OE，如图所示：
∵AC与AE都为⊙O的切线，
∴AC＝AE＝6，
∴BE＝AB﹣AE＝4，
在Rt△BOE中，设OC＝OE＝r，则有OB＝8﹣r，由勾股定理得（8﹣r）2＝r2+42，解得r＝3，即圆的半径为3；
②延长AC、BF相交于点G，如图所示：
∵AF⊥BG，
∴∠AFG＝∠AFB＝90°，
∵AC与AE都为⊙O的切线，
∴OC⊥AC，OE⊥AE，OC＝OE，
∴∠CAO＝∠EAO，
在△AFG和△AFB中，
，
∴△AFG≌△AFB（ASA），
∴AG＝AB＝10，BF＝GF，
∴CG＝BE＝4，
在Rt△BCG中，∠BCG＝90°，则，
∴．
【点评】本题考查圆综合，涉及切线的证明、勾股定理、切线性质、切线长定理、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握圆的相关性质，灵活运用性质证明圆的相关综合问题是解决问题的关键．
27．在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝9cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒2cm的速度移动，同时点Q从点D出发沿DA边向点A以每秒1cm的速度移动，P、Q其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒．解答下列问题：
（1）如图①，t为何值时，△APQ的面积等于20cm2；
（2）如图②，若以点P为圆心，PQ为半径作⊙P．在运动过程中，是否存在t值，使得⊙P经过点C？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，若以Q为圆心，DQ为半径作⊙Q，当⊙Q与AC相切时．
①求t的值．
②如图④，若点E是此时⊙Q上一动点，F是CE的中点，连接BF，则线段BF的最大值为 ．
【分析】（1）利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题；
（2）连接PC，根据切线长定理可得PQ＝PC，利用勾股定理构建方程即可解决问题；
（3）①设⊙Q与AC相切于点H，连接QH，则QH⊥AC，在Rt△AQH中，利用勾股定理构建方程即可解决问题；
②由①得：QD＝4，AQ＝5，连接QE，CQ，取CQ的中点M，连接FM，BM，作MN⊥AB于N，则AD∥MN∥BC，BF≤BM+FM，根据AD∥MN∥BC，可得△PQM∽△BQC，△BPN∽△BQA，，再求出BM，MF，根据BF≤BM+FM，即可解决问题．
解：（1）根据题意得：AP＝2tcm，AQ＝（9﹣t）cm，
∵△APQ的面积等于20cm2，
∴，
整理得：t2﹣6t+8＝0，
解得t1＝4，t2＝5，
即t＝4或5秒时，△APQ的面积为20；
（2）在运动过程中，存在t值，使得⊙P经过点C；理由如下：
如图②，连接PC，
∵⊙P经过点C，
∴PQ＝PC，
∵PQ2＝AP2+AQ2，PC2＝PB2+BC2，
∴PA2+AQ2＝PB2+BC2，
∴（2t）2+（9﹣t）2＝（12﹣2t）2+92，
解得或（舍去），
∴当时，⊙P经过点C；
（3）①如图③，设⊙Q与AC相切于点H，连接QH，则QH⊥AC，
∴∠AHQ＝90°，
∵DQ为半径，且AD⊥CD，
∴CD＝CH＝12，QD＝QH＝t，，
∴AH＝3，
∴AQ2＝HQ2+AH2，
∴（9﹣t）2＝t2+32，
∴t＝4，
∴t＝4时，⊙Q与AC相切．
②由①得：QD＝4，AQ＝5，
如图，连接QE，CQ，取CQ的中点M，连接FM，BM，作MN⊥AB于N，则AD∥MN∥BC，BF≤BM+FM，
∵F是CE的中点，
∴，
∵AD∥MN∥BC，
∴△PQM∽△BQC，△BPN∽△BQA，，
∴，，
∴，，AN＝BN＝6，
∴，
∴MN＝PM+PN＝7，
∴，
∴，
即线段BF的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
28．如图1，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣4x+c的图象与y轴的交点坐标为（0，5），图象的顶点为M．矩形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为（1，5）．
（1）求c的值及顶点M的坐标．
（2）如图2，将矩形ABCD沿x轴正方向平移t个单位（0＜t＜3）得到对应的矩形A′B′C′D′．已知边C′D′，A′B′分别与函数y＝x2﹣4x+c的图象交于点P，Q，连接PQ，过点P作PG⊥A′B′于点G．
①当t＝2时，求QG的长；
②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得△PGQ的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）运用待定系数法将（0，5）代入y＝x2﹣4x+c，即可求得c的值，再利用配方法将抛物线的解析式化为顶点式或运用顶点公式即可求得答案；
（2）①当t＝2时，D′，A′的坐标分别是（2，0），（3，0）．进而可求得点P、Q的纵坐标，利用QG＝yQ﹣yG，即可求得答案；
②根据题意，得：P（t，t2﹣4t+5），Q（t+1，t2﹣2t+2），G（t+1，t2﹣4t+5），分两种情况：当点G在点Q的上方时，当点G在点Q的下方时，分别求得t的值即可．
【解答】解 （1）∵二次函数y＝x2﹣4x+c的图象与y轴的交点坐标为（0，5），
∴c＝5，
∴y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴顶点M的坐标是（2，1）．
（2）①如图1，∵A在x轴上，B的坐标为（1，5），
∴点A的坐标是（1，0）．
当t＝2时，D′，A′的坐标分别是（2，0），（3，0）．
当x＝3时，y＝32﹣4×3+5＝2，即点Q的纵坐标是2．
当x＝2时，y＝1，即点P的纵坐标是1．
∵PG⊥A′B′，
∴点G的纵坐标是1，
∴QG＝2﹣1＝1．
②存在．理由如下：
∵△PGQ的面积为1，PG＝1，
∴QG＝2．
根据题意，得：P（t，t2﹣4t+5），Q（t+1，t2﹣2t+2），
∴G（t+1，t2﹣4t+5），
如图2，当点G在点Q的上方时，
QG＝t2﹣4t+5﹣（t2﹣2t+2）＝3﹣2t＝2，
此时（在0＜t＜3的范围内）．
如图3，当点G在点Q的下方时，
QG＝t2﹣2t+2﹣（t2﹣4t+5）＝2t﹣3＝2，
此时（在0＜t＜3的范围内）．
综上所述，存在t，使得△PGQ的面积为1，此时t的值为或．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，抛物线的顶点，平移变换的性质，三角形面积等，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．x
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