内蒙古呼和浩特市内蒙古师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷

这是一份内蒙古呼和浩特市内蒙古师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷，共9页。试卷主要包含了设，，向量，，且，，则，对于拋物线上，下列描述正确的是，在中，，，，则的面积可以是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号和座位号填写在答题卡上。本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．作答时，请考生将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，请考生将答题卡交回，将试题自行保留。
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．在复平面内，对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知过点，的直线的倾斜角为，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上一点到焦点的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．设，，向量，，且，，则（ ）
A．B．C．4D．3
5．过点与圆相切的两条直线的夹角为则（ ）
A．1B．C．D．
6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）
A．B．C．D．
7．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，为轴上一定点，，且，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
8．双曲线以为左焦点，定点，点为双曲线右支上的动点，且周长的最小值为14，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
二、多选题（本大题共4小颕，每小题5分，共20分。少选得2分，选错得0分）
9．对于拋物线上，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为B．开口向上，焦点为
C．焦点到准线的距离为4D．准线方程为
10．在中，，，，则的面积可以是（ ）
A．B．1C．D．
11．已知圆，直线，则（ ）
A．圆的圆心为B．点在上
C．与圆相交D．被圆截得的最短弦长为4
12．设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于M，N两点，为的准线，则（ ）
A．B．
C．以为直径的圆与相切D．为等腰三角形
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知直线，与双曲线的一条渐近线垂直，则______．
14．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为______．
15．已知抛物线的焦点为，准线，点在抛物线上，点在直线上的射影为，且直线的斜率为，则的面积为______．
16．已知椭圆的离心率为和分别是的左、右焦点，是上的动点，点在线段的延长线上，，点的轨迹为，线段的垂直平分线交于A，B两点，则的最小值是________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）双曲线的离心率，且过点．
（1）求双曲线的标准方程：
（2）求与双曲线有相同渐近线，且过点的双曲线的标准方程．
18．（12分）如图，底面，四边形是正方形，，．
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值．
19．（12分）中，角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）若，，求的面积．
20．（12分）已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线交椭圆于A、B两点，求线段的中点坐标．
21．（12分）如图，在矩形中，，，为线段中点，现将沿折起，使得点到点位罝，且．
（1）求证：平面平面；
（2）已知点M是线段上的动点（不与点P，C重合），若使平面与平面的夹角为，试确定点M的位置．
22．（12分）已知离心率为的椭圆经过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若不过点的直线交椭圆于B，C两点，求面积的最大值．
内师大附中2022级高二年级第一学期12月月考
数学参考答案
1．A 2．A 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C 8．A
9．AC 10．AD 11．BCD 12．AC
13．414．15．16．
17．解：（1）离心率，则①，
点在双曲线上，②，
联立①②，解得，，
双曲线的标准方程为．
（2）设所求双曲线的方程为，
所求双曲线经过点，则，即，
所求双曲线的方程为，其标准方程为．
18．解：（1）因为，平面，平面，
所以平面．同理可得，平面，
又，
，平面，
所以平面平面；
（2）以A为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如下图所示的空间直角坐标系．
由已知得，点，，，．所以，．
易知平面，则平面的一个法向量为．
设直线与平面所成角为，则
．
则．
即直线与平面所成角的余弦值为．
19．解：（1），
，
即，
因为A、B为三角形内角，
所以，
，即；
（2）若，，
则，
即，则，
，，
则的面积．
20．解：（1）设椭圆的半焦距为，
依题意，，
，
所求椭圆方程为．
（2）联立方程组，
消去得，，
设，，线段的中点为，
则，，
，
线段的中点坐标为．
21．（1）证明：为中点，．
，
，四边形为矩形．，
．．
，，，平面，
平面，
平面
平面平面；
（2）解：以E为坐标原点，，所在直线分别为x轴，y轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，．
，，，
设，，
则，
设是平面的法向量．
，即
，
取，则
．
为平面的法向量，
．
面与平面的夹角为，
．
解得点为线段的中点．
22．解：（1）因为，
所以设，，则，
椭圆的方程为．
代入点的坐标待，待，
所以椭圆的方程为．
（2）设点B，C的坐标分别为，，
联立，得．
所以，．
，．
．
点到直线的距离，
的面积
．
当且仅当，即时等号成立．
所以当时，面积的最大值为．