吉林省辽源市田家炳高级中学友好学校2021-2022学年高二上学期期末数学试题

这是一份吉林省辽源市田家炳高级中学友好学校2021-2022学年高二上学期期末数学试题，共10页。试卷主要包含了在等差数列中，，则，下列说法中，正确的有等内容，欢迎下载使用。

本试卷共22题，满分150分，共6页。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码粘贴到条形码区域内。
2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色中性笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1.已知，，则（ ）
A．B．
C．44D．23
2.在直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角为（ ）
A．30°B．45°
C．60°D．90°
3．已知过点，的直线的斜率为，则（ ）
A．10B．180
C．D．
4．已知圆：，则过点的最短弦所在直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
5．抛物线的焦点坐标是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是（ ）
A．2B．
C．D．
7．设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为.若，则该椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
8.在等差数列中，，则（ ）
A.8B.12
C.16D.20
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9.等差数列是递增数列，满足，前项和为，下列选项正确的是（ ）
A.B.
C.当时最小D.时的最小值为8
10.下列说法中，正确的有（ ）
A．直线必过定点
B．直线在轴上的截距为2
C．直线的倾斜角为
D．点到直线的距离为7
11．如图，在长方体中，，，则（ ）
A．平面
B．
C．与所成角为
D．与平面所成的角的正弦值为
12.设圆的圆心为，直线过，且与圆交于，两点，若，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程为________．
14．已知等比数列是递增数列，是的前项和.若，是方程的两个根，则________.
15.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合．若双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为________．
16．如图，在直三棱柱中，，，为上一点．若二面角的大小为，则的长为________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分。其中第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）已知，，，，，求：
（1），，；
（2）与夹角的余弦值．
18．（本小题12分）记为等差数列的前项和，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值.
19．（本小题12分）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，，分别是，的中点．
（1）求证：；
（2）求与平面所成角的正弦值．
20．已知双曲线过点且与椭圆有相同的焦点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若点在双曲线上，，为左、右焦点，且，试判断的形状．
21．已知数列满足，.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
22．已知椭圆：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线：与椭圆相交于，两点，在轴上是否存在点，使直线与的斜率之和为定值？若存在，求出点坐标及该定值，若不存在，试说明理由．
友好学校第七十二届联考
高二数学答案
本试卷共22题，满分150分，共6页。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码粘贴到条形码区域内。
2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色中性笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1.解析：选C.，则.
2.解析：选C.
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，所以，.所以.所以，即异面直线与所成角为.
3．解析：选D.，解得，即，，所以，故选D.
4．解析：选D.将圆的一般方程化成标准方程为，所以.
由题意知，过点的最短弦所在的直线应与垂直，故有.
由，得.
所以直线的方程为，即.
5．解析：选C.抛物线的标准方程为，焦点在轴上，所以焦点坐标为.
6．解析：选C.由题可知与互相垂直，可得，则.由离心率的计算公式，可得，.
7．解析：选A.因为，所以，所以，，所以.所以椭圆的方程为.
8.答案 A
解析 由，得，即，
故.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9.答案 ABD
解析 由题意，设等差数列的公差为，
因为，可得，解得，
又由等差数列是递增数列，可知，则，故A，B正确；
因为，
由可知，当或4时最小，故C错误，
令，解得或，即时的最小值为8，故D正确.
10.解析：选ACD.对于A，化简得直线，故直线必过定点，故A正确；
对于B，直线在轴上的截距为，故B错误；
对于C，直线的斜率为，故倾斜角满足，所以，故C正确；
对于D，因为直线垂直于轴，故点到直线的距离为，故D正确．故选ACD.
11．解析：选ABD.连接，因为，平面，平面，所以平面，A正确；因为平面，所以，B正确；因为，所以即为异面直线与所成角，由题意可知，C错误；以点为坐标原点，以，，所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系（图略），则，，，.
所以，，且为平面的一个法向量．
所以.
所以与平面所成的角的正弦值为，D正确．
12.解析：选AC.当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
由
得或此时，符合题意．
当直线的斜率存在时，设直线：，因为圆的圆心，半径，
所以圆心到直线的距离.
因为
所以，解得，
所以直线的方程为，
即，综上直线的方程为或.故选AC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．解析：设点与圆上任一点连线的中点坐标为，则由题意可知圆上的点的坐标为，所以，整理得.
答案：
14．答案 63
解析 ∵，是方程的两根，且，∴，，则公比，因此.
15.解析：抛物线的方程化为标准形式为，焦点坐标为，则得.又，易求得，，所以该双曲线的方程为.
答案：
16．解析：如图，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，.设，则点的坐标为，，.
设平面的法向量为，则令，得.又平面的一个法向量为，记为，则由，得，即，故.
答案：
四、解答题：本大题共6小题，共70分。其中第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．解：（1）因为，
所以，
解得，，
则，.
又，所以，即，
解得，于是.
（2）由（1）得，，设与夹角为，
因此.
18．解 （1）设的公差为，由题意得.
由得.
所以的通项公式为.
（2）由（1）得.
所以当时，取得最小值，最小值为.
19．（1）证明：以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图．
设，则，，，，，，.
因为.
所以，所以.
（2）解：设平面的法向量为，
则
即
即
取，则，，
所以.
所以.
设与平面所成角为，
则.
所以与平面所成角的正弦值为.
20．解：（1）椭圆方程可化为，焦点在轴上且，
故可设双曲线方程为.
依题意得解得，，
所以双曲线的标准方程为.
（2）不妨设点在双曲线的右支上，
则有.
因为，
所以，.
又，
因此在中，边最长，
而，
所以为钝角，故为钝角三角形．
21．解 （1）由可得.
∵，∴是首项为2，公比为2的等比数列.
∴，∴.
（2）由（1）知，
∴，
∴，
∴
.
∴.
22．解：（1）由已知可得
解得，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）存在．由
得，
由，
解得或.
设，，
则，.
设存在点，
则，，
所以
.
要使为定值，只需的值与参数无关，故，解得，
当时，.
综上所述，存在点，使得为定值，且定值为0.