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高考数学一轮复习课时分层作业10指数与指数函数含答案
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1．C [原式＝322 12－1－323-23＋232＝32－1－49 +49＝12.]
2．C [由指数函数y＝0.6x在(0，＋∞)上单调递减，可知0<0.61.5<0.60.6<1，又1.50.6>1，所以b3．D [根据图象，函数f(x)＝ax－b是单调递减的，
所以函数的底数a∈(0，1)，根据图象的纵截距，令x＝0，y＝1－b∈(0，1)，解得b∈(0，1)，即a∈(0，1)，b∈(0，1)．]
4．B [因为2x2＋1≤14x-2＝24-2x，所以x2＋1≤4－2x，即x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1，所以函数y＝2x的值域是[2-3，2]，即18，2.故选B.]
5．ABD [由指数函数图象知，函数为增函数，即a>1，且当x＝1时，y＝2，即a＝2，
则A项，y＝12x的图象，满足条件，
B项，y＝x-2＝1x2的图象，满足条件，
C项，y＝2|x|，当x>0时，为增函数，不满足条件．
D项，y＝|lg2x|的图象，满足条件，故选ABD.]
6．D [原不等式变形为m2－m<12x，
因为函数y＝12x在(－∞，－1]上是减函数，
所以12x≥12-1＝2，
当x∈(－∞，－1]时，m2－m<12x恒成立等价于m2－m<2，解得－17．(1，6) [由于函数y＝ax的图象过定点(0，1)，
当x＝1时，f(x)＝4＋2＝6，
故函数f(x)＝4＋2ax-1的图象恒过定点P(1，6)．]
8．g(a)>g(b－1) [由于g(x)＝a|x＋b|是偶函数，知b＝0，
又g(x)＝a|x|在(0，＋∞)上单调递增，得a>1.
则g(b－1)＝g(－1)＝g(1)，故g(a)>g(1)＝g(b－1)．]
9．12 [因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)在定义域上是单调函数，又y＝ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为54，所以a0＋a1＝1＋a＝54，解得a＝14，所以y＝3a2x-1＝3·142x-1＝12·116x，因为函数y＝116x在定义域上为减函数，所以y＝12·116x在[0，1]上为减函数，所以f(x)＝12·116x在[0，1]上的最大值为f(0)＝12.]
10．[解] (1)因为f(x)的图象过点A(1，6)，B(3，24)，
所以b·a=6，b·a3=24.
所以a2＝4，
又a>0，所以a＝2，b＝3．所以f(x)＝3·2x.
(2)由(1)知a＝2，b＝3，
则当x∈(－∞，1]时，12x＋13x－m≥0恒成立，
即m≤12x＋13x在(－∞，1]上恒成立．
又因为y＝12x与y＝13x在(－∞，1]上均单调递减，所以y＝12x＋13x在(－∞，1]上也单调递减，所以当x＝1时，y＝12x＋13x有最小值56，所以m≤56，即m的取值范围是-∞，56 .
11．[解] (1)因为f(x)是R上的奇函数，
所以f(0)＝0，即-1+b2+a＝0，解得b＝1.
从而有f(x)＝-2x+12x+1+a.
又由f(1)＝－f(－1)知-2+14+a＝－-12+11+a，解得a＝2.
所以a＝2，b＝1．经验证满足f(x)是奇函数．
(2)由(1)知f(x)＝-2x+12x+1+2＝－12+12x+1，
由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．
因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，
从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－13.
故k的取值范围为-∞，-13.
12．AC [对于A, 因为该函数的定义域为R，f(－x)＝e-x+ex2＝f(x)，所以函数f(x)＝ex+e-x2为偶函数，故A正确；对于C，由基本不等式可得f(x)≥12×2ex·e-x＝1，当且仅当x＝0时，等号成立，所以f(x)没有零点，故C正确，结合偶函数性质可知，B，D错误．故选AC.]
13．D [f(x)＝2x+32x+1＝2x+1+22x+1＝1＋22x+1，
因为2x>0，所以1＋2x>1，
所以0<12x+1<1，则0<22x+1<2，
所以1<1＋22x+1<3，即1当1综上，函数y＝[f(x)]的值域为{1，2}，故选D.]
14．[－2，1] [因为f(x)＝ex－1ex，定义域为R，
f(－x)＝e－x－1e-x＝1ex－ex＝－f(x)，
所以f(x)＝ex－1ex为奇函数．
又因为f(x)＝ex－1ex在R上为增函数，
所以f(a－2)＋f(a2)≤0⇒f(a－2)
≤－f(a2)⇒f(a－2)≤f(－a2)，
即a－2≤－a2，a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1.]
15．[解] (1)设y＝f(x)＝14x+a2x＋1.
当a＝－1时，y＝f(x)＝122x－12x＋1(x＜0)，
令t＝12x，x＜0，则t＞1，
y＝t2－t＋1＝t-122＋34，
∴y＞1，即函数f(x)在(－∞，0)上的值域为(1，＋∞)，
∴不存在常数M＞0，使得|f(x)|≤M成立．
∴函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数．
(2)由题意知，|f(x)|≤3对x∈[0，＋∞)恒成立，
即－3≤f(x)≤3对x∈[0，＋∞)恒成立，
令t＝12x，x≥0，则t∈(0，1].
∴－t+4t≤a≤2t－t对t∈(0，1]恒成立，
∴-t+4tm≤a≤2t -tm.
设h(t)＝－t+4t，p(t)＝2t－t，t∈(0，1]，
∵h(t)在(0，1]上单调递增，p(t)在(0，1]上单调递减，
∴h(t)在(0，1]上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在(0，1]上的最小值为p(1)＝1.
∴实数a的取值范围为[－5，1].
1．C [原式＝322 12－1－323-23＋232＝32－1－49 +49＝12.]
2．C [由指数函数y＝0.6x在(0，＋∞)上单调递减，可知0<0.61.5<0.60.6<1，又1.50.6>1，所以b
所以函数的底数a∈(0，1)，根据图象的纵截距，令x＝0，y＝1－b∈(0，1)，解得b∈(0，1)，即a∈(0，1)，b∈(0，1)．]
4．B [因为2x2＋1≤14x-2＝24-2x，所以x2＋1≤4－2x，即x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1，所以函数y＝2x的值域是[2-3，2]，即18，2.故选B.]
5．ABD [由指数函数图象知，函数为增函数，即a>1，且当x＝1时，y＝2，即a＝2，
则A项，y＝12x的图象，满足条件，
B项，y＝x-2＝1x2的图象，满足条件，
C项，y＝2|x|，当x>0时，为增函数，不满足条件．
D项，y＝|lg2x|的图象，满足条件，故选ABD.]
6．D [原不等式变形为m2－m<12x，
因为函数y＝12x在(－∞，－1]上是减函数，
所以12x≥12-1＝2，
当x∈(－∞，－1]时，m2－m<12x恒成立等价于m2－m<2，解得－1
当x＝1时，f(x)＝4＋2＝6，
故函数f(x)＝4＋2ax-1的图象恒过定点P(1，6)．]
8．g(a)>g(b－1) [由于g(x)＝a|x＋b|是偶函数，知b＝0，
又g(x)＝a|x|在(0，＋∞)上单调递增，得a>1.
则g(b－1)＝g(－1)＝g(1)，故g(a)>g(1)＝g(b－1)．]
9．12 [因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)在定义域上是单调函数，又y＝ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为54，所以a0＋a1＝1＋a＝54，解得a＝14，所以y＝3a2x-1＝3·142x-1＝12·116x，因为函数y＝116x在定义域上为减函数，所以y＝12·116x在[0，1]上为减函数，所以f(x)＝12·116x在[0，1]上的最大值为f(0)＝12.]
10．[解] (1)因为f(x)的图象过点A(1，6)，B(3，24)，
所以b·a=6，b·a3=24.
所以a2＝4，
又a>0，所以a＝2，b＝3．所以f(x)＝3·2x.
(2)由(1)知a＝2，b＝3，
则当x∈(－∞，1]时，12x＋13x－m≥0恒成立，
即m≤12x＋13x在(－∞，1]上恒成立．
又因为y＝12x与y＝13x在(－∞，1]上均单调递减，所以y＝12x＋13x在(－∞，1]上也单调递减，所以当x＝1时，y＝12x＋13x有最小值56，所以m≤56，即m的取值范围是-∞，56 .
11．[解] (1)因为f(x)是R上的奇函数，
所以f(0)＝0，即-1+b2+a＝0，解得b＝1.
从而有f(x)＝-2x+12x+1+a.
又由f(1)＝－f(－1)知-2+14+a＝－-12+11+a，解得a＝2.
所以a＝2，b＝1．经验证满足f(x)是奇函数．
(2)由(1)知f(x)＝-2x+12x+1+2＝－12+12x+1，
由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．
因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，
从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－13.
故k的取值范围为-∞，-13.
12．AC [对于A, 因为该函数的定义域为R，f(－x)＝e-x+ex2＝f(x)，所以函数f(x)＝ex+e-x2为偶函数，故A正确；对于C，由基本不等式可得f(x)≥12×2ex·e-x＝1，当且仅当x＝0时，等号成立，所以f(x)没有零点，故C正确，结合偶函数性质可知，B，D错误．故选AC.]
13．D [f(x)＝2x+32x+1＝2x+1+22x+1＝1＋22x+1，
因为2x>0，所以1＋2x>1，
所以0<12x+1<1，则0<22x+1<2，
所以1<1＋22x+1<3，即1
14．[－2，1] [因为f(x)＝ex－1ex，定义域为R，
f(－x)＝e－x－1e-x＝1ex－ex＝－f(x)，
所以f(x)＝ex－1ex为奇函数．
又因为f(x)＝ex－1ex在R上为增函数，
所以f(a－2)＋f(a2)≤0⇒f(a－2)
≤－f(a2)⇒f(a－2)≤f(－a2)，
即a－2≤－a2，a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1.]
15．[解] (1)设y＝f(x)＝14x+a2x＋1.
当a＝－1时，y＝f(x)＝122x－12x＋1(x＜0)，
令t＝12x，x＜0，则t＞1，
y＝t2－t＋1＝t-122＋34，
∴y＞1，即函数f(x)在(－∞，0)上的值域为(1，＋∞)，
∴不存在常数M＞0，使得|f(x)|≤M成立．
∴函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数．
(2)由题意知，|f(x)|≤3对x∈[0，＋∞)恒成立，
即－3≤f(x)≤3对x∈[0，＋∞)恒成立，
令t＝12x，x≥0，则t∈(0，1].
∴－t+4t≤a≤2t－t对t∈(0，1]恒成立，
∴-t+4tm≤a≤2t -tm.
设h(t)＝－t+4t，p(t)＝2t－t，t∈(0，1]，
∵h(t)在(0，1]上单调递增，p(t)在(0，1]上单调递减，
∴h(t)在(0，1]上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在(0，1]上的最小值为p(1)＝1.
∴实数a的取值范围为[－5，1].
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