高考数学一轮复习课时分层作业24简单的三角恒等变换含答案

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1．B [sin 2α＝2sin αcs α
＝2sinαcsαcs2α+sin2α＝2tanα1+tan2α＝2×31+32＝35.]
2．B [由角α的终边经过点-3，4，可得
sin α＝4-32+42＝45，
cs α＝-3-32+42＝－35，
故tan α2＝sinαcsα+1＝45-35+1＝2．
故选B.]
3．B [∵cs 2π3-2θ＝－79，
∴cs π3+2θ＝cs π-2π3-2θ＝－cs 2π3-2θ＝79，即1－2sin2π6+θ＝79，
即sin2π6+θ＝19，
∴sinπ6+θ＝±13.]
4．B [由3-tan10°cs α＝1可得3cs10°-sin10°cs10°cs α＝1，即2cs40°cs10°cs α＝1，所以cs α＝cs10°2cs40°＝cs10°sin40°2cs40°sin40°＝cs10°sin40°sin80°＝sin 40°＝cs 50°，
又α为锐角，故α＝50°，故选B.]
5．BCD [因为sin α＝－45，π＜α＜3π2，所以cs α＝－35，所以sin 2α＝2sin αcs α＝2×-45×-35＝2425，故A错误；因为π2＜α2＜3π4，所以sin α2＝1-csα2＝1--352＝255，cs α2＝－1+csα2＝－1-352＝－55，
tan α2＝sinα2csα2＝－2，故BCD均正确．]
6．BCD [因为tan 2θ＝2tanθ1-tan2θ＝-41-4＝43，
所以选项A错误；因为sinθ+csθsinθ-csθ＝tan θ+1tan θ-1＝-2+1-2-1＝13，所以B正确；
因为sin θsinθ-csθ＝sin2θ－sinθcs θ
＝sin2θ-sinθcsθsin2θ+cs2θ＝tan2θ-tanθtan2θ+1＝4+24+1＝65，所以C正确；因为sin2θ-π6＝32sin 2θ－12cs 2θ
＝23sinθcsθ+sin2θ-cs2θ2
＝23sinθcsθ+sin2θ-cs2θ2sin2θ+cs2θ＝23tanθ+tan2θ-12(tan2θ+1)＝-43+4-12×4+1＝3-4310，所以D正确；故选BCD.]
7． 16 [法一：csα+π4＝22cs α－22sin α，
所以cs2α+π4＝12(csα－sin α)2
＝12(1－2sin αcs α)＝12(1－sin 2α)＝16.
法二：cs2α+π4＝1+cs2α+π22
＝1-sin2α2＝1-232＝16.]
8． 43 －247 [∵θ∈0，π2且sin θ-π4＝210，
∴cs θ-π4＝7210，
∴tan θ-π4＝17＝tanθ-11+tanθ，解得tan θ＝43.
故tan 2θ＝2tanθ1-tan2θ＝－247.]
9．－3π4 [依题意有tanα+tanβ=-3a， tanα·tanβ=3a+1，
∴tan (α＋β)＝tanα+tanβ1-tanα·tanβ＝-3a1-3a+1＝1．
又tanα+tanβ＜0，tanα·tanβ＞0，
∴tan α＜0且tan β＜0，
∴－π2＜α＜0且－π2＜β＜0，
即－π＜α＋β＜0，结合tan (α＋β)＝1，
得α＋β＝－3π4.]
10．[解] 由cs β＝55，β∈0，π2，
得sin β＝255，tan β＝2．
所以tan (α＋β)＝tanα+tanβ1-tanαtanβ＝-13+21+23＝1．
因为α∈π2，π，β∈0，π2，
所以π2<α＋β<3π2，所以α＋β＝5π4.
11．[解] (1)∵cs β-π4＝cs π4cs β＋sin π4sin β＝22cs β＋22sin β＝13，
∴cs β＋sin β＝23，∴1＋sin 2β＝29，
∴sin 2β＝－79.
(2)∵0＜α＜π2＜β＜π，
∴π4＜β－π4＜3π4，π2＜α＋β＜3π2，
∴sin β-π4＞0，cs (α＋β)＜0．
∵cs β-π4＝13，sin (α＋β)＝45，
∴sin β-π4＝223，cs (α＋β)＝－35.
∴cs α+π4＝cs α+β-β-π4
＝cs (α＋β)cs β-π4＋sin (α＋β)sin β-π4
＝－35×13+45×223＝82-315.
12．B [因为tan α＝1+sinβcsβ，所以sinαcsα＝1+sinβcsβ，即sin αcs β＝cs α＋cs αsin β，所以sin αcs β－cs αsin β＝cs α，即sin (α－β)＝sin π2-α，又α，β均为锐角，且y＝sin x在-π2，π2上单调递增，所以α－β＝π2－α，即2α－β＝π2，故选B.]
13．0 [∵tanα＋1tanα＝103，α∈π4，π2，
∴tan α＝3或tan α＝13(舍)，
则sin 2α+π4+2cs2α
＝sin2αcs π4＋cs 2αsin π4+2·1+cs2α2
＝22sin 2α＋2cs 2α＋22
＝22(2sin αcs α)＋2(cs2α－sin2α)＋22
＝22·2sinαcsαsin2α+cs2α+2·cs2α－sin2αsin2α+cs2α+22
＝22·2tanαtan2α+1+21-tan2αtan2α+1+22
＝22×69+1+2×1-91+9+22
＝0．]
14．[解] (1)∵6sin2α＋sinαcs α－2cs2α
＝6sin2α+sinαcsα-2cs2αsin2α+cs2α＝6tan2α+tanα-2tan2α+1＝0，
即6tan2α＋tanα－2＝0，解得tan α＝－23或tan α＝12，因为α∈π2，π，∴tan α＝－23.
(2)∵sin 2α＝2tanα1+tan2α＝－1213，cs 2α＝1-tan2α1+tan2α＝513，
∴sin2α+π3＝sin 2αcs π3＋cs 2αsin π3
＝－1213×12+513×32＝53-1226.