高考数学一轮复习课时分层作业30平面向量基本定理及坐标表示含答案

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1．B [2a－3b＝(－2，0)－(0，6)＝(－2，－6)．]
2．D [由题意可知a与b不共线，即3m－2≠2m，∴m≠2．故选D.]
3．A [设D(x，y)，AD＝(x，y－2)，BC＝(4，3)，
又BC＝2AD，∴4=2x， 3=2y-2，
∴x=2，y=72，故顶点D的坐标为2，72，
故选A.]
4．B [∵a－b＝(2，－2－x)，2a＋b＝(7，－4＋x)，a－b与2a＋b共线，∴2×(－4＋x)－7×(－2－x)＝0，解得x＝－23.故选B.]
5．ABD [因为AB＝OB-OA＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，AC＝OC-OA＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1．所以只要m≠1，A，B，C三点就可构成三角形，故选ABD.]
6．A [如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的坐标为(1，0)，C点的坐标为(0，2)，
因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，3m)(m≠0)．
AD＝(m，3m)＝λAB＋μAC＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝32m，所以λμ＝233.]
7．B [因为p∥q，所以(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，
所以c2－a2－b2＋ab＝0，所以a2＋b2－c2＝ab，
所以2ab cs C＝ab，所以cs C＝12，
因为0＜C＜π，所以C＝π3.故选B.]
8．D [法一：依题意，设BO＝λBC，其中1＜λ＜43，则有AO＝AB+BO＝AB＋λBC＝AB＋λ(AC-AB)＝(1－λ)AB＋λAC.又AO＝xAB＋(1－x)AC，且AB，AC不共线，于是有x＝1－λ∈-13，0，即x的取值范围是-13，0，故选D.
法二：∵AO＝xAB+AC－xAC，∴AO-AC＝x(AB-AC)，即CO＝xCB＝－3xCD，∵O在线段CD(不含C，D两点)上，∴0＜－3x＜1，∴－13＜x＜0．故选D.]
9．(－3，－5) [∵AB+BC＝AC，∴BC＝AC-AB＝(－1，－1)，
∴BD＝AD-AB＝BC-AB＝(－3，－5)．]
10．[0，22] [法一(坐标法)：将矩形放在坐标系中，设P(x，y)，
则A(0，0)，B(2，0)，PA+PB＝(－x，－y)＋(2－x，－y)＝(2－2x，－2y)，|PA+PB|＝2-2x2+-2y2＝2x-12+y2，
转化为矩形内的点到定点(1，0)的距离的2倍，
由图可知点D(0，1)和点C(2，1)到定点(1，0)的距离相等同时取最大值：2-12+1-02＝2.
故|PA+PB|的取值范围是[0，22].
法二(向量法)：取AB的中点H，易知PA+PB＝2PH，
∴|PA+PB|＝2|PH|，结合题意可知0≤|PH|≤|CH|＝2.
故|PA+PB|的取值范围为[0，22].]
11．(8，－15) [设P(x，y)，由点P在线段AB的延长线上，
则AP＝32BP，得(x－2，y－3)＝32(x－4，y＋3)，
即x-2=32x-4，y-3=32y+3． 解得x=8，y=-15.
所以点P的坐标为(8，－15)．]
12． 14 [因为AD＝－3BD，所以AB＝43AD，
因为AE＝μAB+23AC，所以AE＝4μ3AD+23AC，
又CD＝λCE，所以C，E，D三点共线，所以43μ＋23＝1，得μ＝14.]
13．C [如图，连接CH，作AM⊥CH于点M，作BN⊥CH于点N，由正八边形的特征可得AB∥CH，∠AHC＝∠BCH＝45°，故MH＝NC＝22AH＝22AB，
所以CH＝(1＋2)AB，则AC＝AH+HC＝AH＋(1＋2)AB，
又因为AC＝xAB＋yAH(x，y∈R)，所以x＝1＋2，y＝1，所以x＋y＝2＋2.
故选C.]
14．2 [法一：以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1，0)，B-12，32.
设∠AOC＝αα∈0，2π3，
则C(cs α，sin α)．
由OC＝xOA＋yOB，得csα=x-12y，sinα=32y，
所以x＝cs α＋33sin α，y＝233sin α，
所以x＋y＝cs α＋3sin α＝2sinα+π6.
又α∈0，2π3，所以当α＝π3时，x＋y取得最大值2.
法二(等和线法)：如图，连接AB交OC于点P，因为OC＝xOA＋yOB，
所以当点C与A(B)重合时，x＋y＝1.
当点C为与AB平行且与圆弧相切的切点时，
OC＝2OP，设OP＝λOA＋μOB，则λ＋μ＝1，
所以OC＝2OP＝2λOA＋2μOB＝xOA＋yOB，
所以x＋y＝2λ＋2μ＝2(λ＋μ)＝2.
所以x＋y的最大值为2.]