高考数学一轮复习课时分层作业43向量法求空间角含答案

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1．[解] (1)证明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，且AC⊥AB，则A1C1⊥A1B1，以点A1为坐标原点，A1A、A1B1、A1C1所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2，0，0)、B(2，2，0)、C(2，0，2)、A1(0，0，0)、
B1(0，2，0)、C1(0，0，2)、D(0，1，0)、E(1，0，0)、
F1，12，1，则EF＝0，12，1，易知平面ABC的一个法向量为m＝(1，0，0)，则EF·m＝0，故EF⊥m，
∵EF⊄平面ABC，故EF∥平面ABC.
(2)C1C＝(2，0，0)，C1D＝(0，1，－2)，EB＝(1，2，0)，设平面CC1D的法向量为u＝(x1，y1，z1)，
则u·C1C=2x1=0， u·C1D=y1-2z1=0，取y1＝2，可得u＝(0，2，1)，cs〈EB，u〉＝EB·uEB·u＝45.因此，直线BE与平面CC1D夹角的正弦值为45.
(3)A1C＝(2，0，2)，A1D＝(0，1，0)，设平面A1CD的法向量为v＝(x2，y2，z2)，
则v·A1C=2x2+2z2=0，v·A1D=y2=0， 取x2＝1，可得v＝(1，0，－1)，则cs 〈u，v〉＝u·vu·v＝－15×2＝－1010，
因此，平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值为1010.
2．[解] (1)证明：因为AD＝CD，E为AC的中点，所以AC⊥DE；
在△ABD和△CBD中，因为AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，DB＝DB，
所以△ABD≌△CBD，所以AB＝CB，又因为E为AC的中点，所以AC⊥BE；
又因为DE，BE⊂平面BED，DE∩BE＝E，所以AC⊥平面BED，
因为AC⊂平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.
(2)连接EF，由(1)知，AC⊥平面BED，因为EF⊂平面BED，
所以AC⊥EF，所以S△AFC＝12AC·EF，
当EF⊥BD时，EF最小，即△AFC的面积最小．
因为△ABD≌△CBD，所以CB＝AB＝2，
又因为∠ACB＝60°，所以△ABC是等边三角形，
因为E为AC的中点，所以AE＝EC＝1，BE＝3，
因为AD⊥CD，所以DE＝12AC＝1，
在△DEB中，DE2＋BE2＝BD2，所以BE⊥DE.
以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，
则A(1，0，0)，B(0，3，0)，D(0，0，1)，所以AD＝(－1，0，1)，AB＝(－1，3，0)，
设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·AD=-x+z=0， n·AB=-x+3y=0，取y＝3，则n＝(3，3，3)，
因为EF⊥BD，所以由DFDE＝DEBD，得DF＝12＝14BD，设F(a，b，c)，所以DF＝(a，b，c－1)，DB＝(0，3，－1)，由DF＝14DB，
得(a，b，c－1)＝14(0，3，－1)，即F0，34，34.
又因为C(－1，0，0)，所以CF＝1，34，34，
所以cs 〈n，CF〉＝n·CFnCF＝621×74＝4 37，
设CF与平面ABD所成的角为θ0≤θ≤π2，
所以sin θ＝|cs 〈n，CF〉|＝4 37，
所以CF与平面ABD所成角的正弦值为4 37.
3．[解] (1)法一：证明：连接OA、OB(图略)，
因为PO是三棱锥P-ABC的高，所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥OA，PO⊥OB，
所以∠POA＝∠POB＝90°，又PA＝PB，所以△POA≌△POB，所以OA＝OB，
作AB中点D，连接OD、DE(图略)，则有OD⊥AB，又在平面ABC中，AB⊥AC，所以OD∥AC，
又因为OD⊄平面PAC，AC⊂平面PAC，所以OD∥平面PAC，
又D、E分别为AB、PB的中点，所以在△BPA中，DE∥PA.
又因为DE⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以DE∥平面PAC，
又OD、DE⊂平面ODE，OD∩DE＝D，所以平面ODE∥平面PAC，
又OE⊂平面ODE，所以OE∥平面PAC.
法二：证明：连接OA、OB，
因为PO是三棱锥P-ABC的高，所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥OA，PO⊥OB，
所以∠POA＝∠POB＝90°，又PA＝PB，所以△POA≌△POB，
所以OA＝OB，又AB⊥AC，延长BO交AC于F，连接PF，在Rt△ABF中，O为BF中点，
所以在△PBF中，O、E分别为BF、PB的中点，所以EO∥PF，
因为EO⊄平面PAC，PF⊂平面PAC，所以EO∥平面PAC.
(2)法一：过AB的中点D作DF∥OP，以DB为x轴，DO为y轴，DF为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为PO＝3，PA＝5，由(1)知OA＝OB＝4，
又∠ABO＝∠CBO＝30°，所以OD＝2，DB＝23，所以P(0，2，3)，B(23，0，0)，A(－23，0，0)，E3，1，32，设AC＝a，则C(－23，a，0)，
平面AEB的法向量设为n1＝(x，y，z)，直线AB的方向向量可设为a＝(1，0，0)，直线DP⊂平面AEB，直线DP的方向向量为b＝(0，2，3)，
即a·n1=0，b·n1=0，所以x=0， 2y+3z=0，
所以x＝0，设y＝3，则z＝－2，所以n1＝(0，3，－2)；
平面AEC的法向量设为n2＝(x1，y1，z1)，AC＝(0，a，0)，AE＝33，1，32，
即AC·n2=0，AE·n2=0，所以ay1=0， 33x1+y1+32 z1=0，所以y1＝0，设x1＝3，则z1＝－6，
所以n2＝(3，0，－6)；
所以cs 〈n1，n2〉＝n1·n2n1·n2＝1213×39＝12133＝4313，
设二面角C-AE-B的平面角为θ，则sin θ＝1-cs2θ＝1113，
所以二面角C-AE-B的正弦值为1113.
法二：过点A作AF∥OP，以AB为x轴，AC为y轴，AF为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
因为PO＝3，PA＝5，由(1)知，OA＝OB＝4，
又∠ABO＝∠CBO＝30°，所以AB＝43，
所以P(23，2，3)，B(43，0，0)，A(0，0，0)，
E33，1，32，设AC＝a，则C(0，a，0)，
平面AEB的法向量设为n1＝(x，y，z)，AB＝(43，0，0)，AE＝33，1，32，即AB·n1=0，AE·n1=0，
所以43x=0， 33x+y+32z=0，所以x＝0，设z＝－2，则y＝3，所以n1＝(0，3，－2)；
平面AEC的法向量设为n2＝(x1，y1，z1)，AC＝(0，a，0)，AE＝33，1，32，即AC·n2=0，AE·n2=0，
所以ay1=0， 33x1+y1+32 z1=0，
所以y1＝0，设x1＝3，则z1＝－6，
所以n2＝(3，0，－6)；
所以cs 〈n1，n2〉＝n1·n2n1·n2＝1213×39＝12133＝4313，
设二面角C-AE-B的平面角为θ，则sin θ＝1-cs2θ＝1113，
所以二面角C-AE-B的正弦值为1113.
4．[解] (1)证明：因为C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，∴BC⊥AC，
又平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面PAC.
(2)由E，F分别是PC，PB的中点，∴BC∥EF，
又EF⊂平面AEF，BC⊄平面AEF，∴BC∥平面AEF，
又BC⊂平面ABC，平面EFA∩平面ABC＝l，
∴BC∥l.
以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，
则A(2，0，0)，B(0，4，0)，P(1，0，3)，
∴E12，0，32，F12，2，32，
∴AE＝-32，0，32，EF＝(0，2，0)，
∵BC∥l，∴可设Q(2，y，0)，平面AEF的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则AE·m=-3x2+3z2=0EF·m=2y=0 ，取z＝3，得m＝(1，0，3)，
又PQ＝(1，y，－3)，则|cs〈PQ，m〉|＝PQ·mPQ·m＝14+y2∈0，12.
∴直线PQ与平面AEF所成角的取值范围为0，π6.