高考数学一轮复习课时分层作业46两条直线的位置关系含答案

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1．D [设直线l1，l2的斜率分别是k1，k2，
当a≠0时，由l1⊥l2得k1·k2＝a·k2＝－1，∴k2＝－1a；
当a＝0时，l1与x轴平行或重合，则l2与y轴平行或重合，∴直线l2的斜率不存在．故直线l2的斜率为－1a或不存在．故选D.]
2．D [当直线x＋2y－1＝0与直线a2x＋a+1y－1＝0平行时， a21＝a+12≠1，解得a＝－12.
当a＝1时，直线x＋2y－1＝0与直线a2x＋a+1y－1＝0重合，所以p是q的既不充分也不必要条件．故选D.]
3．C [直线mx－y＋1－2m＝0过定点Q(2，1)，
所以点P3，2到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，PQ垂直该直线，即m×2-13-2＝－1，∴m＝－1，故选C.]
4．B [根据题意画出大致图象，如图．
设点A关于直线x－2y＋8＝0的对称点为A1(m，n)，
则有n-0m-2×12=-1， m+22-2×n+02+8=0，
解得m=-2，n=8. 故A1(－2，8)．
此时直线A1B的方程为x＝－2.所以当点P是直线A1B与直线x－2y＋8＝0的交点时，|PA|＋|PB|最小，将x＝－2代入x－2y＋8＝0，得y＝3，故点P的坐标为(－2，3)．故选B.]
5．AB [对于A，直线2x－y＋1＝0的斜率为2，则过点-1，2且与直线2x－y＋1＝0平行的直线的方程为y－2＝2x+1，即2x－y＋4＝0，A正确；
对于B，直线2x－y＋1＝0的斜率为2，则过点-1，2且与直线2x－y＋1＝0垂直的直线的方程为y－2＝－12x+1，即x＋2y－3＝0，B正确；
对于C，直线l1：ax＋3y＋4＝0的斜率为－a3，因直线l1与直线l2平行，则直线l2的斜率存在，且－1a-2＝－a3，解得a＝－1或3.当a＝－1时，两直线重合，当a＝3，两直线平行，C错误；
对于D，因过点M-3，2，且在两坐标轴上的截距相等，则当截距都为0时，直线方程为y＝－23x，截距不为0时，直线方程为x＋y＋1＝0，D错误．故选AB.]
6．BD [设直线l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，直线l到直线l1和l2的距离分别为d1，d2，由题知：d1＝m+216+36，d2＝m+916+36，因为d1d2＝12，所以2m+216+36＝m+916+36，即2|m＋2|＝|m＋9|，解得m＝5或m＝－133，即直线l为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.]
7．2x＋3y－1＝0 [∵P(2，3)在已知的两条直线上，∴2a1+3b1=1，2a2+3b2=1.
∴点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)是直线2x＋3y＝1上的两个点，故过Q1，Q2两点的直线方程为2x＋3y＝1.]
8． 5 [因为点P(m，n)是直线2x＋y＋5＝0上的任意一点，所以m-12+n+22的最小值为点(1，－2)到直线2x＋y＋5＝0的距离，即最小值为d＝2-2+522+12＝5，所以m-12+n+22的最小值为5.]
9．－1 823 [由题知，1×3＝m(m－2)且1×2m≠6(m－2)，解得m＝－1，则l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋23＝0，则两平行线间的距离为d＝6-232＝823.]
10．[解] 依题意知kAC＝－2，A(5，1)，所以直线AC的方程为2x＋y－11＝0，联立直线AC和直线CM的方程，得2x+y-11=0，2x-y-5=0，所以C(4，3)．设B(x0，y0)，AB的中点M为x0+52，y0+12，代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，所以2x0-y0-1=0，x0-2y0-5=0，所以B(－1，－3)，所以kBC＝65，所以直线BC的方程为y－3＝65(x－4)，即6x－5y－9＝0.
11．[解] (1)设点Q′(x′，y′)为点Q关于直线l的对称点，QQ′交l于点M，∵kl＝－1，∴kQQ′＝1，∴QQ′所在直线的方程为y－1＝1×(x－1)，即x－y＝0.
由x+y+1=0，x-y=0， 解得x=-12，y=-12，
∴交点M-12，-12，∴1+x'2=-12，1+y'2=-12，
解得x'=-2，y'=-2， ∴Q′(－2，－2)．
设入射光线与l交于点N，则P，N，Q′三点共线，
又P(2，3)，Q′(－2，－2)，
∴入射光线所在直线的方程为y--23--2＝x--22--2，
即5x－4y＋2＝0.
(2)|PN|＋|NQ|＝|PN|＋|NQ′|＝|PQ′|
＝2--22+3--22＝41，
即这条光线从P到Q所经路线的长度为41.
12．ABD [当过点A和点C的直线平行，过点B和点D的直线平行时，且两组平行线互相垂直，故设过点A和点C的直线为l1：y＝kx-1和l2：y＝kx-4，则过点B和点D的直线为l3：y＝－1kx-2和l4：y＝－1kx-8，
其中l1和l2的距离与l3和l4的距离相等，即
3k1+k2＝6k1+1k2 ，解得k＝±2，故正方形的边长为3k1+k2＝655，该正方形的面积为6552＝365.
当过点A和点B的直线平行，过点C和点D的直线平行时，且两组平行线互相垂直，故设过点A和点B的直线为m1：y＝nx-1和m2：y＝nx-2，则过点C和点D的直线为m3：y＝－1n·x-4和m4：y＝－1nx-8，其中m1和m2的距离与m3和m4的距离相等，即n1+n2＝4n1+1n2，解得n＝±4，故正方形的边长为n1+n2＝41717，该正方形的面积为417172＝1617.
当过点A和点D的直线平行，过点B和点C的直线平行时，且两组平行线互相垂直，故设过点A和点D的直线为e1：y＝sx-1和e2：y＝sx-8，则过点B和点C的直线为e3：y＝－1sx-2和e4：y＝－1sx-4，其中e1和e2的距离与e3和e4的距离相等，即7s1+s2＝2s1+1s2，解得s＝±27，故正方形的边长为7s1+s2＝145353，该正方形的面积为1453532＝19653.故选ABD.]
13．26 [由l1：kx＋y＝0，则l1过定点A(0，0)，
由l2：x＋22＋k(2－y)＝0，
则l2过定点B(－22，2)，
显然k×1＋1×(－k)＝0，即l1、l2相互垂直，而l1与l2的交点为C，所以AC2＋BC2＝AB2＝12.
所以AC+BC＝AC+BC2
＝AC2+BC2+2ACBC
≤2AC2+BC2
＝26.当且仅当|AC|＝|BC|时，等号成立．]
14．[解] (1)由方程组x-2y+1=0，y=0，
解得点A(－1，0)．
又直线AB的斜率为kAB＝1，
且x轴是角A的平分线，
故直线AC的斜率为－1，所以AC所在的直线方程为y＝－(x＋1)．
已知BC边上的高所在的直线方程为x－2y＋1＝0，
故直线BC的斜率为－2，故BC所在的直线方程为y－2＝－2(x－1)．
解方程组y=-x+1，y-2=-2x-1，得点C的坐标为(5，－6)．
(2)因为B(1，2)，C(5，－6)，所以|BC|＝1-52+2--62＝45，点A(－1，0)到直线BC：y－2＝－2(x－1)的距离为d＝2×-1-45＝65，所以△ABC的面积为12×45×65＝12.