高考数学一轮复习课时分层作业48直线与圆、圆与圆的位置关系含答案

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1．C [∵kx＋y－2－3k＝0，∴k(x－3)＋y－2＝0，
∴直线过定点(3，2)，又32＋22－4×3－5＝－4<0，
∴定点在圆内， ∴直线与圆相交，故选C.]
2．C [圆C1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1.因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3，4)，半径r2＝25-m(m＜25)，从而|C1C2|＝32+42＝5.由两圆外切，得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋25-m＝5，解得m＝9，故选C.]
3．C [因为直线l截得圆C弦长的最小值为2，所以圆心C(0，0)到直线l的最大距离dmax＝22-12 ×22＝3，由题意知直线l的方程为kx－y＋m＝0，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝mk2+1，当k＝0时，d取得最大值，为|m|＝3，解得m＝±3，故选C.]
4．A [计算得圆心到直线l的距离为22＝2＞1，如图，直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离2＋1.]
5．BC [圆C：x+22＋y-32＝16，圆心C(－2，3)，半径r＝4，圆心到直线的距离d＝3×-2-4×3-732+-42＝5>4，故直线l与圆C相离，A错误；PQ的最小值是5－4＝1，最大值是5＋4＝9，故点P到直线l的距离为3时，点P有2个，B正确，C正确；
从Q点向圆C引切线QT，QT＝QC2-r2＝QC2-16，QC最小时，QT即最小，|QC|的最小值为圆心到直线的距离，此时QTm＝52-16＝3，D错误．故选BC.]
6．BD [因为C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11，C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，
所以若圆C2与x轴相切，则有|m|＝2，故A错误；
当m＝－3时，|C1C2|＝1+12+3+32＝210>2＋11，两圆相离，故B正确；
由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程4x＋(6－2m)y＋m2－2＝0，故C错误；
直线kx－y－2k＋1＝0过定点(2，1)，而(2－1)2＋(1－3)2＝5<11，故点(2，1)在圆C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11的内部，所以直线kx－y－2k＋1＝0与圆C1始终有两个交点，故D正确．
故选BD.]
7．2 [圆x-12＋y-12＝3的圆心坐标为1，1，半径为3，
圆心到直线x－y＋m＝0m>0的距离为1-1+m2＝m2，
由勾股定理可得m22＋m22＝3，因为m>0，解得m＝2.]
8．－2 5 [如图，由圆心与切点的连线与切线垂直，得m+12＝－12，解得m＝－2.
∴圆心为(0，－2)，则半径r＝-2-02+-1+22＝5.]
9．(－∞，－3]∪[3，＋∞) [直线l上存在点M，以M为圆心且半径为1的圆与圆C有公共点，则|MC|≤2，只需|MC|min≤2，即圆C：x2＋y2＝1的圆心到直线l：ax－y＋4＝0的距离d≤2，即d＝4a2+1≤2，解得a≤－3或a≥3.]
10．[解] (1)圆C的标准方程为x2＋(y－4)2＝4，圆心C的坐标为(0，4)，半径长为2，当直线l与圆C相切时，则2a+4a2+1＝2，解得a＝－34.
(2)由题意知，圆心C到直线l的距离为d＝22-AB22＝2，
由点到直线的距离公式可得d＝2a+4a2+1＝2，
整理得a2＋8a＋7＝0，解得a＝－1或－7.
因此，直线l的方程为x－y＋2＝0或7x－y＋14＝0.
11．[解] (1)因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心O1(0，－1)，半径r1＝2.
设圆O2的半径为r2，由两圆外切知|O1O2|＝r1＋r2.
又|O1O2|＝2-02+1+12＝22，
所以r2＝|O1O2|－r1＝22－2.
所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－82.
(2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r22，
又圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，
相减得AB所在的直线方程为4x+4y+r22－8＝0.
设线段AB的中点为H，
因为r1＝2，所以|O1H|＝r12-AH2＝2.
又|O1H|＝4×0+4×-1+r22-842+42
＝r22-1242，
所以r22-1242＝2，
解得r22＝4或r22＝20.
所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
12．A [因为圆心在直线y＝2x－4上，圆心C的横坐标为a，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.设点M(x，y)，因为|MA|＝2|MO|，所以x2+y-32＝2x2+y2，
化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．
由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤|CD|≤2＋1，即1≤a2+2a-32≤3.
由a2+2a-32≥1得5a2－12a＋8≥0，
解得a∈R；
由a2+2a-32≤3得5a2－12a≤0，
解得0≤a≤125.
所以点C的横坐标a的取值范围为0，125.
故选A.]
13．ACD [设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，由题易知直线AB的方程为x4+y2＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝5+2×5-45＝115＞4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋115，4＋115＜5＋1255＝10，故A正确．
易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝115－4，115－4＜1255－4＝1，故B不正确．
过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|＝MB2-MN2＝52+5-22-42＝32，当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝32，故C，D都正确．综上，故选ACD.
]
14． y＝－34x＋54或y＝724x－2524或x＝－1(从这三条公切线中任选一条作答即可) [圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径为1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心O1为(3, 4) ，半径为4，
两圆圆心距为32+42＝5，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为kO O1＝43，所以kl＝－34，设方程为y＝－34x＋t(t＞0)，
O到l的距离d＝t1+916＝1，解得t＝54，所以l的方程为y＝－34x＋54.
当切线为m时，设直线方程为kx＋y＋p＝0，其中p＞0，k＜0，
由题意p1+k2=1，3k+4+p1+k2=4，
解得k=-724，p=2524， 所以l的方程为y＝724x－2524.
当切线为n时，易知切线方程为x＝－1.]
15．[解] (1)由题意，直线x＝1与C交于P，Q两点，且OP⊥OQ，设C的焦点为F，P在第一象限，
则根据抛物线的对称性，∠POF＝∠QOF＝45°，
所以P(1，1)，Q(1，－1)．
设C的方程为y2＝2px(p＞0)，则1＝2p，得p＝12，
所以C的方程为y2＝x.
因为圆心M(2，0)到l的距离即⊙M的半径，且距离为1，
所以⊙M的方程为(x－2)2＋y2＝1.
(2)设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)，
当A1，A2，A3中有一个为坐标原点，另外两个点的横坐标均为3时，满足条件，此时直线A2A3与⊙M相切．
当x1≠x2≠x3时，直线A1A2：x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0，
则2+y1y2y1+y22+1＝1，即y12-1y22+2y1y2+3-y12＝0，
同理可得y12-1y32+2y1y3+3-y12＝0，
所以y2，y3是方程y12-1y2+2y1y+3-y12＝0的两个根，
则y2＋y3＝-2y1y12-1，y2y3＝3-y12y12-1.
直线A2A3的方程为x－(y2＋y3)y＋y2y3＝0，
设点M到直线A2A3的距离为d(d>0)，
则d2＝2+y2y321+y2+y32＝2+3-y12y12-121+-2y1y12-12＝1，即d＝1，
所以直线A2A3与⊙M相切．
综上可得，直线A2A3与⊙M相切．