高考数学一轮复习课时分层作业55圆锥曲线中的证明、探索性问题含答案

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1．(2022·湖南雅礼中学期末)已知抛物线C：y2＝4x，点F为C的焦点，过F的直线l交C于A，B两点．
(1)设A，B在C的准线上的射影分别为P，Q，线段PQ的中点为R，证明：AR∥FQ；
(2)在x轴上是否存在一点T，使得直线AT，BT的斜率之和为定值？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
2．已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)，点F(1，0)为椭圆的右焦点，过点F且斜率不为0的直线l1交椭圆于M，N两点，当l1与x轴垂直时，|MN|＝3.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)A1，A2分别为椭圆的左、右顶点，直线A1M，A2N分别与直线l2：x＝1交于P，Q两点，证明：四边形OPA2Q为菱形．
3．已知F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，过F的动直线交抛物线C于A，B两点．当直线与x轴垂直时，|AB|＝4.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线AB与抛物线的准线l相交于点M，在抛物线C上是否存在点P，使得直线PA，PM，PB的斜率成等差数列？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
4．(2022·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，渐近线方程为y＝±3x.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C上，且x1>x2>0，y1>0.过P且斜率为－3的直线与过Q且斜率为3的直线交于点M，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|.