高考数学一轮复习第2章第3课时函数的奇偶性、周期性与对称性学案

这是一份高考数学一轮复习第2章第3课时函数的奇偶性、周期性与对称性学案，共19页。
2．了解函数的最小正周期的含义.
3．会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题．
1．函数的奇偶性
2．周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
[常用结论]
1．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0．如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，
奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝1fx，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－1fx，则T＝2a(a>0)．
3．函数对称性常用结论
(1)f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝a+b2对称．
f(a＋x)＝－f(b－x)⇔f(x)的图象关于点a+b2，0对称．
(3)f(2a－x)＝－f(x)＋2b⇔f(x)的图象关于点(a，b)对称．

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )
(2)已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，若f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0.( )
(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．( )
(4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)(a＞0)，则f(x)是周期为2a的周期函数．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
二、教材习题衍生
1．(多选)(人教A版必修第一册P84例6改编)下列函数中为奇函数的是( )
A．f(x)＝2x4＋3x2 B．f(x)＝x3－2x
C．f(x)＝x2+1x D．f(x)＝x3＋1
[答案] BC
2．(人教A版必修第一册P203练习T4改编)若f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[0，2)时，f(x)＝2－x，则f(2 023)＝________．
12 [∵f(x)的周期为2，∴f(2 023)＝f(1)＝2-1＝12.]
3．(人教A版必修第一册P86习题3.2T11改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0，f(x)＝2x－2x＋a，则a＝________；当x