高考数学一轮复习第4章第4课时简单的三角恒等变换学案

这是一份高考数学一轮复习第4章第4课时简单的三角恒等变换学案，共17页。


1．降幂公式
(1)sin2α＝1-cs2α2；
(2)cs2α＝1+cs2α2；
(3)tan2α＝1-cs2α1+cs2α.
2．辅助角公式
a sin α＋b cs α＝a2+b2sin (α＋φ)
其中sinφ=ba2+b2，csφ=aa2+b2.
[常用结论]
公式的常用变式
(1)sin 2α＝2sinαcsαsin2α+cs2α＝2tanα1+tan2α；
(2)cs2α＝cs2α-sin2αcs2α+sin2α＝1-tan2α1+tan2α；
(3)1＋csα＝2cs2α2；
(4)1－csα＝2sin2α2；
(5)1＋sinα＝sinα2+csα22；
(6)1－sin α＝sinα2-csα22；
(7)tan α2＝sinα1+csα＝1-csαsinα.
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)公式a sin x＋b cs x＝a2+b2sin (x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．( )
(2)cs θ＝2cs2θ2－1＝1－2sin2θ2．( )
(3)当α是第一象限角时，sinα2＝1-csα2．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
二、教材习题衍生
1．(多选)(人教A版必修第一册P220T4(1)改编)cs α－3sin α化简的结果可以是( )
A．12cs π6-α B．2cs π3+α
C．12sin π3-α D．2sin π6-α
BD [cs α－3sin α＝212csα-32sinα
＝2csαcsπ3-sinαsinπ3＝2cs α+π3
＝2sin π6-α.]
2．(人教A版必修第一册P226T1改编)已知sin α＝55，cs α＝255，则tan α2等于( )
A．2－5 B．2＋5
C．5－2 D．±(5－2)
C [∵sin α＝55，cs α＝255，
∴tan α2＝sinα1+csα＝5－2．]
3．(人教A版必修第一册P226T2改编)已知θ∈5π2，3π且sin θ＝45，则sin θ2＝____________；cs θ2＝________．
－255 －55 [∵θ∈5π2，3π，且sin θ＝45.
∴cs θ＝－35，θ2∈5π4，3π2，
∴sin θ2＝－1+352＝－255，
cs θ2＝－1-352＝－55.]
4．(人教A版必修第一册P254T13(2)改编)在等式(tan 10°－3)·sin (*)＝－2cs 40°的括号中，填写一个锐角，使得等式成立，这个锐角是________．
80° [因为等式(tan 10°－3)·sin (*)＝－2cs 40°可以转化为sin (*)＝-2cs40°tan10°-3＝-2cs40°·cs10°sin10°-3cs10°＝-2cs40°·cs10°212sin10°-32cs10°＝-2cs40°·cs10°-2sin50°＝cs 10°＝sin 80°.
又因为所求的是锐角，故答案为80°.]
考点一 三角函数式的化简
[典例1] 化简：(1)sin2α+βsinα－2cs (α＋β)；
(2)cs3π2-α-tanα2·1+csα1-csα(0<α<π)．
[解] (1)原式＝sin2α+β-2sinαcsα+βsinα
＝sinα+α+β-2sinαcsα+βsinα
＝sinαcsα+β+csαsinα+β-2sinαcsα+βsinα
＝csαsinα+β-sinαcsα+βsinα
＝sinα+β-αsinα＝sinβsinα.
(2)因为tan α2＝sinα1+csα，
所以(1＋cs α)tan α2＝sin α.
又因为cs 3π2-α＝－sin α，且1－cs α＝2sin2α2，
所以原式＝-sinα-sinα2sin2α2＝-2sin α2|sin α2|＝－22sinα2csα2|sin α2|.
因为0<α<π，所以0<α2<π2.
所以sin α2>0．
所以原式＝－22cs α2.
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
[跟进训练]
1．已知0<θ<π，则1+sinθ+csθsinθ2-csθ22+2csθ＝________．
－cs θ [原式＝2sinθ2csθ2+2cs2θ2sinθ2-csθ24cs2θ2
＝csθ2·sin2θ2-cs2θ2|csθ2|＝-csθ2·csθ|csθ2|.
因为0<θ<π，所以0<θ2<π2，所以cs θ2>0，
所以原式＝－cs θ.]
考点二 三角函数式的求值
给角求值
[典例2] (1)cs 20°·cs 40°·cs 100°＝________．
(2)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin280°＝________．
(1)－18 (2)6 [(1)cs20°·cs 40°·cs 100°
＝－cs 20°·cs 40°·cs 80°
＝－sin20°·cs20°·cs40°·cs80°sin20°
＝－12sin40°·cs40°·cs80°sin20°
＝－14sin80°·cs80°sin20°＝－18sin160°sin20°
＝－18sin20°sin20°＝－18.
(2)原式＝2sin50°+sin10°·cs10°+3sin10°cs10°·2sin 80°＝2sin50°+2sin10°·12cs10°+32sin10°cs10°·2cs 10°＝22[sin 50°·cs 10°＋sin 10°·cs (60°－10°)]＝22sin (50°＋10°)＝22×32＝6.]
给值求值
[典例3] (1)设α为锐角，若cs α+π6＝－13，则sin 2α+π12的值为( )
A．725 B．72-818
C．－17250 D．25
(2)已知0＜x＜π4，sin π4-x＝513，则cs2xcsπ4+x＝________.
(1)B (2)2413 [(1)由0＜α＜π2得π6＜α＋π6＜2π3，
∴sin α+π6＝1--132＝223，
∴sin 2α+π3＝2sinα+π6cs α+π6＝－429，
cs 2α+π3＝2cs2α+π6－1＝2×-132－1＝－79，
∴sin 2α+π12＝sin 2α+π3-π4
＝sin 2α+π3cs π4－cs 2α+π3sin π4
＝-429×22--79×22＝72-818，故选B.
(2)法一(先化简后求值)：
cs2xcsπ4+x＝cs2x-sin2x22csx-sinx＝2(cs x＋sin x)＝2csπ4-x.
由0＜x＜π4得0＜π4－x＜π4，
∴cs π4-x＝1-sin2π4 -x＝1-5132＝1213，
∴原式＝2×1213＝2413.
法二(先局部后整体)：
csπ4+x＝cs π2-π4-x＝sin π4-x＝513，
由0＜x＜π4得0＜π4－x＜π4，
∴cs π4-x＝1-sin2π4 -x＝1-5132＝1213，
∴cs2x＝sin π2-2x＝2sinπ4-xcs π4-x
＝2×513×1213＝120169.
∴cs2xcsπ4+x＝120169×135＝2413.]
给值求角
[典例4] (1)已知sin α＝55，sin (α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β的值是________．
(2)(易错题)已知α，β∈(0，π)，且tan (α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．
(1)π4 (2)－3π4 [(1)由0＜α＜π2，0＜β＜π2，得－π2＜α－β＜π2，∴cs (α－β)＝1-sin2α-β＝31010.
∵sinα＝55，∴cs α＝255，∴sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcs (α－β)－cs αsin (α－β)＝55×31010-255×-1010＝22.又∵角β是锐角，∴β＝π4.
(2)∵tan α＝tan [(α－β)＋β]
＝tanα-β+tanβ1-tanα-βtanβ＝12-171+12×17＝13＞0，
∴0＜α＜π2.
又∵tan 2α＝2tanα1-tan2α＝2×131-132＝34＞0，∴0＜2α＜π2，∴tan(2α－β)＝tan2α-tanβ1+tan2αtanβ＝34+171-34×17＝1．
∵tan β＝－17＜0，∴π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，
∴2α－β＝－3π4.]
三角函数式求值的三种题型
(1)给角求值：一般给出的角都不是特殊角，需先仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，然后结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解．
(2)给值求值：解题的关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系．
(3)给值求角：一般先求角的某一个三角函数值，再求角的范围，最后确定角．遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；已知正弦、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，π2，选正弦、余弦函数皆可；②若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为-π2，π2，选正弦函数较好．
[跟进训练]
2．(1) (链接常用结论)(2022·广东佛山三模)已知tan α＝2，则cs 2α＝( )
A．－45 B．－35
C．35 D．±45
(2)(2022·山东威海模拟)cs10°2sin10°－2cs 10°＝( )
A．32 B．2
C．3 D．2
(3)已知α，β均为锐角，cs α＝277，sin β＝3314，则cs 2α＝________，2α－β＝________．
(1)B (2)A (3)17 π3 [(1)cs 2α＝cs2α－sin2α＝cs2α-sin2αcs2α+sin2α＝1-tan2α1+tan2α＝－35.
故选B.
(2)cs10°2sin10°s 10°＝cs10°-4sin10°cs10°2sin10°
＝cs10°-2sin20°2sin10°＝cs10°-2sin30°-10°2sin10°
＝cs10°-cs10°-3sin10°2sin10°＝32.
故选A.
(3)因为cs α＝277，所以cs 2α＝2cs2α－1＝17.
又因为α，β均为锐角，sinβ＝3314，
所以sin α＝217，cs β＝1314，因此sin 2α＝2sin αcs α＝437，所以sin (2α－β)＝sin 2αcs β－cs 2αsin β＝437×1314-17×3314＝32.
因为α为锐角，所以0<2α<π.
又cs 2α>0，所以0<2α<π2，
又β为锐角，所以－π2<2α－β<π2，
又sin (2α－β)＝32，所以2α－β＝π3.]
课时分层作业(二十四) 简单的三角恒等变换
一、选择题
1．已知tan α＝3，则sin 2α等于( )
A．－32 B．35
C．－35 D．15
B [sin 2α＝2sin αcs α
＝2sinαcsαcs2α+sin2α＝2tanα1+tan2α＝2×31+32＝35.]
2．(2023·山东枣庄模拟)在平面直角坐标系中，已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点-3，4，则tanα2＝( )
A．－12或2 B．2
C．－13或3 D．3
B [由角α的终边经过点-3，4，可得
sin α＝4-32+42＝45，
cs α＝-3-32+42＝－35，
故tan α2＝sinαcsα+1＝45-35+1＝2．
故选B.]
3．已知cs 2π3-2θ＝－79，则sin π6+θ的值为( )
A．13 B．±13
C．－19 D．19
B [∵cs 2π3-2θ＝－79，
∴cs π3+2θ＝cs π-2π3-2θ＝－cs 2π3-2θ＝79，即1－2sin2π6+θ＝79，
即sin2π6+θ＝19，
∴sinπ6+θ＝±13.]
4．(2022·山东济宁二模)已知α为锐角，且(3－tan 10°)cs α＝1，则α的值为( )
A．40° B．50°
C．70° D．80°
B [由3-tan10°cs α＝1可得3cs10°-sin10°cs10°cs α＝1，即2cs40°cs10°cs α＝1，所以cs α＝cs10°2cs40°＝cs10°sin40°2cs40°sin40°＝cs10°sin40°sin80°＝sin 40°＝cs 50°，
又α为锐角，故α＝50°，故选B.]
5．(多选)已知sin α＝－45，π＜α＜3π2，则下列选项正确的是( )
A．sin 2α＝－2425 B．sin α2＝255
C．cs α2＝－55 D．tan α2＝－2
BCD [因为sin α＝－45，π＜α＜3π2，所以cs α＝－35，所以sin 2α＝2sin αcs α＝2×-45×-35＝2425，故A错误；因为π2＜α2＜3π4，所以sin α2＝1-csα2＝1--352＝255，
cs α2＝－1+csα2＝－1-352＝－55，
tan α2＝sinα2csα2＝－2，故BCD均正确．]
6．(多选)(2023·江苏宿迁模拟)若tan θ＝－2，则下列等式中成立的是( )
A．tan 2θ＝－45
B．sinθ+csθsinθ-csθ＝13
C．sin θ(sin θ－cs θ)＝65
D．sin 2θ-π6＝3-4310
BCD [因为tan 2θ＝2tanθ1-tan2θ＝-41-4＝43，
所以选项A错误；因为sinθ+csθsinθ-csθ＝tan θ+1tan θ-1＝-2+1-2-1＝13，所以B正确；
因为sin θsinθ-csθ＝sin2θ－sinθcs θ
＝sin2θ-sinθcsθsin2θ+cs2θ＝tan2θ-tanθtan2θ+1＝4+24+1＝65，所以C正确；因为sin2θ-π6＝32sin 2θ－12cs 2θ
＝23sinθcsθ+sin2θ-cs2θ2
＝23sinθcsθ+sin2θ-cs2θ2sin2θ+cs2θ＝23tanθ+tan2θ-12(tan2θ+1)＝-43+4-12×4+1＝3-4310，所以D正确；故选BCD.]
二、填空题
7．已知sin2α＝23，则cs2α+π4＝________．
16 [法一：csα+π4＝22cs α－22sin α，
所以cs2α+π4＝12(csα－sin α)2
＝12(1－2sin αcs α)＝12(1－sin 2α)＝16.
法二：cs2α+π4＝1+cs2α+π22
＝1-sin2α2＝1-232＝16.]
8．已知θ∈0，π2，且sin θ-π4＝210，则tan θ＝________，tan 2θ＝________．
43 －247 [∵θ∈0，π2且sin θ-π4＝210，
∴cs θ-π4＝7210，
∴tan θ-π4＝17＝tanθ-11+tanθ，解得tan θ＝43.
故tan 2θ＝2tanθ1-tan2θ＝－247.]
9．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1)的两根分别为tanα，tan β，且α，β∈-π2，π2，则α＋β＝________．
－3π4 [依题意有tanα+tanβ=-3a， tanα·tanβ=3a+1，
∴tan (α＋β)＝tanα+tanβ1-tanα·tanβ＝-3a1-3a+1＝1．
又tanα+tanβ＜0，tanα·tanβ＞0，
∴tan α＜0且tan β＜0，
∴－π2＜α＜0且－π2＜β＜0，
即－π＜α＋β＜0，结合tan (α＋β)＝1，
得α＋β＝－3π4.]
三、解答题
10．已知tan α＝－13，cs β＝55，α∈π2，π，β∈0，π2，求tan (α＋β)的值，并求出α＋β的值．
[解] 由cs β＝55，β∈0，π2，
得sin β＝255，tan β＝2．
所以tan (α＋β)＝tanα+tanβ1-tanαtanβ＝-13+21+23＝1．
因为α∈π2，π，β∈0，π2，
所以π2<α＋β<3π2，所以α＋β＝5π4.
11．已知0＜α＜π2＜β＜π，cs β-π4＝13，sin (α＋β)＝45.
(1)求sin 2β的值；
(2)求cs α+π4的值．
[解] (1)∵cs β-π4＝cs π4cs β＋sin π4sin β＝22cs β＋22sin β＝13，
∴cs β＋sin β＝23，∴1＋sin 2β＝29，
∴sin 2β＝－79.
(2)∵0＜α＜π2＜β＜π，
∴π4＜β－π4＜3π4，π2＜α＋β＜3π2，
∴sin β-π4＞0，cs (α＋β)＜0．
∵cs β-π4＝13，sin (α＋β)＝45，
∴sin β-π4＝223，cs (α＋β)＝－35.
∴cs α+π4＝cs α+β-β-π4
＝cs (α＋β)cs β-π4＋sin (α＋β)sin β-π4
＝－35×13+45×223＝82-315.
12．设α∈0，π2，β∈0，π2，且tan α＝1+sinβcsβ，则( )
A．3α－β＝π2 B．2α－β＝π2
C．3α＋β＝π2 D．2α＋β＝π2
B [因为tan α＝1+sinβcsβ，所以sinαcsα＝1+sinβcsβ，即sin αcs β＝cs α＋cs αsin β，所以sin αcs β－cs αsin β＝cs α，即sin (α－β)＝sin π2-α，又α，β均为锐角，且y＝sin x在-π2，π2上单调递增，所以α－β＝π2－α，即2α－β＝π2，故选B.]
13．若tan α＋1tanα＝103，α∈π4，π2，则sin 2α+π4+2cs2α的值为________．
0 [∵tanα＋1tanα＝103，α∈π4，π2，
∴tan α＝3或tan α＝13(舍)，
则sin 2α+π4+2cs2α
＝sin2αcs π4＋cs 2αsin π4+2·1+cs2α2
＝22sin 2α＋2cs 2α＋22
＝22(2sin αcs α)＋2(cs2α－sin2α)＋22
＝22·2sinαcsαsin2α+cs2α+2·cs2α－sin2αsin2α+cs2α+22
＝22·2tanαtan2α+1+21-tan2αtan2α+1+22
＝22×69+1+2×1-91+9+22
＝0．]
14．已知6sin2α＋sinαcs α－2cs2α＝0，α∈π2，π.求
(1)tanα；
(2)sin 2α+π3.
[解] (1)∵6sin2α＋sinαcs α－2cs2α
＝6sin2α+sinαcsα-2cs2αsin2α+cs2α＝6tan2α+tanα-2tan2α+1＝0，
即6tan2α＋tanα－2＝0，解得tan α＝－23或tan α＝12，因为α∈π2，π，∴tan α＝－23.
(2)∵sin 2α＝2tanα1+tan2α＝－1213，cs 2α＝1-tan2α1+tan2α＝513，
∴sin2α+π3＝sin 2αcs π3＋cs 2αsin π3
＝－1213×12+513×32＝53-1226.