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高考数学一轮复习第4章第5课时三角函数的图象与性质学案
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这是一份高考数学一轮复习第4章第5课时三角函数的图象与性质学案,共23页。
2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.
3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上,正切函数在-π2,π2上的性质.
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]图象的五个关键点是:(0,0),π2,1,(π,0),3π2,-1,(2π,0).
余弦函数y=cs x,x∈[0,2π]图象的五个关键点是:(0,1),π2,0,(π,-1),3π2,0,(2π,1).
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
[常用结论]
1.对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.奇偶性
(1)函数y=A sin (ωx+φ)(x∈R)是奇函数⇔φ=kπ(k∈Z);
(2)函数y=A sin (ωx+φ)(x∈R)是偶函数⇔φ=kπ+π2(k∈Z);
(3)函数y=A cs (ωx+φ)(x∈R)是奇函数⇔φ=kπ+π2(k∈Z);
(4)函数y=A cs (ωx+φ)(x∈R)是偶函数⇔φ=kπ(k∈Z).
一、易错易混辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)正切函数y=tan x在定义域内是增函数.( )
(2)已知y=k sin x+1,x∈R,则y的最大值为k+1.( )
(3)函数y=tan x的图象关于点(kπ,0)(k∈Z)中心对称.( )
(4)y=sin |x|与y=|sin x|都是周期函数.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
二、教材习题衍生
1.(人教A版必修第一册P201例2改编)若函数y=2sin 2x-1的最小正周期为T,最大值为A,则( )
A.T=π,A=1 B.T=2π,A=1
C.T=π,A=2 D.T=2π,A=2
A [T=2π2=π,A=2-1=1,故选A.]
2.(人教A版必修第一册P213练习T3改编)函数y=3tan 2x+π4的定义域是( )
A.xx≠kπ+π2,k∈Z
B.xx≠k2π-π8,k∈Z
C.xx≠k2π+π8,k∈Z
D.xx≠k2π,k∈Z
C [要使函数有意义,则2x+π4≠kπ+π2,k∈Z,
即x≠k2π+π8,k∈Z,
所以函数的定义域为xx≠k2π+π8,k∈Z.]
3.(人教A版必修第一册P207练习T3改编)下列关于函数y=4sin x,x∈[-π,π]的单调性的叙述,正确的是( )
A.在[-π,0]上单调递增,在[0,π]上单调递减
B.在-π2,π2上单调递增,在-π,-π2及π2,π上单调递减
C.在[0,π]上单调递增,在[-π,0]上单调递减
D.在π2,π及-π,-π2上单调递增,在-π2,π2上单调递减
B [函数y=4sin x在-π,-π2和π2,π上单调递减,在-π2,π2上单调递增.故选B.]
4.(人教A版必修第一册P205例3改编)函数y=3-2csx+π4的最大值为________,此时x=________.
5 3π4+2kπ(k∈Z) [函数y=3-2csx+π4的最大值为3+2=5,此时x+π4=π+2kπ,k∈Z,即x=34π+2kπ(k∈Z).]
考点一 三角函数的定义域和值域
[典例1] (1)(易错题)函数y=1tanx-1的定义域为________.
(2)函数y=sin x-cs x+π6的值域为________.
(3)当x∈π6,7π6时,函数y=3-sin x-2cs2x的值域为________.
(1)xx≠π4+kπ,且x≠π2+kπ,k∈Z (2)[-3,3] (3)78,2 [(1)要使函数有意义,必须有tanx-1≠0, x≠π2+kπ,k∈Z,即x≠π4+kπ,k∈Z,x≠π2+kπ,k∈Z.
故函数的定义域为{x|x≠π4+kπ,且x≠π2+kπ,k∈Z}.
(2)∵y=sin x-cs x+π6=sin x-32cs x+12sin x=32sin x-32cs x=3sin x-π6,
∴函数y=sin x-cs x+π6的值域为[-3,3].
(3)因为x∈π6,7π6,所以sin x∈-12,1.
又y=3-sin x-2cs2x=3-sinx-2(1-sin2x)=2sinx-142+78,
所以当sin x=14时,ymin=78,当sin x=-12或sin x=1时,ymax=2.即函数的值域为78,2.]
【教师备选题】
1.函数y=lg (sin 2x)+9-x2的定义域为________.
-3,-π2∪0,π2 [∵函数y=lg (sin 2x)+9-x2,
∴应满足sin2x>0 9-x2≥0,解得kπ
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