高考数学一轮复习第6章第1课时数列的概念与简单表示法学案

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第1课时 数列的概念与简单表示法
[考试要求]
1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
1．数列的定义
一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
2．数列的分类
3．数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法．
(1)通项公式：如果数列{an}的第n项 an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
(2)数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
4．数列的前n项和
(1)表示：在数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和．
(2)an与Sn的关系：若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝S1，n=1， Sn-Sn-1，n≥2.
提醒：若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段．
[常用结论]
在数列{an}中，若an最大，则an≥an-1，an≥an+1； 若an最小，则an≤an-1，an≤an+1.

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同数列．( )
(2)数列0，2，4，6，8，…可记作{2n}．( )
(3)任何一个数列都有唯一的通项公式．( )
(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
二、教材习题衍生
1．(人教A版选择性必修第二册P5例2改编)数列－1，12，－13，14，－15，…的一个通项公式为( )
A．an＝±1n B．an＝(－1)n·1n
C．an＝(－1)n+1·1n D．an＝1n
B [由a1＝－1，代入检验可知选B.]
2．(人教A版选择性必修第二册P8练习T3改编)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋1an，则a5＝( )
A．2 B．32
C．53 D．85
D [由题意得，令n＝1，可得a2＝1＋1a1＝2；
令n＝2，可得a3＝1＋1a2＝1＋12＝32；
令n＝3，可得a4＝1＋1a3＝1＋132＝53；
令n＝4，可得a5＝1＋1a4＝1＋153＝85.
故选D.]
3．(人教A版选择性必修第二册P8练习T4改编)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________．
2，n=1， 2n-1，n≥2，n∈N* [当n＝1时，a1＝S1＝2.
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1.
显然当n＝1时，不满足上式，
故an＝2，n=1， 2n-1，n≥2，n∈N*.]
4．(人教A版选择性必修第二册P8练习T1改编)下列从左到右排列的图形中，小正方形个数构成的数列的一个通项公式为an＝________．
n2 [由题图可知，从中间一行向上、向下每经过一行，小正方形数量减少1个，直至减少到1，所以an＝n＋2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2×1，
所以an＝n＋2·1+n-1n-12＝n2.]
考点一 由an与Sn的关系求通项公式
[典例1] (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝________．
(2)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝________．
(1)4n－5 (2)2，n=1， 2n-1n，n≥2，n∈N* [(1)a1＝S1＝2－3＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.
(2)当n＝1时， a1＝21＝2，∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①
故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n-1(n≥2，n∈N*)，②
由①－②得nan＝2n－2n-1＝2n-1，∴an＝2n-1n(n≥2，n∈N*)．
显然当n＝1时不满足上式，∴an＝2，n=1， 2n-1n，n≥2，n∈N*.]
【教师备选题】
(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足lg2(Sn＋1)＝n＋1，则an＝________．
(2)设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝1，an＝－Sn·Sn－1(n≥2)，则Sn＝________，an＝________．
(1)3，n=1， 2n，n≥2，n∈N* (2)1n 1，n=1，-1nn-1，n≥2 [(1)由题意知Sn＋1＝2n+1，所以Sn＝2n+1－1.当n＝1时，a1＝3.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，
因为a1＝3不满足此等式，所以an＝3，n=1， 2n，n≥2，n∈N*.
(2)依题意得Sn－1－Sn＝Sn－1·Sn(n≥2)，整理得1Sn-1Sn-1＝1，又1S1＝1a1＝1，则数列1Sn是以1为首项，1为公差的等差数列，因此1Sn＝1＋(n－1)×1＝n，即Sn＝1n.
∴当n≥2时，an＝－Sn·Sn－1＝－1nn-1.
又当n＝1时，a1＝1，
∴an＝1，n=1， -1nn-1，n≥2.]
已知Sn求an的三个步骤
(1)利用a1＝S1求出a1.
(2)当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表达式．
(3)看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写，否则应写成分段的形式，即an＝S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2.
[跟进训练]
1．(1)(多选)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则下列结论正确的是( )
A．an＝1nn-1 B．an＝-1，n=1，1nn-1，n≥2
C．Sn＝－1n D．数列1Sn是等差数列
(2)已知数列{an}，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________．
(1)BCD (2)－2n-1 [(1)∵an＋1＝Sn·Sn＋1＝Sn＋1－Sn，两边同除以Sn＋1·Sn，得1Sn+1-1Sn＝－1.
∴1Sn是以－1为首项，－1为公差的等差数列，
即1Sn＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－1n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－1n+1n-1＝1nn-1，
又a1＝－1不适合上式，∴an＝-1，n=1，1nn-1，n≥2.故选BCD.
(2)当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，∴a1＝－1.
当n≥2时，Sn＝2an＋1，①
Sn－1＝2an－1＋1.②
①－②得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，即an＝2an－1(n≥2)，∴{an}是首项a1＝－1，公比q＝2的等比数列．
∴an＝a1·qn-1＝－2n-1.]
考点二 由数列的递推关系求通项公式
累加法
[典例2] 设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．
an＝n2+n2 [由题意得a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，
∴an－an－1＝n(n≥2)．
以上各式相加，得
an－a1＝2＋3＋…＋n＝n-12+n2＝n2+n-22.
∵a1＝1，∴an＝n2+n2(n≥2)．
∵当n＝1时也满足此式，∴an＝n2+n2.]
累乘法
[典例3] 在数列{an}中，a1＝1，an＝n-1nan－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．
an＝1n [∵an＝n-1nan－1(n≥2)，
∴an－1＝n-2n-1an－2，an－2＝n-3n-2an－3，…，a2＝12a1.
以上(n－1)个式子相乘得，
an＝a1·12·23·…·n-1n＝a1n＝1n.
当n＝1时，a1＝1，符合上式，
∴an＝1n.]
构造法
[典例4] 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．
an＝2·3n-1－1 [∵an＋1＝3an＋2，
∴an＋1＋1＝3(an＋1)，
∴an+1+1an+1＝3，
∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，
又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n-1，
∴an＝2·3n-1－1.]
取倒数法
[典例5] 已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2anan+2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________．
2n [∵an＋1＝2anan+2，a1＝2，∴an≠0，
∴1an+1＝1an+12，即1an+1-1an＝12，
又a1＝2，则1a1＝12，
∴1an是以12为首项，12为公差的等差数列．
∴1an＝1a1＋(n－1)×12＝n2，∴an＝2n.]
由递推关系求数列的通项公式的常用方法
[跟进训练]
2．(1)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋1nn+1，则数列{an}的通项公式为an＝________．
(2)已知a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式为an＝________．
(3)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n+1，则数列{an}的通项公式为an＝________．
(1)4－1n (2)2n2-n+22 (3)n-12·2n [(1)∵an＋1－an＝1nn+1＝1n-1n+1，
∴当n≥2时，an－an－1＝1n-1-1n，
an－1－an－2＝1n-2-1n-1，
…，
a2－a1＝1－12，
∴以上各式相加得，an－a1＝1－1n，又a1＝3，
∴an＝4－1n(n≥2)，a1＝3适合上式，∴an＝4－1n.
(2)∵an+1an＝2n，
∴当n≥2时，anan-1＝2n-1，an-1an-2＝2n-2，
…，
a3a2＝22，a2a1＝2，
∴an＝anan-1·an-1an-2·…·a3a2·a2a1·a1
＝2n-1·2n-2·…·22·2·2
＝21+2+3+…＋(n-1)·2
＝2(n-1)·n2+1=2n2-n+22，
又a1＝2满足上式，
∴an＝2n2-n+22．
(3)∵an＋1＝2an＋2n+1，∴两边同除以2n+1，
得an+12n+1＝an2n＋1.
又a1＝1，
∴an2n是首项为12，公差为1的等差数列，
∴an2n＝12＋(n－1)×1＝n－12，
即an＝n-12·2n.]
考点三 数列的函数特性
数列的周期性
[典例6] (2022·广东汕头三模)已知数列{an}中，a1＝－14，当n>1时，an＝1－1an-1，则a2 022＝( )
A．－14 B．45
C．5 D．－45
B [由题意得a2＝1－1a1＝5，a3＝1－1a2＝45，a4＝1－1a3＝－14，
则数列an的周期为3，则a2 022＝a674×3＝a3＝45.故选B.]
数列的单调性
[典例7] 已知数列{an}的通项公式为an＝3n+k2n，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为( )
A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
D [因为an＋1－an＝3n+3+k2n+1-3n+k2n
＝3-3n-k2n+1，由数列{an}为递减数列知，
对任意n∈N*，an＋1－an＝3-3n-k2n+1<0，
所以k>3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞)．]
数列的最值
[典例8] 已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)·1011n，则数列{an}的最大项为( )
A．a8或a9 B．a9或a10
C．a10或a11 D．a11或a12
B [结合f(x)＝(x＋1)1011x的单调性，
设数列{an}的最大项为an，所以an≥an+1，an≥an-1，
所以(n+1)·1011n≥(n+2)·1011n+1，n+1·1011n≥n·1011n-1，
解不等式组可得9≤n≤10.
所以数列{an}的最大项为a9或a10.]
【教师备选题】
若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________，数列{nan}中数值最小的项是第________项．
2n－11(n∈N*) 3 [∵Sn＝n2－10n，
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11；
当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式．
∴an＝2n－11(n∈N*)．
记f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，
此函数图象的对称轴为直线n＝114，但n∈N*，
∴当n＝3时，f(n)取最小值．
∴数列{nan}中数值最小的项是第3项．]
1．解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
2．判断数列单调性的两种方法
(1)作差(或商)法．
(2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．
3．求数列中最大(小)项的两种方法
(1)根据数列的单调性判断．
(2)利用不等式组an≥an-1an≥an+1或an≤an-1an≤an+1求出n的值，进而求得an的最值．
[跟进训练]
3．(1)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1+an1-an，则a2 023的值为( )
A．2 B．－3
C．－12 D．13
(2)已知数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn(n∈N*)，则“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(3)已知数列{an}满足a1＝28，an+1-ann＝2，则ann的最小值为( )
A．293 B．47－1
C．485 D．274
(1)C (2)A (3)C [(1)因为a1＝2，an＋1＝1+an1-an，所以a2＝1+a11-a1＝－3，同理可得a3＝－12，a4＝13，a5＝2，a6＝－3，a7＝－12，a8＝13，…，可得an＋4＝an，则a2 023＝a505×4＋3＝a3＝－12.
(2)若数列{an}为递增数列，则有an＋1－an>0，
∴(n＋1)2－2λ(n＋1)－n2＋2λn＝2n＋1－2λ>0，
即2n＋1>2λ对任意的n∈N*都成立，
于是有λ<2n+12min＝32，
∵由λ<1可推出λ<32，但反过来，由λ<32不能得到λ<1，因此“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件．
(3)由an＋1－an＝2n，a1＝28，可得an＝n2－n＋28，
∴ann＝n＋28n－1，
设f(x)＝x＋28x，可知f(x)在(0，27)上单调递减，在(27，＋∞)上单调递增，
又n∈N*，且a55＝485故选C.]
课时分层作业(三十三) 数列的概念与简单表示法
一、选择题
1. 数列3，2，95，127，53，…的一个通项公式为an＝( )
A．3n2n+1 B．3n2n-1
C．3n2n-3 D．3n2n+3
B [由题意，数列3，2，95，127，53，…可化为31，63，95，127，159，…，由此可得数列的一个通项公式为an＝3n2n-1.故选B.]
2．(2022·济南二模)在数列an中，a1＝3，a2＝－1，an＋2＝3an＋1＋an，则a5等于( )
A．0 B．－1
C．－2 D．－3
D [a3＝3a2＋a1＝－3＋3＝0，a4＝3a3＋a2＝－1，
a5＝3a4＋a3＝－3.故选D.]
3．(2023·北京房山期末)已知数列an满足a2>0，且对于任意正整数p，q都有apaq＝2p＋q成立，则a5的值为( )
A．8 B．16
C．32 D．64
C [令p＝q＝2，得a22＝24＝16，
因为a2>0，所以a2＝4，
令p＝2，q＝5得a2a5＝22+5＝128，解得a5＝32.故选C.]
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝6，Sn＝n+1an2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝3n B．an＝3n
C．an＝n＋4 D．an＝n2＋2
A [当n＝1时，S1＝a1；
当n≥2时，由Sn＝n+1an2可得
Sn－1＝nan-12，上述两式作差得
an＝n+1an-nan-12，
整理可得(n－1)an＝nan－1，∴anan-1＝nn-1.
由累乘法可得
an＝a2·a3a2·a4a3·…·anan-1＝6×32×43×…×nn-1＝3n.
因此，an＝3n(n∈N*)．]
5．(多选)已知数列{an}满足an＋1＝1－1an(n∈N*)，且a1＝2，则( )
A．a3＝－1 B．a2 023＝12
C．S3＝32 D．S2 023＝1 013
ACD [数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1－1an(n∈N*)，可得a2＝12，a3＝－1，a4＝2，a5＝12，…，所以an＋3＝an，数列{an}的周期为3.a2 023＝a674×3＋1＝a1＝2，S3＝32，S2 023＝1 013.]
6．(多选)(2022·山东聊城一模)在数列an中，对于任意的n∈N*都有an>0，且an+12－an＋1＝an，则下列结论正确的是( )
A．对于任意的n≥2，都有an>1
B．对于任意的a1>0，数列an不可能为常数列
C．若0D．若a1>2，则当n≥2时，2ACD [对于A，由an＋1＝anan+1＋1，∀n∈N*都有an>0，可知an＋1＝anan+1＋1>1，即任意n≥2都有an>1，正确；
对于B，由an＋1(an＋1－1)＝an可知，若an为常数列且an>0，则an＝2满足a1>0，错误；
对于C，由anan+1＝an＋1－1且n∈N*可知，
当1当an＋1>2时，anan+1>1，此时a1＝a2(a2－1)>a2>2，数列an递减；
所以0对于D，由C分析知：a1>2时，an＋1>2且数列an递减，即n≥2时，2二、填空题
7．若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式为an＝________．
2，n=1， 6n-5，n≥2 [当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．
故数列{an}的通项公式为an＝2，n=1， 6n-5，n≥2.]
8．(2023·福建福田八中模拟)已知数列{an}满足：①先单调递减后单调递增；②当n＝3时取得最小值．写出一个满足条件的数列{an}的通项公式an＝________．
n-32n∈N*(答案不唯一) [设an＝n-32n∈N*，
则an＋1＝n-22，an＋1－an＝n-22－n-32＝2n－5，
当1≤n≤2，an＋1－an＝2n－5<0，数列单调递减，
当n≥3，an＋1－an＝2n－5>0，数列单调递增，
即a1>a2>a3可得当n＝3时数列取得最小值．]
9．(2022·湖北武汉二模)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．用an表示解下nn≤9，n∈N*个圆环所需的最少移动次数．若a1＝1，且an＋1＝2an+2，n为奇数，2an-1，n为偶数， 则解下6个圆环所需的最少移动次数为________．
64 [因为a1＝1，所以a2＝2a1＋2＝4，a3＝2a2－1＝7，a4＝2a3＋2＝16，a5＝2a4－1＝31，a6＝2a5＋2＝64.]
三、解答题
10．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，an2－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
[解] (1)由题意可得a2＝12，a3＝14.
(2)由an2－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得
2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因为{an}的各项都为正数，所以an+1an＝12.
故{an}是首项为1，公比为12的等比数列，
因此an＝12n-1.
11．已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝3n-λan2，若数列{bn}为递增数列，求λ的取值范围．
[解] (1)∵2Sn＝(n＋1)an，
∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，
∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an，
即nan＋1＝(n＋1)an，∴an+1n+1＝ann，
∴ann＝an-1n-1＝…＝a11＝1，
∴an＝n(n∈N*)．
(2)由(1)知bn＝3n－λn2.
bn＋1－bn＝3n+1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)
＝2·3n－λ(2n＋1)．
∵数列{bn}为递增数列，
∴2·3n－λ(2n＋1)>0，
即λ<2×3n2n+1.令cn＝2×3n2n+1，
即cn+1cn＝2×3n+12n+3×2n+12×3n＝6n+32n+3>1.
∴{cn}为递增数列，∴λ即λ的取值范围为(－∞，2)．
12．若数列{an}是正项数列，且a1+a2＋…＋an＝n2＋n，则a1＋a22＋…＋ann等于( )
A．2n2＋2n B．n2＋2n
C．2n2＋n D．2(n2＋2n)
A [由题意得当n≥2时，an＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，∴an＝4n2；当n＝1，a1＝2，∴a1＝4，符合上式，∴an＝4n2，ann＝4n，
∴a1＋a22＋…＋ann＝12n(4＋4n)＝2n＋2n2 .]
13．(2023·山东临沂模拟)设数列{an}满足a1＝1，a2＝3且an＋2－2an＋1＋an＝2，则a4－a3＝________，数列{an}的通项为an＝________．
6 n2－n＋1 [由题意，数列{an}满足an＋2－2an＋1＋an＝2，设bn＝an＋1－an，则bn＋1－bn＝2，
且b1＝3－1＝2，所以数列{bn}是等差数列，
所以bn＝2n，即an＋1－an＝2n，所以a4－a3＝b3＝6.
当n≥2时，可得
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝1＋2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＝n2－n＋1，
其中a1＝1也满足an＝n2－n＋1，
所以数列{an}的通项公式为an＝n2－n＋1.]
14．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝1－Sn.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(n2＋n)an，求数列{bn}的最大项．
[解] (1) 因为数列{an}的前n项和为Sn，
且满足an＝1－Sn ①，
所以an－1＝1－Sn－1(n≥2) ②，
①－②并整理，得an＝12an－1(n≥2)，
又由a1＝1－S1，得a1＝12，
所以数列{an}是首项为12，公比为12的等比数列，
所以an＝12n.
(2)因为bn＝(n2＋n)an＝n2+n2n，
所以bn＋1－bn＝n+12+n+12n+1-n2+n2n
＝-n+1n-22n+1，
当n≥2时，bn＋1≤bn，
当n＜2时，bn＋1＞bn，
所以b1＜b2＝b3＞b4＞b5＞…，
所以数列{bn}的最大项为b2＝b3＝22+222＝32.
新高考卷三年考情图解
高考命题规律把握
1.考查形式
本章在高考中一般考查1道小题和1道解答题，分值占10～15分．
2.考查内容
(1)小题一般以等差、等比数列基本量的运算为主．
(2)解答题一般以数列递推关系为载体，考查数列通项公式的求法，等差、等比数列的证明，数列求和的方法等．
分类标准
类型
满足条件
按项数
分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与
项间的
大小关
系分类
递增数列
an＋1＞an
其中n∈N*
递减数列
an＋1＜an
常数列
an＋1＝an
按其他标准分类
有界数列
存在正数M，使|an|≤M
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项
周期数列
对n∈N*，存在正整数k，使an＋k＝an