高考数学一轮复习第7章第4课时空间直线、平面的平行学案

这是一份高考数学一轮复习第7章第4课时空间直线、平面的平行学案，共30页。


1．线面平行的判定定理和性质定理
2.面面平行的判定定理和性质定理
[常用结论]
1．平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β．
(2)若α∥β，a⊂α，则a∥β．
(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ．
2．三种平行关系的转化
线线平行 eq \(⥫====⥬,\s\up10(判定定理),\s\d10(性质定理))线面平行 eq \(⥫====⥬,\s\up10(判定定理),\s\d10(性质定理))面面平行性质定理
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．( )
(2)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( )
(3)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( )
(4)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
二、教材习题衍生
1．(人教A版必修第二册P142练习T2改编)平面α∥平面β的一个充分条件是( )
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β
C.存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
D [若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D.]
2．(人教A版必修第二册P139练习T3改编)下列命题中正确的是( )
A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行
C．平行于同一条直线的两个平面平行
D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α
D [A错误，a可能在经过b的平面内；B错误，a与α内的直线平行或异面；C错误，两个平面可能相交．]
3．(人教A版必修第二册P143习题8.5T5改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．
平行 [如图所示，连接BD交AC于F，连接EF，则EF是△BDD1的中位线，
∴EF∥BD1，
又EF⊂平面ACE，
BD1⊄平面ACE，
∴BD1∥平面ACE.]
4．(人教A版必修第二册P134例1改编)如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则
(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；
(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．
(1)AC＝BD (2)AC＝BD且AC⊥BD [(1)∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.
(2)∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，
∵EF∥AC，EH∥BD，且EF＝12AC，EH＝12BD，
∴AC＝BD且AC⊥BD.]
考点一 与线、面平行相关命题的判定
[典例1] (多选)(2022·广东深圳二模)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点，则下列条件中，能使直线EF∥平面ACD1的有( )
A．F为AA1的中点
B．F为BB1的中点
C．F为CC1的中点
D．F为A1D1的中点
ACD [如图，M，G，H，I，J分别是棱BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中点，易证E与M，G，H，I，J共面，由EM∥AC，AC⊂平面ACD1，EM⊄平面ACD1，则EM∥平面ACD1，同理EJ∥平面ACD1，而EM，EJ是平面EMGHIJ内相交直线，则得平面EMGHIJ∥平面ACD1，EF∥平面ACD1，则F∈平面EMGHIJ，观察各选项，ACD满足．故选ACD.]
[拓展变式] (多选)本例中，下列直线或平面与平面ACD1平行的是( )
A．直线A1B B．直线BB1
C．平面A1DC1 D．平面A1BC1
AD [如图，由A1B∥D1C，且A1B⊄平面ACD1，D1C⊂平面ACD1， 故直线A1B与平面ACD1平行，故A正确；
直线BB1∥DD1，DD1与平面ACD1相交，故直线BB1与平面ACD1相交，故B错误；
由图，显然平面A1DC1与平面ACD1相交，故C错误；
由A1B∥D1C，AC∥A1C1 ，且A1B∩A1C1＝A1，AC∩D1C＝C，故平面A1BC1与平面ACD1平行，故D正确．故选AD.]
判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项．
[跟进训练]
1．(1)(多选)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A．若m∥α，m∥β，则α∥β
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
D．若α⊥γ，α⊥β，则γ与β可能平行，也可能相交
(2)如图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为平行四边形，E，F，G分别为棱AA1，CC1，C1D1的中点，则下列各选项正确的是( )
A．直线BC1与平面EFG平行，直线BD1与平面EFG相交
B．直线BC1与平面EFG相交，直线BD1与平面EFG平行
C．直线BC1、BD1都与平面EFG平行
D．直线BC1、BD1都与平面EFG相交
(1)CD (2)A [(1)对于A，若α∩β＝n，m∥n，则m∥α，m∥β，所以A错误．
对于B，若m∥α，n∥α，则m与n可能是异面直线，相交直线或平行直线，所以B错误．
对于C，若m⊥α，n⊥α，由线面垂直的性质定理知m∥n，C正确．
对于D，若α⊥γ，α⊥β，则γ与β可能相交或平行，D正确．
(2)取AB的中点H，则BH∥C1G，BH＝C1G，从而四边形BC1GH为平行四边形，所以BC1∥HG.易知EH∥GF，EH＝GF，则四边形EGFH为平行四边形，
从而GH⊂平面EFG.又BC1⊄平面EFG，所以BC1∥平面EFG.易知BF∥ED1，BF＝ED1，则四边形BFD1E为平行四边形，从而BD1与EF相交，所以直线BD1与平面EFG相交．故选A.]
考点二 直线与平面平行的判定与性质
直线与平面平行的判定
[典例2] 如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E，F分别为AB，PD的中点，求证：AF∥平面PCE.
[四字解题]
[证明] 法一(应用线面平行的判定定理)：如图，设M为PC的中点，连接EM，MF.
∵E是AB的中点，
∴AE∥CD，且AE＝12CD，
又∵MF∥CD，且MF＝12CD，
∴AE綉FM，∴四边形AEMF是平行四边形，
∴AF∥EM.
又∵AF⊄平面PCE，EM⊂平面PCE，
∴AF∥平面PCE.
法二(应用面面平行的性质定理)：如图，设G为CD的中点，连接FG，AG.
∵F，G分别为PD，CD的中点，
∴FG∥PC.同理AG∥EC，
又FG⊄平面PCE，AG⊄平面PCE.
PC⊂平面PCE，EC⊂平面PCE，
∴FG∥平面PCE，AG∥平面PCE.
又FG，AG⊂平面AFG，FG∩AG＝G，
∴平面AFG∥平面PCE.又AF⊂平面AFG，
∴AF∥平面PCE.
线面平行性质定理的应用
[典例3] 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG.
证明：FG∥平面AA1B1B.
[证明] 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，
所以CC1∥平面BB1D.
又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG.
因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.
而BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，
所以FG∥平面AA1B1B.
证明直线与平面平行的方法
(1)线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)．
(2)线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线．
(3)面面平行的性质：①两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面，即α∥β，a⊂α⇒a∥β；②两个平面平行，不在两个平面内的一条直线与其中一个平面平行，则这条直线与另一平面也平行，即α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β.
[跟进训练]
2．如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点．
(1)求证：AM∥平面BDE；
(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论．
[解] (1)证明：如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.
因为O，M分别为AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，
所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE.
又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，
所以AM∥平面BDE.
(2)l∥m，证明如下：
由(1)知AM∥平面BDE，
又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，
所以l∥AM，
同理，AM∥平面BDE，
又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，
所以m∥AM，所以l∥m.
考点三 平面与平面平行的判定与性质
[典例4] 如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
[证明] (1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
∴GH是△A1B1C1的中位线，GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC，
∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四点共面．
(2)在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF∥BC.
∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G綉EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，则A1E∥GB.
∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.
[拓展变式]
1．在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求ADDC的值．
[解] 如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.
由平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，
平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，
所以BC1∥D1O，则A1D1D1C1＝A1OOB＝1.
又由题设A1D1D1C1＝DCAD，
所以DCAD＝1，即ADDC＝1.
2．在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
[证明] 如图所示，连接A1C交AC1于点M，
∵四边形A1ACC1是平行四边形，
∴M是A1C的中点，连接MD，
∵D为BC的中点，
∴A1B∥DM.
∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，
∴DM∥平面A1BD1.
又由三棱柱的性质知，D1C1綉BD，
∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.
又DC1⊄平面A1BD1，
BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1.
又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，
∴平面A1BD1∥平面AC1D.
证明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的定义．
(2)利用面面平行的判定定理．
(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．
(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”．
(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．
[跟进训练]
3．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．
(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；
(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝l，证明：B1D1∥l.
[证明] (1)由题设知BB1綉DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.
又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，
所以BD∥平面CD1B1.
因为A1D1綉B1C1綉BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.
又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，
所以A1B∥平面CD1B1.
又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B⊂平面A1BD，
所以平面A1BD∥平面CD1B1.
(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，
又平面ABCD∩平面B1D1C＝l，
平面ABCD∩平面A1BD＝BD，
所以直线l∥直线BD，
在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，
所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.
考点四 平行关系的综合应用
[典例5] 如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．
(1)求证：AB∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．
[解] (1)证明：因为四边形EFGH为平行四边形，
所以EF∥HG.
因为HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，所以EF∥平面ABD.
又因为EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
所以EF∥AB.又因为AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，所以AB∥平面EFGH.
(2)设EF＝x(0因为EF∥AB，FG∥CD，所以CFCB＝x4，
则FG6＝BFBC＝BC-CFBC＝1－x4，所以FG＝6－32x.
因为四边形EFGH为平行四边形，
所以四边形EFGH的周长l＝2x+6-32x＝12－x.
又因为0即四边形EFGH周长的取值范围是(8，12)．
证明平行关系的常用方法
熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键．面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法．
[跟进训练]
4．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点．
(1)求证：平面MNQ∥平面PCD；
(2)在线段PD上是否存在一点E，使得MN∥平面ACE？若存在，求出PEPD的值；若不存在，请说明理由．
[解] (1)证明：∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点，
∴NQ∥CD，MQ∥PC.
∵NQ∩MQ＝Q，CD∩PC＝C，且NQ，MQ⊂平面MNQ，CD，PC⊂平面PCD，
∴平面MNQ∥平面PCD.
(2)线段PD上存在一点E，使得MN∥平面ACE，且PEPD＝12.
证明如下：
取PD的中点E，连接NE，CE，AE，
∵N，E，M分别是AP，PD，BC的中点，BC綉AD，
∴NE綉MC，∴四边形MCEN是平行四边形，
∴MN∥CE.
∵MN⊄平面ACE，CE⊂平面ACE，
∴MN∥平面ACE，且PEPD＝12.
课时分层作业(四十) 空间直线、平面的平行
一、选择题
1．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
B [若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，当α内无数条直线与β平行时，α与β可能相交；
若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；
若α，β垂直于同一个平面，则α与β可以平行也可以相交，故A，C，D中条件均不是α∥β的充要条件．
根据两平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立．
因此B中条件是α∥β的充要条件．]
2．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则必有( )
A．BD1∥GH
B．BD∥EF
C．平面EFGH∥平面ABCD
D．平面EFGH∥平面A1BCD1
D [选项A，由中位线定理可知GH∥D1C，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以BD1，GH不可能互相平行，故A选项是错误的；
选项B，由中位线定理可知EF∥A1B，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以BD，EF不可能互相平行，故B选项是错误的；
选项C，由中位线定理可知EF∥A1B，而直线A1B与平面ABCD相交，故直线EF与平面ABCD也相交，故平面EFGH与平面ABCD相交，故C选项是错误的；
选项D，由三角形中位线定理可知EF∥A1B，EH∥A1D1，所以有EF∥平面A1BCD1，EH∥平面A1BCD1，而EF∩EH＝E，因此平面EFGH∥平面A1BCD1，故选D.]
3．如图，AB∥平面α∥平面β，过A，B的直线m，n分别交α，β于C，E和D，F，若AC＝2，CE＝3，BF＝4，则BD的长为( )
A．65 B．75
C．85 D．95
C [由AB∥α∥β，易证ACCE＝BDDF，
即ACAE＝BDBF，所以BD＝AC·BFAE＝2×45＝85.]
4．(多选)已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且m，n⊄α，m，n⊄β，给出下列四个论断：①α∥β；②m∥n；③m∥α；④n∥β.以其中三个论断为条件，剩余论断为结论组成四个命题，其中正确的命题是( )
A．①②③⇒④ B．①③④⇒②
C．①②④⇒③ D．②③④⇒①
AC [对于A，若①α∥β，②m∥n，③m∥α，且n⊄β，所以有④n∥β成立，则A项正确；
对于B，若①α∥β，③m∥α，④n∥β，则m，n可能相交、平行或异面，则B项错误；
对于C，若①α∥β，②m∥n，④n∥β，且m⊄α，所以有③m∥α成立，则C项正确；
对于D，若②m∥n，③m∥α，④n∥β，则平面α，β可能相交或平行，则D项错误．故选AC.]
5．(多选)在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是( )
A．E，F，G，H一定是各边的中点
B．G，H一定是CD，DA的中点
C．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
D．四边形EFGH是平行四边形或梯形
CD [由于BD∥平面EFGH，所以由线面平行的性质定理，得BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC，且EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形或梯形．故选CD.]
6．(多选)如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，以下说法正确的是( )
A．BM∥平面ADE
B．CN∥AF
C．平面BDM∥平面AFN
D．平面BDE∥平面NCF
ACD [以四边形ABCD为下底还原正方体，如图所示，
则有BM∥平面ADE，选项A正确； CN与AF是异面直线，选项B错误；在正方体中，BD∥FN, FN⊂平面AFN，BD⊄平面AFN，所以BD∥平面AFN，同理BM∥平面AFN, BM∩BD＝B，BM，BD⊂平面BDM，
所以平面BDM∥平面AFN，同理平面BDE∥平面NCF，
选项C，D正确，故选ACD.]
二、填空题
7．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.
可以填入的条件有________．
①和③ [由面面平行的性质定理可知，①正确；通过画图(图略)知②错误；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．]
8．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F为AA1，AB的中点，M点是正方形ABB1A1内的动点，若C1M∥平面CD1E，则M点的轨迹长度为________．
2 [如图所示，取A1B1的中点H，BB1的中点G，连接GH，C1H，C1G，EG，HF.
可得四边形EGC1D1是平行四边形，∴C1G∥D1E.又C1G⊄平面CD1E，D1E⊂平面CD1E，可得C1G∥平面CD1E.同理可得C1H∥CF，C1H∥平面CD1E.又C1H∩C1G＝C1，∴平面C1GH∥平面CD1E.
∵M点是正方形ABB1A1内的动点，C1M∥平面CD1E，∴点M在线段GH上．
∴M点的轨迹长度为GH＝12+12＝2.]
9．如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD，E，F分别是线段PA，PD的中点，H在线段AB上．若平面PBC∥平面EFH，则AH＝________AB，若AD＝4，AB＝2，则点D到平面PAC的距离为________．
12 455 [平面PBC∥平面EFH，平面APB∩平面PBC＝PB，平面PBA∩平面EFH＝EH, ∴EH∥PB.
又∵E是线段PA的中点，H在线段AB上，
∴H是AB的中点．故AH＝12AB.
过D作DM⊥AC于M，∵侧棱PA⊥底面ABCD，∴PA⊥DM，且PA∩AC＝A，∴DM⊥平面PAC，
∴线段DM的长就是点D到平面PAC的距离．
在Rt△ACD中，AC·DM＝DA·DC，
∴DM＝DA·DCAC＝4×225＝455.]
三、解答题
10.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明．
[解] 直线l∥平面PAC，证明如下：
因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC.
又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
而EF⊂平面BEF，
且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l.
因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，
所以l∥平面PAC.
11．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，AB⊥AD，AB＝3，CD＝2，PD＝AD＝5，E是PD上的一点．
(1)若PB∥平面ACE，求PEED的值；
(2)若E是PD的中点，过点E作平面α∥平面PBC，平面α与棱PA交于点F，求三棱锥P-CEF的体积．
[解] (1)连接BD交AC于点O，在△PBD中，过点O作OE∥PB交PD于点E(图略)，
因为OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，
所以PB∥平面ACE，因为AB＝3，CD＝2，
所以ABCD＝BODO＝PEED＝32，所以PEED的值为32.
(2)过点E作EM∥PC交CD于点M，过点M作MN∥BC交AB于点N，连接EN(图略)，则平面EMN即平面α，则平面α与平面PAB的交线与PB平行，
过点N作NF∥PB交PA于点F，
因为E是PD的中点，CD＝2，
所以CM＝1，则BN＝CM＝1，
又AB＝3，所以ANNB＝2，则FAFP＝2，
因为PD＝AD＝5，所以F到平面PCD的距离为53，
则VP-CEF＝VF-PCE＝13×12×52×2×53＝2518.
12．(多选)下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是( )
A B
C D
图1
图2
AD [对于A，如图1所示，根据正方体性质易证得AB∥FN，又因为FN⊂平面MNP，AB⊄平面MNP，所以AB∥平面MNP，故A正确；
对于B，如图2所示，连接BC交MP于点D，连接DN，由于N是AC的中点，D不是BC的中点，所以AB与平面MNP相交，故B错误；
图3
对于C，如图3所示，易证AB∥QM，由于QM与平面MNP相交，则AB与平面MNP相交，故C错误；
对于D，如图4所示，由正方体性质易证得AB∥CD，由中位线定理知MP∥CD，所以AB∥MP，又因为MP⊂平面MNP，AB⊄平面MNP，所以AB∥平面MNP，故D正确. 故选AD.
]
图4
13．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为P3A，P2D，P4C，P4B的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：①平面EFGH∥平面ABCD；②PA∥平面BDG；③EF∥平面PBC；④FH∥平面BDG；⑤EF∥平面BDG.
其中正确结论的序号是________．
①②③④ [先把平面展开图还原为一个四棱锥，如图所示．
①∵E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，
∴EF∥AD，GH∥BC.
∵AD∥BC，∴EF∥GH，
∴EF，GH确定平面EFGH.
∵EF⊂平面EFGH，AD⊄平面EFGH，
∴AD∥平面EFGH.
同理AB∥平面EFGH，AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，
∴平面EFGH∥平面ABCD，∴①正确；
②连接AC，BD交于O点，
则O为AC的中点，连接OG，∵G为PC的中点，
∴OG∥PA，OG⊂平面BDG，
PA⊄平面BDG，∴PA∥平面BDG，∴②正确；
③同②同理可证EF∥平面PBC，∴③正确；
④同②同理可证FH∥平面BDG，∴④正确；
⑤EF∥GH，GH与平面BDG相交，
∴EF与平面BDG相交，∴⑤不正确．]
14．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.
Q为CC1的中点 [如图所示，设Q为CC1的中点，
因为P为DD1的中点，所以QB∥PA.
连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，
又D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，PO⊂平面PAO，PA⊂平面PAO，
所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO.
又D1B∩QB＝B，D1B，QB⊂平面D1BQ，
所以平面D1BQ∥平面PAO.
故Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.]
15.如图，四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．
(1)求证：CE∥平面PAD；
(2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．
[解] (1)证明：如图，取PA的中点H，连接EH，DH，
因为E为PB的中点，
所以EH∥AB，EH＝12AB，
又AB∥CD，CD＝12AB，
所以EH∥CD，EH＝CD，
因此四边形DCEH为平行四边形，
所以CE∥DH，又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，
因此CE∥平面PAD.
(2)存在点F为AB的中点，使平面PAD∥平面CEF，
证明如下：
取AB的中点F，连接CF，EF，
则AF＝12AB，因为CD＝12AB，所以AF＝CD，
又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形，
因此CF∥AD.
又AD⊂平面PAD，CF⊄平面PAD，
所以CF∥平面PAD.
由(1)可知CE∥平面PAD，
又CE∩CF＝C，
故平面CEF∥平面PAD，
故存在AB的中点F满足要求．
文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l∥a,a⊂α,l⊄α))
⇒l∥α
性质
定理
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l∥α,l⊂β,α∩β＝b))
⇒l∥b
文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥β,b∥β,a∩b＝P,a⊂α,b⊂α))
⇒α∥β
性质
定理
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))
⇒a∥b
读
想
算
思
四边形ABCD是平行四边形，E，F分别为AB，PD的中点
线面平行的证明方法
线线平行
取PC的中点M，证明AF∥EM
转化、化归
面面平行
取CD的中点G，证明平面AFG∥平面PCE