高考数学一轮复习第8章第2课时两条直线的位置关系学案

这是一份高考数学一轮复习第8章第2课时两条直线的位置关系学案，共18页。

1．能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
2．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
3．掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
1．两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如下表：
2．两条直线的交点坐标
已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则交点P的坐标是方程组A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0 的解．
3．三种距离公式
(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝x2-x12+y2-y12．
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝x2+y2．
(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝Ax0+By0+CA2+B2．
(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝C1-C2A2+B2．
[常用结论]
1．三种直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
2．四种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)，点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
(2)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于y＝x＋b的对称点为(y－b，x＋b)，关于y＝－x＋b的对称点为(b－y，b－x)．

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( )
(2)如果两条直线l1与l2垂直，那么它们的斜率之积一定等于－1．( )
(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( )
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
二、教材习题衍生
1．(人教A版选择性必修第一册P77练习T3改编)已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )
A．2 B．2－2
C．2－1 D．2＋1
C [由题意得a-2+32＝1，即|a＋1|＝2，
又a>0，∴a＝2－1.]
2．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2T8改编)已知直线l经过点(1，－1)，且与直线2x－y－5＝0垂直，则直线l的方程为( )
A．2x＋y－1＝0 B．x－2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0 D．2x－y－3＝0
C [∵直线l与直线2x－y－5＝0垂直，
∴设直线l的方程为x＋2y＋c＝0，
∵直线l经过点(1，－1)，
∴1－2＋c＝0，即c＝1.
∴直线l的方程为x＋2y＋1＝0.]
3．(人教A版选择性必修第一册P79习题2.3 T9改编)若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．
－9 [由y=2x，x+y=3，得x=1，y=2.
所以点(1，2)满足方程mx＋2y＋5＝0，
即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9.]
4．(人教A版选择性必修第一册P79练习T2改编)已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．
2 [由两直线平行可知36＝4m≠－314(m≠0)，即m＝8.
∴两直线方程分别为3x＋4y－3＝0和3x＋4y＋7＝0，则它们之间的距离d＝7+39+16＝2.]
考点一 两条直线位置关系的判断及应用
[典例1] (1)若直线l1：(a－1)x＋y－1＝0和直线l2：3x＋ay＋2＝0垂直，则实数a的值为( )
A．12 B．32
C．14 D．34
(2)(2022·山东济南二模)“a＝3”是“直线ax＋y－3＝0与3x＋a-2y＋4＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
(3)已知三条直线l1：2x－3y＋1＝0，l2：4x＋3y＋5＝0，l3：mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为( )
A．-43，23 B．43，-23
C．-43，23，43 D．-43，-23，23
(1)D (2)A (3)D [(1)由已知得3(a－1)＋a＝0，解得a＝34，故选D.
(2)充分性：当a＝3时，直线ax＋y－3＝0与3x＋a-2y＋4＝0即为3x＋y－3＝0与3x＋y＋4＝0，所以两直线平行．故充分性满足；
必要性：直线ax＋y－3＝0与3x＋a-2y＋4＝0平行，则有aa-2－3＝0，解得a＝3或a＝－1.
当a＝3时，直线ax＋y－3＝0与3x＋a-2y＋4＝0即为3x＋y－3＝0与3x＋y＋4＝0，所以两直线平行，不重合；
当a＝－1时，直线ax＋y－3＝0与3x＋a-2y＋4＝0即为－x＋y－3＝0与3x－3y＋4＝0，所以两直线平行，不重合；
所以a＝3或a＝－1.故必要性不满足．
故“a＝3”是“直线ax＋y－3＝0与3x＋a-2y＋4＝0平行”的充分不必要条件．故选A.
(3)∵三条直线不能构成一个三角形，
∴①当l1∥l3时，m＝23；
②当l2∥l3时，m＝－43；
③当l1，l2，l3交于一点时，也不能构成一个三角形，
由2x-3y+1=0，4x+3y+5=0，得交点为-1，-13，代入mx－y－1＝0，得m＝－23.故选D.]
解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”
[跟进训练]
1．(1)(多选)(2023·辽宁师大附中模拟)已知直线l1：x－y－1＝0，动直线l2：k+1x＋ky＋k＝0k∈R，则下列结论正确的是( )
A．存在k，使得l2的倾斜角为90°
B．对任意的k，l1与l2都有公共点
C．对任意的k，l1与l2都不重合
D．对任意的k，l1与l2都不垂直
(2)已知过点A(－2，m)和点B(m，4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3，若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为________．
(1)ABD (2)－10 [(1)对于A，当k＝0时，直线l2：x＝0，此时直线l2的倾斜角为90°，故选项A正确；对于B，直线l1与l2均过点0，-1，所以对任意的k，l1与l2都有公共点，故选项B正确；对于C，当k＝－12时，直线l2为12x－12y－12＝0，即x－y－1＝0与l1重合，故选项C错误；对于D，直线l1的斜率为1，若l2的斜率存在，则斜率为－k+1k≠－1，所以l1与l2不可能垂直，所以对任意的k，l1与l2都不垂直，故选项D正确．故选ABD.
(2)因为l1∥l2，所以4-mm+2＝－2(m≠－2)，解得m＝－8(经检验，l1与l2不重合)．因为l2⊥l3，所以2×1＋1×n＝0，即n＝－2.所以m＋n＝－10.]
考点二 两条直线的交点与距离问题
[典例2] (1)(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为( )
A．1 B．2
C．3 D．2
(2)(链接常用结论1)经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为________．
(3)(易错题)直线l过点P(－1，2)且到点A(2，3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为________．
(1)B (2)5x＋3y－1＝0 (3)x＋3y－5＝0或x＝－1 [(1)法一：由点到直线的距离公式知点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝k·0+-1·-1+kk2+1＝k+1k2+1＝k2+2k+1k2+1＝1+2kk2+1.当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝1+2kk2+1＝1+2k+1k，要使d最大，需k＞0且k＋1k最小，∴当k＝1时，dmax＝2，故选B.
法二：记点A(0，－1)，直线y＝k(x＋1)恒过点B(－1，0)，当AB垂直于直线y＝k(x＋1)时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，且最大值为|AB|＝2，故选B.
(2)法一：先解方程组3x+2y-1=0，5x+2y+1=0，得l1，l2的交点坐标为(－1，2)，设垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为5x＋3y＋c＝0，于是－5＋6＋c＝0，解得c＝－1，即直线l的方程为5x＋3y－1＝0.
法二：设经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点的直线系方程为3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0，即(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋λ－1＝0，由其垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0，得3(3＋5λ)－5(2＋2λ)＝0，得λ＝15，即直线l的方程为5x＋3y－1＝0.
(3)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
由题意知2k-3+k+2k2+1＝-4k-5+k+2k2+1，
即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－13，∴直线l的方程为y－2＝－13(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．即直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.]
1．求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程．
2．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件
(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．
[跟进训练]
2．(1)(2022·山东济南二模)过x＋y＝2与x－y＝0的交点，且平行于向量v＝(3，2)的直线方程为( )
A．3x－2y－1＝0 B．3x＋2y－5＝0
C．2x－3y＋1＝0 D．2x－3y－1＝0
(2) l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．
(1)C (2)x＋2y－3＝0 [(1)由x-y=0，x+y=2，解得x=1，y=1，所以交点坐标为1，1，又因为直线平行于向量v＝(3，2)，所以所求直线方程为y－1＝23x-1，即2x－3y＋1＝0.故选C.
(2)当AB⊥l1，且AB⊥l2时，l1与l2间的距离最大．
又kAB＝-1-10-1＝2，
所以直线l1的斜率k＝－12，
则l1的方程是y－1＝－12 (x－1)，即x＋2y－3＝0.]
考点三 对称问题
中心对称问题
[典例3] 过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________．
x＋4y－4＝0 [设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.]
轴对称问题
[典例4] (1)已知直线y＝2x是△ABC中角C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C的坐标为( )
A．(－2，4) B．(－2，－4)
C．(2，4) D．(2，－4)
(2)已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为________．
(1)C (2)6x－y－6＝0 [(1)设A(－4，2)关于直线y＝2x的对称点为A′(x，y)，则y-2x+4×2=-1，y+22=2×-4+x2，
解得x=4，y=-2，∴A′(4，－2)，由题意知，A′在直线BC上，∴BC所在直线方程为y－1＝-2-14-3(x－3)，即3x＋y－10＝0.联立3x+y-10=0，y=2x，解得x=2，y=4，则C(2，4)．
(2)设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，
所以b-4a--3·1=-1，-3+a2-b+42+3=0，解得a=1，b=0.
即M ′(1，0)．
又反射光线经过点N(2，6)，
所以所求直线的方程为y-06-0＝x-12-1，
即6x－y－6＝0.]
对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．
(2)中心对称可以利用中点坐标公式，两点轴对称问题利用垂直和中点两个条件列方程(组)解题．
[跟进训练]
3．(1)如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是( )
A．33 B．6 C．210 D．25
(2)若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________．
(1)C (2)345 [(1)直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2，0)关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线经过的路程为|CD|＝62+22＝210.故选C.
(2)由题意可知纸的折痕应是点(0，2)与点(4，0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7，3)与点(m，n)连线的中垂线，于是3+n2=2×7+m2-3，n-3m-7=-12，
解得m=35，n=315，故m＋n＝345.]
课时分层作业(四十六) 两条直线的位置关系
一、选择题
1．如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则直线l2的斜率为( )
A．1a B．a
C．－1a D．－1a或不存在
D [设直线l1，l2的斜率分别是k1，k2，
当a≠0时，由l1⊥l2得k1·k2＝a·k2＝－1，∴k2＝－1a；
当a＝0时，l1与x轴平行或重合，则l2与y轴平行或重合，∴直线l2的斜率不存在．故直线l2的斜率为－1a或不存在．故选D.]
2．(2022·山东淄博三模)已知条件p：直线x＋2y－1＝0与直线a2x＋a+1y－1＝0平行，条件q：a＝1，则p是q的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
D [当直线x＋2y－1＝0与直线a2x＋a+1y－1＝0平行时， a21＝a+12≠1，解得a＝－12.
当a＝1时，直线x＋2y－1＝0与直线a2x＋a+1y－1＝0重合，所以p是q的既不充分也不必要条件．故选D.]
3．当点P3，2到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，m的值为( )
A．2 B．0
C．－1 D．1
C [直线mx－y＋1－2m＝0过定点Q(2，1)，
所以点P3，2到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，PQ垂直该直线，即m×2-13-2＝－1，∴m＝－1，故选C.]
4．已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2，0)，B(－2，－4)，若直线l上存在点P，使得|PA|＋|PB|最小，则点P的坐标为( )
A．(－2，－3) B．(－2，3)
C．(2，3) D．(－2，2)
B [根据题意画出大致图象，如图．
设点A关于直线x－2y＋8＝0的对称点为A1(m，n)，
则有n-0m-2×12=-1， m+22-2×n+02+8=0，
解得m=-2，n=8. 故A1(－2，8)．
此时直线A1B的方程为x＝－2.所以当点P是直线A1B与直线x－2y＋8＝0的交点时，|PA|＋|PB|最小，将x＝－2代入x－2y＋8＝0，得y＝3，故点P的坐标为(－2，3)．故选B.]
5．(多选)(2023·河北沧州模拟)下列结论中正确的是( )
A．过点-1，2且与直线2x－y＋1＝0平行的直线的方程为2x－y＋4＝0
B．过点-1，2且与直线2x－y＋1＝0垂直的直线的方程为x＋2y－3＝0
C．若直线l1：ax＋3y＋4＝0与直线l2：x＋a-2y＋a2－5＝0平行，则a的值为－1或3
D．过点M-3，2，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为x＋y＋1＝0
AB [对于A，直线2x－y＋1＝0的斜率为2，则过点-1，2且与直线2x－y＋1＝0平行的直线的方程为y－2＝2x+1，即2x－y＋4＝0，A正确；
对于B，直线2x－y＋1＝0的斜率为2，则过点-1，2且与直线2x－y＋1＝0垂直的直线的方程为y－2＝－12x+1，即x＋2y－3＝0，B正确；
对于C，直线l1：ax＋3y＋4＝0的斜率为－a3，因直线l1与直线l2平行，则直线l2的斜率存在，且－1a-2＝－a3，解得a＝－1或3.当a＝－1时，两直线重合，当a＝3，两直线平行，C错误；
对于D，因过点M-3，2，且在两坐标轴上的截距相等，则当截距都为0时，直线方程为y＝－23x，截距不为0时，直线方程为x＋y＋1＝0，D错误．故选AB.]
6．(多选)已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为( )
A．2x＋3y－8＝0 B．4x＋6y＋5＝0
C．6x＋9y－10＝0 D．12x＋18y－13＝0
BD [设直线l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，直线l到直线l1和l2的距离分别为d1，d2，由题知：d1＝m+216+36，d2＝m+916+36，因为d1d2＝12，所以2m+216+36＝m+916+36，即2|m＋2|＝|m＋9|，解得m＝5或m＝－133，即直线l为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.]
二、填空题
7．已知两直线a1x＋b1y－1＝0和a2x＋b2y－1＝0的交点为P(2，3)，则过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)(a1≠a2)的直线方程为________．
2x＋3y－1＝0 [∵P(2，3)在已知的两条直线上，∴2a1+3b1=1，2a2+3b2=1.
∴点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)是直线2x＋3y＝1上的两个点，故过Q1，Q2两点的直线方程为2x＋3y＝1.]
8．已知点P(m，n)是直线2x＋y＋5＝0上的任意一点，则 m-12+n+22的最小值为________．
5 [因为点P(m，n)是直线2x＋y＋5＝0上的任意一点，所以m-12+n+22的最小值为点(1，－2)到直线2x＋y＋5＝0的距离，即最小值为d＝2-2+522+12＝5，所以m-12+n+22的最小值为5.]
9．若直线l1：x＋my＋6＝0与l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0互相平行，则m的值为________，它们之间的距离为________．
－1 823 [由题知，1×3＝m(m－2)且1×2m≠6(m－2)，解得m＝－1，则l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋23＝0，则两平行线间的距离为d＝6-232＝823.]
三、解答题
10．已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线的方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．
[解] 依题意知kAC＝－2，A(5，1)，所以直线AC的方程为2x＋y－11＝0，联立直线AC和直线CM的方程，得2x+y-11=0，2x-y-5=0，所以C(4，3)．设B(x0，y0)，AB的中点M为x0+52，y0+12，代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，所以2x0-y0-1=0，x0-2y0-5=0，所以B(－1，－3)，所以kBC＝65，所以直线BC的方程为y－3＝65(x－4)，即6x－5y－9＝0.
11．一条光线经过点P(2，3)射在直线l：x＋y＋1＝0上，反射后经过点Q(1，1)，求：
(1)入射光线所在直线的方程；
(2)这条光线从P到Q所经过的路线的长度．
[解] (1)设点Q′(x′，y′)为点Q关于直线l的对称点，QQ′交l于点M，∵kl＝－1，∴kQQ′＝1，∴QQ′所在直线的方程为y－1＝1×(x－1)，即x－y＝0.
由x+y+1=0，x-y=0， 解得x=-12，y=-12，
∴交点M-12，-12，∴1+x'2=-12，1+y'2=-12，
解得x'=-2，y'=-2， ∴Q′(－2，－2)．
设入射光线与l交于点N，则P，N，Q′三点共线，
又P(2，3)，Q′(－2，－2)，
∴入射光线所在直线的方程为y--23--2＝x--22--2，
即5x－4y＋2＝0.
(2)|PN|＋|NQ|＝|PN|＋|NQ′|＝|PQ′|
＝2--22+3--22＝41，
即这条光线从P到Q所经路线的长度为41.
12．(多选)(2023·重庆模拟)若过点A(1，0)，B(2，0)，C(4，0)，D(8，0)作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积可能等于( )
A．1617 B．365
C．265 D．19653
ABD [当过点A和点C的直线平行，过点B和点D的直线平行时，且两组平行线互相垂直，故设过点A和点C的直线为l1：y＝kx-1和l2：y＝kx-4，则过点B和点D的直线为l3：y＝－1kx-2和l4：y＝－1kx-8，
其中l1和l2的距离与l3和l4的距离相等，即3k1+k2＝6k1+1k2 ，解得k＝±2，故正方形的边长为3k1+k2＝655，该正方形的面积为6552＝365.
当过点A和点B的直线平行，过点C和点D的直线平行时，且两组平行线互相垂直，故设过点A和点B的直线为m1：y＝nx-1和m2：y＝nx-2，则过点C和点D的直线为m3：y＝－1n·x-4和m4：y＝－1nx-8，其中m1和m2的距离与m3和m4的距离相等，即n1+n2＝4n1+1n2，解得n＝±4，故正方形的边长为n1+n2＝41717，该正方形的面积为417172＝1617.
当过点A和点D的直线平行，过点B和点C的直线平行时，且两组平行线互相垂直，故设过点A和点D的直线为e1：y＝sx-1和e2：y＝sx-8，则过点B和点C的直线为e3：y＝－1sx-2和e4：y＝－1sx-4，其中e1和e2的距离与e3和e4的距离相等，即7s1+s2＝2s1+1s2，解得s＝±27，故正方形的边长为7s1+s2＝145353，该正方形的面积为1453532＝19653.故选ABD.]
13．(2022·山东济宁二模)已知直线l1：kx＋y＝0过定点A，直线l2：x－ky＋22＋2k＝0过定点B，l1与l2的交点为C，则AC+BC的最大值为________．
26 [由l1：kx＋y＝0，则l1过定点A(0，0)，
由l2：x＋22＋k(2－y)＝0，
则l2过定点B(－22，2)，
显然k×1＋1×(－k)＝0，即l1、l2相互垂直，而l1与l2的交点为C，所以AC2＋BC2＝AB2＝12.
所以AC+BC＝AC+BC2
＝AC2+BC2+2ACBC≤2AC2+BC2
＝26.当且仅当|AC|＝|BC|时，等号成立．]
14．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，角A的平分线所在直线的方程为y＝0.若点B的坐标为(1，2)，求：
(1)点A和点C的坐标；
(2)△ABC的面积．
[解] (1)由方程组x-2y+1=0，y=0，
解得点A(－1，0)．
又直线AB的斜率为kAB＝1，
且x轴是角A的平分线，
故直线AC的斜率为－1，所以AC所在的直线方程为y＝－(x＋1)．
已知BC边上的高所在的直线方程为x－2y＋1＝0，
故直线BC的斜率为－2，故BC所在的直线方程为y－2＝－2(x－1)．
解方程组y=-x+1， y-2=-2x-1，得点C的坐标为(5，－6)．
(2)因为B(1，2)，C(5，－6)，所以|BC|＝1-52+2--62＝45，点A(－1，0)到直线BC：y－2＝－2(x－1)的距离为d＝2×-1-45＝65，所以△ABC的面积为12×45×65＝12.
位置关系
l1，l2满足的条件
l3，l4满足的条件
平行
k1＝k2且b1≠b2
A1B2－A2B1＝0且
A1C2－A2C1≠0
垂直
k1·k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
相交
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0