高考数学一轮复习第8章第4课时直线与圆、圆与圆的位置关系学案

这是一份高考数学一轮复习第8章第4课时直线与圆、圆与圆的位置关系学案，共26页。

1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
1．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判断
2．圆与圆的位置关系
若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
[常用结论]
1．直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半12l满足关系式r2＝d2＋12l2.
2．两圆相交时公共弦所在直线的方程
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②
若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.
3．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2．
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2．
4．两个圆系方程
(1)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)．
(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)．

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，那么两圆相交．( )
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )
(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
二、教材习题衍生
1．(人教A版选择性必修第一册P93练习T1改编)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为( )
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
B [圆心为(0，0)，到直线y＝x＋1，即x－y＋1＝0的距离d＝12＝22，而0<22<1，但是圆心不在直线y＝x＋1上，所以直线与圆相交，但直线不过圆心．]
2．(人教A版选择性必修第一册P96例5改编)两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是( )
A．相交 B．内切
C．外切 D．内含
B [两圆方程可化为x2＋(y－1)2＝1，x2＋y2＝4.两圆圆心分别为O1(0，1)，O2(0，0)，半径分别为r1＝1，r2＝2.因为|O1O2|＝1＝r2－r1，所以两圆内切．]
3．(人教A版选择性必修第一册P98习题2.5T9改编)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ax＋4ay－9＝0相交，且公共弦长为22，则a＝________．
±104 [圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ax＋4ay－9＝0的方程相减即为公共弦所在直线方程：2ax＋4ay－5＝0，
圆x2＋y2＝4的圆心(0，0)到公共弦距离d＝54a2+16a2＝52a2，则公共弦长度为22＝24-d2，解得a＝±104.]
4．(人教A版选择性必修第一册P92例2改编)过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为______________．
5x－12y＋45＝0或x－3＝0 [化圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心O为(1，2)，半径为2，
因为|OA|＝3-12+5-22＝13>2，所以点A(3，5)在圆外．显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0；当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1，2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝3-2kk2+1＝2，
即|3－2k|＝2k2+1，所以k＝512，此时直线方程为5x－12y＋45＝0.
故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.]
考点一 直线与圆的位置关系
[典例1] (1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
(2)圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(1)A (2)C [(1)法一(代数法)：
由mx-y+1-m=0，x2+y-12=5，
消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，
因为Δ＝16m2＋20>0，所以直线l与圆相交．
法二(几何法)：因为圆心(0，1)到直线l的距离d＝mm2+1<1<5，所以直线l与圆相交．
法三(点与圆的位置关系法)：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1，1)，因为点(1，1)在圆C：x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆C相交．
(2)如图所示，因为圆心(3，3)到直线3x＋4y－11＝0的距离为9+12-115＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，故圆上到直线的距离为1的点有3个．]
1．判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
2．圆上的点到直线距离为定值的动点个数问题多借助图形，转化为点到直线的距离求解．
如图①，若圆上恰有一点到直线的距离为t，则需满足d＝r＋t.
如图②，若圆上恰有三点到直线的距离为t，则需满足d＝r－t.
图① 图②
由图①②可知，若圆上恰有两个点到直线的距离为t，则需满足r－t＜d＜r＋t.
若圆上恰有四点到直线的距离为t，则需满足d＜r－t.
[跟进训练]
1．(1) (多选)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是( )
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆：(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________．
(1)ABD (2)13，32 [(1)对于A，∵点A在圆C上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝r2a2+b2＝r，∴直线l与圆C相切，A正确．
对于B，∵点A在圆C内，∴a2＋b2＜r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝r2a2+b2＞r，∴直线l与圆C相离，B正确．
对于C，∵点A在圆C外，∴a2＋b2＞r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝r2a2+b2＜r，∴直线l与圆C相交，C错误．
对于D，∵点A在直线l上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝r2a2+b2＝r，∴直线l与圆C相切，D正确．
故选ABD.
(2)因为kAB＝a-32，所以直线AB关于y＝a的对称直线为(3－a)x－2y＋2a＝0，所以3a-3+4+2a4+3-a2≤1，整理可得6a2－11a＋3≤0，解得13≤a≤32.]
考点二 圆与圆的位置关系
[典例2] 已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？
(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
[解] 两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，
(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为M(1，3)，N(5，6)，
半径分别为11和61-m.
(1)当两圆外切时，
5-12+6-32＝11+61-m.
解得m＝25＋1011.
(2)法一(作差法)：由x2+y2-2x-6y-1=0， x2+y2-10x-12y+m=0，
两式相减得8x＋6y－1－m＝0.
又两圆相内切，
所以61-m-11＝5，
所以m＝25－1011.
所以所求公切线方程为4x＋3y＋511－13＝0.
法二(直接法)：当两圆内切时，两圆圆心间距离等于两圆半径之差的绝对值．
故有61-m-11＝5，
解得m＝25－1011.
因为kMN＝6-35-1＝34，
所以两圆公切线的斜率是－43.
设切线方程为y＝－43x＋b，
则有43×1+3-b432+1＝11.
解得b＝133±5311.
容易验证，当b＝133+5311时，直线与圆x2＋y2－10x－12y＋m＝0相交，舍去．
故所求公切线方程为y＝－43x＋133-5311，
即4x＋3y＋511－13＝0.
(3)两圆的公共弦所在直线的方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.
由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，求得公共弦的长为2×112-4+3×3-2342+322＝27.
1.判断两圆位置关系的方法
常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法．
2．两圆公共弦长的求法
先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长l2，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解．
[跟进训练]
2．(1)(2023·河北石家庄模拟)已知圆C：x2＋y2＋2ay＝0a>0截直线3x－y＝0所得的弦长为23，则圆C与圆C′：x-12＋y+12＝1的位置关系是( )
A．相离 B．外切
C．相交 D．内切
(2)已知点A(0，2)，O(0，0)，若圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1上存在点M，使MA·MO＝3，则圆心C的横坐标a的取值范围为________．
(1)C (2)[0，3] [(1)圆C的圆心为0，-a，半径为a，其圆心到直线3x－y＝0的距离为a3+1＝a2，
所截得的弦长为2a2-a22＝3a＝23，解得a＝2.
所以C：x2＋y+22＝4，C的圆心为0，-2，半径为2.
又C′的圆心为1，-1，半径为1，
CC'＝0-12+-2+12＝2，
故可得2－1则两圆的位置关系是相交．故选C .
(2)设M(x，y)，因为A(0，2)，O(0，0)，
所以MA＝(－x，2－y)，MO＝(－x，－y)．
因为MA·MO＝3，
所以(－x)(－x)＋(2－y)(－y)＝3，
化简得x2＋(y－1)2＝4，
所以M点的轨迹是以(0，1)为圆心，2为半径的圆．
因为M在C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1上，
所以两圆必须相交或相切．
所以1≤a-02+a-2-12≤3，
解得0≤a≤3.
所以圆心C的横坐标a的取值范围为[0，3].]
考点三 圆的切线、弦长问题
切线问题
[典例3] 已知点P(2＋1，2－2)，点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
[解] 由题意得圆心C(1，2)，半径r＝2.
(1)∵(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，
∴点P在圆C上．
又kPC＝2-2-22+1-1＝－1，
∴切线的斜率k＝－1kPC＝1.
∴过点P的圆C的切线方程是
y－(2－2)＝x－(2＋1)，即x－y＋1－22＝0.
(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，
∴点M在圆C外部．
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，
即x－3＝0.
又点C(1，2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，所以直线x＝3是圆C的切线．
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0，
则圆心C到切线的距离d＝k-2+1-3kk2+1＝r＝2，解得k＝34.
∴切线方程为y－1＝34(x－3)，
即3x－4y－5＝0.
综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.
∵|MC|＝3-12+1-22＝5，
∴过点M的圆C的切线长为MC2-r2＝5-4＝1.
弦长问题
[典例4] (1)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0，3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝23，则直线l的方程为( )
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x＋4y－12＝0或x＝0
C.4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
(2)已知直线l：mx＋y＋3m－3＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝23，则|CD|＝________．
(1)B (2)4 [(1)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，联立方程得
x=0， x2+y2-2x-2y-2=0，得x=0， y=1-3或x=0， y=1+3，
∴|AB|＝23，符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，∵圆x2＋y2－2x－2y－2＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为C(1，1)，圆的半径r＝2，圆心C(1，1)到直线y＝kx＋3的距离d＝k-1+3k2+1＝k+2k2+1，∵d2＋AB22＝r2，
∴k+22k2+1＋3＝4，解得k＝－34，∴直线l的方程为y＝－34x＋3，即3x＋4y－12＝0.综上，直线l的方程为3x＋4y－12＝0或x＝0.故选B.
(2)由直线l：mx＋y＋3m－3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O到直线l的距离为d＝3m-3m2+1.
由|AB|＝23得3m-3m2+12＋(3)2＝12，解得m＝－33.又直线l的斜率为－m＝33，所以直线l的倾斜角α＝π6.
画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝π6.在Rt△CDE中，可得|CD|＝ABcsα＝23×23＝4.]
求圆的切线、弦长时需注意的问题
(1)过圆上一点有且只有一条切线，过圆外一点，一定有两条切线．(2)对于已知弦长求直线方程的问题，若弦是直径有且只有一条，否则一定有两条；两种情况常因漏掉直线斜率不存在的情形致误．
[跟进训练]
3．(1)由直线y＝x＋1上的动点P向圆C：(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为( )
A．1 B．22
C．7 D．3
(2)已知在圆x2＋y2－4x＋2y＝0内，过点E(1，0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )
A．35 B．65
C．415 D．215
(1)C (2)D [(1)如图，切线长|PM|＝PC2-1，显然当|PC|为C到直线y＝x＋1的距离即3+12＝22时，|PM|最小为7，故选C.
(2)将圆的方程化为标准方程得(x－2)2＋(y＋1)2＝5，圆心坐标为F(2，－1)，半径r＝5，如图，显然过点E的最长弦为过点E的直径，即|AC|＝25，而过点E的最短弦为垂直于EF的弦，|EF|＝2-12+-1-02＝2，|BD|＝2r2-EF2＝23，
∴S四边形ABCD＝12|AC|×|BD|＝215.]
考点四 与圆有关的综合问题
[典例5] 已知圆O：x2＋y2＝2，直线l：y＝kx－2.
(1)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB为锐角时，求k的取值范围；
(2)若k＝12，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点为C，D，探究：直线CD是否过定点．
[解] (1)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
将直线l：y＝kx－2代入x2＋y2＝2，
整理得(1＋k2)x2－4kx＋2＝0，
∴x1＋x2＝4k1+k2，x1x2＝21+k2，
Δ＝(－4k)2－8(1＋k2)＞0，即k2＞1，
当∠AOB为锐角时，
OA·OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx2－2)
＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4＝6-2k21+k2＞0，解得k2＜3，又k2＞1，∴－3＜k＜－1或1＜k＜3.
故k的取值范围为(－3，－1)∪(1，3)．
(2)由题意知O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上．设Pt，12t-2，以OP为直径的圆的方程为x(x－t)＋yy-12t+2＝0，
∴x2－tx＋y2－12t-2y＝0.
又C，D在圆O：x2＋y2＝2上，
两圆作差得lCD：tx＋12t-2y－2＝0，
即x+y2t－2y－2＝0，
由x+y2=0，2y+2=0，得x=12，y=-1，
∴直线CD过定点12，-1.
立足直线与圆的位置关系，将几何问题代数化是求解本类题目的关键．同时，在坐标运算中，借助圆的几何性质，可以大大提高运算速度．
[跟进训练]
4．已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．
(1)求圆C的方程；
(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
[解] (1)设圆心C(a，0)a>-52，则4a+105＝2⇒a＝0或a＝－5(舍)，所以圆C的方程为x2＋y2＝4.
(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由x2+y2=4，y=kx-1， 得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，
所以x1＋x2＝2k2k2+1，x1x2＝k2-4k2+1.
若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN⇒y1x1-t+y2x2-t＝0⇒kx1-1x1-t+kx2-1x2-t＝0⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0⇒2k2-4k2+1-2k2t+1k2+1＋2t＝0⇒t＝4.所以当点N为(4，0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．
综上，存在定点N(4，0)满足题意．
课时分层作业(四十八) 直线与圆、圆与圆的位置关系
一、选择题
1．直线kx＋y－2－3k＝0与圆x2＋y2－4x－5＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．相交或相切
C [∵kx＋y－2－3k＝0，∴k(x－3)＋y－2＝0，
∴直线过定点(3，2)，又32＋22－4×3－5＝－4<0，
∴定点在圆内， ∴直线与圆相交，故选C.]
2．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )
A．21 B．19
C．9 D．－11
C [圆C1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1.因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3，4)，半径r2＝25-m(m＜25)，从而|C1C2|＝32+42＝5.由两圆外切，得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋25-m＝5，解得m＝9，故选C.]
3．(2021·北京高考)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，若当k的值发生变化时，直线被圆C所截的弦长的最小值为2，则m的取值为( )
A．±2 B．±2
C．±3 D．±3
C [因为直线l截得圆C弦长的最小值为2，所以圆心C(0，0)到直线l的最大距离dmax＝22-12 ×22＝3，由题意知直线l的方程为kx－y＋m＝0，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝mk2+1，当k＝0时，d取得最大值，为|m|＝3，解得m＝±3，故选C.]
4．若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是( )
A．(2＋1，＋∞) B．(2－1，2＋1)
C．(0，2－1) D．(0，2＋1)
A [
计算得圆心到直线l的距离为22＝2＞1，如图，直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离2＋1.]
5．(多选)(2023·辽宁鞍山一中模拟)圆C：x2＋y2＋4x－6y－3＝0，直线l：3x－4y－7＝0，点P在圆C上，点Q在直线l上，则下列结论正确的是( )
A．直线l与圆C相交
B．若点P到直线l的距离为3，则点P有2个
C．PQ的最小值是1
D．从Q点向圆C引切线，切线长的最小值是2
BC [圆C：x+22＋y-32＝16，圆心C(－2，3)，半径r＝4，圆心到直线的距离d＝3×-2-4×3-732+-42＝5>4，故直线l与圆C相离，A错误；PQ的最小值是5－4＝1，最大值是5＋4＝9，故点P到直线l的距离为3时，点P有2个，B正确，C正确；
从Q点向圆C引切线QT，QT＝QC2-r2＝QC2-16，QC最小时，QT即最小，|QC|的最小值为圆心到直线的距离，此时QTm＝52-16＝3，D错误．故选BC.]
6．(多选)(2022·山东潍坊二模)已知圆C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11与圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，则下列说法正确的是( )
A．若圆C2与x轴相切，则m＝2
B．若m＝－3，则圆C1与圆C2相离
C．若圆C1与圆C2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为4x＋(6－2m)y＋m2＋2＝0
D．直线kx－y－2k＋1＝0与圆C1始终有两个交点
BD [因为C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11，C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，
所以若圆C2与x轴相切，则有|m|＝2，故A错误；
当m＝－3时，|C1C2|＝1+12+3+32＝210>2＋11，两圆相离，故B正确；
由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程4x＋(6－2m)y＋m2－2＝0，故C错误；
直线kx－y－2k＋1＝0过定点(2，1)，而(2－1)2＋(1－3)2＝5<11，故点(2，1)在圆C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11的内部，所以直线kx－y－2k＋1＝0与圆C1始终有两个交点，故D正确．
故选BD.]
二、填空题
7．(2022·天津高考)若直线x－y＋m＝0m>0与圆x-12＋y-12＝3相交所得的弦长为m，则m＝________．
2 [圆x-12＋y-12＝3的圆心坐标为1，1，半径为3，
圆心到直线x－y＋m＝0m>0的距离为1-1+m2＝m2，
由勾股定理可得m22＋m22＝3，因为m>0，解得m＝2.]
8．(2019·浙江高考)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝__________，r＝__________．
－2 5 [如图，由圆心与切点的连线与切线垂直，得m+12＝－12，解得m＝－2.
∴圆心为(0，－2)，则半径r＝-2-02+-1+22＝5.]
9．已知圆C：x2＋y2＝1，直线l：ax－y＋4＝0.若直线l上存在点M，以M为圆心且半径为1的圆与圆C有公共点，则a的取值范围是________．
(－∞，－3]∪[3，＋∞) [直线l上存在点M，以M为圆心且半径为1的圆与圆C有公共点，则|MC|≤2，只需|MC|min≤2，即圆C：x2＋y2＝1的圆心到直线l：ax－y＋4＝0的距离d≤2，即d＝4a2+1≤2，解得a≤－3或a≥3.]
三、解答题
10．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线与圆C相切？
(2)当直线与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝22时，求直线的方程．
[解] (1)圆C的标准方程为x2＋(y－4)2＝4，圆心C的坐标为(0，4)，半径长为2，
当直线l与圆C相切时，则2a+4a2+1＝2，解得a＝－34.
(2)由题意知，圆心C到直线l的距离为
d＝22-AB22＝2，
由点到直线的距离公式可得d＝2a+4a2+1＝2，
整理得a2＋8a＋7＝0，解得a＝－1或－7.
因此，直线l的方程为x－y＋2＝0或7x－y＋14＝0.
11．圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心坐标为(2，1)．
(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O1与圆O2相交于A，B两点，且|AB|＝22，求圆O2的方程．
[解] (1)因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心O1(0，－1)，半径r1＝2.
设圆O2的半径为r2，由两圆外切知|O1O2|＝r1＋r2.
又|O1O2|＝2-02+1+12＝22，
所以r2＝|O1O2|－r1＝22－2.
所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－82.
(2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r22，
又圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，
相减得AB所在的直线方程为4x+4y+r22－8＝0.
设线段AB的中点为H，
因为r1＝2，所以|O1H|＝r12-AH2＝2.
又|O1H|＝4×0+4×-1+r22-842+42
＝r22-1242，
所以r22-1242＝2，
解得r22＝4或r22＝20.
所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
12．在平面直角坐标系Oxy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围是( )
A．0，125 B．[0，1]
C．1，125 D．0，125
A [因为圆心在直线y＝2x－4上，圆心C的横坐标为a，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.设点M(x，y)，因为|MA|＝2|MO|，所以x2+y-32＝2x2+y2，
化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．
由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤|CD|≤2＋1，即1≤a2+2a-32≤3.
由a2+2a-32≥1得5a2－12a＋8≥0，
解得a∈R；
由a2+2a-32≤3得5a2－12a≤0，
解得0≤a≤125.
所以点C的横坐标a的取值范围为0，125.
故选A.]
13．(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则( )
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝32
D．当∠PBA最大时，|PB|＝32
ACD [设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，由题易知直线AB的方程为x4+y2＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝5+2×5-45＝115＞4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋115，4＋115＜5＋1255＝10，故A正确．
易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝115－4，115－4＜1255－4＝1，故B不正确．
过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|＝MB2-MN2＝52+5-22-42＝32，当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝32，故C，D都正确．综上，故选ACD.
]
14．(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程______________．
y＝－34x＋54或y＝724x－2524或x＝－1(从这三条公切线中任选一条作答即可) [圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径为1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心O1为(3, 4) ，半径为4，
两圆圆心距为32+42＝5，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为kO O1＝43，所以kl＝－34，设方程为y＝－34x＋t(t＞0)，
O到l的距离d＝t1+916＝1，解得t＝54，所以l的方程为y＝－34x＋54.
当切线为m时，设直线方程为kx＋y＋p＝0，其中p＞0，k＜0，
由题意p1+k2=1，3k+4+p1+k2=4，
解得k=-724，p=2524， 所以l的方程为y＝724x－2524.
当切线为n时，易知切线方程为x＝－1.]
15．(2021·全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ.已知点M(2，0)，且⊙M与l相切．
(1)求C，⊙M的方程；
(2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由．
[解] (1)由题意，直线x＝1与C交于P，Q两点，且OP⊥OQ，设C的焦点为F，P在第一象限，
则根据抛物线的对称性，∠POF＝∠QOF＝45°，
所以P(1，1)，Q(1，－1)．
设C的方程为y2＝2px(p＞0)，则1＝2p，得p＝12，
所以C的方程为y2＝x.
因为圆心M(2，0)到l的距离即⊙M的半径，且距离为1，
所以⊙M的方程为(x－2)2＋y2＝1.
(2)设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)，
当A1，A2，A3中有一个为坐标原点，另外两个点的横坐标均为3时，满足条件，此时直线A2A3与⊙M相切．
当x1≠x2≠x3时，直线A1A2：x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0，
则2+y1y2y1+y22+1＝1，即y12-1y22+2y1y2+3-y12＝0，
同理可得y12-1y32+2y1y3+3-y12＝0，
所以y2，y3是方程y12-1y2+2y1y+3-y12＝0的两个根，
则y2＋y3＝-2y1y12-1，y2y3＝3-y12y12-1.
直线A2A3的方程为x－(y2＋y3)y＋y2y3＝0，
设点M到直线A2A3的距离为d(d>0)，
则d2＝2+y2y321+y2+y32＝2+3-y12y12-121+-2y1y12-12＝1，即d＝1，
所以直线A2A3与⊙M相切．
综上可得，直线A2A3与⊙M相切．位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2个
1个
0个
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝Aa+Bb+CA2+B2
dd＝r
d>r
代数法：
由Ax+By+C=0， (x-a)2+(y-b)r2=r2
消元得到一元二次方程
根的判别式Δ
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
相离
外切
相交
内切
内含
图形
量的关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
d＜|r1－r2|