高考数学一轮复习第8章第5课时椭圆及其性质学案

这是一份高考数学一轮复习第8章第5课时椭圆及其性质学案，共27页。

2．掌握椭圆的简单应用．
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距．
2．椭圆的标准方程和几何性质
[常用结论]
1．椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，当椭圆为x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)时，设∠F1PF2＝θ.
(1)|PF1|·|PF2|≤PF1+PF222＝a2.
(2)当PF2⊥x轴时，点P的坐标为c，±b2a．
(3)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0．
(4)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c．
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs θ．
6S△F1PF2＝b2tan θ2＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，θ最大，S取最大值，最大值为bc.
2．已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a．

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( )
(3)关于x，y的方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( )
(4) x2a2+y2b2＝1(a>b>0)与y2a2+x2b2＝1(a>b>0)的焦距相同．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
二、教材习题衍生
1．(人教A版选择性必修第一册P115习题3.1 T1改编)如果点Mx，y在运动过程中，总满足关系式x2+y+32+x2+y-32＝43，则点M的轨迹是( )
A．不存在 B．椭圆
C．线段 D．双曲线
B [x2+y+32+x2+y-32＝43表示平面由点Mx，y到点(0，－3)，(0，3)的距离之和为43，而3－(－3)＝6<43，所以点M的轨迹是椭圆，故选B.]
2．(人教A版选择性必修第一册P112例4改编)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是( )
A．长轴长为12 B．焦距为34
C．短轴长为14 D．离心率为32
D [把椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得x2116+y214＝1，所以a＝12，b＝14，c＝34，
则长轴长2a＝1，焦距2c＝32，短轴长2b＝12，离心率e＝ca＝32，故选D.]
3．(人教A版选择性必修第一册P109练习T3改编)椭圆C：x225+y216＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，则△AF1B的周长为________．
20 [△AF1B的周长为4a＝4×5＝20.]
4．(人教A版选择性必修第一册P112练习T4改编)已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是________．
x216+y27＝1或x27+y216＝1 [因为a＝4，e＝34，所以c＝3，所以b2＝a2－c2＝16－9＝7.因为焦点的位置不确定，所以椭圆的标准方程是x216+y27＝1或x27+y216＝1.]
考点一 椭圆的定义及应用
[典例1] (1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．x264-y248＝1 B．x248+y264＝1
C．x248-y264＝1 D．x264+y248＝1
(2)(多选)已知P是椭圆x29+y24＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cs ∠F1PF2＝13，则( )
A．△PF1F2的周长为12
B.S△PF1F2＝22
C．点P到x轴的距离为2105
D．PF1·PF2＝2
(3)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是椭圆上的动点，A(1，1)，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．
(1)D (2)BCD (3)6＋2 6－2 [(1)设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且 2a＝16，2c＝8，故所求的轨迹方程为x264+y248＝1.
(2)由椭圆方程知a＝3，b＝2，所以c＝5，所以|PF1|＋|PF2|＝6，于是△PF1F2的周长为2a＋2c＝6＋25，故A选项错误；
在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝PF12+PF22－2|PF1||PF2|cs ∠F1PF2＝PF1+PF22－2|PF1||PF2|－2|PF1|·|PF2|·cs∠F1PF2，所以20＝36－2|PF1|·|PF2|－23|PF1||PF2|，解得|PF1||PF2|＝6，故S△PF1F2＝12|PF1||PF2|sin ∠F1PF2＝12×6×223＝22，故B选项正确；
设点P到x轴的距离为d，则S△PF1F2＝12|F1F2|·d＝12×25d＝22，所以d＝2105，故C选项正确；
PF1·PF2＝|PF1|·|PF2|cs ∠F1PF2＝6×13＝2，故D选项正确．故选BCD.
(3)椭圆方程可化为x29+y25＝1.
设F1是椭圆的右焦点，则F1(2，0)，连接AF1，PF1(图略)，
∴|AF1|＝2，易知|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6.
又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1三点共线时等号成立)，∴6－2≤|PA|＋|PF|≤6＋2.]
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等．
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
[跟进训练]
1．(1)已知A(－1，0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为( )
A．x212+y211＝1 B．x236-y235＝1
C．x23-y22＝1 D．x23+y22＝1
(2)(2021·全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C：x216+y24＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．
(1)D (2)8 [(1)由题意得|PA|＝|PB|，
∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝23＞|AF|＝2，
∴点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，且a＝3，c＝1，
∴b＝2，
∴动点P的轨迹方程为x23+y22＝1，故选D.
(2)根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形．设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|×|PF2|＝m(8－m)＝8.]
考点二 椭圆的标准方程
[典例2] (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点-32，52，(3，5)，则椭圆的标准方程为________．
(2)过点(3，－5)，且与椭圆y225+x29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．
(3)已知中心在坐标原点的椭圆过点A(－3，0)，且离心率e＝53，则椭圆的标准方程为________．
(1)y210+x26＝1 (2)y220+x24＝1 (3)x29+y24＝1或y2814+x29＝1 [(1)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n＞0，m≠n)．
由-322m+522n=1，3m+5n=1，
解得m＝16，n＝110.
∴椭圆方程为y210+x26＝1.
(2)法一(定义法)：椭圆y225+x29＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c＝4.
由椭圆的定义知，
2a＝3-02+-5+42+3-02+-5-42，
解得a＝25.
由c2＝a2－b2可得b2＝4，
∴所求椭圆的标准方程为y220+x24＝1.
法二(待定系数法)：∵所求椭圆与椭圆y225+x29＝1的焦点相同，
∴其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.
设它的标准方程为y2a2+x2b2＝1(a＞b＞0)．
∵c2＝16，且c2＝a2－b2，
故a2－b2＝16.①
又点(3，－5)在所求椭圆上，
∴-52a2+32b2＝1，
则5a2+3b2＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，
∴所求椭圆的标准方程为y220+x24＝1.
(3)若焦点在x轴上，由题知a＝3，因为椭圆的离心率e＝53，所以c＝5，b＝2，所以椭圆方程是x29+y24＝1.若焦点在y轴上，则b＝3，a2－c2＝9，又离心率e＝ca＝53，解得a2＝814，所以椭圆方程是y2814+x29＝1.
综上得，所求椭圆的标准方程为x29+y24＝1或y2814+x29＝1.]
1.利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
2．椭圆的标准方程的两个应用
(1)方程x2a2+y2b2＝1与x2a2+y2b2＝λ(λ>0)有相同的离心率．
(2)与椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为x2a2+k+y2b2+k＝1(a>b>0，k＋b2>0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．
[跟进训练]
2．(1)如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为( )
A．x236+y216＝1 B．x240+y215＝1
C．x249+y224＝1 D．x245+y220＝1
(2)已知椭圆E的中心为原点，焦点在x轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为22－2，离心率为22，则椭圆E的方程为________.
(1)C (2)x28+y24＝1 [(1)由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′(图略)，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，所以∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，所以∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.
在Rt△PFF′中，由勾股定理，
得|PF′|＝FF'2-PF2＝102-62＝8，
由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，则a＝7，a2＝49，所以b2＝a2－c2＝49－52＝24，所以椭圆C的方程为x249+y224＝1.故选C.
(2)因为椭圆上一点到焦点的最小距离为a－c，
所以a－c＝22－2.
因为离心率e＝22，所以ca＝22，
解得a＝22，c＝2，则b2＝a2－c2＝4，
所以椭圆E的方程为x28+y24＝1.]
考点三 椭圆的简单几何性质
椭圆的长轴、短轴、焦距
[典例3] (2022·广东惠州三调)如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则下列结论中正确的序号为( )
①轨道Ⅱ的焦距为R－r；
②若R不变，r越大，轨道Ⅱ的短轴长越小；
③轨道Ⅱ的长轴长为R＋r；
④若r不变，R越大，轨道Ⅱ的离心率越大．
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
C [由椭圆的性质知，a＋c＝R，a－c＝r，解得2c＝R－r，故①正确；
由①知a＝R+r2，c＝R-r2，
所以2b＝2a2-c2＝2R+r24-R-r24＝2Rr，
若R不变，r越大，2b越大，轨道Ⅱ的短轴长越大，故②错误；
由①知2a＝R＋r，故轨道Ⅱ的长轴长为R＋r，故③正确；
因为e＝ca＝R-r2R+r2＝R-rR+r＝1－2rR+r＝1－2Rr+1，
若r不变，R越大，则2Rr+1越小，
所以e越大，轨道Ⅱ的离心率越大，故④正确．故选C.]
离心率问题
[典例4] (1)(2023·山东青岛模拟)已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，PF1=5PF2，则C的离心率为( )
A．216 B．22
C．12 D．23
(2)已知F1，F2分别是椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率e的取值范围为( )
A．0，22 B．22，1
C．0，32 D．32，1
(1)A (2)B [(1)在椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)中，由椭圆的定义可得PF1+PF2＝2a，
因为PF1=5PF2，所以PF2＝a3，PF1＝5a3，在△PF1F2中，F1F2＝2c，
由余弦定理得F1F22＝PF12＋PF22－2PF1PF2cs ∠F1PF2，
即4c2＝25a29+a29-5a29＝73a2，所以c2a2＝712，
所以C的离心率e＝ca＝216.故选A.
(2)若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则以原点为圆心，F1F2为直径的圆与椭圆必有交点，如图，
可得c≥b，即c2≥b2，所以2c2≥a2，即e2≥12，
又e<1，所以e∈22，1.]
【教师备选题】
(1)(2022·河北秦皇岛二模)椭圆C：x2m+2+y2m＝1(m＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，若△PF1F2的周长为6＋22，则椭圆C的离心率为( )
A．26 B．23 C．33 D．36
(2)已知椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(c，0)，上顶点为A(0，b)，直线x＝a2c上存在一点P满足(FP+FA)·AP＝0，则椭圆的离心率的取值范围为( )
A．12，1 B．22，1
C．5-12，1 D．0，22
(1)B (2)C [(1)因为c2＝m＋2－m＝2，所以c＝2.
因为△PF1F2的周长为6＋22，所以2a＋2c＝6＋22，所以2a＝6，所以a＝3，
所以椭圆C的离心率为23.故选B.
(2)记AP的中点为Q，则FQ＝12(FP+FA)，
所以(FP+FA)·AP＝2FQ·AP＝0，
所以FQ⊥AP，所以△AFP为等腰三角形，
即|FA|＝|FP|，且|FA|＝b2+c2＝a.
因为点P在直线x＝a2c上，所以|FP|≥a2c－c，
即a≥a2c－c，所以ac≥a2c2－1，所以e2＋e－1≥0，
解得e≥5-12或e≤-5-12.
又0＜e＜1，故5-12≤e＜1.故选C.]
与椭圆有关的最值(范围)问题
[典例5] (1)设A，B是椭圆C：x23+y2m＝1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0，3]∪[9，＋∞)
C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0，3]∪[4，＋∞)
(2)(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：x25＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为( )
A．52 B．6
C．5 D．2
(1)A (2)A [(1)由题意知，当M在短轴顶点时，∠AMB最大．
①如图1，当焦点在x轴，即0＜m＜3时，
a＝3，b＝m，tan α＝3m≥tan 60°＝3，∴0＜m≤1.
图1
②如图2，当焦点在y轴，即m＞3时，
图2
a＝m，b＝3，tan α＝m3≥tan 60°＝3，∴m≥9.
综上，m的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞)，
故选A.
(2)法一(消元转化法)：设点P(x，y)，则根据点P在椭圆x25＋y2＝1上可得x2＝5－5y2.易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝x2＋(y－1)2＝5－5y2＋(y－1)2＝－4y2－2y＋6＝254-2y+122.
当2y＋12＝0，即y＝－14(满足|y|≤1)时，|PB|2取得最大值254，所以|PB|max＝52.故选A.
法二(利用椭圆的参数方程)：因为点P在椭圆x25＋y2＝1上，所以可设点P(5cs θ，sin θ)．
易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝(5cs θ)2＋(sin θ－1)2＝4cs2θ－2sinθ＋2＝－4sin2θ－2sinθ＋6＝254-2sinθ+122.易知当2sin θ＋12＝0，即sin θ＝－14时，|PB|2取得最大值254，所以|PB|max＝52.故选A.]
1．求椭圆离心率或其范围的方法
解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：
(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝ca求解．
(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝1-b2a2求解．
(3)构造a，c的齐次式．离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
2．利用椭圆几何性质求值或范围的思路
(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系．
(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求解．
[跟进训练]
3．(1)(2022·广东韶关一模)在椭圆C1：x24+y23＝1与椭圆C2：x24-m+y23-m＝1中，下列结论正确的是( )
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
(2)如图，椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆上的点P作y轴的垂线，垂足为Q，若四边形F1F2PQ为菱形，则该椭圆的离心率为( )
A．2-12 B．3-12
C．2－1 D．3－1
(3)若点O和点F分别为椭圆x24+y23＝1的中心和左焦点，若P为椭圆上的任意一点，则OP·FP的最大值为( )
A．2 B．3
C．6 D．8
(1)C (2)B (3)C [(1)设椭圆C1的焦距为2c1，椭圆C2的焦距为2c2，则c12＝4－3＝1，c22＝4－m－(3－m)＝1，∴2c1＝2c2.故选C.
(2)由题意，F1(－c，0)，F2(c，0)，
因为四边形F1F2PQ为菱形，所以P(2c，3c)，
将点P坐标代入x2a2+y2b2＝1可得：4c2a2+3c2b2＝1，整理得4c4－8a2c2＋a4＝0，
所以4e4－8e2＋1＝0，因为0＜e＜1，所以e＝3-12.故选B.
(3)由题意知，O(0，0)，F(－1，0)，设P(x，y)，则OP＝(x，y)，FP＝(x＋1，y)，∴OP·FP＝x(x＋1)＋y2＝x2＋y2＋x.又∵x24+y23＝1，∴y2＝3－34x2，
∴OP·FP＝14x2＋x＋3＝14(x＋2)2＋2.
∵－2≤x≤2，
∴当x＝2时，OP·FP有最大值6.故选C.]
过椭圆x2a2+y2b2＝1a>b>0上任意不同两点M，N作椭圆的切线，若两切线垂直且相交于点P，则动点P的轨迹为圆O：x2＋y2＝a2＋b2，此圆即椭圆的蒙日圆．椭圆的蒙日圆有如下性质：
性质1：PM⊥PN.
性质2：PO平分切点弦MN.
性质3：S△MON的最大值为ab2，S△MON的最小值为a2b2a2+b2.
[典例] (多选)法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆Γ：x2a2+y2b2＝1a>b>0的蒙日圆为C：x2＋y2＝32a2，过C上的动点M作Γ的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交Γ于A，B两点，则( )
A．椭圆Γ的离心率为22
B．△MPQ面积的最大值为32a2
C．M到Γ的左焦点的距离的最小值为2-2a
D．若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k1，k2，则k1k2＝－12
ABD [依题意，过椭圆Γ的上顶点作y轴的垂线，过椭圆Γ的右顶点作x轴的垂线，则这两条垂线的交点在圆C上，所以a2＋b2＝32a2，得a2＝2b2，所以椭圆Γ的离心率e＝ca＝1-b2a2＝22，故A正确；
因为点M，P，Q都在圆C上，且∠PMQ＝90°，所以PQ为圆C的直径，所以PQ＝2×32a2＝6a，所以△MPQ面积的最大值为12PQ×32a2＝6a2×32a2＝32a2，故B正确；设M(x0，y0)，Γ的左焦点为F-c，0，连接MF(图略)，因为c2＝a2－b2＝12a2，所以MF2＝x0+c2+y02＝x02+y02＋2x0c＋c2＝32a2＋2x0×22a＋12a2＝2a2＋2ax0，又－62a≤x0≤62a，所以MF2≥2-3a2，则M到Γ的左焦点的距离的最小值为6-2a2，故C错误；由直线PQ经过坐标原点，易得点A，B关于原点对称，设Ax1，y1，Dx2，y2，则B-x1，-y1，k1＝y1-y2x1-x2，k2＝y1+y2x1+x2，又x122b2+y12b2=1，x222b2+y22b2=1，所以x12-x222b2+y12-y22b2＝0，所以y12-y22x12-x22＝y1-y2x1-x2·y1+y2x1+x2＝－12，所以k1k2＝－12，故D正确．故选ABD.]
课时分层作业(四十九) 椭圆及其性质
一、选择题
1．下列四个椭圆中，形状最扁的是( )
A．x220+y29＝1 B．x220+y210＝1
C．x220+y211＝1 D．x220+y212＝1
A [由e＝1-b2a2，根据选项中的椭圆的方程，可得b2a2的值满足920<1020<1120<1220，因为椭圆的离心率越大，椭圆的形状越扁，所以这四个椭圆中，椭圆x220+y29＝1的离心率最大，故其形状最扁．故选A.]
2．已知F1，F2分别为椭圆x216+y29＝1的左、右焦点，A为上顶点，则△AF1F2的面积为( )
A．6 B．15
C．67 D．37
D [由椭圆方程x216+y29＝1得A0，3，F1-7，0，F27，0，∴F1F2＝27．∴S△AF1F2＝12F1F2·yA＝12×27×3＝37.故选D.]
3．已知椭圆x29+y2b2＝10A．22 B．2
C．3 D．6
C [∵F1，F2为椭圆x29+y2b2＝1的两个焦点，
∴AF1+AF2＝6，BF1+BF2＝6，
△AF2B的周长为AB+AF2+BF2＝AF1+AF2+BF1+BF2＝12，
即BF2+AF2＝12－|AB|，
若AB最小，则BF2+AF2最大．
又当AB⊥x轴时，AB最小，此时AB＝2b2a＝2b23，故12－2b23＝10，解得b＝3.故选C.]
4．设F1，F2是椭圆C: x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上，延长PF2交椭圆C于点Q，且|PF1| ＝|PQ|，若△PF1F2的面积为33b2，则PQF1F2＝( )
A．32 B．233
C．3 D．433
B [由S△PF1F2＝b2·tan ∠F1PF22，
得33b2＝b2tan ∠F1PF22，所以∠F1PF2＝π3，又PF1＝PQ，所以△F1PQ为等边三角形，由椭圆对称性可知PQ⊥x轴，所以PQF1F2＝233.故选B.]
5．(多选)(2023·重庆八中模拟)如图所示，用一个与圆柱底面成θ0<θ<π2角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，θ＝π3，则( )
A．椭圆的长轴长等于4
B．椭圆的离心率为32
C．椭圆的标准方程可以是y216+x24＝1
D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4－23
BCD [设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，则由截面与圆柱底面成锐二面角θ＝π3得：2a＝4csθ＝8，解得a＝4，A错误；显然b＝2，则c＝a2-b2＝23，离心率e＝ca＝32，B正确；当以椭圆长轴所在直线为y轴，短轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程为y216+x24＝1，C正确；椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c＝4－23，D正确．故选BCD.]
6．(多选)(2023·辽宁丹东模拟)设椭圆C：x25＋y2＝1的两个焦点分别为F1，F2，上顶点为B，点P在C上，则( )
A．BF1＝3
B．PF1的最大值5＋2
C．PF1·PF2的最大值为5
D．|PB|的最大值为6
BC [由题意知a＝5，b＝1，c＝2，BF1＝a＝5，故A错误；PF1的最大值为a＋c＝5＋2，故B正确；PF1+PF2≥2PF1·PF2⇒2a≥2PF1·PF2⇒5≥PF1·PF2，PF1·PF2≤5，当且仅当PF1＝PF2＝5时等号成立，∴PF1·PF2的最大值为5，故C正确；设P(x0，y0)，满足x025+y02＝1，由题意知，B(0，1)，|PB|＝x02+y0-12＝-4y02-2y0+6，当y0＝－14时，|PB|的最大值为52.故D错误．故选BC.]
二、填空题
7．若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则m的值为________．
14 [将原方程变形为x2＋y21m＝1.由题意知a2＝1m，b2＝1，所以a＝1m，b＝1.所以1m＝2，所以m＝14.]
8．(2019·全国Ⅲ卷)设F1，F2为椭圆C：x236+y220＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．
(3，15) [不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝36-20＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(x，y)，则x236+y220=1， x+42+y2=64，x＞0， y＞0， 得x=3， y=15，
所以M的坐标为(3，15)．]
9．已知点P在圆x2＋y2－6y＋8＝0上，点Q在椭圆x2a2＋y2＝1a>1上，且PQ的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值为________．
32 [x2＋y2－6y＋8＝0化简为x2＋(y－3)2＝1，圆心A(0，3)．PQ的最大值为5等价于AQ的最大值为4，设Q(x，y)，即x2＋(y－3)2≤16，又x2a2＋y2＝1a>1，
化简得到(1－a2)y2－6y＋a2－7≤0(－1≤y≤1)．
当y＝－1时，验证等号成立；
对称轴为y＝31-a2，满足y＝31-a2≤－1，即a≤2，故1∴e2＝c2a2＝a2-1a2＝1－1a2≤34，∴e≤32.
故离心率的最大值为32.]
三、解答题
10．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
[解] (1)设椭圆方程为x2a2+y2b2＝1(a>b>0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a.
在△PF1F2中，由余弦定理可知，
4c2＝m2＋n2－2mncs 60°＝(m＋n)2－3mn
＝4a2－3mn≥4a2－3·m+n22＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)，∴c2a2≥14，
即e≥12.又0(2)证明：由(1)知mn＝43b2，∴S△PF1F2＝12mn sin 60°＝33b2，即△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
11．如图所示，已知椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且AF2＝2F2B，求椭圆的方程．
[解] (1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
所以a＝2c，e＝ca＝22.
(2)由题意知A(0，b)，F2(1，0)，设B(x，y)，
由AF2＝2F2B，得2x-1=1，2y=-b， 解得x＝32，y＝－b2.
代入x2a2+y2b2＝1，得94a2+b24b2＝1.
即94a2+14＝1，解得a2＝3，所以b2＝a2－c2＝2，所以椭圆方程为x23+y22＝1.
12．(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是( )
A．22，1 B．12，1
C．0，22 D．0，12
C [点B的坐标为(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，
则x02a2+y02b2＝1, ∴x02＝a21-y02b2，
故|PB|2＝x02＋(y0－b)2＝a21-y02b2＋(y0－b)2＝(-c2b2y02)－2by0＋a2＋b2，
y0∈[－b，b]，又对称轴y0＝－b3c2<0，
当－b3c2≤－b时，即b≥c时，则当y0＝－b时，|PB|2最大，
此时|PB|＝2b，故只需要满足－b3c2≤－b，即b2≥c2，则a2－c2≥c2，所以e＝ca≤22.又0当－b3c2>－b时，即b则当y0＝－b3c2时，|PB|2最大，
此时|PB|2＝b4c2＋a2＋b2≤4b2，
则a4－4a2c2＋4c4≤0，解得a＝2c，所以b＝c，
又b综上所述，e的范围为0，22，故选C.]
13．(多选)已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2，点P(1，1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是( )
A．|QF1|＋|QP|的最小值为2a－1
B．椭圆C的短轴长可能为2
C．椭圆C的离心率的取值范围为0，5-12
D．若PF1＝F1Q，则椭圆C的长轴长为5+17
ACD [由题意可知2c＝2，则c＝1，因为点Q在椭圆上，
所以|QF1|＋|QF2|＝2a，|QF1|＋|QP|＝2a－|QF2|＋|QP|，
又－1≤－|QF2|＋|QP|≤1，所以A正确；
因为点P(1，1)在椭圆内部，所以b＞1，2b＞2，
所以B错误；
因为点P(1，1)在椭圆内部，所以1a2+1b2＜1，
即b2＋a2－a2b2＜0，又c＝1，b2＝a2－c2，
所以(a2－1)＋a2－a2(a2－1)＜0，
化简可得a4－3a2＋1＞0(a>1)，
解得a2＞3+52或a2＜3-52(舍去)，
则椭圆C的离心率e＝ca＜13+52＝15+12＝5-12，
又0由PF1＝F1Q可得，F1为PQ的中点，
而P(1，1)，F1(－1，0)，所以Q(－3，－1)，
|QF1|＋|QF2|＝-3+12+-1-02+-3-12+-1-02
＝5+17＝2a，所以D正确．]
14．(2022·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为12.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是______．
13 [∵椭圆的离心率为e＝ca＝12，∴a＝2c，∴b2＝a2－c2＝3c2，
∴椭圆的方程为x24c2+y23c2＝1，即3x2＋4y2－12c2＝0，不妨设左焦点为F1，右焦点为F2，如图所示，
∵|AF2|＝a，|OF2|＝c，a＝2c，∴∠AF2O＝π3，
∴△AF1F2为正三角形，∵过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，DE为线段AF2的垂直平分线，∴直线DE的斜率为33，斜率倒数为3， 直线DE的方程为x＝3y－c，代入椭圆方程3x2＋4y2－12c2＝0，整理化简得13y2－6 3cy－9c2＝0，
判别式Δ＝(6 3c)2＋4×13×9c2＝62×16×c2＞0，
∴|DE|＝1+32|y1－y2|＝2×Δ13＝2×6×4×c13＝6，
∴c＝138，得a＝2c＝134，
∵ DE为线段AF2的垂直平分线，根据对称性，|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，∴△ADE的周长等于△F2DE的周长，利用椭圆的定义得到△F2DE的周长为|DF2|＋|EF2|＋|DE|＝|DF2|＋|EF2|＋|DF1|＋|EF1|＝|DF1|＋|DF2|＋|EF1|＋|EF2|＝2a＋2a＝4a＝13.]
15．(2023·广东深圳外国语模拟)椭圆C1：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的离心率为e＝63，过C1的左焦点F1的直线l：x－y＋2＝0被圆C2：x-32＋y-32＝r2(r>0)截得的弦长为22.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设C1的右焦点为F2，在C2上是否存在点P，满足PF1＝a2b2PF2？若存在，指出有几个这样的点(不必求出点的坐标)，若不存在，说明理由．
[解] (1)由已知直线l与x轴交点为F1(－2，0)，所以c＝2，又e＝ca＝2a＝63，所以a＝6，则b＝a2-c2＝2，
所以椭圆C1的方程为x26+y22＝1.
(2)圆C2的圆心为C2(3，3)，它到直线l的距离为d＝3-3+22＝2，
所以弦长为2r2-d2＝2r2-2＝22，r＝2(r>0)，
即圆C2的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝4.
设P(x，y)，由(1)知F1(－2，0)，F2(2，0)，a2b2＝62＝3，
所以PF1＝a2b2PF2，即为PF1＝3PF2，
所以x+22+y2＝3x-22+y2，
化简得x-522＋y2＝94，
所以满足PF1＝a2b2PF2的点P在圆M：x-522＋y2＝94上，
其中圆心为M52 ，0，半径为R＝32.
又C2M＝52 -32+0-32＝372，
R＋r＝2＋32＝72，R－r＝2－32＝12，显然R-r标准方程
x2a2+y2b2＝1(a>b>0)
y2a2+x2b2＝1(a>b>0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝ca∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2