高考数学一轮复习第9章第3课时随机事件、频率与概率学案

这是一份高考数学一轮复习第9章第3课时随机事件、频率与概率学案，共20页。
1．结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系.
2．理解事件间的关系与运算.
3．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.
1．样本空间与样本点
(1)样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示；
(2)样本空间：全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示样本空间；称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
2．随机事件、必然事件与不可能事件
(1)随机事件：样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生．
(2)随机事件的特殊情形：必然事件Ω(含有全部样本点)、不可能事件∅(不含任何样本点)、基本事件(只包含一个样本点)．
3．两个事件的关系和运算
提醒：对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
4．频率与概率
(1)事件的概率：对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．
(2)频率的稳定性：一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．可以用频率fn(A)估计概率P(A)．

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)必然事件一定发生.( )
(2)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．( )
(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( )
(4)若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
二、教材习题衍生
1．(人教A版必修第二册P233练习T1改编)一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的对立事件是( )
A．至少有一次中靶 B．两次都中靶
C．只有一次中靶 D．两次都不中靶
B [“至多有一次中靶”的对立事件是“两次都中靶”．]
2．(多选)(人教A版必修第二册P233练习T2改编)将一枚骰子向上抛掷一次，设事件 A＝“向上的一面出现奇数点”，事件 B＝“向上的一面出现的点数不超过2”，事件C＝“向上的一面出现的点数不小于4”，则下列说法中正确的有( )
A．AB＝∅
B．BC＝“向上的一面出现的点数大于3”
C．AB+BC＝“向上的一面出现的点数不小于3”
D．ABC＝“向上的一面出现的点数为2”
BC [由题意知事件A包含的样本点：向上的一面出现的点数为1，3，5；事件B包含的样本点：向上的一面出现的点数为1，2；事件C包含的样本点：向上的一面出现的点数为4，5，6，所以AB＝“向上的一面出现的点数为2”，故A错误； BC＝“向上的一面出现的点数为4或5或6”，故B正确；A B+BC＝“向上的一面出现的点数为3或4或5或6”，故C正确；ABC＝向上的一面出现的点数为5，故D错误．故选BC.]
3．(人教A版必修第二册P254练习T1，T2改编)下列说法正确的是( )
A．甲、乙两人做游戏：甲、乙两人各写一个数字，若都是奇数或都是偶数，则甲胜，否则乙胜，这个游戏公平
B．做n次随机试验，事件A发生的频率就是事件A发生的概率
C．某地发行福利彩票，回报率为47%，某人花了100元买该福利彩票，一定会有47元的回报
D．有甲、乙两种报纸可供某人订阅，事件B“某人订阅甲报纸”是必然事件
A [对于A，甲、乙两人各写一个数字，所有可能的结果为(奇，偶)，(奇，奇)，(偶，奇)，(偶，偶)，则都是奇数或都是偶数的概率为12，故游戏是公平的；
对于B，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，故事件A发生的频率就是事件A发生的概率是不正确的；
对于C，某人花100元买福利彩票，中奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料，故C不正确；
对于D，事件B可能发生也可能不发生，故事件B是随机事件，故D不正确．
综上可知，正确的为A.故选A.]
4．(人教A版必修第二册P227例3改编)抛掷3枚硬币，试验的样本点用(x，y，z)表示，集合M表示“既有正面朝上，也有反面朝上”，则M＝________．
{(正正反)，(正反正)，(反正正)，(正反反)，(反正反)，(反反正)} [试验的样本空间为Ω＝{(正正正)，(正正反)，(正反正)，(反正正)，(正反反)，(反正反)，(反反正)，(反反反)}，则M＝{(正正反)，(正反正)，(反正正)，(正反反)，(反正反)，(反反正)}．]
考点一 随机事件与样本空间
[典例1] (1)有两个事件，事件A：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数；事件B：367人中至少有2人生日相同．下列说法正确的是( )
A．事件A、B都是随机事件
B．事件A、B都是必然事件
C．事件A是随机事件，事件B是必然事件
D．事件A是必然事件，事件B是随机事件
(2)从1，2，3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为________，“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为________．
(1)C (2)Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10} 5 [(1)对于事件A，抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面的点数可能是奇数，也可能是偶数，则事件A为随机事件；对于事件B，一年有365天或366天， 故367人中至少有2人生日相同，事件B为必然事件．故选C.
(2)任选一个数，共有10种不同选法，故样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，其中偶数共有5种，故“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为5.]
1．判断事件类型要看事件的发生是否具有随机性，搞清事件的条件．
2．确定样本空间的方法
(1)必须明确事件发生的条件．
(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．
[跟进训练]
1．(多选)袋中装有标号分别为1，3，5，7的四个相同的小球，从中取出两个，下列事件是基本事件的是( )
A．取出的两球标号为3和7
B．取出的两球标号的和为4
C．取出的两球的标号都大于3
D．取出的两球的标号的和为8
ABC [基本事件即只含有一个样本点的事件，选项A，B，C都只含有一个样本点，是基本事件，D中包含取出标号为1和7，3和5两个样本点，所以D不是基本事件．]
考点二 事件的关系与运算
[典例2] (1)抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ai＝“向上的点数为i”，其中i＝1，2，3，4，5，6，B＝“向上的点数为偶数”，则下列说法正确的是( )
A．A1⊆B B．A2＋B＝Ω
C．A3与B互斥 D．A4与B对立
(2)(多选)从2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是( )
A．“至少一个红球”和“都是红球”是互斥事件
B．“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件
C．“至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件
D．“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件
(1)C (2)BC [(1)对于A，A1＝{2，3，4，5，6}，B＝{2，4，6}，B⊆A1，故A错误；
对于B，A2＋B＝{2}∪{2，4，6}＝{2，4，6}≠Ω，故B错误；
对于C，A3与B不能同时发生，是互斥事件，故C正确；
对于D，A4＝{4}，B＝{1，3，5}，A4与B是互斥但不对立事件，故D错误．故选C.
(2)不妨记两个黑球为A1，A2，两个红球为B1，B2，从中取出2个球，则所有样本点如下：A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，恰有一个黑球包括：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，都是黑球包括A1A2，两个事件没有共同的样本点，故互斥，B正确；
至少一个黑球包括：A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，都是红球包括B1B2，
两个事件没有共同的样本点，且两者包括的样本点的并集为全部样本点，故对立，C正确．
同理可知A、D都不正确，故选BC.]
事件的关系运算策略
(1)判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件．
(2)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．也可类比集合的关系和运算用Venn图分析事件．
[跟进训练]
2．(1)把语文、数学、英语三本学习书随机地分给甲、乙、丙三位同学，每人一本，则事件A：“甲分得语文书”，事件B：“乙分得数学书”，事件C：“丙分得英语书”，则下列说法正确的是( )
A．A与B是不可能事件
B．A＋B＋C是必然事件
C．A与B不是互斥事件
D．B与C既是互斥事件也是对立事件
(2) (多选)若干个人站成排，其中不是互斥事件的是( )
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙不站排尾”
C．“甲站排头”与“乙站排尾”
D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”
(1)C (2)BCD [(1)事件A，B，C都是随机事件，可能发生，也可能不发生，故A，B选项都不正确；A，B可能同时发生，故A，B不互斥，C选项正确；B与C既不是互斥事件也不是对立事件，D选项错误，因此选项A，B，D错，C正确．
(2)排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥，而B，C，D中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同时发生，因此它们都不互斥．故选BCD.]
考点三 随机事件的频率与概率
[典例3] 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.
(1)完成近20年六月份降雨量频率分布表；
(2)假定今年6月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．
[解] (1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，
故近20年六月份降雨量频率分布表为
(2)由已知可得Y＝X2＋425，故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)＝P(Y530)＝P(X210)
＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)
＝120+320+220＝310.
频率与概率的关系
[跟进训练]
3．(2020·全国Ⅰ卷)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加
工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
乙分厂产品等级的频数分布表
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？
[解] (1)由试加工产品等级的频数分布表知，
甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为40100＝0.4；
乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为28100＝0.28.
(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为65×40+25×20-5×20-75×20100＝15.
由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为70×28+30×17+0×34-70×21100＝10.
比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，厂家应选甲分厂承接加工业务．
课时分层作业(五十八) 随机事件、频率与概率
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．某人打靶，射击10次，中靶7次，则此人中靶的概率为0.7
B．一位同学做抛硬币试验，抛6次，一定有3次“正面朝上”
C．某地发行一种彩票，回报率为47%，若有人花了100元钱买此种彩票，则一定会有47元的回报
D．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效，现在胃溃疡病人服用此药，则可估计有明显疗效的概率约为0.76
D [A项，此人中靶的频率为0.7，是一个随机事件，错误；B项是一个随机事件，不一定有3次“正面向上”，错误；C项是一个随机事件，中奖或不中奖都有可能，但事先无法预料，错误．D正确．]
2．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则样本点共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C [该生选报的所有可能情况是：数学和计算机、数学和航空模型、计算机和航空模型，所以样本点有3个．]
3．在手工课上，老师将5个环(颜色分别为蓝、黑、红、黄、绿)分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学加工制作，每人分得一个，则事件“甲分得红环”与“乙分得红环”( )
A．是对立事件
B．是不可能事件
C．是互斥但不是对立事件
D．不是互斥事件
C [甲、乙不可能同时得到红环，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红环，即“甲或乙分得红环”事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．故选C.]
4. (多选)(2023·武汉模拟)抛掷一颗质地均匀的骰子一次，记事件M为“向上的点数为1或4”，事件N为“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是( )
A．M与N互斥但不对立
B．M与N对立
C．PMN＝16
D．PM+N＝23
CD [选项A：PMN≠0，故事件M与事件N不互斥，A错误；选项B：PMN≠0，故事件M与事件N不对立，B错误；选项C：PMN表示事件M与事件N同时发生的概率，此时向上的点数为1，此时PMN＝16，C正确；选项D：PM+N表示事件向上的点数为1，3，4，5的概率，PM+N＝23，故D正确．故选CD.]
5．(多选)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成下面的统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
根据表中数据，下列结论中正确的是( )
A．顾客购买乙商品的概率最大
B．顾客同时购买乙和丙的概率约为0.2
C．顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率约为0.3
D．顾客仅购买1种商品的概率不大于0.2
BCD [对于A，由于购买甲商品的顾客有685位，购买乙商品的顾客有515位，故A错误；对于B，因为从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2，故B正确；
对于C，因为从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100+2001 000＝0.3，故C正确；对于D，因为从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有183位顾客仅购买1种商品，所以顾客仅购买1种商品的概率可以估计为0.183