高考物理一轮复习 第四章：曲线运动 万有引力与宇宙航行学案

这是一份高考物理一轮复习 第四章：曲线运动 万有引力与宇宙航行学案，共104页。学案主要包含了曲线运动，运动的合成与分解，斜抛运动等内容，欢迎下载使用。

一、曲线运动
1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向，如图所示。
2．运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。
3．运动的条件
(1)运动学角度：物体的加速度方向与速度方向不在同一条直线上，物体做曲线运动。
(2)动力学角度：物体所受合外力的方向与它的速度方向不在同一条直线上，物体做曲线运动。
二、运动的合成与分解
1．合运动与分运动：物体的实际运动是合运动，物体同时参与的几个运动是分运动。
2．运动的合成：由已知的分运动求跟它们等效的合运动。
3．运动的分解：由已知的合运动求跟它等效的分运动。
4．遵循的法则：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。
5．运动分解的原则：根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解法。
情境创设
如图所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上做初速度为零、加速度为a的匀加速运动，同时人顶着直杆以速度v0在水平方向做匀速直线运动。
微点判断
(1)猴子相对地面运动的轨迹是直线。(×)
(2)猴子相对地面做匀变速运动。(√)
(3)猴子在竖直方向和水平方向的两个运动都是分运动。(√)
(4)猴子运动的速度等于竖直方向速度和水平方向速度的代数和。(×)
(5)猴子受到的合外力斜向右上方。(×)
(6)t时刻，猴子的对地速度的大小为eq \r(v02＋a2t2)。(√)
(7)经过时间t，猴子的对地位移的大小为v0t＋eq \f(1,2)at2。(×)
(一) 物体做曲线运动的条件与轨迹分析(固基点)
[题点全练通]
1．[物体做曲线运动的条件]
如图所示，一个钢球从一斜面上滑下后在水平桌面上做直线运动，现在其运动路线的一侧放一块磁铁，钢球做曲线运动。下列说法正确的是( )
A．钢球的运动轨迹为抛物线
B．钢球所受合力为零时也可以做曲线运动
C．钢球做曲线运动的条件是所受合力的方向与运动方向必须垂直
D．钢球做曲线运动的条件是所受合力的方向与运动方向不在同一直线上
解析：选D 钢球的运动轨迹为曲线，由于磁铁对钢球的吸引力随钢球到磁铁的距离变化而变化，所以钢球的运动轨迹不是抛物线，故A错误；钢球所受合力为零时，只能处于静止状态或匀速直线运动状态，不可能做曲线运动，故B错误；钢球做曲线运动的条件是所受合力的方向与运动方向不在同一直线上，故C错误，D正确。
2．[轨迹、速度与力的位置关系]
双人滑冰运动员在光滑的水平冰面上做表演，甲运动员给乙运动员一个水平恒力F，乙运动员在冰面上完成了一段优美的弧线MN。vM与vN正好成90°角，则此过程中，乙运动员受到甲运动员的恒力可能是图中的( )
A．F1 B．F2
C．F3 D．F4
解析：选C 根据题图所示乙运动员由M向N做曲线运动，乙运动员向前的速度减小，同时向右的速度增大，故合外力的方向应在F2与F4方向之间，故F3的方向可能是正确的，C正确，A、B、D错误。
3．[物体做曲线运动时速率变化分析]
(2023·武汉高三模拟)东京奥运会女子标枪决赛中，中国选手刘诗颖以66.34米的成绩获得冠军，实现了中国在女子标枪奥运金牌零的突破。标枪抛出的轨迹示意图如图所示，已知标枪在B点的加速度方向与速度方向垂直，阻力忽略不计，则下列说法正确的是( )
A．在C点的速率小于在B点的速率
B．在A点的加速度比在C点的加速度大
C．在C点的速率大于在B点的速率
D．在从A点到C点，加速度与速度的夹角先增大后减小，速率先减小后增大
解析：选C 由题意分析知，标枪做的是斜上抛运动，只受重力作用，又从B到C过程中所受合力与速度方向的夹角为锐角，合力做正功，动能增大，即在C点的速率大于在B点的速率，故A错误，C正确；合力恒定，加速度恒定，在各点的加速度都相同，B错误；从A点到C点，加速度与速度的夹角先从钝角逐渐减小为90°，接着由90°再减小，即合力先做负功，后做正功，速率先减小后增大，D错误。
[要点自悟明]
1．合外力与轨迹、速度间的关系分析思路
2．速率变化的判断
(二)运动的合成与分解的应用(精研点)
逐点清1 合运动与分运动的关系
1．(2021年8省联考·河北卷)如图，一小船以1.0 m/s的速度匀速前行，站在船上的人竖直向上抛出一小球，小球上升的最大高度为0.45 m。当小球再次落入手中时，小船前进的距离为(假定抛接小球时人手的高度不变，不计空气阻力，g取10 m/s2)( )
A．0.3 m B．0.6 m
C．0.9 m D．1.2 m
解析：选B 根据运动的独立性可知，小球在竖直方向上运动的过程中，小船以1.0 m/s的速度匀速前行，由运动学知识h＝eq \f(1,2)gt2，小球上升的时间t＝0.3 s，小球从上抛到再次落入手中所用的时间为2t，则小船前进的距离x＝v·2t＝0.6 m，故B正确。
一点一过 合运动与分运动的关系
逐点清2 合运动的性质和轨迹的判断
2．(多选)一物体在以xOy为直角坐标系的平面上运动，其运动规律为x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t(式中的物理量单位均为国际单位)。关于物体的运动，下列说法正确的是( )
A．物体在x轴方向上做匀减速直线运动
B．物体在y轴方向上做匀加速直线运动
C．物体运动的轨迹是一条直线
D．物体运动的轨迹是一条曲线
解析：选BC 对应位移与时间公式x＝v0t＋eq \f(1,2)at2，x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t，可得初速度v0x＝－4 m/s，v0y＝6 m/s；加速度ax＝－4 m/s2，ay＝6 m/s2。物体在x轴上分运动的初速度和加速度同方向，是匀加速直线运动，故A错误；物体在y轴方向的初速度和加速度同方向，是匀加速直线运动，故B正确；物体分运动的初速度与加速度数值和方向完全相同，故合运动的初速度与加速度数值和方向也是相同的，故合运动一定是匀加速直线运动，故C正确，D错误。
一点一过 合运动的性质和轨迹的判断
(1)若合加速度不变，则为匀变速运动；若合加速度(大小或方向)变化，则为非匀变速运动。
(2)若合加速度的方向与合初速度的方向在同一直线上，则为直线运动，否则为曲线运动。
逐点清3 根据运动轨迹分析物体运动情况
3.在光滑的水平面上，一质量为m＝2 kg的滑块在水平方向恒力F＝4 N的作用下运动。如图所示给出了滑块在水平面上运动的一段轨迹，滑块过P、Q两点时速度大小均为v＝5 m/s，滑块在P点的速度方向与PQ连线夹角α＝37°，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，则下列说法正确的是( )
A．水平恒力F的方向与PQ连线成53°夹角
B．滑块从P点运动到Q点的时间为3 s
C．滑块从P点运动到Q点的过程中速度最小值为3 m/s
D．P、Q两点连线的距离为10 m
解析：选B 滑块在水平恒力作用下由P点到Q点，滑块过P、Q两点时速度大小均为v＝5 m/s，即水平恒力不做功，所以力应该和位移的方向垂直，A错误；把滑块在P点的速度分解到垂直于PQ方向上，有v2＝vsin α＝3 m/s，由题意知在这个方向上滑块先减速后反向加速，由牛顿第二定律得，运动的加速度a＝eq \f(F,m)＝2 m/s2，由于运动具有对称性，得滑块从P到Q的时间t＝2×eq \f(v2,a)＝3 s，B正确；把速度分解到PQ方向上，有v1＝vcs α＝4 m/s，滑块在PQ方向上做匀速运动，所以当滑块在垂直于PQ方向上的速度等于零时，速度最小，为4 m/s，C错误；P、Q两点之间的距离为PQ＝v1t＝12 m，D错误。
一点一过
有关运动的合成和分解的三点提醒
(1)由运动的合成与分解知识可知，合运动的位移、速度、加速度是各分运动的位移、速度、加速度的矢量和。
(2)在恒力作用下物体的匀变速曲线运动可分解为沿力的方向的匀变速直线运动和垂直于力的方向的匀速直线运动。
(3)两个相互垂直方向的分运动具有等时性，这常是处理运动分解问题的关键点。
(三)小船渡河模型(精研点)
1．合运动与分运动
2．小船渡河的两类问题、三种情境
[模型应用]
题型1 小船渡河的最短时间问题
1．(2021·辽宁高考)1935年5月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河。首支共产党员突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若河面宽300 m，水流速度3 m/s，木船相对静水速度1 m/s，则突击队渡河所需的最短时间为( )
A．75 s B．95 s
C．100 s D．300 s
解析：选D 河宽d＝300 m一定，当木船船头垂直河岸时，在河宽方向上的速度最大，渡河用时最短，渡河时间最短为tmin＝eq \f(d,v)＝eq \f(300,1) s＝300 s，故D正确。
题型2 小船渡河的最短位移问题
2．一小船过河时，船头与上游河岸夹角为α，其航线恰好垂直于河岸。已知小船在静水中的速度为v。现水流速度稍有增大，为保持航线不变，且能准时到达河对岸，下列措施中可行的是( )
A．减小α角，减小船速v B．减小α角，增大船速v
C．增大α角，增大船速v D．增大α角，减小船速v
解析：选B 由题意可知，小船相对静水的速度为v，其航线恰好垂直于河岸，如图所示，当水流速度v1稍有增大，为保持航线不变，且准时到达对岸，则船速变化如图v′所示，可知B正确。
题型3 水流速度大于船在静水中速度的渡河问题
3.如图所示，某河流中水流速度大小恒为v1，A处的下游C处是个漩涡，A点和漩涡的连线与河岸的最大夹角为θ。为使小船从A点出发以恒定的速度安全到达对岸，小船航行时在静水中速度的最小值为( )
A．v1sin θ B．v1cs θ
C．v1tan θ D.eq \f(v1 ,sin θ)
解析：选A 如图所示，设小船航行时在静水中速度为v2，当v2垂直AB时速度最小，由三角函数关系可知v2＝v1sin θ，故A正确，B、C、D错误。
(四) 绳(杆)端速度分解模型(精研点)
1．模型特点
(1)与绳或杆连接的物体速度方向与绳或杆所在的直线不共线。
(2)绳或杆的长度不变，绳或杆两端的物体沿绳或杆方向的分速度相等。
2．分解思路
3．常见模型
[模型应用]
题型1 绳端速度分解模型
1．(多选)如图所示，不可伸长的轻绳，绕过光滑定滑轮C，与质量为m的物体A连接，A放在倾角为θ的光滑斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体B连接，连接物体B的绳最初水平。从当前位置开始，使物体B以速度v沿杆匀速向下运动，设绳的拉力为FT，在此后的运动过程中，下列说法正确的是( )
A．物体A做加速运动
B．物体A做匀速运动
C．FT小于mgsin θ
D．FT大于mgsin θ
解析：选AD 如图，对物体B速度分解，由图可知绳端的速度v绳＝vsin α，与B的位置有关，因为B为匀速运动，B下降过程中α变大，v绳变大，因此物体A做加速运动，FT大于mgsin θ，故A、D正确，B、C错误。
题型2 杆端速度分解模型
2．(2023·青岛模拟)如图所示的机械装置可以将圆周运动转化为直线上的往复运动。连杆AB、OB可绕图中A、B、O三处的转轴转动，连杆OB在竖直面内的圆周运动可通过连杆AB使滑块在水平横杆上左右滑动。已知OB杆长为L，绕O点沿逆时针方向匀速转动且角速度为ω，当连杆AB与水平方向夹角为α，AB杆与OB杆的夹角为β时，滑块的水平速度大小为( )
A.eq \f(ωLsin β,sin α) B.eq \f(ωLcs β,sin α)
C.eq \f(ωLcs β,cs α) D.eq \f(ωLsin β,cs α)
解析：选D 设滑块的速度大小为v，A点的速度的方向沿水平方向。如图，将A点的速度进行分解，根据运动的合成与分解可知，A点在沿杆AB方向的分速度为vA分＝vcs α。B点做圆周运动，实际速度是圆周运动的线速度，可以分解为沿杆方向的分速度和垂直于杆方向的分速度。如图，设B的线速度为v′，设v′与杆AB夹角为θ，由几何知识可知θ＝β－eq \f(π,2)，则vB分＝v′·cs θ＝v′cs(β－90°)＝v′sin β，v′＝ωL，二者沿杆AB方向的分速度是相等的，即vA分＝vB分，联立可得v＝eq \f(ωLsin β,cs α)，D正确。
题型3 接触面速度分解模型
3.如图所示，一根长为L的直杆一端抵在墙角，一端依靠在箱子的光滑竖直侧壁上，将箱子以大小为v的速度向右推，直杆绕O点在竖直面内转动，当直杆与竖直方向的夹角为θ时，直杆转动的角速度大小为( )
A.eq \f(v,Lsin θ) B.eq \f(v,Lcs θ)
C.eq \f(vsin θ,L) D.eq \f(vcs θ,L)
解析：选B 直杆与箱子接触点的实际运动即合运动，方向垂直于杆指向右上方，设杆转动的角速度为ω，则合速度：v实＝ωL，沿水平方向上的速度分量等于v，即ωLcs θ＝v，所以有：ω＝eq \f(v,Lcs θ)，故B正确。
1．[渗透五育教育(智育)]趣味投篮游戏中，运动员站在一个旋转较快的大平台边缘上，相对平台静止，向平台圆心处的球筐内投篮球。下面的各俯视图中篮球可能被投入球筐(图中箭头指向表示投篮方向)的是( )
解析：选C 当沿圆周切线方向的速度和出手速度的合速度沿球筐方向，篮球就可能被投入球筐。故C正确，A、B、D错误。
2．[渗透五育教育(体育)]如图所示，这是2022年11月30号卡塔尔世界杯小组赛英格兰队员主罚任意球时踢出快速旋转的“落叶球”在空中运动的轨迹示意图，跟正常飞行轨迹相比，“落叶球”会更早地向下落回地面。对“落叶球”在飞行过程中的分析正确的是( )
A．“落叶球”在空中的运动轨迹是对称的
B．“落叶球”的更早下落是因为在运动过程中受到了指向轨迹内侧的空气作用力
C．“落叶球”的更早下落是因为在运动过程中受到了沿切线方向的空气阻力
D．“落叶球”在最高点的瞬时速度为零
解析：选B “落叶球”是快速旋转的球，所以在空中的轨迹不是对称的，A错误；根据做曲线运动的条件，“落叶球”的更早下落是因为在运动过程中受到了指向轨迹内侧的空气作用力，C错误，B正确；“落叶球”在最高点的竖直速度为零，水平速度不为零，所以瞬时速度不为零，D错误。
3．[联系生活实际]在抗洪救灾时，救援人员划船将河对岸的受灾群众进行安全转移。一艘船的船头指向始终与河岸垂直，耗时6 min到达对岸；另一艘船的行驶路线与河岸垂直，耗时9 min到达对岸。假设河两岸理想平行，整个过程水流速恒为v水，两船在静水中速度相等且均恒为v船，且v船＞v水，则v船∶v水为( )
A．3∶eq \r(5) B．3∶2
C．5∶4 D．5∶3
解析：选A 船头始终与河岸垂直到达对岸，有v船＝eq \f(d,t1)，船行驶路线与河岸垂直到达对岸，有eq \r(v船2－v水2)＝eq \f(d,t2)，解得v船∶v水＝3∶eq \r(5)，故A正确。
4．[体现学以致用]随着科技的进步，农村和偏远山区也已经开始用无人机配送快递，如图甲所示。无人机在0～5 s内的飞行过程中，其水平、竖直方向速度vx、vy与时间t的关系图像分别如图乙、丙所示，规定竖直方向向上为正方向。下列说法正确的是( )
A．0～2 s内，无人机做匀加速直线运动
B．2～4 s内，无人机做匀减速直线运动
C．t＝4 s时，无人机运动到最高点
D．0～5 s内，无人机的位移大小为9 m
解析：选C 0～2 s时间内，无人机在水平方向做匀加速运动，在竖直方向也做匀加速运动，但初速度沿水平方向，合加速度与合初速度方向有夹角，因此，0～2 s内无人机做匀加速曲线运动，A错误；2～4 s时间内，无人机在水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀减速直线运动，则合运动为匀变速曲线运动，B错误；0～4 s时间内，竖直方向速度一直为正，即一直向上运动，则t＝4 s时刻，竖直方向速度为0，所以，无人机运动到最高点，C正确；0～5 s 内，无人机的水平位移为x＝9 m，竖直位移为y＝1.75 m，则合位移为eq \r(x2＋y2)≈9.2 m，D错误。
[课时跟踪检测]
一、立足主干知识，注重基础性和综合性
1．(2023·石家庄高三检测)如图所示，轮滑演员在舞台上滑出漂亮的曲线轨迹。在此过程中轮滑演员( )
A．速度始终保持不变
B．运动状态始终保持不变
C．速度方向沿曲线上各点的切线方向
D．所受合力方向始终与速度方向一致
解析：选C 轮滑演员做曲线运动，速度方向不断变化，运动状态不断变化，故A、B错误；做曲线运动的轮滑演员的速度方向沿曲线上各点的切线方向，C正确；轮滑演员所受合力方向与速度方向不在同一条直线上，D错误。
2．(多选)假设一只小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后10 min到达对岸下游120 m处；若船头保持与河岸成α角向上游航行，出发后12.5 min到达正对岸，两次渡河时小船相对于静水的速度大小相同。以下说法正确的是( )
A．水流的速度大小为0.2 m/s
B．船头与河岸间的夹角α为60°
C．小船在静水中的速度大小为0.6 m/s
D．河的宽度为200 m
解析：选AD 船头垂直对岸方向航行时，如图甲所示，由x＝v2t1，得水流的速度大小为v2＝eq \f(x,t1)＝eq \f(120,600) m/s＝0.2 m/s，故A正确；船头保持与河岸成α角向上游航行时，如图乙所示，可得v2＝v1cs α，d＝v1sin α·t2，由图甲可得d＝v1t1，联立解得sin α＝eq \f(4,5)，船头与河岸间的夹角不是60°，v1＝eq \f(1,3) m/s，d＝200 m，故B、C错误，D正确。
3.(多选)跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目。如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响。下列说法中正确的是( )
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力无关
D．运动员着地速度与风力无关
解析：选BC 水平方向的风力对竖直方向的运动没有影响，运动员下落时间与风力无关。无风时，运动员在水平方向速度为零，有风时，运动员在水平方向上因风力作用做加速运动，风力越大，着地时水平方向速度越大，着地速度也越大，故B、C正确，A、D错误。
4.(2023·郑州高三检测)如图所示，AB杆以恒定角速度绕A点转动，并带动套在水平杆OC上的小环M运动，运动开始时，AB杆在竖直位置，则小环M在AB杆带动下运动速度将( )
A．逐渐增大 B．先减小后增大
C．先增大后减小 D．逐渐减小
解析：选A 如图所示，环沿OC向右运动，其速度v可分解为垂直AB的速度v1，沿AB方向的速度v2，则v1＝ωr＝ωeq \f(h,cs θ)，故环的速度v＝eq \f(v1,cs θ)＝eq \f(ωh,cs2θ)，因为θ变大，则v逐渐增大。故选A。
5．(2023·广州高三检测)质点Q在xOy平面内运动，其在x轴方向和y轴方向的分运动图像如图甲和图乙所示，下列说法正确的是( )
A．质点Q做匀变速直线运动，初速度为12 m/s
B．质点Q做匀变速曲线运动，加速度为5 m/s2
C．质点Q做匀变速直线运动，2 s末的速度为20 m/s
D．质点Q做匀变速曲线运动，2 s内的位移为45 m
解析：选C 根据图像甲可得eq \f(x,t)＝k1t＋v0x，根据匀变速直线运动位移公式x＝v0t＋eq \f(1,2)at2，可得eq \f(x,t)＝eq \f(1,2)at＋v0，所以质点在x轴上的分运动是匀变速直线运动，初速度v0x＝6 m/s，加速度为ax＝2k1＝2×eq \f(9－6,2) m/s2＝3 m/s2。根据图像乙可知，质点在y轴上的分运动是匀变速直线运动，初速度v0y＝8 m/s，加速度为ay＝k2＝eq \f(16－8,2) m/s2＝4 m/s2，因为eq \f(v0x,v0y)＝eq \f(ax,ay)＝eq \f(3,4)，可知质点的初速度和加速度在同一条直线上，所以质点做匀变速直线运动，初速度为v0＝eq \r(v0x2＋v0y2)＝10 m/s，加速度为a＝eq \r(ax2＋ay2)＝5 m/s2，故A、B错误；质点做匀变速直线运动，2 s末的速度为v＝v0＋at＝(10＋5×2)m/s＝20 m/s，故C正确；质点做匀变速直线运动，2 s内的位移为x＝v0t＋eq \f(1,2)at2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10×2＋\f(1,2)×5×22))m＝30 m，故D错误。
6.(2023·黄冈高三检测)质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动，当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时(如图)，下列判断正确的是( )
A．P的速率为v
B．P的速率为vcs θ2
C．绳的拉力等于mgsin θ1
D．绳的拉力小于mgsin θ1
解析：选B 将小车的速度v沿绳子方向和垂直于绳子方向正交分解，如图所示，物体P的速度与小车沿绳子方向的速度大小相等，则有vP＝vcs θ2，故B正确，A错误；小车向右运动，所以θ2减小，v不变，所以vP逐渐变大，说明物体P沿斜面向上做加速运动。对物体P受力分析可知，物体P受到竖直向下的重力，垂直于斜面向上的支持力，沿绳向上的拉力T，沿斜面方向由牛顿第二定律可得T－mgsin θ1＝ma，可得T＞mgsin θ1，故C、D错误。
7．一人骑自行车向东行驶，当车速为4 m/s时，他感到风从正南方向吹来，当车速增加到7 m/s时，他感到风从东南方向(东偏南45°)吹来。假设风速的方向和大小恒定，则风对地的速度大小为( )
A．7 m/s B．6 m/s
C．5 m/s D．4 m/s
解析：选C 当车速为4 m/s时，人感到风从正南方向吹来，画出矢量图如图(a)所示，故风对地的速度大小沿行驶方向的分速度为4 m/s，当车速增加到7 m/s时，他感到风从东南方向(东偏南45°)吹来，画出矢量图如图(b)所示，可知，风对地的速度大小沿着垂直行驶方向的分速度大小为3 m/s，因此风对地的速度大小为5 m/s，故C正确。
8．(多选)在光滑水平面上有一质量为2 kg的物体，受几个共点力作用做匀速直线运动。现突然将与速度方向相反的2 N的力水平旋转90°，则下列关于物体运动情况的叙述正确的是( )
A．物体做速度大小不变的曲线运动
B．物体做加速度大小为eq \r(2) m/s2的匀变速曲线运动
C．物体做速度越来越大的曲线运动
D．物体做非匀变速曲线运动，其速度越来越大
解析：选BC 如图所示，物体原来受力可等效为F1、F2，且F1＝F2＝2 N，合力为零；当将F2水平旋转90°后，其合力F＝2eq \r(2) N，且大小、方向都不变，是恒力，则物体的加速度大小为a＝eq \f(F,m)＝eq \f(2\r(2),2) m/s2＝eq \r(2) m/s2，又因为F与v的夹角θ＜90°，所以物体做速度越来越大、加速度大小恒为eq \r(2) m/s2的匀变速曲线运动，故B、C正确，A、D错误。
9．在一光滑的水平面上建立xOy平面坐标系，一质点在水平面上从坐标原点开始运动，沿x方向和y方向的x-t图像和vy-t图像分别如图甲、乙所示，求：
(1)运动后4 s内质点的最大速度；
(2)4 s末质点离坐标原点的距离。
解析：(1)由题图可知，质点沿x轴正方向做匀速直线运动，速度大小为vx＝eq \f(x,t1)＝2 m/s，在运动后4 s内，沿y轴方向运动的最大速度为vy＝－4 m/s，则运动后4 s内质点运动的最大速度为vm＝eq \r(vx2＋vy2)＝2eq \r(5) m/s。
(2)0～2 s内质点沿y轴正方向做匀加速直线运动，2～4 s内先沿y轴正方向做匀减速直线运动，再沿y轴负方向做初速度为零的匀加速直线运动，
此时加速度大小为a＝eq \f(Δv,Δt)＝3 m/s2
则质点沿y轴正方向做匀减速运动的时间
t2＝eq \f(v,a)＝eq \f(2,3) s
则运动后的4 s内沿y轴方向的位移
y＝eq \f(1,2)×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(2,3)))m－eq \f(1,2)×4×eq \f(4,3) m＝0
因此4 s末质点离坐标原点的距离等于沿x轴方向的位移，由题图甲可知，4 s末质点离坐标原点的距离s＝x＝8 m。
答案：(1)2eq \r(5) m/s (2)8 m
二、强化迁移能力，突出创新性和应用性
10．某研究性学习小组为了研究运动的合成与分解，利用图甲所示装置做了如下实验：在一端封闭、长约1 m的均匀长直玻璃管内注满清水，水中放一个蜡块，将玻璃管的开口端用胶塞塞紧，然后将这个玻璃管倒置，蜡块能在玻璃管中以vy＝10 cm/s的速度匀速上升。若在蜡块上升的同时水平向右移动玻璃管，用y轴表示蜡块竖直方向的位移，x轴表示蜡块随玻璃管通过的水平位移，t＝0时刻蜡块位于坐标原点，描出蜡块的运动轨迹如图乙所示。下列说法正确的是( )
A．玻璃管向右匀速平移
B．蜡块做匀变速运动
C．蜡块所受合外力的方向沿图线的切线方向
D．t＝2 s时蜡块的速度大小为20 cm/s
解析：选B 蜡块在玻璃管中以vy＝10 cm/s的速度匀速上升，由题图乙可知，从t＝0时刻起，每1 s内玻璃管通过的水平位移依次是2.5 cm、7.5 cm、12.5 cm、17.5 cm，因此玻璃管水平向右匀加速平移，故A错误；蜡块沿水平方向的加速度大小恒定，由运动学公式可知，水平方向的加速度大小为a＝eq \f(Δx,T2)＝5 cm/s2，所以蜡块做匀变速运动，故B正确；做曲线运动的物体所受合外力方向指向轨迹内侧，故C错误；由以上分析结合运动的合成知识可知，t＝2 s时蜡块的速度大小为v＝10eq \r(2) cm/s，故D错误。
11．(多选)如图甲所示，竖直圆筒内壁光滑，半径为R，在侧壁同一竖直线上有A、B两小孔相距h，将一小球从上部A孔沿筒内壁水平射入筒中，小球紧贴筒内壁运动，并恰好能到达下部小孔B，所用时间为t1，到达下部小孔B时的速度大小为vB。如图乙所示，用光滑细钢丝绕成的螺距相同的柱形螺线管，横截面半径也为R，竖直固定，钢丝上下两端C、D恰好在同一竖直线上，相距h，一小铜环穿在钢丝上从上端C无初速度下滑到达底端D，所用时间为t2，到达D端时的速度大小为vD，二者相比较，下列结论正确的是( )
A．t1＝t2 B．t1vD
解析：选BD 题图甲中小球在筒内受重力和水平指向圆筒竖直中心轴的筒壁的弹力，贴着筒壁做螺旋线运动，可视为水平面内的匀速圆周运动与竖直方向上的自由落体运动的合运动，由竖直方向上的自由落体运动，可求得小球由A运动到B的时间为t1＝ eq \r(\f(2h,g))。题图乙中小铜环沿钢丝运动，受重力和垂直钢丝斜向上方的弹力，可等效为小环沿光滑斜面下滑，如图所示，则小环由C运动到D的时间为t2＝ eq \r(\f(2s,a))，其中a＝gsin α，s>h，故t1ω2＝ω3
线速度
由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)得v＝ eq \r(\f(GM,r))，故v1>v2
由v＝rω得
v2>v3
v1>v2>v3
向心
加速度
由Geq \f(Mm,r2)＝ma得a＝eq \f(GM,r2)，
故a1>a2
由a＝ω2r得
a2>a3
a1>a2>a3
类型
双星模型
多星模型
结构图
向心力
由两星之间的万有引力提供，故两星的向心力大小相等
运行所需向心力都由其余行星对其万有引力的合力提供
运动参量
各行星转动方向相同，周期、角速度相等
原理装置图
操作要领
(1)调节：①斜槽末端水平；②固定白纸的平板竖直。(2)确定平抛起点：将小球飞离斜槽末端时球心的位置描在白纸上。
(3)操作：①每次都从同一位置释放小球；
②上下调节挡板N，通过多次实验，在白纸上记录小球所经过的多个位置。
(4)轨迹获取：用平滑曲线把白纸上各印迹连接起来。
实验次数
1
2
3
4
5
6
tan θ
0.18
0.32
0.69
1.00
1.19
1.43
x/m
0.035
0.065
0.140
0.160
0.240
0.290
原理装置图
(1)利用变速塔轮可改变小球的转动角速度。
(2)利用长槽和短槽可改变小球的转动半径。
(3)利用测力套筒可显示向心力的大小。
操作要领
向心力演示器如上图所示。转动手柄1，可使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动，皮带分别套在塔轮2和3上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球分别以几种不同的角速度做匀速圆周运动。小球做圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8，标尺8上露出的红白相间等分格子的多少可以显示出两个球所受向心力的大小。(1)皮带套在塔轮2、3的不同半径的圆盘上，小球质量相同、转动半径相同时，可以探究向心力与角速度的关系。
(2)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动角速度和质量相同时，可以探究向心力与转动半径的关系。
(3)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动半径和转动角速度相同时，可以探究向心力与小球质量的关系。
序号
1
2
3
4
5
6
F向
ω
ω2
序号
1
2
3
4
5
6
F向
r
序号
1
2
3
4
5
6
F向
m
v/(m·s－1)
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
F/N
0.88
2.00
3.50
5.50
7.90