石河子第一中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试卷(含答案)

这是一份石河子第一中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、复数(i为复数单位)的共轭复数是( )
A.B.C.D.
2、在跳水比赛中，有8名评委分别给出某选手原始分，在评定该选手的成绩时，从8个原始分中去掉1个最高分和1个最低分，得到6个有效分，这6个有效分与8个原始分相比较，下列说法正确的是( )
A.中位数，平均分，方差均不变
B.中位数，平均分，方差均变小
C.中位数不变，平均分可能不变，方差变小
D.中位数，平均分，方差都发生改变
3、如图,点D为的边AC上靠近点C的三等分点,,设,,则( )
A.B.C.D.
4、《九章算术》是中国古代一部数学专著,其中的“邪田”为直角梯形,上,下底称为“畔”,高称为“正广”,非高腰边称为“邪”.如图所示,邪长为,东畔长为,在A处测得C,D两点处的俯角分别为和,则正广长约为(注:)( )
A.6.6B.3.3C.4D.7
5、已知空间中两条不同的直线m,n,其方向向量分别为,,则“,”是“直线m,n相交”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
6、已知向量,,且,则等于( )
A.5B.4C.3D.2
7、已知两个圆锥有公共底面,且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上,若球的体积为,这两个圆锥的体积之和为,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为( )
A.B.C.D.
8、已知正方体的棱长为4,M为棱DC的中点,N为侧面的中心,过点M的平面垂直于DN,则平面截正方体所得的截面周长为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、已知复数满足,以下说法正确的有( )
A.B.在复平面内对应的点在第一象限
C.D.若z是方程的一个根,则
10、设A,B为古典概率模型中的两个随机事件,以下命题正确的为( )
A.若,,则当且仅当时,A,B是互斥事件
B.若,,则是必然事件
C.若,,则时A,B是独立事件
D.若,,且,则A,B是独立事件
11、已知,是平面单位向量,且,若该平面内的向量满足,则( )
A.B.C.D.
12、如图,在边长为2的正方形ABCD中,E是CD的中点,将沿AE翻折到,连接PB,PC,F是线段PB的中点,在翻折到的过程中,下列说法正确的是( )
A.存在某个位置,使得
B.CF的长度为定值
C.四棱锥的体积的最大值为
D.直线PA与平面ABCE所成角的正切值的最大值为
三、填空题
13、从2,3,4三个数中任选2个,分别作为圆柱的高和底面半径,则此圆柱的体积大于的概率为______.
14、已知,一组数据4,2,,,7的方差为3.6,则________.
15、设样本空间含有等可能的样本点,且事件,事件,事件,使得,且满足A,B,C两两不独立,则______.
16、如图,菱形ABCD的边长为6,,,则的取值范围为________.
四、解答题
17、已知空间中三点,,.
（1）若A,B,C三点共线,求的值;
（2）若,的夹角是钝角,求的取值范围.
18、已知复数(i是虚数单位,),且为纯虚数(是z的共轭复数)
（1）求实数m及;
（2）设复数,且复数对应的点在第二象限,求实数a的取值范围.
19、居民小区物业服务联系着千家万户,关系着居民的“幸福指数”.某物业公司为了调查小区业主对物业服务的满意程度,以便更好地为业主服务,随机调查了100名业主,根据这100名业主对物业服务的满意程度给出评分,分成,,,,五组,得到如图所示的频率分布直方图.
（1）在这100名业主中,求评分在区间的人数与评分在区间的人数之差;
（2）估计业主对物业服务的满意程度给出评分的众数和90%分位数;
（3）若小区物业服务满意度(满意度)低于0.8,则物业公司需要对物业服务人员进行再培训.请根据你所学的统计知识,结合满意度,判断物业公司是否需要对物业服务人员进行再培训,并说明理由.(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)
20、全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分,每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”,两部分考试都“合格”者,则执业医师考试“合格”,并颁发执业医师证书.甲,乙,丙三人在医学综合笔试中“合格”的概率依次为,,,在实践技能考试中“合格”的概率依次为,,,所有考试是否合格互不影响.
（1）假设甲,乙,丙三人同时进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试,谁获得执业医师证书的可能性最大?
（2）这三人进行实践技能考试与医学综合理论考试两项考试后,求恰有两人获得执业医师证书的概率.
21、在三棱台中,平面ABC,,,,.
（1）证明:.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
22、如图所示,某市有一块正三角形状空地,其中测得千米.当地政府计划将这块空地改造成旅游景点,拟在中间挖一个人工湖,其中点D在AB边上,点E在BC边上,点F在AC边上,,,剩余部分需做绿化,设.
（1）若,求DE的长;
（2）当变化时,的面积是否有最小值?若有则求出最小值,若无请说明理由.
参考答案
1、答案：A
解析:,则复数(i为复数单位)的共轭复数是,
故选:A
2、答案：C
解析：不妨设原始分为，且，则其中位数为，
则有效分为，则其中位数为，
两者相等，所以中位数不变，
例如：原始分为1，2，2，2，2，2，2，3，则其平均数为2，
则有效分为2，2，2，2，2，2，则其平均数为2
两者相等，所以平均数可能不变，
因为从8个原始分中去掉1个最高分和1个最低分（最高分和最低分不相等），得到6个有效分，即把波动最大的两个值去掉，则有效分比原始分更集中，波动性减小，根据方差的定义可知：有效分的方差小于原始分的方差，即方差变小.
故选：C.
3、答案：A
解析:因为点D为的边AC上靠近点C的三等分点,则,
所以,,
因为,所以,.
故选:A.
4、答案：A
解析:由题意知:,
在中,由余弦定理可得:,
代入得:,即,
因为,故,
故.
故选:A.
5、答案：B
解析:由,可知,与不共线,所以两条不同的直线m,n不平行,可能相交,也可能异面,所以“,”不是“直线m,n相交”的充分条件;
由两条不同的直线m,n相交可知,与不共线,所以,,所以“,”是“直线m,n相交”的必要条件,
综上所述:“,”是“直线m,n相交”的必要不充分条件.
故选:B.
6、答案：C
解析:由题设,
由且,解得.
故选:C
7、答案：D
解析:如图,设圆锥与圆锥公共底面圆心为,两圆锥公共底面圆周上一点A,底面半径,
设球心为O,球的半径,
由已知球的体积为,则有
解得:,
又有两个圆锥的体积之和为,则:,
解得:,
在直角中,,
底面积相同的圆锥,高较大者体积较大,
体积较小圆锥的高,
体积较大圆锥的高,
体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.
故选:D.
8、答案：A
解析:如图所示,取BC,的中点E,F,分别连接NE,NF,DE,DF,,,AM,
在正方形ABCD中,因为M,E分别为DC,BC的中点,可得,
所以,,
因为,所以,所以,即,
又因为E,N分别为BC,的中点,所以,
因为平面ABCD,平面ABCD,所以,所以,
又因为且DE,平面DNE,所以平面DNE,
因为平面DNE,所以,同理可证:,
又因为且AM,平面,所以平面,
即平面截正方体的截面为,
由正方体的棱长为4,
在直角中,可得,
在直角中,可得,
在直角中,可得,
所以截面的周长为.
故选:A.
9、答案：BCD
解析:由可得,
则,对应的点为,,故BC正确,A错误,
将代入得,
故,故D正确,
故选:BCD
10、答案：ACD
解析:对于A,因为,所以A,B是互斥事件,所以A正确,
对于B,若事件A为“抛骰子点数出现1或2”,则,若事件B为“抛骰子点数出现的是小于等于4”,则,
而此时不是必然事件,所以B错误,
对于C,因为,,,,
所以,得,
所以,所以A,B是独立事件,所以C正确,
对于D,因为,所以,
因为,,所以,
所以,B是独立事件,则A,B也是独立事件,所以D正确,
故选:ACD
11、答案：BCD
解析:因为,是平面单位向量,且,
所以.
因为,所以,故A错误;
因为,所以,即,故B错误;
设,
因为,所以,解得,
所以,故C正确;
因为,
所以,故D正确.
故选:BCD.
12、答案：BCD
解析:因为,假设,又,PE,平面PBE,
所以平面PBE,又平面PBE,所以.
在中,,所以PA与PB不可能垂直,故A错误;
取PA的中点G,连接EG,FG,如图所示,因为F是线段PB的中点,G是PA的中点,
所以,,又,,所以,,
所以四边形GFCE是平行四边形,所以,故B正确;
当平面平面ABCE时,四棱锥的体积最大,
过P作AE的垂线,垂足为H,所以,,,,
所以,
因为平面平面ABCE,平面平面,,平面PAE,
所以平面ABCE,即PH是四棱锥的高,
所以,故C正确;
当平面平面ABCE时,直线PA与平面ABCE所成角的正切值取得最大值,
此时,所以,故D正确.
故选:BCD.
13、答案：或0.5
解析:解:从2,3,4三个数中任选2个,分别作为圆柱的高和底面半径,
有,,,,,,共个样本点,
由题意,圆柱的体积,即,
满足条件的样本点有,,,共3个样本点,
所以此圆柱的体积大于的概率为.
故答案为:.
14、答案：1
解析:这组数据的平均数为,
所以这组数据的方差为,
得,解得舍去,或.
故答案为:1.
15、答案：13
解析:由题意,,所以,
所以1是A,B,C共同的唯一的样本点,又A,B,C两两不独立,即,,,
可见m,n不可以为4或5,所以m,n为6或7,即.
故答案为:13
16、答案：
解析:设,,则,
因为,,
所以,
,
所以
,
因为,所以,
所以,
所以的取值范围为,
故答案为:
17、答案：（1）;
（2）且不同时成立.
解析:（1）由题设,,又A,B,C三点共线,
所以存在使,即,可得,
所以.
（2）由,
由（1）知:当时,有;
而,又,的夹角是钝角,
所以,可得;
综上,且不同时成立.
18、答案：（1）,
（2）
解析:（1）,,
,
为纯虚数,
,解得,
故,则
（2）,
,
复数所对应的点在第二象限,
,解得,
故实数a的取值范围为.
19、答案：（1）24人;
（2）众数:75分,90%分位数:84分;
（3）物业公司需要对物业服务人员进行再培训,理由见解析.
解析:（1）评分在区间的人数为(人),
评分在区间的人数为(人),
故评分在区间的人数与评分在区间的人数之差为(人);
（2）业主对物业服务的满意程度给出评分的众数为75分,
由,,
设业主对物业服务的满意程度给出评分的90%分位数为x,
有,解得,
故业主对物业服务的满意程度给出评分的众数和90%分位数分别为75分和84分;
（3）业主对物业服务的满意程度给出评分的平均分为
,
由,
故物业公司需要对物业服务人员进行再培训.
20、答案：（1）乙的可能性最大
（2）
解析:（1）记甲乙丙三人在医学综合笔试中合格依次为事件,,,
在实践考试中合格依次为,,,
则甲乙丙获得执业医师证书依次为,,,
并且与,与,与相互独立,
则,,
由于,故乙获得执业医师证书的可能性最大.
（2）由于事件,,彼此相互独立,
“恰有两人获得执业医师证书”即为事件:,
概率为.
21、答案：（1）证明见解析
（2）
解析:（1）平面ABC,平面ABC,
,
平面平面ABC,
平面,
平面,
,
,
,
,
即,
又,,,平面,平面,
平面,
,
,平面,平面,
平面,
平面,
.
（2）如图,作于H,
在直角梯形中,得,
同理可得,
在等腰梯形中,,
则,
,
设B到平面的距离为d,
由,
得,
则,
又,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
22、答案：（1）千米;
（2）有,.
解析:（1）设千米,当时,为等边三角形,
所以,由,,得,
中,,,所以,
所以,
所以,解得,所以千米;
（2）中,,由正弦定理得,
解得;
中,,由正弦定理得,
解得;
由,得,
即,
,
解得;
由,
因为,所以当时x取得最小值,
所以的面积有最小值,最小值为.