石河子第一中学2023-2024学年高二上学期11月月考数学试卷(含答案)

这是一份石河子第一中学2023-2024学年高二上学期11月月考数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2、空间四边形OABC中,,,,且,,则( )
A.B.C.D.
3、设F为抛物线焦点,点A在C上,点,若,则( )
A.2B.C.3D.
4、已知双曲线的渐近线方程为,且C过点,则C的方程为( )
A.B.C.D.
5、由直线上的点向圆作切线,则切线长的最小值为( )
A.1B.C.D.3
6、实数x,y满足,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
7、已知是抛物线上一点,过C焦点F的直线l与C交于A,B两点,则的最小值为( )
A.24B.28C.30D.32
8、已知双曲线的右焦点为F,过F作垂直于x轴的直线与双曲线C交于M,N两点,与双曲线的渐近线交于P,Q两点,若,记过第一,三象限的双曲线C的渐近线为则的倾斜角的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、已知椭圆,,分别是椭圆的左,右焦点,P为椭圆上任意一点.下列说法中正确的是( )
A.椭圆离心率为B.的最小值为1
C.D.
10、下列说法正确的是( )
A.已知点,,若过的直线与线段相交,则直线的倾斜角范围为
B.“”是“直线与直线互相平行”的充要条件
C.曲线与恰有四条公切线,则实数m的取值范围为
D.圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于
11、如图,在多面体ABCDEP中,平面ABCD,四边形ABCD是正方形,且,,M,N分别是线段BC,PB的中点,Q是线段DC上的一个动点(不含端点D,C),则下列说法正确的是( )
A.存在点Q,使得
B.不存在点Q,使得异面直线NQ与PE所成的角为
C.三棱锥体积的取值范围为
D.当点Q运动到DC中点时,DC与平面QMN所成的余弦值为
12、椭圆有如下的光学性质,从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射,反射光线经过另一个焦点.现椭圆C的焦点在x轴上,中心在坐标原点,左,右焦点分别为,.一束光线从射出,经椭圆镜面反射至,若两段光线总长度为6,且椭圆的离心率为,左顶点和上顶点分别为A,B.则下列说法正确的是( )
A.椭圆的标准方程为
B.若点P在椭圆上,则最大值为
C.若点P在椭圆上,的最大值为
D.过直线上一点M分别作椭圆的切线,交椭圆于P,Q两点,则直线PQ恒过定点
三、填空题
13、抛物线的焦点坐标是______.
14、已知点N是点在坐标平面Oxz内的射影,则___________.
15、已知双曲线,,是其两个焦点,点在双曲线上,若,则的面积为______.
16、已知圆C的圆心在直线上,并且经过点和点.若直线上存在点P,过点P作圆C:的两条切线,切点分别为M,N,且,则实数t的取值范围为______.
四、解答题
17、已知直线,,.
（1）若点在上,且到直线的距离为,求点P的坐标;
（2）若,求与的距离.
18、如图,三棱柱中,底面边长和侧棱长都等于1,.
（1）设,,,用向量,,表示,并求出的长度;
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
19、给定椭圆,称圆心在原点O,半径是的圆为椭圆C的“准圆”.已知椭圆C的一个焦点为,其短轴的一个端点到点的距离为.
（1）求椭圆C和其“准圆”的方程;
（2）若点A,B是椭圆C的“准圆”与轴的两交点,P是椭圆C上的一个动点,求的取值范围.
20、已知圆的方程为.
（1）若圆与圆关于直线对称,求圆的方程;
（2）若,圆与圆交于A,B两点,且,求圆的方程.
21、如图,在正四棱柱中,,.点,,,分别在棱,,,上,,,.
（1）证明:;
（2）求点到平面的距离;
（3）点P在棱上,当二面角为时,求.
22、已知,B,M是椭圆C上的三点,其中A,B两点关于原点O对称,直线MA和MB的斜率满足.
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）点Q是椭圆C长轴上的不同于左右顶点的任意一点,过点Q作斜率不为0的直线l,l与椭圆的两个交点分别为P,N,若为定值,则称点Q为“稳定点”,问:是否存在这样的稳定点?若有,试求出所有的“稳定点”,并说明理由;若没有,也请说明理由.
参考答案
1、答案：B
解析:由已知,设直线的倾斜角为,则,又,
所以.
故选:B
2、答案：D
解析:由题知,空间四边形OABC中,,,,且,,
如图,
所以,
所以,
故选:D
3、答案：B
解析:由题意得,,则,
即点到准线的距离为2,所以点A的横坐标为,
不妨设点A在x轴上方,代入得,,
所以.
故选:B
4、答案：B
解析:因为双曲线C的渐近线方程为,
所以可设C的方程为,
把点的坐标代入得,
所以C的方程为,即.
故选:B.
5、答案：B
解析:切线长的最小值是当直线上的点与圆心距离最小时取得,
圆心到直线的距离为,
圆的半径为1,
故切线长的最小值为,
故选:B.
6、答案：C
解析:方程,即,
所以是以,半径为2的圆上的点,
表示点与点连线的斜率,
设直线与圆相切,
到直线的距离,
解得或,
所以的取值范围是.
故选:C
7、答案：D
解析:因为是抛物线上一点,
所以,故,
则抛物线方程为,
设,,不妨设,
设直线l的方程为,
联立,
所以,,
,
则,
当且仅当且时,等号成立,
故的最小值为32,
故选:D
8、答案：C
解析:如图所示:
在双曲线中,取,可得,,
分别在双曲线的渐近线与中,取,求得,
由,得,即,
,,可得,
直线倾斜角的范围为,且过一,三象限,
的倾斜角的取值范围为.
故选:C.
9、答案：BD
解析:对于选项A,根据椭圆方程可得,,
则,故离心率,故错误;
对于B,当点P位于椭圆的左顶点时,最小,且最小值为,
故B正确;
对于C,由椭圆的定义知,,故C错误;
对于D,当点P位于椭圆的左右顶点时,最小,且最小值为0,
当点P位于椭圆的上下顶点时,最大,
此时,
为等边三角形,,
所以,故正确,
故选:BD.
10、答案：AC
解析:A选项,,所以直线PA的倾斜角为,
,所以直线PB的倾斜角为,
所以直线l的倾斜角范围为,A选项正确.
B选项,由解得,
当时,两直线为,两直线平行;
当时,两直线为,,
即,,两直线平行,
所以“”是“直线与直线互相平行”的充分不必要条件,
所以B选项错误.
C选项,,即,是圆心为,半径;
,即,
要表示圆,则,,此时圆心为,半径为,
两圆有四条公切线,所以两圆外离,
所以,,解得,C选项正确.
D选项,圆的圆心为,半径为,
圆心到直线的距离为,
所以圆上有且仅有3个点到直线:的距离都等于,
所以D选项错误.
故选:AC
11、答案：BC
解析:以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,
则,,,,,,,,
对于A,假设存在点,使得,
因为,,
所以,解得,不合题意,故A错误;
对于B,假设存在点,使得异面直线NQ与PE所成的角为,
因为,,
所以,
解得,不符合,
则不存在点Q,使得异面直线NQ与PE所成的角为,故B正确;
对于C,连接AQ,AM,AN,,,
因为,
点N到平面AMQ的距离,
所以,
因为,所以,故C正确;
对于D,当点Q运动到DC中点时,,又,,
则,,
设是平面QMN的法向量,
则,令,则,
因为,设直线DC与平面QMN所成的角为,
所以,故D错误.
故选:BC.
12、答案：ACD
解析:一束光线从射出,经椭圆镜面反射至,如下图所示:
所以可得,即,
又椭圆的离心率为,可得,
所以,
故椭圆方程为,所以A正确;
由椭圆的定义知,
不妨设,(,),
,
因为,可得,
所以,
当且仅当时等号成立,此时最大为钝角设为,
则,故当时,
的最大值为1,故B错误;
易得设点,
则
当时,,故正确;
易知椭圆在点处的切线方程为,
证明如下:当切线斜率存在时,
设直线与相切与点,
联立,
所以,
整理可得,
又易知,即,
所以
整理可得①;
又切点在椭圆上,即,
整理可得②,
联立①②,可得
即,
所以切线方程为,
化简得,
经检验,直线斜率不存在时也符合上式,
即椭圆在点处的切线方程为,
设,,,
所以椭圆在点P处的切线PM的方程为,
在点Q处的切线MQ的方程为,
两线相交于点M,所以可得
,
即点P,Q满足方程,
所以直线PQ的方程为,
整理可得,
令,
故直线PQ的方程过定点,故D正确,
故选:ACD
13、答案：
解析:因为抛物线方程,焦点坐标为,且,
所以焦点坐标为,
故答案为:.
14、答案：5
解析:由题可知,,则,.
故答案为:5.
15、答案：2
解析:由双曲线,可得,,则,
所以双曲线的焦距为,因为,为直角三角形,
可得,又因为,
可得,即,
解得,所以的面积为.
故答案为:2.
16、答案：
解析:因为AB的中点为,且,
所以AB的垂直平分线为,即.
由,得,所以圆心,
则半径,所以圆.
如图,由结合切线的性质可得,所以.
所以圆心到直线m的距离,
即,解得,
所以t的取值范围为.
故答案为:.
17、答案：（1）或
（2）
解析:（1）设,由,得
或6
P的坐标为或
（2）由得
,即
与的距离
18、答案：（1）
（2）
解析:（1）,
因为,同理可得,
所以
（2）因为,所以,
因为,
所以.
所以异面直线与所成角的余弦值为.
19、答案：（1）见解析
（2）
解析:（1）由题意知,且,可得,
故椭圆C的方程为,其“准圆”方程为.
（2）由题意,设,则有,
不妨设,,所以,,
所以,又,则,
所以的取值范围是.
20、答案：（1）
（2）或
解析:（1）圆的方程为,则圆心,半径,
设点关于直线对称的点,
则,解得,
所以圆的方程为.
（2）设圆的方程为(),圆的方程为,
因为圆与圆相交,则,所以,
可得两圆的方程相减,即为两圆公共弦AB所在的直线的方程即,
可得到直线AB的距离,
由弦长,可得,即,可得或,
所以圆的方程为:或.
21、答案：（1）见解析
（2）
（3）
解析:（1）以C为坐标原点,CD,CB,所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图,
则,,,,,
,,
所以,
且,不在一条直线上,所以.
（2）设平面的一个法向量为,
,,
所以,设,则,,
所以,
又因为,,
所以点到平面的距离.
（3）设,
,,
设平面的法向量为,
则,
令,,,所以,
所以
可得,解得或,
所以.
22、答案：（1）
（2）见解析
解析:（1）设,易知,
由,得,
化简得,故椭圆C的标准方程为.
（2）点Q是椭圆C长轴上的不同于A,B的任意一点,
故可设直线PN的方程为,,,
由,得,
,,恒成立.
又,,
,
,
要使其值为定值,则,
故当,即时,.
综上,存在这样的稳定点.