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2023-2024年新高考数学一轮复习培优教案1.1《集合》 (2份打包，原卷版+教师版)
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核心素养立意下的命题导向
1.与方程、函数、不等式等相结合考查集合元素的性质，凸显数学抽象的核心素养.
2.与不等式相结合考查集合的基本关系，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养.
3.与不等式、数轴、Venn图等相结合考查集合的运算，凸显数学运算、直观想象的核心素养.
[理清主干知识]
1．集合的有关概念
(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.
(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．
(4)五个特定的集合：
2．集合间的基本关系
3．有限集的子集个数
设集合A是有n(n∈N*)个元素的有限集，即card(A)＝n.
(1)A的子集个数是2n；
(2)A的真子集个数是 2n﹣1；
(3)A的非空子集个数是2n﹣1；
(4)A的非空真子集个数是2n﹣2.
4．集合的三种基本运算
5.集合基本运算的性质
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅.
(2)A∪A＝A，A∪∅＝A.
(3)A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A.
(4)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅.
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(集合的表示)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A．9 B．8 C．5 D．4
答案：A
2．(并集与交集的运算)设集合A＝{﹣1,1,2,3,5}，B＝{2,3,4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝( )
A．{2} B．{2,3} C．{﹣1,2,3} D．{1,2,3,4}
答案：D
3．(全集与补集的运算)设全集为R，集合A＝{x|0A．{x|0答案：C
4．设集合M＝{1，x，y}，N＝{x，x2，xy}，且M＝N，则x2 023＋y2 022＝________.
答案：﹣1
二、易错点练清
1．(忽视元素的互异性)已知集合A＝{1,3，eq \r(m)}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝( )
A．1 B．0或1或3 C．0或3 D．1或3
解析：选C 由B⊆A，得m＝3或m＝eq \r(m)，解m＝eq \r(m)，得m＝0或m＝1，
由集合元素的互异性知m≠1.∴m＝0或3.
2．(忽视空集的情形)已知集合M＝{x|x﹣a＝0}，N＝{x|ax﹣1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是( )
A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．0或1或﹣1
解析：选D 由M∩N＝N，得N⊆M，当N＝∅时，a＝0；当N≠∅时，eq \f(1,a)＝a，解得a＝±1，故a的值为±1,0.
3．(忽视集合运算中端点取值)已知集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．
解析：因为集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，所以B⊆A，
如图所示，所以m≥3.
答案：[3，＋∞)
考点一 集合的基本概念
[典例] (1)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A．9 B．8 C．5 D．4
(2)设A＝{2，3，a2﹣3a，a＋eq \f(2,a)＋7}，B＝{|a﹣2|,3}，已知4∈A且4∉B，则a的取值集合为________．
[解析] (1)将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(﹣1，﹣1)，(﹣1,0)，(﹣1,1)，(0，﹣1)，(0,0)，(0,1)，(1，﹣1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.
(2)因为4∈A，即4∈{2，3，a2﹣3a，a＋eq \f(2,a)＋7}，所以a2﹣3a＝4或a＋eq \f(2,a)＋7＝4.
若a2﹣3a＝4，则a＝﹣1或a＝4；若a＋eq \f(2,a)＋7＝4，即a2＋3a＋2＝0，则a＝﹣1或a＝﹣2.
由a2﹣3a与a＋eq \f(2,a)＋7互异，得a≠﹣1.故a＝﹣2或a＝4.又4∉B，即4∉{|a﹣2|,3}，
所以|a﹣2|≠4，解得a≠﹣2且a≠6.
综上所述，a的取值集合为{4}．
[答案] (1)A (2){4}
[方法技巧]
与集合元素有关问题的解题策略
(1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义．
(2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．
[针对训练]
1．(多选)实数1是下面哪个集合中的元素( )
A．整数集Z B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＝|x|)) C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈N|－1解析：选ABD 对于A，∵1是整数，∴1∈Z，故A正确．
对于B，∵x＝|x|，∴x≥0，∵1>0，∴B正确．
对于C，∵eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈N|－1对于D，∵eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x－1,x＋1)))≤0))＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R|－12．已知集合A＝{1，x2}．若x2∈{1,3,9，x}，则x＝________.
解析：由题意知，x2≠1，∴x≠±1.∵x2∈{1,3,9，x}，∴若x2＝3，则x＝±eq \r(3)，经检验可知符合题意；
若x2＝9，则x＝±3，经检验，x＝3不满足集合元素的互异性，舍去；若x2＝x，则x＝0或x＝1，经检验，x＝1不满足集合元素的互异性，舍去．综上可知x＝eq \r(3)或﹣eq \r(3)或﹣3或0.
答案：eq \r(3)或﹣eq \r(3)或﹣3或0.
3．设集合A＝{﹣4,2a﹣1，a2}，B＝{9，a﹣5,1﹣a}，且A，B中有唯一的公共元素9，则实数a的值为________．
解析：因为集合A，B中有唯一的公共元素9，所以9∈A.若2a﹣1＝9，即a＝5，此时A＝{﹣4,9,25}，B＝{9,0，﹣4}，则集合A，B中有两个公共元素﹣4,9，与已知矛盾，舍去．若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A＝{﹣4,5,9}，B＝{9，﹣2，﹣2}，B中有两个元素均为﹣2，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去；当a＝﹣3时，A＝{﹣4，﹣7,9}，B＝{9，﹣8,4}，符合题意．综上所述，a＝﹣3.
答案：﹣3
考点二 集合间的基本关系
[典例] (1)已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为( )
A．7 B．8 C．15 D．16
(2)已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．
[解析] (1)法一：A＝{x|﹣1≤x≤3，x∈N*}＝{1,2,3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个．法二：因为集合A中有3个元素，所以其真子集的个数为23﹣1＝7(个)．
(2)因为B⊆A，所以，①若B＝∅，则2m﹣1则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m－1≥m＋1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5.))解得2≤m≤3.由①、②可得，符合题意的实数m的取值范围为(﹣∞，3]．
[答案] (1)A (2)(﹣∞，3]
[方法技巧] 解决有关集合间的基本关系问题的策略
(1)一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合间的关系，如果集合中含有参数，需要对式子进行变形，有时需要进一步对参数分类讨论．
(2)确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数．
[提醒] 不能忽略任何非空集合是它自身的子集．
(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系，常用数轴法、Venn图法．
[针对训练]
1．已知集合M＝{x|y＝eq \r(1－x2)，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合M，N的关系是( )
A．M⫋N B．N⫋M C．M⊆∁RN D．N⊆∁RM
解析：选B 依题意知，M＝{x|y＝eq \r(1－x2)，x∈R}＝{x|﹣1≤x≤1}，N＝{x|x＝m2，m∈M}＝{x|0≤x≤1}，所以N⫋M.故选B.
2．已知集合A＝{x|x2﹣3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选D 求解一元二次方程，得A＝{x|x2﹣3x＋2＝0，x∈R}＝{x|(x﹣1)(x﹣2)＝0，x∈R}＝{1,2}，易知B＝{x|0考点三 集合的基本运算
考法(一) 集合间的交、并、补运算
[例1] (1)(多选)设全集U＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，1，2，3，4))，集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，1，4))，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，1，3))，则( )
A．A∩B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，1)) B．∁UB＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(4))
C．A∪B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，1，3，4)) D．集合A的真子集个数为8
(2)已知M，N均为R的子集，且∁RM⊆N，则M∪(∁RN)＝( )
A．∅ B．M C．N D．R
[解析] (1)∵全集U＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，1，2，3，4))，A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，1，4))，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，1，3))，∴A∩B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，1))，∁UB＝{2,4}，A∪B＝{0,1,3,4}，集合A的真子集个数为23﹣1＝7，故选A、C.
(2)如图所示，易知答案为B.
[答案] (1)AC (2)B
[方法技巧] 解决集合运算问题3个技巧
考法(二) 利用集合的运算求参数
[例2] (1)设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝( )
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
(2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为________．
[解析] (1)易知A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x≤﹣eq \f(a,2)}，因为A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，所以﹣eq \f(a,2)＝1，解得a＝﹣2.故选B.
(2)根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4,16}，只能是a＝4.
[答案] (1)B (2)4
[方法技巧]
利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
(1)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．
(2)若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
[提醒] 在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．
[针对训练]
1．设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2A．{x|2解析：选C 因为A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|22．已知集合A＝{x|﹣1A．(﹣1,0] B．[﹣1,2) C．[1,2) D．(1,2]
解析：选C ∵A＝{x|﹣1则(∁RA)∩B＝{x|1≤x<2}，故选C.
3．已知集合A＝{x|x<3}，B＝{x|x>a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为( )
A．[3，＋∞) B．(3，＋∞) C．(﹣∞，3) D．(﹣∞，3]
解析：选C 因为A∩B≠∅，所以结合数轴可知实数a的取值范围是a<3，故选C.
一、创新命题视角——学通学活巧迁移
集合中的新定义问题
类型(一) 定义新运算
[例1] 定义集合A与B的运算“*”为：A*B＝{x|x∈A或x∈B，但x∉(A∩B)}．设X是非负偶数集，Y＝{1,2,3,4,5}，则(X*Y)*Y＝( )
A．X B．Y C．X∩Y D．X∪Y
[解析] 由题意可知，X∩Y＝{2,4}，X∪Y＝{0,1,2,3,4,5,6,8,10，…}，
∴X*Y＝{0,1,3,5,6,8,10，…}．∴(X*Y)∩Y＝{1,3,5}，(X*Y)∪Y＝{0,1,2,3,4,5,6,8,10，…}．
∴(X*Y)*Y＝{0,2,4,6,8,10，…}＝X.故选A.
[答案] A
[名师微点]
正确分析新运算法则，把新运算法则所表达的数学本质弄清楚，进而转化成熟悉的数学情境．注意结合集合的基础知识解答．
类型(二) 定义新概念
[例2] 已知集合A0＝{x|0(1)具有性质“∅”的一个一次函数的解析式可以是________．
(2)给出下列函数：①y＝eq \f(1,x)；②y＝x2＋1；③y＝cseq \f(π,2)x＋2.其中具有性质“∅”的函数的序号是________．
[解析] (1)答案不唯一，合理即可．示例：对于解析式y＝x＋1，
因为A0＝{x|0故具有性质“∅”的一个一次函数的解析式可以是y＝x＋1.
(2)对于①，A0＝{x|01}，A2＝{x|0对于②，A0＝{x|0对于③，A0＝{x|0所以具有性质“∅”的函数的序号是①②.
[答案] (1)y＝x＋1 (2)①②
[名师微点] 解决集合创新型问题的方法
二、创新考查方式——领悟高考新动向
1．现有100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是( )
A．最多人数是55 B．最少人数是55
C．最少人数是75 D．最多人数是80
解析：选B 设100名携带药品出国的旅游者组成全集I，其中带感冒药的人组成集合A，带胃药的人组成集合B.设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x，则0≤x≤20.设以上两种药都带的人数为y.由图可知，x＋card(A)＋card(B)﹣y＝100.∴x＋75＋80﹣y＝100，∴y＝55＋x.∵0≤x≤20，∴55≤y≤75，故最少人数是55.
2．中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数．三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？现有如下表示：已知A＝{x|x＝3n＋2，n∈N*}，B＝{x|x＝5n＋3，n∈N*}，C＝{x|x＝7n＋2，n∈N*}，若x∈(A∩B∩C)，则整数x的最小值为( )
A．128 B．127 C．37 D．23
解析：选D ∵求整数的最小值，∴先将23代入检验，满足A，B，C三个集合，故选D.
3．若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的．请写出满足上述条件的一个有序数组(a，b，c，d)＝________，符合条件的全部有序数组(a，b，c，d)的个数是________．
解析：显然①不可能正确，否则①②都正确；
若②正确，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝3，,c＝1，,d＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝2，,c＝1，,d＝4.))若③正确，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝1，,c＝2，,d＝4.))
若④正确，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝1，,c＝4，,d＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝1，,c＝4，,d＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝1，,c＝3，,d＝2.))
所以符合条件的数组共6个．
答案：(3,2,1,4)(填一个正确的即可) 6
4．已知U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是集合U中的两个元素所组成的集合，且同时满足下列三个条件：①若a1∈A，则a2∈A；②若a3∉A，则a2∉A；③若a3∈A，则a4∉A.求集合A.
解：假设a1∈A，则a2∈A.又若a3∉A，则a2∉A，∴a3∈A，与集合A中有且仅有两个元素不符，∴假设不成立，∴a1∉A.假设a4∈A，则a3∉A，则a2∉A，且a1∉A，与集合A中有且仅有两个元素不符，∴假设不成立，∴a4∉A.
故集合A＝{a2，a3}，经检验知符合题意．
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
1．(多选)若集合M⊆N，则下列结论正确的是( )
A．M∩N＝M B．M∪N＝N C．M⊆(M∩N) D．(M∪N)⊆N
解析：选ABCD 由于M⊆N，即M是N的子集，故M∩N＝M，M∪N＝N，
从而M⊆(M∩N)，(M∪N)⊆N.
2．设全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1,0,1,2,3}，集合A＝{﹣1,0,1,2}，B＝{﹣3,0,2,3}，则A∩(∁UB)＝( )
A．{﹣3,3} B．{0,2} C．{﹣1,1} D．{﹣3，﹣2，﹣1,1,3}
解析：选C 法一：由题知∁UB＝{﹣2，﹣1,1}，所以A∩(∁UB)＝{﹣1,1}，故选C.
法二：易知A∩(∁UB)中的元素不在集合B中，则排除选项A、B、D，故选C.
3．已知集合A＝{x|﹣11}，则A∪B＝( )
A．(﹣1,1) B．(1,2) C．(﹣1，＋∞) D．(1，＋∞)
解析：选C 将集合A，B在数轴上表示出来，如图所示．
由图可得A∪B＝{x|x>﹣1}．
4．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
解析：选B 因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.
5．设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2﹣4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝( )
A．{1，﹣3} B．{1,0} C．{1,3} D．{1,5}
解析：选C 因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2﹣4x＋m＝0的根，所以1﹣4＋m＝0，m＝3，方程为x2﹣4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1,3}．
6．集合A＝{3,2a}，B＝{a，b}．若A∩B＝{4}，则A∪B＝( )
A．{2,3,4} B．{1,3,4} C．{0,1,2,3} D．{1,2,3,4}
解析：选A ∵A∩B＝{4}，∴2a＝4，则a＝2，b＝4.∴A∪B＝{2,3,4}．
7．已知全集U＝{x|﹣1A．{a|a<9} B．{a|a≤9} C．{a|a≥9} D．{a|1解析：选D 由题意知，集合A≠∅，所以a>1，又因为A是U的子集，故需a≤9，
所以a的取值范围是{a|18．已知集合A＝{﹣1,0,1}，B＝{x|x2﹣3x＋m＝0}，若A∩B＝{0}，则B的子集有( )
A．2个 B．4个 C．8个 D．16个
解析：选B ∵A∩B＝{0}，∴0∈B，∴m＝0，∴B＝{x|x2﹣3x＝0}＝{0,3}．
∴B的子集有22＝4个．故选B.
9．(多选)已知全集U＝R，函数y＝ln(x﹣2)的定义域为M，集合N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x2－2x>0))，则下列结论正确的是( )
A．M∩N＝M B．M∩(∁UN)＝∅ C．M∪N＝U D．M＝∁UN
解析：选AB 由x﹣2>0得x>2，所以M＝(2，＋∞)．由x2﹣2x>0得x<0或x>2，所以N＝(﹣∞，0)∪(2，＋∞)，∁UN＝[0,2]，所以M∩(∁UN)＝∅，M∩N＝M，M∪N＝N≠U，M≠∁UN.故选A、B.
10．设集合A＝{x|y＝lg(﹣x2＋x＋2)}，B＝{x|x﹣a>0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是( )
A．(﹣∞，﹣1) B．(﹣∞，﹣1]
C．(﹣∞，﹣2) D．(﹣∞，﹣2]
解析：选B 集合A＝{x|y＝lg(﹣x2＋x＋2)}＝{x|﹣1a}，因为A⊆B，所以a≤﹣1.
11.如图，已知I是全集，A，B，C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A．[(∁IA)∩B]∩C B．[(∁IB)∪A]∩C
C．(A∩B)∩(∁IC) D．[A∩(∁IB)]∩C
解析：选D 由图知阴影部分中的元素属于A，不属于B，属于C.则阴影部分表示的集合是[A∩(∁IB)]∩C.
12．已知集合A＝{x|x＝k＋eq \f(1,6)，k∈N}，B＝{x|x＝eq \f(1,2)m﹣eq \f(1,3)，m∈N}，C＝{x|x＝eq \f(1,2)n＋eq \f(1,6)，n∈N}，则集合A，B，C的关系是( )
A．A⫋C⫋B B．C⫋A⫋B C．A⫋B＝C D．A⫋B⫋C
解析：选A ∵集合C＝{x|x＝k＋eq \f(1,6)，k∈N}，∴当n＝2a(a∈N)时，x＝eq \f(2a,2)＋eq \f(1,6)＝a＋eq \f(1,6)，此时C＝A，∴AC.当n＝b﹣1(b∈N*)时，x＝eq \f(b－1,2)＋eq \f(1,6)＝eq \f(b,2)﹣eq \f(1,2)＋eq \f(1,6)＝eq \f(b,2)﹣eq \f(1,3)(b∈N *)．而集合B＝{x|x＝eq \f(1,2)m﹣eq \f(1,3)，m∈N}，当m＝0时，﹣eq \f(1,3)∈B，但﹣eq \f(1,3)∉C，∴集合CB.综上，A⫋C⫋B，故选A.
13．已知集合P＝{y|y2﹣y﹣2>0}，Q＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若P∪Q＝R，P∩Q＝(2,3]，则a＋b＝________.
解析：P＝{y|y2﹣y﹣2>0}＝{y|y>2或y<﹣1}，∵P∪Q＝R，P∩Q＝(2,3]，∴Q＝{x|﹣1≤x≤3}，
∴﹣1,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1＋3＝－a，,－1×3＝b，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝－3，))
∴a＋b＝﹣5.
答案：﹣5
14．若集合{x|x2＋2kx＋1＝0}中有且仅有一个元素，则满足条件的实数k的取值集合是________．
解析：由题意知，方程x2＋2kx＋1＝0有两个相等实根，∴Δ＝4k2﹣4＝0，解得k＝±1，
∴满足条件的实数k的取值集合是{1，﹣1}．
答案：{1，﹣1}
15．对于任意两集合A，B，定义A﹣B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A﹣B)∪(B﹣A)，记A＝{y|y≥0}，B＝{x|﹣3≤x≤3}，则A*B＝________________.
解析：由题意知A﹣B＝{x|x>3}，B﹣A＝{x|﹣3≤x<0}，所以A*B＝[﹣3,0)∪(3，＋∞)．
答案：[﹣3,0)∪(3，＋∞)
16．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|﹣2解析：由已知A＝{x|x≥﹣m}，∴∁UA＝{x|x<﹣m}．
∵B＝{x|﹣2答案：[2，＋∞)
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R
表示
关系
文字语言
记法
集合间的基本关系
子集
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素
A⊆B或B⊇A
真子集
集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A
AB或BA
相等
集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素
A⊆B且B⊆A⇔A＝B
空集
空集是任何集合的子集
∅⊆A
空集是任何非空集合的真子集
∅B且B≠∅
符号表示
图形表示
符号语言
集合的
并集
A∪B
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
集合的
交集
A∩B
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
集合的
补集
若全集为U，则集合A的补集为∁UA
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
看元素
构成
集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键
对集合
化简
有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决
应用数形
常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图
紧扣
新定义
首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是解决新定义型问题的关键所在
用好集合
的性质
集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是解决新定义集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些信息，在关键之处用好集合的性质
核心素养立意下的命题导向
1.与方程、函数、不等式等相结合考查集合元素的性质，凸显数学抽象的核心素养.
2.与不等式相结合考查集合的基本关系，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养.
3.与不等式、数轴、Venn图等相结合考查集合的运算，凸显数学运算、直观想象的核心素养.
[理清主干知识]
1．集合的有关概念
(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.
(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．
(4)五个特定的集合：
2．集合间的基本关系
3．有限集的子集个数
设集合A是有n(n∈N*)个元素的有限集，即card(A)＝n.
(1)A的子集个数是2n；
(2)A的真子集个数是 2n﹣1；
(3)A的非空子集个数是2n﹣1；
(4)A的非空真子集个数是2n﹣2.
4．集合的三种基本运算
5.集合基本运算的性质
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅.
(2)A∪A＝A，A∪∅＝A.
(3)A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A.
(4)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅.
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(集合的表示)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A．9 B．8 C．5 D．4
答案：A
2．(并集与交集的运算)设集合A＝{﹣1,1,2,3,5}，B＝{2,3,4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝( )
A．{2} B．{2,3} C．{﹣1,2,3} D．{1,2,3,4}
答案：D
3．(全集与补集的运算)设全集为R，集合A＝{x|0
4．设集合M＝{1，x，y}，N＝{x，x2，xy}，且M＝N，则x2 023＋y2 022＝________.
答案：﹣1
二、易错点练清
1．(忽视元素的互异性)已知集合A＝{1,3，eq \r(m)}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝( )
A．1 B．0或1或3 C．0或3 D．1或3
解析：选C 由B⊆A，得m＝3或m＝eq \r(m)，解m＝eq \r(m)，得m＝0或m＝1，
由集合元素的互异性知m≠1.∴m＝0或3.
2．(忽视空集的情形)已知集合M＝{x|x﹣a＝0}，N＝{x|ax﹣1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是( )
A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．0或1或﹣1
解析：选D 由M∩N＝N，得N⊆M，当N＝∅时，a＝0；当N≠∅时，eq \f(1,a)＝a，解得a＝±1，故a的值为±1,0.
3．(忽视集合运算中端点取值)已知集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．
解析：因为集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，所以B⊆A，
如图所示，所以m≥3.
答案：[3，＋∞)
考点一 集合的基本概念
[典例] (1)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A．9 B．8 C．5 D．4
(2)设A＝{2，3，a2﹣3a，a＋eq \f(2,a)＋7}，B＝{|a﹣2|,3}，已知4∈A且4∉B，则a的取值集合为________．
[解析] (1)将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(﹣1，﹣1)，(﹣1,0)，(﹣1,1)，(0，﹣1)，(0,0)，(0,1)，(1，﹣1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.
(2)因为4∈A，即4∈{2，3，a2﹣3a，a＋eq \f(2,a)＋7}，所以a2﹣3a＝4或a＋eq \f(2,a)＋7＝4.
若a2﹣3a＝4，则a＝﹣1或a＝4；若a＋eq \f(2,a)＋7＝4，即a2＋3a＋2＝0，则a＝﹣1或a＝﹣2.
由a2﹣3a与a＋eq \f(2,a)＋7互异，得a≠﹣1.故a＝﹣2或a＝4.又4∉B，即4∉{|a﹣2|,3}，
所以|a﹣2|≠4，解得a≠﹣2且a≠6.
综上所述，a的取值集合为{4}．
[答案] (1)A (2){4}
[方法技巧]
与集合元素有关问题的解题策略
(1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义．
(2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．
[针对训练]
1．(多选)实数1是下面哪个集合中的元素( )
A．整数集Z B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＝|x|)) C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈N|－1
对于B，∵x＝|x|，∴x≥0，∵1>0，∴B正确．
对于C，∵eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈N|－1
解析：由题意知，x2≠1，∴x≠±1.∵x2∈{1,3,9，x}，∴若x2＝3，则x＝±eq \r(3)，经检验可知符合题意；
若x2＝9，则x＝±3，经检验，x＝3不满足集合元素的互异性，舍去；若x2＝x，则x＝0或x＝1，经检验，x＝1不满足集合元素的互异性，舍去．综上可知x＝eq \r(3)或﹣eq \r(3)或﹣3或0.
答案：eq \r(3)或﹣eq \r(3)或﹣3或0.
3．设集合A＝{﹣4,2a﹣1，a2}，B＝{9，a﹣5,1﹣a}，且A，B中有唯一的公共元素9，则实数a的值为________．
解析：因为集合A，B中有唯一的公共元素9，所以9∈A.若2a﹣1＝9，即a＝5，此时A＝{﹣4,9,25}，B＝{9,0，﹣4}，则集合A，B中有两个公共元素﹣4,9，与已知矛盾，舍去．若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A＝{﹣4,5,9}，B＝{9，﹣2，﹣2}，B中有两个元素均为﹣2，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去；当a＝﹣3时，A＝{﹣4，﹣7,9}，B＝{9，﹣8,4}，符合题意．综上所述，a＝﹣3.
答案：﹣3
考点二 集合间的基本关系
[典例] (1)已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为( )
A．7 B．8 C．15 D．16
(2)已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．
[解析] (1)法一：A＝{x|﹣1≤x≤3，x∈N*}＝{1,2,3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个．法二：因为集合A中有3个元素，所以其真子集的个数为23﹣1＝7(个)．
(2)因为B⊆A，所以，①若B＝∅，则2m﹣1
[答案] (1)A (2)(﹣∞，3]
[方法技巧] 解决有关集合间的基本关系问题的策略
(1)一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合间的关系，如果集合中含有参数，需要对式子进行变形，有时需要进一步对参数分类讨论．
(2)确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数．
[提醒] 不能忽略任何非空集合是它自身的子集．
(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系，常用数轴法、Venn图法．
[针对训练]
1．已知集合M＝{x|y＝eq \r(1－x2)，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合M，N的关系是( )
A．M⫋N B．N⫋M C．M⊆∁RN D．N⊆∁RM
解析：选B 依题意知，M＝{x|y＝eq \r(1－x2)，x∈R}＝{x|﹣1≤x≤1}，N＝{x|x＝m2，m∈M}＝{x|0≤x≤1}，所以N⫋M.故选B.
2．已知集合A＝{x|x2﹣3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0
解析：选D 求解一元二次方程，得A＝{x|x2﹣3x＋2＝0，x∈R}＝{x|(x﹣1)(x﹣2)＝0，x∈R}＝{1,2}，易知B＝{x|0
考法(一) 集合间的交、并、补运算
[例1] (1)(多选)设全集U＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，1，2，3，4))，集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，1，4))，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，1，3))，则( )
A．A∩B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，1)) B．∁UB＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(4))
C．A∪B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，1，3，4)) D．集合A的真子集个数为8
(2)已知M，N均为R的子集，且∁RM⊆N，则M∪(∁RN)＝( )
A．∅ B．M C．N D．R
[解析] (1)∵全集U＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，1，2，3，4))，A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，1，4))，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，1，3))，∴A∩B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，1))，∁UB＝{2,4}，A∪B＝{0,1,3,4}，集合A的真子集个数为23﹣1＝7，故选A、C.
(2)如图所示，易知答案为B.
[答案] (1)AC (2)B
[方法技巧] 解决集合运算问题3个技巧
考法(二) 利用集合的运算求参数
[例2] (1)设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝( )
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
(2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为________．
[解析] (1)易知A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x≤﹣eq \f(a,2)}，因为A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，所以﹣eq \f(a,2)＝1，解得a＝﹣2.故选B.
(2)根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4,16}，只能是a＝4.
[答案] (1)B (2)4
[方法技巧]
利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
(1)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．
(2)若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
[提醒] 在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．
[针对训练]
1．设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2
解析：选C ∵A＝{x|﹣1
3．已知集合A＝{x|x<3}，B＝{x|x>a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为( )
A．[3，＋∞) B．(3，＋∞) C．(﹣∞，3) D．(﹣∞，3]
解析：选C 因为A∩B≠∅，所以结合数轴可知实数a的取值范围是a<3，故选C.
一、创新命题视角——学通学活巧迁移
集合中的新定义问题
类型(一) 定义新运算
[例1] 定义集合A与B的运算“*”为：A*B＝{x|x∈A或x∈B，但x∉(A∩B)}．设X是非负偶数集，Y＝{1,2,3,4,5}，则(X*Y)*Y＝( )
A．X B．Y C．X∩Y D．X∪Y
[解析] 由题意可知，X∩Y＝{2,4}，X∪Y＝{0,1,2,3,4,5,6,8,10，…}，
∴X*Y＝{0,1,3,5,6,8,10，…}．∴(X*Y)∩Y＝{1,3,5}，(X*Y)∪Y＝{0,1,2,3,4,5,6,8,10，…}．
∴(X*Y)*Y＝{0,2,4,6,8,10，…}＝X.故选A.
[答案] A
[名师微点]
正确分析新运算法则，把新运算法则所表达的数学本质弄清楚，进而转化成熟悉的数学情境．注意结合集合的基础知识解答．
类型(二) 定义新概念
[例2] 已知集合A0＝{x|0
(2)给出下列函数：①y＝eq \f(1,x)；②y＝x2＋1；③y＝cseq \f(π,2)x＋2.其中具有性质“∅”的函数的序号是________．
[解析] (1)答案不唯一，合理即可．示例：对于解析式y＝x＋1，
因为A0＝{x|0
(2)对于①，A0＝{x|0
[答案] (1)y＝x＋1 (2)①②
[名师微点] 解决集合创新型问题的方法
二、创新考查方式——领悟高考新动向
1．现有100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是( )
A．最多人数是55 B．最少人数是55
C．最少人数是75 D．最多人数是80
解析：选B 设100名携带药品出国的旅游者组成全集I，其中带感冒药的人组成集合A，带胃药的人组成集合B.设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x，则0≤x≤20.设以上两种药都带的人数为y.由图可知，x＋card(A)＋card(B)﹣y＝100.∴x＋75＋80﹣y＝100，∴y＝55＋x.∵0≤x≤20，∴55≤y≤75，故最少人数是55.
2．中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数．三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？现有如下表示：已知A＝{x|x＝3n＋2，n∈N*}，B＝{x|x＝5n＋3，n∈N*}，C＝{x|x＝7n＋2，n∈N*}，若x∈(A∩B∩C)，则整数x的最小值为( )
A．128 B．127 C．37 D．23
解析：选D ∵求整数的最小值，∴先将23代入检验，满足A，B，C三个集合，故选D.
3．若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的．请写出满足上述条件的一个有序数组(a，b，c，d)＝________，符合条件的全部有序数组(a，b，c，d)的个数是________．
解析：显然①不可能正确，否则①②都正确；
若②正确，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝3，,c＝1，,d＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝2，,c＝1，,d＝4.))若③正确，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝1，,c＝2，,d＝4.))
若④正确，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝1，,c＝4，,d＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝1，,c＝4，,d＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝1，,c＝3，,d＝2.))
所以符合条件的数组共6个．
答案：(3,2,1,4)(填一个正确的即可) 6
4．已知U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是集合U中的两个元素所组成的集合，且同时满足下列三个条件：①若a1∈A，则a2∈A；②若a3∉A，则a2∉A；③若a3∈A，则a4∉A.求集合A.
解：假设a1∈A，则a2∈A.又若a3∉A，则a2∉A，∴a3∈A，与集合A中有且仅有两个元素不符，∴假设不成立，∴a1∉A.假设a4∈A，则a3∉A，则a2∉A，且a1∉A，与集合A中有且仅有两个元素不符，∴假设不成立，∴a4∉A.
故集合A＝{a2，a3}，经检验知符合题意．
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
1．(多选)若集合M⊆N，则下列结论正确的是( )
A．M∩N＝M B．M∪N＝N C．M⊆(M∩N) D．(M∪N)⊆N
解析：选ABCD 由于M⊆N，即M是N的子集，故M∩N＝M，M∪N＝N，
从而M⊆(M∩N)，(M∪N)⊆N.
2．设全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1,0,1,2,3}，集合A＝{﹣1,0,1,2}，B＝{﹣3,0,2,3}，则A∩(∁UB)＝( )
A．{﹣3,3} B．{0,2} C．{﹣1,1} D．{﹣3，﹣2，﹣1,1,3}
解析：选C 法一：由题知∁UB＝{﹣2，﹣1,1}，所以A∩(∁UB)＝{﹣1,1}，故选C.
法二：易知A∩(∁UB)中的元素不在集合B中，则排除选项A、B、D，故选C.
3．已知集合A＝{x|﹣1
A．(﹣1,1) B．(1,2) C．(﹣1，＋∞) D．(1，＋∞)
解析：选C 将集合A，B在数轴上表示出来，如图所示．
由图可得A∪B＝{x|x>﹣1}．
4．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
解析：选B 因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.
5．设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2﹣4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝( )
A．{1，﹣3} B．{1,0} C．{1,3} D．{1,5}
解析：选C 因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2﹣4x＋m＝0的根，所以1﹣4＋m＝0，m＝3，方程为x2﹣4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1,3}．
6．集合A＝{3,2a}，B＝{a，b}．若A∩B＝{4}，则A∪B＝( )
A．{2,3,4} B．{1,3,4} C．{0,1,2,3} D．{1,2,3,4}
解析：选A ∵A∩B＝{4}，∴2a＝4，则a＝2，b＝4.∴A∪B＝{2,3,4}．
7．已知全集U＝{x|﹣1
所以a的取值范围是{a|1
A．2个 B．4个 C．8个 D．16个
解析：选B ∵A∩B＝{0}，∴0∈B，∴m＝0，∴B＝{x|x2﹣3x＝0}＝{0,3}．
∴B的子集有22＝4个．故选B.
9．(多选)已知全集U＝R，函数y＝ln(x﹣2)的定义域为M，集合N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x2－2x>0))，则下列结论正确的是( )
A．M∩N＝M B．M∩(∁UN)＝∅ C．M∪N＝U D．M＝∁UN
解析：选AB 由x﹣2>0得x>2，所以M＝(2，＋∞)．由x2﹣2x>0得x<0或x>2，所以N＝(﹣∞，0)∪(2，＋∞)，∁UN＝[0,2]，所以M∩(∁UN)＝∅，M∩N＝M，M∪N＝N≠U，M≠∁UN.故选A、B.
10．设集合A＝{x|y＝lg(﹣x2＋x＋2)}，B＝{x|x﹣a>0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是( )
A．(﹣∞，﹣1) B．(﹣∞，﹣1]
C．(﹣∞，﹣2) D．(﹣∞，﹣2]
解析：选B 集合A＝{x|y＝lg(﹣x2＋x＋2)}＝{x|﹣1
11.如图，已知I是全集，A，B，C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A．[(∁IA)∩B]∩C B．[(∁IB)∪A]∩C
C．(A∩B)∩(∁IC) D．[A∩(∁IB)]∩C
解析：选D 由图知阴影部分中的元素属于A，不属于B，属于C.则阴影部分表示的集合是[A∩(∁IB)]∩C.
12．已知集合A＝{x|x＝k＋eq \f(1,6)，k∈N}，B＝{x|x＝eq \f(1,2)m﹣eq \f(1,3)，m∈N}，C＝{x|x＝eq \f(1,2)n＋eq \f(1,6)，n∈N}，则集合A，B，C的关系是( )
A．A⫋C⫋B B．C⫋A⫋B C．A⫋B＝C D．A⫋B⫋C
解析：选A ∵集合C＝{x|x＝k＋eq \f(1,6)，k∈N}，∴当n＝2a(a∈N)时，x＝eq \f(2a,2)＋eq \f(1,6)＝a＋eq \f(1,6)，此时C＝A，∴AC.当n＝b﹣1(b∈N*)时，x＝eq \f(b－1,2)＋eq \f(1,6)＝eq \f(b,2)﹣eq \f(1,2)＋eq \f(1,6)＝eq \f(b,2)﹣eq \f(1,3)(b∈N *)．而集合B＝{x|x＝eq \f(1,2)m﹣eq \f(1,3)，m∈N}，当m＝0时，﹣eq \f(1,3)∈B，但﹣eq \f(1,3)∉C，∴集合CB.综上，A⫋C⫋B，故选A.
13．已知集合P＝{y|y2﹣y﹣2>0}，Q＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若P∪Q＝R，P∩Q＝(2,3]，则a＋b＝________.
解析：P＝{y|y2﹣y﹣2>0}＝{y|y>2或y<﹣1}，∵P∪Q＝R，P∩Q＝(2,3]，∴Q＝{x|﹣1≤x≤3}，
∴﹣1,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1＋3＝－a，,－1×3＝b，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝－3，))
∴a＋b＝﹣5.
答案：﹣5
14．若集合{x|x2＋2kx＋1＝0}中有且仅有一个元素，则满足条件的实数k的取值集合是________．
解析：由题意知，方程x2＋2kx＋1＝0有两个相等实根，∴Δ＝4k2﹣4＝0，解得k＝±1，
∴满足条件的实数k的取值集合是{1，﹣1}．
答案：{1，﹣1}
15．对于任意两集合A，B，定义A﹣B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A﹣B)∪(B﹣A)，记A＝{y|y≥0}，B＝{x|﹣3≤x≤3}，则A*B＝________________.
解析：由题意知A﹣B＝{x|x>3}，B﹣A＝{x|﹣3≤x<0}，所以A*B＝[﹣3,0)∪(3，＋∞)．
答案：[﹣3,0)∪(3，＋∞)
16．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|﹣2
∵B＝{x|﹣2
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R
表示
关系
文字语言
记法
集合间的基本关系
子集
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素
A⊆B或B⊇A
真子集
集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A
AB或BA
相等
集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素
A⊆B且B⊆A⇔A＝B
空集
空集是任何集合的子集
∅⊆A
空集是任何非空集合的真子集
∅B且B≠∅
符号表示
图形表示
符号语言
集合的
并集
A∪B
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
集合的
交集
A∩B
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
集合的
补集
若全集为U，则集合A的补集为∁UA
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
看元素
构成
集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键
对集合
化简
有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决
应用数形
常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图
紧扣
新定义
首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是解决新定义型问题的关键所在
用好集合
的性质
集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是解决新定义集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些信息，在关键之处用好集合的性质
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