2023-2024年新高考数学一轮复习培优教案3.2.2《导数与函数问题常用到的4种方法》 (2份打包，原卷版+教师版)

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以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“f(x)±g(x)，f(x)g(x)，eq \f(fx,gx)”等特征式、旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的客观题，是近几年高考试卷中的一位“常客”，常以压轴题的形式出现，解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题．
类型(一) 构造y＝f(x)±g(x)型可导函数
[例1] 设奇函数f(x)是R上的可导函数，当x>0时有f′(x)＋cs x0的解集是( )
A．(﹣3,0)∪(3，＋∞) B．(﹣3,0)∪(0,3)
C．(﹣∞，﹣3)∪(3，＋∞) D．(﹣∞，﹣3)∪(0,3)
[方法技巧]
当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)”时，可联想、逆用“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＝[f(x)g(x)]′”，构造可导函数y＝f(x)g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．
类型(三) 构造eq \f(fx,gx)型可导函数
[例3] (多选)已知定义在(0，eq \f(π,2))上的函数f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，且恒有cs xf′(x)＋sin xf(x)＜0成立，则( )
A．f(eq \f(π,6))＞eq \r(2)f(eq \f(π,4)) B．eq \r(3)f(eq \f(π,6))＞f(eq \f(π,3)) C．f(eq \f(π,6))＞eq \r(3)f(eq \f(π,3)) D．eq \r(2)f(eq \f(π,6))＞eq \r(3)f(eq \f(π,4))
[方法技巧]
当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)g(x)﹣f(x)g′(x)”时，可联想、逆用“eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)＝[eq \f(fx,gx)]′”，构造可导函数y＝eq \f(fx,gx)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．
[归纳总结]
构造函数解决导数问题常用模型
(1)条件：f′(x)>a(a≠0)：构造函数：h(x)＝f(x)﹣ax.
(2)条件：f′(x)±g′(x)>0：构造函数：h(x)＝f(x)±g(x)．
(3)条件：f′(x)＋f(x)>0：构造函数：h(x)＝exf(x)．
(4)条件：f′(x)﹣f(x)>0：构造函数：h(x)＝eq \f(fx,ex).
(5)条件：xf′(x)＋f(x)>0：构造函数：h(x)＝xf(x)．
(6)条件：xf′(x)﹣f(x)>0：构造函数：h(x)＝eq \f(fx,x).
[针对训练]
1．已知定义域为R的函数f(x)的图象经过点(1,1)，且对于任意x∈R，都有f′(x)＋2>0，则不等式f(lg2|3x﹣1|)xf′(x)，则不等式x2f(eq \f(1,x))﹣f(x)0时，f(x)在区间[1，e]上的最小值为﹣2，求实数a的取值范围．
[方法技巧]
已知函数的定义域为[a，b](即导函数的界点为a，b)，研究函数的最值问题，一般情况下解题要点是：①对函数f(x)求导，求出导函数f′(x)的零点x＝x0；②讨论导函数f′(x)的零点x＝x0在不同位置时函数f(x)的单调性；③由函数f(x)在区间[a，b]上对应的单调性，求出函数f(x)的最值．
本题对函数f(x)求导，得到f′(x)的一个零点为x＝eq \f(1,a)，此时给定函数的区间为[1，e]，函数在此区间上是否存在最小值与零点x＝eq \f(1,a)的位置相关联，于是对零点x＝eq \f(1,a)的位置进行讨论：①x＝eq \f(1,a)在区间(1，e]的左侧；②x＝eq \f(1,a)在区间(1，e)的内部；③x＝eq \f(1,a)在区间[1，e)的右侧．由此求出函数f(x)在区间[1，e]上的最小值，与条件给出的最小值﹣2比较，从而得到实数a的取值范围．
类型(三) 由值域引发的分类
[例3] 已知函数f(x)＝eq \f(1,2)x2，g(x)＝aln x.
(1)若曲线y＝f(x)﹣g(x)在x＝2处的切线与直线x＋3y﹣7＝0垂直，求实数a的值；
(2)若[1，e]上存在一点x0，使得f′(x0)＋eq \f(1,f′x0)0；
(4)若在函数f(x)的定义域上存在x1，x2(x1≠x2)满足f(x1)＝f(x2)，令x0＝eq \f(x1＋x2,2)，求证：f′(x0)>0.
[典例] 已知函数f(x)＝ln x﹣ax(x>0)，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1，x2(x1≠x2)．证明：x1x2>e2.
[针对训练]
2．若关于x的方程xln x＝m有两个不相等的实数解x1，x2，求证：x1·x20，且x≠1时，f(x)>eq \f(ln x,x－1)＋eq \f(k,x)，求k的取值范围．
[针对训练]
3．设函数f(x)＝1﹣e﹣x，当x≥0时，f(x)≤eq \f(x,ax＋1)，求a的取值范围．
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
1．定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝ln x﹣ax＋1，若f(x)有5个零点，求实数a的取值范围．
2．已知函数f(x)＝axex(a∈R)，g(x)＝ln x＋x＋1.若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．
3．已知函数f(x)＝ax＋eq \f(b,x)＋c(a>0)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x﹣1.
(1)试用a表示出b，c；
(2)若f(x)≥ln x在[1，＋∞)恒成立，求a的取值范围．
4．已知函数f(x)＝eq \f(ln x－a,x)﹣m(a，m∈R)在x＝e(e为自然对数的底数)时取得极值，且有两个零点记为x1，x2.
(1)求实数a的值，以及实数m的取值范围；
(2)证明：ln x1＋ln x2>2.
5．已知函数f(x)＝kex﹣x2(其中k∈R，e是自然对数的底数)．
(1)若k＝2，当x∈(0，＋∞)时，试比较f(x)与2的大小；
(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1