2023-2024年新高考数学一轮复习培优教案4.6《三角函数图象与性质的综合问题》 (2份打包，原卷版+教师版)

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题型一 三角函数图象与性质中的参数范围问题
[典例] 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|≤\f(π,2)))，x＝－eq \f(π,4)为f(x)的零点，x＝eq \f(π,4)为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,18)，\f(5π,36)))上单调，则ω的最大值为( )
A．11 B．9 C．7 D．5
[归纳总结]
(1)本题条件较多，事实上从题型特征的角度来看，若选择题的已知条件越多，那么意味着可用来排除选项的依据就越多，所谓正面求解也是在不断缩小的范围内与条件进行对比验证．
(2)上述法一和法二的本质是一样的，都是针对选择题的做法，逐一验证，目标明确，不同的是验证的角度．法二直接利用y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的单调区间的特征，每个区间长度为eq \f(T,2)，从靠近区间的特殊极值点eq \f(π,4)开始把可能出现的单调区间找出来比较，只要“所求区间包含在单调区间内”即可．
[针对训练]
1．若函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(x0,3)))和eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2x0，\f(7π,6)))上都是单调递增函数，则实数x0的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2))) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2))) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,8)))
2．已知函数f(x)＝Asin(2x＋φ)－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，0<φ<\f(π,2)))的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x＝eq \f(π,12)对称，若对于任意的x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，都有m2－3m≤f(x)，则实数m的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))) B．[1,2] C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2)) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3－\r(3),2)，\f(3＋\r(3),2)))
题型二 三角函数图象与性质的综合问题
[典例] 已知函数f(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ωx＋\f(π,3)))(ω>0)的图象与x轴相邻两个交点的距离为eq \f(π,2).
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)的图象恰好经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，0))，求当m取得最小值时，g(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(7π,12)))上的单调递增区间．
[归纳总结]
解决三角函数综合问题的一般步骤
第一步：将f(x)化为asin ωx＋bcs ωx的形式．
第二步：构造f(x)＝eq \r(a2＋b2)(eq \f(a,\r(a2＋b2))·sin ωx＋eq \f(b,\r(a2＋b2))·cs ωx).
第三步：和角公式逆用，得f(x)＝eq \r(a2＋b2)sin(ωx＋φ)(其中φ为辅助角)．
第四步：利用f(x)＝eq \r(a2＋b2)sin(ωx＋φ)研究三角函数的图象与性质．
第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．
[针对训练]
已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，eq \r(3))．
(1)求sin 2α－tan α的值；
(2)若函数f(x)＝cs(x－α)cs α－sin(x－α)sin α，求函数g(x)＝eq \r(3)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))－2f 2(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))上的值域．
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
一、综合练——练思维敏锐度
1．已知函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x＋\f(π,6)))在[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
2．已知函数f(x)＝4cs(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，A(a,0)，B(b,0)是其图象上两点，若|a－b|的最小值是1，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)))＝( )
A．2 B．－2 C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)
3．已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))－1(ω>0)的图象向右平移eq \f(2π,3)个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )
A．3 B．eq \f(3,2) C.eq \f(4,3) D．eq \f(2,3)
4．若函数f(x)＝sin x＋eq \r(3)cs x在区间[a，b]上是减函数，且f(a)＝2，f(b)＝－2，则函数g(x)＝cs x－eq \r(3)sin x在区间[a，b]上( )
A．是增函数 B．是减函数
C．可以取得最大值2 D．可以取得最小值－2
5．直线y＝a与函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的图象的相邻两个交点的距离为2π，若f(x)在(－m，m)(m>0)上是增函数，则m的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)π)) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2)π))
6．已知函数f(x)＝asin x－eq \r(3)cs x的一条对称轴为x＝－eq \f(π,6)，且f(x1)·f(x2)＝－4，则|x1＋x2|的最小值为( )
A.eq \f(π,3) B．eq \f(2π,3) C.eq \f(π,2) D．eq \f(3π,4)
7．如果圆x2＋(y－1)2＝m2至少覆盖函数f(x)＝2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,m)x＋\f(5π,12)))－eq \r(3)cs(eq \f(2π,m)x＋eq \f(π,3)) (m>0)的一个最大值点和一个最小值点，那么m的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(15),3)，＋∞)) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(15),5)，＋∞)) D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8\r(15),15)，＋∞))
8．设函数f(x)＝sin(2x＋eq \f(π,4))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(9π,8)))))，若方程f(x)＝a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3(x1A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,8)，\f(5π,4))) B．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，\f(11π,8))) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，\f(13π,8))) D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,4)，\f(15π,8)))
9．已知函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0,0<φ<π)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，0))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(3,2)))，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，方程f(x)＝2a－eq \r(3)有两个不等的实根，则实数a的取值范围是________．
10．已知定义在R上的函数f(x)，恒有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))＝eq \f(1,2)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))，当x∈[0，π)时，f(x)＝ sin x．若∀x∈(－∞，a]，恒有f(x)<4eq \r(3)，则a的取值集合为________．
11．已知函数f(x)＝a(2cs2eq \f(x,2)＋sin x)＋b.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值．
12．已知函数f(x)＝1＋eq \r(3)cs 2x－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)).
(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)若方程f(x)－m＝0在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．
二、自选练——练高考区分度
1.如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))图象的一部分，对任意的x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，若f(x1)＝f(x2)，有f(x1＋x2)＝1，则φ的值为( )
A.eq \f(π,12) B．eq \f(π,6) C.eq \f(π,4) D．eq \f(π,3)
2．已知函数f(x)＝(1－2cs2x)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ))－2sin xcs x·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|θ|≤\f(π,2)))在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3π,8)，－\f(π,6)))上单调递增．若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)))≤m恒成立，则实数m的取值范围为________．
3．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))－cs ωx (ω＞0)．若函数f(x)的图象关于直线x＝2π对称，且在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上是单调函数，则ω的取值集合为________．
4．已知函数f(x)＝eq \r(3)sin ωxcs ωx－cs2ωx(ω>0)，周期是eq \f(π,2).
(1)求f(x)的解析式以及x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))时f(x)的值域；
(2)将f(x)图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移eq \f(π,6)个单位，最后将整个函数图象向上平移eq \f(3,2)个单位后得到函数g(x)的图象，若|g(x)－m|<2成立的充分条件是eq \f(π,6)≤x≤ eq \f(2,3)π，求m的取值范围．
策
略
一
针对选择题特事特办，选择题中关于三角函数的图象和性质的问题是多年来高考的热点，三角函数试题常涉及函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象的单调性、对称性、周期性等问题．一般来说：
(1)
若函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)有两条对称轴x＝a，x＝b，则有|a－b|＝eq \f(T,2)＋eq \f(kT,2)(k∈Z)
(2)
若函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)有两个对称中心M(a,0)，N(b,0)，则有|a－b|＝eq \f(T,2)＋eq \f(kT,2)(k∈Z)
(3)
若函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)有一条对称轴x＝a，一个对称中心M(b,0)，则有|a－b|＝eq \f(T,4)＋eq \f(kT,2)(k∈Z)
策
略
二
研究函数在某一特定区间的单调性，若函数仅含有一个参数的时候，利用导数的正负比较容易控制，但对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)含多个参数，并且具有周期性，很难解决，所以必须有合理的等价转化方式才能解决