2023-2024年新高考数学一轮复习培优教案5.2《平面向量基本定理及坐标表示》 (2份打包，原卷版+教师版)

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1.与向量线性运算相结合，考查平面向量基本定理及其应用，凸显数学建模的核心素养．
2．与向量的坐标表示相结合，考查向量的线性运算，凸显数学抽象的核心素养．
3．与向量的坐标表示相结合，考查向量共线，凸显数学运算的核心素养．
[理清主干知识]
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)).
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up7(―→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(3,4)))
2．已知向量a＝(－1,3)，b＝(2,1)，则3a－2b＝( )
A．(－7,7) B．(－3，－2) C．(6,2) D．(4，－3)
3．已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.
二、易错点练清
1.如图，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若eq \(AE,\s\up7(―→))＝λeq \(AB,\s\up7(―→))＋μeq \(AC,\s\up7(―→))，则λ＋μ的值为( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C．1 D．－1
2．已知A(－5,8)，B(7,3)，则与向量eq \(AB,\s\up7(―→))反向的单位向量为________．
3．给出下列三个向量：a＝(－2,3)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(3,2)))，c＝(－1,1)，在这三个向量中任意取两个作为一组，能构成基底的组数为________．
考点一 平面向量基本定理及其应用
[典例] (1)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，eq \(BC,\s\up7(―→))＝3eq \(EC,\s\up7(―→))，F为AE的中点，则eq \(BF,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up7(―→)) B．eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up7(―→))
C．－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up7(―→)) D．－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up7(―→))
(2)如图，在△ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数λ和μ，使得eq \(BM,\s\up7(―→))＝λeq \(AB,\s\up7(―→))＋μeq \(AC,\s\up7(―→))，则λ＋μ＝( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C．2 D．－2
[方法技巧]
平面向量基本定理的实质及解题思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
[针对训练]
1．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若eq \(AB,\s\up7(―→))＝λeq \(AM,\s\up7(―→))＋μeq \(AN,\s\up7(―→))，则λ＋μ等于( )
A.eq \f(1,5) B．eq \f(2,5) C.eq \f(3,5) D．eq \f(4,5)
2．在△ABC中，点P是AB上一点，且eq \(CP,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)eq \(CA,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(CB,\s\up7(―→))，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又eq \(CM,\s\up7(―→))＝teq \(CP,\s\up7(―→))，则t的值为________．
考点二 平面向量的坐标运算
[典例] (1)已知在平行四边形ABCD 中，eq \(AD,\s\up7(―→))＝(3,7)，eq \(AB,\s\up7(―→))＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则eq \(CO,\s\up7(―→))的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，5)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，5)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－5)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－5))
(2)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则eq \f(λ,μ)＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[方法技巧]
平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．
[针对训练]
1．(多选)已知点A(4,6)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，\f(3,2)))，与向量eq \(AB,\s\up7(―→))平行的向量的坐标可以是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(14,3)，3)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7，\f(9,2))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(14,3)，－3)) D．(7,9)
2．如图所示的平面直角坐标系中，网格中小正方形的边长为1，若向量a，b，c满足c＝xa＋yb，且(ka－b)·c＝0，则eq \f(x＋y,k)＝________.
考点三 平面向量共线的坐标表示
[典例] (1)已知O为坐标原点，点A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．
(2)已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－1)，且a－b与b共线，则x的值为________．
[方法技巧]
(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(b≠0)，则a＝λb.
(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．
[针对训练]
1．设向量eq \(OA,\s\up7(―→))＝(1，－2)，eq \(OB,\s\up7(―→))＝(2m，－1)，eq \(OC,\s\up7(―→))＝(－2n，0)，m，n∈R，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则m＋n的最大值为( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
2．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝eq \r(5)，求d的坐标．
一、创新思维角度——融会贯通学妙法
数形结合——建立平面直角坐标系，将几何图形问题转化成坐标运算，根据需要选择一个点作为坐标原点，两条互相垂直的直线为x轴、y轴，使题目中的其他点都便于表达，这样将向量运算坐标化，转化为代数运算．
[典例] 在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若eq \(AP,\s\up7(―→))＝λeq \(AB,\s\up7(―→))＋μeq \(AD,\s\up7(―→))，则λ＋μ的最大值为( )
A．3 B．2eq \r(2) C.eq \r(5) D．2
[名师微点]
本题先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出λ＋μ的最大值．引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了坐标法的优势．
[应用体验]
1.如图所示，原点O是△ABC内一点，顶点A在x轴上，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，|eq \(OA,\s\up7(―→))|＝2，|eq \(OB,\s\up7(―→))|＝1，|eq \(OC,\s\up7(―→))|＝3，若eq \(OC,\s\up7(―→))＝λeq \(OA,\s\up7(―→))＋μeq \(OB,\s\up7(―→))，则eq \f(μ,λ)＝( )
A．－eq \f(\r(3),3) B．eq \f(\r(3),3) C．－eq \r(3) D．eq \r(3)
2.如图，在正方形ABCD中，P为DC边上的动点，设向量eq \(AC,\s\up7(―→))＝λeq \(DB,\s\up7(―→))＋μeq \(AP,\s\up7(―→))，则λ＋μ的最大值为________．
二、创新考查方式——领悟高考新动向
1．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为( )
A．(2,0) B．(0，－2) C．(－2,0) D．(0,2)
2.如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合，若eq \(DB,\s\up7(―→))＝xeq \(DC,\s\up7(―→))＋yeq \(DA,\s\up7(―→))，则x，y等于( )
A．x＝eq \r(3)，y＝1 B．x＝1＋eq \r(3)，y＝eq \r(3)
C．x＝2，y＝eq \r(3) D．x＝eq \r(3)，y＝1＋eq \r(3)
3．(多选)如图1，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”(如图2)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，若eq \(OP,\s\up7(―→))＝xeq \(OA,\s\up7(―→))＋yeq \(OB,\s\up7(―→))，则x＋y的取值可能是( )
A．－6 B．1 C．5 D．9
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
一、基础练——练手感熟练度
1．已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若eq \(MN,\s\up7(―→))＝－3a，则点N的坐标为( )
A．(2,0) B．(－3,6) C．(6,2) D．(－2,0)
2．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与eq \(AB,\s\up7(―→))同方向的单位向量是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－\f(4,5))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，－\f(3,5))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，\f(3,5)))
3．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1＋sin θ))，若a∥b，则锐角θ＝( )
A.eq \f(π,6) B．eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D．eq \f(5π,12)
5．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点．若DC＝3DF，设eq \(AC,\s\up7(―→))＝a，eq \(BD,\s\up7(―→))＝b，则eq \(AF,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \f(1,4)a＋eq \f(1,2)b B．eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b C.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b D．eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b
二、综合练——练思维敏锐度
1．已知e1，e2是不共线向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0，若a∥b，则eq \f(m,n)＝( )
A．－ eq \f(1,2) B．eq \f(1,2) C．－2 D．2
2．已知向量eq \(OA,\s\up7(―→))＝(k,12)，eq \(OB,\s\up7(―→))＝(4,5)，eq \(OC,\s\up7(―→))＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是( )
A．－eq \f(2,3) B．eq \f(4,3) C.eq \f(1,2) D．eq \f(1,3)
3.如图，已知eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(AC,\s\up7(―→))＝b，eq \(BC,\s\up7(―→))＝4eq \(BD,\s\up7(―→))，eq \(CA,\s\up7(―→))＝3eq \(CE,\s\up7(―→))，则eq \(DE,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \f(3,4)b－eq \f(1,3)a B.eq \f(5,12)a－eq \f(3,4)b C.eq \f(3,4)a－eq \f(1,3)b D.eq \f(5,12)b－eq \f(3,4)a
4．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设eq \(AD,\s\up7(―→))＝λeq \(AB,\s\up7(―→))＋μeq \(AC,\s\up7(―→)) (λ，μ∈R)，则eq \f(λ,μ)＝( )
A.eq \f(2\r(3),3) B．eq \f(\r(3),3) C．3 D．2eq \r(3)
5．已知向量eq \(OA,\s\up7(―→))＝(3,1)，eq \(OB,\s\up7(―→))＝(－1,3)，eq \(OC,\s\up7(―→))＝meq \(OA,\s\up7(―→))－neq \(OB,\s\up7(―→)) (m>0，n>0)，若m＋n＝1，则|eq \(OC,\s\up7(―→))|的最小值为( )
A.eq \f(\r(5),2) B．eq \f(\r(10),2) C.eq \r(5) D．eq \r(10)
6．在△OAB中，若点C满足eq \(AC,\s\up7(―→))＝2eq \(CB,\s\up7(―→))，eq \(OC,\s\up7(―→))＝λeq \(OA,\s\up7(―→))＋μeq \(OB,\s\up7(―→))，则eq \f(1,λ)＋eq \f(1,μ)＝( )
A.eq \f(1,3) B．eq \f(2,3) C.eq \f(2,9) D．eq \f(9,2)
7.如图，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若eq \(AC,\s\up7(―→))＝λeq \(AM,\s\up7(―→))＋μeq \(BD,\s\up7(―→))，则λ＋μ＝( )
A.eq \f(4,3) B．eq \f(5,3) C.eq \f(15,8) D．2
8．在△ABC中，点D是AC上一点，且eq \(AC,\s\up7(―→))＝4eq \(AD,\s\up7(―→))，P为BD上一点，向量eq \(AP,\s\up7(―→))＝λeq \(AB,\s\up7(―→))＋μeq \(AC,\s\up7(―→)) (λ>0，μ>0)，则eq \f(4,λ)＋eq \f(1,μ)的最小值为( )
A．16 B．8 C．4 D．2
9.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若eq \(OC,\s\up7(―→))＝meq \(OA,\s\up7(―→))＋neq \(OB,\s\up7(―→))，则m＋n的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－1,0)
10．已知向量a＝(1，x＋1)，b＝(x,2)，若满足a∥b，且方向相同，则x＝________.
11．如图，设Ox，Oy是平面内相交成45°角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量eq \(OP,\s\up7(―→))＝xe1＋ye2，则把有序数对(x，y)叫做向量eq \(OP,\s\up7(―→))在坐标系xOy中的坐标，在此坐标系下，假设eq \(OA,\s\up7(―→))＝(－2，2eq \r(2))，eq \(OB,\s\up7(―→))＝(2,0)，eq \(OC,\s\up7(―→))＝(5，－3eq \r(2))，则|eq \(OA,\s\up7(―→))|＝________，eq \(OA,\s\up7(―→))与eq \(BC,\s\up7(―→)) ________(填“平行”或“不平行”)．
12.如图，O点在△ABC的内部，E是BC边的中点，且有eq \(OA,\s\up7(―→))＋2eq \(OB,\s\up7(―→))＋3eq \(OC,\s\up7(―→))＝0，则△AEC的面积与△AOC的面积的比为________．
13.如图，在△ABC中，已知eq \f(4,3)eq \(BN,\s\up7(―→))－eq \(BA,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up7(―→))，点P在线段BN上，若eq \(AP,\s\up7(―→))＝λeq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(3,16)eq \(AC,\s\up7(―→))，则实数λ的值为________．
14．如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上的点，∠CBA＝60°，∠ABD＝45°，eq \(CD,\s\up7(―→))＝xeq \(OA,\s\up7(―→))＋yeq \(BC,\s\up7(―→))，求x＋y的值．
15.如图，在同一个平面内，三个单位向量eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(OB,\s\up7(―→))，eq \(OC,\s\up7(―→))满足条件：eq \(OA,\s\up7(―→))与eq \(OC,\s\up7(―→))的夹角为α，且tan α＝7，eq \(OB,\s\up7(―→))与eq \(OC,\s\up7(―→))的夹角为45°.若eq \(OC,\s\up7(―→))＝meq \(OA,\s\up7(―→))＋neq \(OB,\s\up7(―→)) (m，n∈R)，求m＋n的值．