2023-2024年新高考数学一轮复习培优教案5.3《平面向量的数量积及其应用》 (2份打包，原卷版+教师版)

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知识点一 平面向量的数量积
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作eq \(OA,\s\up7(―→))＝a，eq \(OB,\s\up7(―→))＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．
(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.
(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．
2．平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cs θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cs θ的乘积．
[提醒] (1)数量积a·b也等于b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cs θ的乘积，这两个投影是不同的．
(2)a在b方向上的投影也可以写成eq \f(a·b,|b|)，投影是一个数量，可正可负也可为0，它的符号取决于θ角的范围．
3．向量数量积的性质
设a，b是两个非零向量，e是单位向量，α是a与e的夹角，于是我们就有下列数量积的性质：
(1)e·a＝a·e＝|a||e|cs α＝|a|cs α.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)a，b同向⇔a·b＝|a||b|；a，b反向⇔a·b＝－|a||b|.特别地a·a＝|a|2＝a2或|a|＝eq \r(a·a).
(4)若θ为a，b的夹角，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|).
(5) |a·b|≤|a|·|b|.
4．谨记常用结论
(a±b)2＝|a±b|2＝|a|2±2a·b＋|b|2＝a2±2a·b＋b2； a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
以上结论可作为公式使用．
5．平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·λ(b)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
[提醒] 对于实数a，b，c有(a·b)·c＝a·(b·c)，但对于向量a，b，c而言，(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立，即不满足向量结合律．这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，所以(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．
[重温经典]
1．(教材改编题)设a，b是非零向量．“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 设a与b的夹角为θ.因为a·b＝|a|·|b|cs θ＝|a|·|b|，所以cs θ＝1，即a与b的夹角为0°，故a∥b.当a∥b时，a与b的夹角为0°或180°，所以a·b＝|a|·|b|cs θ＝±|a|·|b|，
所以“a·b＝|a|·|b|”是“a∥b”的充分不必要条件．
2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2eq \r(3)，a与b的夹角的余弦值为sineq \f(17π,3)，则b·(2a－b)等于( )
A．2 B．－1 C．－6 D．－18
解析：选D ∵a与b的夹角的余弦值为sineq \f(17π,3)＝－eq \f(\r(3),2)，∴a·b＝－3，b·(2a－b)＝2a·b－b2＝－18.
3．已知a·b＝－12eq \r(2)，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|的值为( )
A．12 B．6 C．3eq \r(3) D．3
解析：选B 因为a·b＝|a||b|cs 135°＝－12eq \r(2)，所以|b|＝6.
4．(易错题)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．
解析：由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cs θ＝4×cs 120°＝－2.
答案：－2
5．已知两个单位向量e1，e2的夹角为eq \f(π,3)，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.
解析：b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3|e1|2－2e1·e2－8|e2|2.其中|e1|2＝|e2|2＝1，
e1·e2＝|e1|·|e2|·cs eq \f(π,3)＝1×1×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，所以b1·b2＝－6.
答案：－6
6.如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，D是边BC的中点，则eq \(AD,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝________.
解析：eq \(AD,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→)))·(－eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→)))＝eq \f(1,2)(－eq \(AB,\s\up7(―→))2＋eq \(AC,\s\up7(―→))2)＝－eq \f(5,2).
答案：－eq \f(5,2)
知识点二 平面向量数量积的坐标表示
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
[重温经典]
1．(多选)设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则( )
A．|a|＝|b| B．(a－b)∥b C．(a－b)⊥b D．a与b的夹角为eq \f(π,4)
解析：选CD 因为a＝(2,0)，b＝(1,1)，所以|a|＝2，|b|＝eq \r(2)，所以|a|≠|b|，故A错误；因为a＝(2,0)，b＝(1,1)，所以a－b＝(1，－1)，所以(a－b)与b不平行，故B错误；又(a－b)·b＝1－1＝0，故C正确；又cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(2,2\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，所以a与b的夹角为eq \f(π,4)，故D正确．
2．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________.
解析：∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，
由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得k＝12.
答案：12
3．已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝eq \r(10)，则a·b＝________.
解析：因为a＝(－2，－6)，所以|a|＝eq \r(－22＋－62)＝2eq \r(10)，又|b|＝eq \r(10)，向量a与b的夹角为60°，
所以a·b＝|a||b|cs 60°＝2eq \r(10)×eq \r(10)×eq \f(1,2)＝10.
答案：10
4．(易错题)向量a＝(3,4)在b＝(1，－1)方向上的投影为________．
解析：a在b方向上的投影为eq \f(a·b,|b|)＝－eq \f(\r(2),2).
答案：－eq \f(\r(2),2)
5．(教材改编题)a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于________．
解析：设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(8＋x＝3，,6＋y＝18，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－5，,y＝12，))故b＝(－5,12)，所以csa，b＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(16,65).
答案：eq \f(16,65)
6．(易错题)已知向量a＝(2,7)，b＝(x，－3)，且a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围为____________________．
解析：由a·b＝2x－21<0，得x答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(6,7)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,7)，\f(21,2)))
7．向量a＝(1,2)，b＝(－1,1)，若ka＋b与b互相垂直，则实数k的值为________．
解析：∵ka＋b＝(k－1,2k＋1)，b＝(－1,1)，∴(ka＋b)·b＝(k－1)×(－1)＋2k＋1＝k＋2＝0，k＝－2.
答案：－2.
第2课时 精研题型明考向——平面向量的数量积及应用
一、真题集中研究——明考情
1．(考查数量积的运算、模)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cs〈a，a＋b〉＝( )
A．－eq \f(31,35) B．－eq \f(19,35) C.eq \f(17,35) D．eq \f(19,35)
解析：选D 由题意，得a·(a＋b)＝a2＋a·b＝25－6＝19，|a＋b|＝eq \r(a2＋2a·b＋b2)＝eq \r(25－12＋36)＝7，
所以csa，a＋b＝eq \f(a·a＋b,|a||a＋b|)＝eq \f(19,5×7)＝eq \f(19,35)，故选D.
2．(考查向量垂直)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是( )
A．a＋2b B．2a＋b C．a－2b D．2a－b
解析：选D 法一：由题意，得a·b＝|a|·|b|cs 60°＝eq \f(1,2).
对于A，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝eq \f(1,2)＋2＝eq \f(5,2)≠0，故A不符合题意；
对于B，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B不符合题意；
对于C，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝eq \f(1,2)－2＝－eq \f(3,2)≠0，故C不符合题意；
对于D，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以(2a－b)⊥b.故选D.
法二：不妨设a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，b＝(1,0)，则a＋2b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(\r(3),2)))，2a＋b＝(2，eq \r(3))，a－2b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(\r(3),2)))，2a－b＝(0，eq \r(3))，易知，只有(2a－b)·b＝0，即(2a－b)⊥b，故选D.
法三：根据条件，分别作出向量b与A，B，C，D四个选项对应的向量的位置关系，如图所示：
由图易知，只有选项D满足题意，故选D.
3．(考查数量积的坐标运算)已知eq \(AB,\s\up7(―→))＝(2,3)，eq \(AC,\s\up7(―→))＝(3，t)，|eq \(BC,\s\up7(―→))|＝1，则eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
解析：选C ∵eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→))＝(3，t)－(2,3)＝(1，t－3)，|eq \(BC,\s\up7(―→))|＝1，
∴eq \r(12＋t－32)＝1，解得t＝3，∴eq \(BC,\s\up7(―→))＝(1,0)，∴eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝2×1＋3×0＝2.
4．(考查两向量的夹角)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A.eq \f(π,6) B．eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D．eq \f(5π,6)
解析：选B 由(a－b)⊥b，可得(a－b)·b＝0，即a·b＝b2.
∵|a|＝2|b|，∴cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(b2,2b2)＝eq \f(1,2).又∵0≤〈a，b〉≤π，∴a与b的夹角为eq \f(π,3).
5．(考查数量积的范围)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则eq \(AP,\s\up7(―→))·eq \(AB,\s\up7(―→))的取值范围是( )
A．(－2,6) B．(－6,2) C．(－2,4) D．(－4,6)
解析：选A 法一：如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(3，eq \r(3))，F(－1，eq \r(3))．设P(x，y)，则eq \(AP,\s\up7(―→))＝(x，y)，eq \(AB,\s\up7(―→))＝(2,0)，且－1所以eq \(AP,\s\up7(―→))·eq \(AB,\s\up7(―→))＝(x，y)·(2,0)＝2x∈(－2,6)．故选A.
法二：eq \(AP,\s\up7(―→))·eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(|AP|,\s\up7(――→))·eq \(|AB|,\s\up7(――→))·cs∠PAB＝2eq \(|AP|,\s\up7(――→))·cs∠PAB，
又eq \(|AP|,\s\up7(――→))cs∠PAB表示eq \(AP,\s\up7(―→))在eq \(AB,\s\up7(―→))方向上的投影，
所以结合图形可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小．
又eq \(AC,\s\up7(―→))·eq \(AB,\s\up7(―→))＝2eq \r(3)×2×cs 30°＝6，eq \(AF,\s\up7(―→))·eq \(AB,\s\up7(―→))＝2×2×cs 120°＝－2，
故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，eq \(AP,\s\up7(―→))·eq \(AB,\s\up7(―→))∈(－2,6)．故选A.
[把脉考情]
二、题型精细研究——提素养
题型一 平面向量数量积的运算
[典例] (1)(多选)八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中|OA|＝1，则下列结论正确的有( )
A．eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OD,\s\up7(―→))＝－eq \f(\r(2),2) B．eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \(OH,\s\up7(―→))＝－eq \r(2) eq \(OE,\s\up7(―→))
C．eq \(AH,\s\up7(―→))·eq \(HO,\s\up7(―→))＝eq \(BC,\s\up7(―→))·eq \(BO,\s\up7(―→)) D．eq \(AH,\s\up7(―→))·eq \(AB,\s\up7(―→))＝1－eq \r(2)
(2)已知点A，B，C满足|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝3，|eq \(BC,\s\up7(―→))|＝4，|eq \(CA,\s\up7(―→))|＝5，则eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))·eq \(CA,\s\up7(―→))＋eq \(CA,\s\up7(―→))·eq \(AB,\s\up7(―→))的值为________．
[解析] (1)对于A：eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OD,\s\up7(―→))＝1×1×cseq \f(3π,4)＝－eq \f(\r(2),2)，故正确．对于B：eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \(OH,\s\up7(―→))＝ eq \r(2)eq \(OA,\s\up7(―→))＝－eq \r(2)eq \(OE,\s\up7(―→))，故正确．对于C：|eq \(AH,\s\up7(―→))|＝|eq \(BC,\s\up7(―→))|，|HO―→|＝|eq \(BO,\s\up7(―→))|，但对应向量的夹角不相等，所以不成立，故错误．对于D：eq \(AH,\s\up7(―→))·eq \(AB,\s\up7(―→))＝|eq \(AB,\s\up7(―→))|2cs eq \f(3π,4)＝1－eq \r(2)，故正确．
(2)法一：定义法
由题意可知△ABC为直角三角形，且∠B＝eq \f(π,2)，cs A＝eq \f(3,5)，cs C＝eq \f(4,5).
∴eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))·eq \(CA,\s\up7(―→))＋eq \(CA,\s\up7(―→))·eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(BC,\s\up7(―→))·eq \(CA,\s\up7(―→))＋eq \(CA,\s\up7(―→))·eq \(AB,\s\up7(―→))
＝4×5×cs(π－C)＋5×3×cs(π－A)＝－20cs C－15cs A＝－20×eq \f(4,5)－15×eq \f(3,5)＝－25.
法二：坐标法
易知∠ABC＝90°.如图，以点B为坐标原点，eq \(BA,\s\up7(―→))，eq \(BC,\s\up7(―→))的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立平面直角坐标系，则A(3,0)，B(0,0)，C(0,4)．
∴eq \(AB,\s\up7(―→))＝(－3,0)，eq \(BC,\s\up7(―→))＝(0,4)，eq \(CA,\s\up7(―→))＝(3，－4)，∴eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝－3×0＋0×4＝0，eq \(BC,\s\up7(―→))·eq \(CA,\s\up7(―→))＝0×3＋4×(－4)＝－16，eq \(CA,\s\up7(―→))·eq \(AB,\s\up7(―→))＝－3×3＋0×(－4)＝－9.
∴eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))·eq \(CA,\s\up7(―→))＋eq \(CA,\s\up7(―→))·eq \(AB,\s\up7(―→))＝－25.
[答案] (1)ABD (2)－25
[方法技巧] 平面向量数量积的2种运算方法
[针对训练]
1．已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
解析：选B 由已知得|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，
∴(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a||b|cs〈a，b〉－|b|2＝2×1×1×cs 60°－12＝0，故选B.
2．设a，e均为单位向量，当a，e的夹角为eq \f(2,3)π时，a在e方向上的投影为________．
解析：a在e方向上的投影为|a|cs〈a，e〉＝cseq \f(2,3)π＝－eq \f(1,2).
答案：－eq \f(1,2)
3．已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，若点D满足eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up7(―→))，则eq \(DB,\s\up7(―→))·eq \(DC,\s\up7(―→))＝________.
解析：法一：∵eq \(BC,\s\up7(―→))2＝(eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→)))2＝eq \(AC,\s\up7(―→))2＋eq \(AB,\s\up7(―→))2－2eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→))，AB＝3，AC＝5，BC＝7，
∴eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→))＝－eq \f(15,2).
∴eq \(DB,\s\up7(―→))·eq \(DC,\s\up7(―→))＝(eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AD,\s\up7(―→)))·(eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \(AD,\s\up7(―→)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)eq \(AB,\s\up7(―→))－\f(1,2)eq \(AC,\s\up7(―→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2) eq \(AC,\s\up7(―→))－\f(1,3) eq \(AB,\s\up7(―→))))
＝－eq \f(2,9)eq \(AB,\s\up7(―→))2－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→))2＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→))＝－2－eq \f(25,4)－eq \f(15,4)＝－12.
法二：在△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，
由余弦定理可得cs∠BAC＝eq \f(32＋52－72,2×3×5)＝－eq \f(1,2)，可得∠BAC＝120°.
如图所示，以A为坐标原点，AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
则A(0,0)，C(5,0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3,2)\r(3)))，故eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3,2)\r(3)))＋eq \f(1,2)(5,0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(\r(3),2)))，
从而点Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(\r(3),2)))，∴eq \(DB,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,2)，\r(3)))，eq \(DC,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，－\f(\r(3),2)))，∴eq \(DB,\s\up7(―→))·eq \(DC,\s\up7(―→))＝－eq \f(21,2)－eq \f(3,2)＝－12.
答案：－12
题型二 平面向量的夹角与垂直、模的计算
[典例] (1)已知单位向量a，b满足a·b＝0，若向量c＝eq \r(7)a＋eq \r(2)b，则sin〈a，c〉＝( )
A.eq \f(\r(7),3) B．eq \f(\r(2),3) C.eq \f(\r(7),9) D．eq \f(\r(2),9)
(2)已知平面向量m，n的夹角为eq \f(π,6)，且|m|＝eq \r(3)，|n|＝2，在△ABC中，eq \(AB,\s\up7(―→))＝2m＋2n，eq \(AC,\s\up7(―→))＝2m－6n，D为BC的中点，则|eq \(AD,\s\up7(―→))|＝________.
[解析] (1)∵a·c＝a·(eq \r(7)a＋eq \r(2)b)＝eq \r(7)a2＋eq \r(2)a·b＝eq \r(7)，|c|＝ eq \r(\r(7)a＋\r(2)b2)
＝ eq \r(7a2＋2b2＋2\r(14)a·b)＝eq \r(7＋2)＝3，∴cs〈a，c〉＝eq \f(a·c,|a||c|)＝eq \f(\r(7),1×3)＝eq \f(\r(7),3)，∴sin〈a，c〉＝eq \f(\r(2),3).故选B.
(2)由题意知m·n＝eq \r(3)×2×cs eq \f(π,6)＝3.∵在△ABC中，D为BC的中点，
∴eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→)))＝eq \f(1,2)(2m＋2n＋2m－6n)＝2m－2n.
∴|eq \(AD,\s\up7(―→))|＝|2m－2n|＝2eq \r(m－n2)＝2eq \r(m2－2m·n＋n2)＝2eq \r(3－2×3＋4)＝2.
[答案] (1)B (2)2
[方法技巧]
(1)根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)(夹角公式)，a⊥b⇔a·b＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题．
(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角．
(3)计算向量的模：①当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；②利用|a|＝eq \r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；③几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．
[针对训练]
1．若|a|＝2，|b|＝4，且(a＋b)⊥a，则a与b的夹角为( )
A.eq \f(2π,3) B．eq \f(π,3) C.eq \f(4π,3) D．－eq \f(2π,3)
解析：选A ∵(a＋b)⊥a，∴(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，∴a·b＝－4，
cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－4,2×4)＝－eq \f(1,2)，∴〈a，b〉＝eq \f(2π,3)，故选A.
2．已知向量a＝(x，y)，b＝(－1,2)，且a＋b＝(1,3)，则|a－2b|等于( )
A．1 B．3 C．4 D．5
解析：选D 由向量a＝(x，y)，b＝(－1,2)，且a＋b＝(1,3)，得a＋b＝(x－1，y＋2)＝(1,3)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＝1，,y＋2＝3，))解得x＝2，y＝1，所以a＝(2,1)．所以a－2b＝(2,1)－2(－1,2)＝(4，－3)，
所以|a－2b|＝eq \r(42＋－32)＝5，故选D.
3．已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若eq \r(3)e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．
解析：由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，
则|eq \r(3)e1－e2|＝eq \r(\r(3)e1－e22)＝eq \r(3e\\al(2,1)－2\r(3)e1·e2＋e\\al(2,2))＝eq \r(3－0＋1)＝2.同理|e1＋λe2|＝eq \r(1＋λ2).
所以cs 60°＝eq \f(\r(3)e1－e2·e1＋λe2,|\r(3)e1－e2||e1＋λe2|)＝eq \f(\r(3)e\\al(2,1)＋\r(3)λ－1e1·e2－λe\\al(2,2),2\r(1＋λ2))＝eq \f(\r(3)－λ,2\r(1＋λ2))＝eq \f(1,2)，解得λ＝eq \f(\r(3),3).
答案：eq \f(\r(3),3)
题型三 平面向量数量积中的最值范围问题
[典例] (1)已知P为边长为2的正方形ABCD所在平面内一点，则eq \(PC,\s\up7(―→))·(eq \(PB,\s\up7(―→))＋eq \(PD,\s\up7(―→)))的最小值为( )
A．－1 B．－3 C．－eq \f(1,2) D．－eq \f(3,2)
(2)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|eq \(PA,\s\up7(―→))＋3eq \(PB,\s\up7(―→))|的最小值为________．
[解析] (1)法一：综合法
如图，连接BD，取BD的中点O，连接CO，取CO的中点Q.
连接PO，因为O为BD的中点，所以eq \(PB,\s\up7(―→))＋eq \(PD,\s\up7(―→))＝2eq \(PO,\s\up7(―→)).
连接PQ，在△PCQ中，eq \(PC,\s\up7(―→))＝eq \(PQ,\s\up7(―→))＋eq \(QC,\s\up7(―→)).因为Q为CO的中点，所以eq \(QO,\s\up7(―→))＝－eq \(QC,\s\up7(―→)).
在△POQ中，eq \(PO,\s\up7(―→))＝eq \(PQ,\s\up7(―→))＋eq \(QO,\s\up7(―→))＝eq \(PQ,\s\up7(―→))－eq \(QC,\s\up7(―→)).
所以eq \(PC,\s\up7(―→))·(eq \(PB,\s\up7(―→))＋eq \(PD,\s\up7(―→)))＝eq \(PC,\s\up7(―→))·2eq \(PO,\s\up7(―→))＝2eq \(PC,\s\up7(―→))·eq \(PO,\s\up7(―→))＝2(eq \(PQ,\s\up7(―→))＋eq \(QC,\s\up7(―→)))·(eq \(PQ,\s\up7(―→))－eq \(QC,\s\up7(―→)))＝2(eq \(PQ,\s\up7(―→))2－eq \(QC,\s\up7(―→))2)．
因为Q，C是定点，所以当PQ―→2最小，
即P，Q重合时，eq \(PC,\s\up7(―→))·(eq \(PB,\s\up7(―→))＋eq \(PD,\s\up7(―→)))取得最小值，最小值为－2eq \(QC,\s\up7(―→))2＝－1.故选A.
法二：坐标法
建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，设P(x，y)，
所以eq \(PC,\s\up7(―→))＝(2－x,2－y)，eq \(PB,\s\up7(―→))＋eq \(PD,\s\up7(―→))＝(2－x，－y)＋(－x,2－y)＝(2－2x,2－2y)，
故eq \(PC,\s\up7(―→))·(eq \(PB,\s\up7(―→))＋eq \(PD,\s\up7(―→)))＝(2－x)(2－2x)＋(2－y)(2－2y)＝2(x2－3x＋2)＋2(y2－3y＋2)
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2－eq \f(1,2)＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))2－eq \f(1,2)
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))2－1.所以当x＝y＝eq \f(3,2)时，eq \(PC,\s\up7(―→))·(eq \(PB,\s\up7(―→))＋eq \(PD,\s\up7(―→)))取得最小值－1.故选A.
(2)建立平面直角坐标系如图所示，则A(2,0)，设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b)．
所以eq \(PA,\s\up7(―→))＋3eq \(PB,\s\up7(―→))＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5,3b－4y)，
所以|eq \(PA,\s\up7(―→))＋3eq \(PB,\s\up7(―→))|＝eq \r(25＋3b－4y2)(0≤y≤b)，
所以当y＝eq \f(3,4)b时，|eq \(PA,\s\up7(―→))＋3eq \(PB,\s\up7(―→))|取得最小值5.
[答案] (1)A (2)5
[方法技巧]
1．数量积的最值或范围问题的2种求解方法
2．求向量模的最值(范围)的3种方法
[针对训练]
1．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )
A．1 B．2 C.eq \r(2) D．eq \f(\r(2),2)
解析：选C 因为|a|＝|b|＝1，a·b＝0，(a－c)·(b－c)＝－c·(a＋b)＋|c|2＝－|c||a＋b|·cs θ＋|c|2＝0，
其中θ为c与a＋b的夹角，所以|c|＝|a＋b|cs θ＝eq \r(2)cs θ≤eq \r(2)，所以|c|的最大值是 eq \r(2).
2．已知向量a，b满足|a|＝1，(a－b)⊥(3a－b)，则a与b的夹角的最大值为( )
A.eq \f(π,6) B．eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D．eq \f(5π,6)
解析：选A 设a与b的夹角为θ，θ∈[0，π]．因为(a－b)⊥(3a－b)，所以(a－b)·(3a－b)＝0.
整理可得3a2－4a·b＋b2＝0，即3|a|2－4a·b＋|b|2＝0.将|a|＝1代入3|a|2－4a·b＋|b|2＝0，
可得3－4|b|cs θ＋|b|2＝0，整理可得cs θ＝eq \f(3,4|b|)＋eq \f(|b|,4)≥2 eq \r(\f(3,4|b|)×\f(|b|,4))＝eq \f(\r(3),2)，
当且仅当eq \f(3,4|b|)＝eq \f(|b|,4)，即|b|＝eq \r(3)时取等号，故cs θ≥eq \f(\r(3),2)，结合θ∈[0，π]，可知θ的最大值为eq \f(π,6)，故选A.
3．在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N(不与A，C重合)为AC边上的两个动点，且满足|eq \(MN,\s\up7(―→))|＝eq \r(2)，则eq \(BM,\s\up7(―→))·eq \(BN,\s\up7(―→))的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2)) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2)) D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))
解析：选C 以等腰直角三角形的直角边BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则B(0,0)，直线AC的方程为x＋y＝2.设M(a,2－a)，则0∴eq \(BM,\s\up7(―→))＝(a,2－a)，eq \(BN,\s\up7(―→))＝(a＋1,1－a)，
∴eq \(BM,\s\up7(―→))·eq \(BN,\s\up7(―→))＝a(a＋1)＋(2－a)(1－a)＝2a2－2a＋2.
∵0又eq \(BM,\s\up7(―→))·eq \(BN,\s\up7(―→))<2，故eq \(BM,\s\up7(―→))·BN―→的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2)).
题型四 平面向量与其他知识的综合问题
考法(一) 平面向量与几何的综合问题
[例1] 已知A，B是半径为eq \r(2)的⊙O上的两个点，eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＝1，⊙O所在平面上有一点C满足|eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))－eq \(OC,\s\up7(―→))|＝1，则向量eq \(OC,\s\up7(―→))的模的取值范围是________．
[解析] 以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，A(eq \r(2)，0)．
由eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＝1，|eq \(OA,\s\up7(―→))|＝|eq \(OB,\s\up7(―→))|＝eq \r(2)，得∠AOB＝eq \f(π,3)，于是Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(6),2)))，
设C(x，y)，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)\r(2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(\r(6),2)))2＝1.
问题转为求圆eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)\r(2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(\r(6),2)))2＝1上一点到原点距离的取值范围，
原点到圆心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)\r(2)，\f(\r(6),2)))的距离为eq \r(6)，圆的半径为1，∴|eq \(OC,\s\up7(―→))|的取值范围为[eq \r(6)－1，eq \r(6)＋1]．
[答案] [eq \r(6)－1，eq \r(6)＋1]
[方法技巧] 平面向量与几何综合问题的求解方法
[针对训练]
若点O和点F分别为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则eq \(OP,\s\up7(―→))·eq \(FP,\s\up7(―→))的最大值为( )
A．2 B．3 C．6 D．8
解析：选C 由椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1可得F(－1,0)，点O(0,0)，设P(x，y)(－2≤x≤2)，
则eq \(OP,\s\up7(―→))·eq \(FP,\s\up7(―→))＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x2,4)))＝eq \f(1,4)x2＋x＋3＝eq \f(1,4)(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，
当且仅当x＝2时，eq \(OP,\s\up7(―→))·eq \(FP,\s\up7(―→))取得最大值6.
考法(二) 平面向量与三角函数的综合问题
[例2]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cs(A－B)，sin(A－B))，n＝(cs B，－sin B)，且m·n＝－eq \f(3,5).
(1)求sin A的值；
(2)若a＝4eq \r(2)，b＝5，求角B的大小及向量eq \(BA,\s\up7(―→))在eq \(BC,\s\up7(―→))方向上的投影．
[解] (1)由m·n＝－eq \f(3,5)，得cs(A－B)cs B－sin(A－B)sin B＝－eq \f(3,5)，
所以cs A＝－eq \f(3,5).因为0(2)由正弦定理，得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，则sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(5×\f(4,5),4\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，
因为a>b，所以A>B，且B是△ABC一内角，则B＝eq \f(π,4).
由余弦定理得(4eq \r(2))2＝52＋c2－2×5×c×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))，解得c＝1(舍去负值)，
故向量eq \(BA,\s\up7(―→))在eq \(BC,\s\up7(―→))方向上的投影为|eq \(BA,\s\up7(―→))|cs B＝ccs B＝1×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),2).
[方法技巧]
平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)若题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，则运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
[针对训练]
已知A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cs B，cs A)，且m·n＝sin 2C.
(1)求角C的大小；
(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且eq \(CA,\s\up7(―→))·(eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→)))＝18，求边c的长．
解：(1)由已知得m·n＝sin Acs B＋cs Asin B＝sin(A＋B)，
因为A＋B＋C＝π，所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，所以m·n＝sin C，又m·n＝sin 2C，
所以sin 2C＝sin C,2sin Ccs C＝sin C，sin C≠0，
所以cs C＝eq \f(1,2).又0(2)由已知及正弦定理得2c＝a＋b.
因为eq \(CA,\s\up7(―→))·(eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→)))＝eq \(CA,\s\up7(―→))·eq \(CB,\s\up7(―→))＝18，所以abcs C＝18，所以ab＝36.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcs C＝(a＋b)2－3ab，所以c2＝4c2－3×36，
所以c2＝36，所以c＝6.
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
一、综合练——练思维敏锐度
1．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,1)，c＝(x,4)，若(a－b)⊥c，则c·(a＋b)＝( )
A．(2,12) B．(－2,12) C．14 D．10
解析：选C 由题意可得，a－b＝(－4,1)，由(a－b)⊥c，得(－4)×x＋1×4＝0，
即－4x＋4＝0，解得x＝1，所以c＝(1,4)．又a＋b＝(2,3)，所以c·(a＋b)＝1×2＋4×3＝14.
2．已知非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，|2a－b|＝1，则|a|＝( )
A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \r(2) D．2
解析：选A 由题意得a·b＝|a|×1×eq \f(1,2)＝eq \f(|a|,2)，又|2a－b|＝1，
∴|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝4|a|2－2|a|＋1＝1，即4|a|2－2|a|＝0，又|a|≠0，解得|a|＝eq \f(1,2).
3．已知a＝(2sin 13°，2sin 77°)，|a－b|＝1，a与a－b的夹角为eq \f(π,3)，则a·b＝( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：选B 因为a＝(2sin 13°，2sin 77°)，所以|a|＝eq \r(2sin 13°2＋2sin 77°2)＝eq \r(2sin 13°2＋2cs 13°2)＝2，又因为|a－b|＝1，向量a与a－b的夹角为eq \f(π,3)，
所以cs eq \f(π,3)＝eq \f(a·a－b,|a||a－b|)＝eq \f(a2－a·b,2×1)＝eq \f(4－a·b,2×1)＝eq \f(1,2)，所以a·b＝3，故选B.
4.如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则eq \(AC,\s\up7(―→))·eq \(BD,\s\up7(―→))＝( )
A．2 B．3 C．6 D．12
解析：选C eq \(AC,\s\up7(―→))·eq \(BD,\s\up7(―→))＝(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→)))·(eq \(AD,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→)))＝(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→)))·(2eq \(BC,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→)))
＝2|eq \(BC,\s\up7(―→))|2＋eq \(BC,\s\up7(―→))·eq \(AB,\s\up7(―→))－|eq \(AB,\s\up7(―→))|2＝8＋2×2×eq \f(1,2)－4＝6.
5．(多选)已知向量a＝(6,2)，b＝(－2，k)，k为实数，则下列结论正确的是( )
A．若a·b＝6，则k＝9 B．若|a＋b|≤5，则－5≤k≤1
C．不存在实数k，使(a－b)⊥b成立 D．若a与b的夹角为钝角，则k<6
解析：选ABC 对于A，由a·b＝6×(－2)＋2k＝6，解得k＝9，A正确；
对于B，a＋b＝(4,2＋k)，由|a＋b|≤5，得16＋(2＋k)2≤25，解得－5≤k≤1，B正确；
对于C，因为a－b＝(8,2－k)，由(a－b)⊥b，得(8,2－k)·(－2，k)＝0，即k2－2k＋16＝0，此方程无解，所以不存在实数k，使(a－b)⊥b成立，C正确；
对于D，若a与b的夹角为钝角，则a·b<0，且a与b不共线，即6×(－2)＋2k<0, 6k－(－2)×2≠0，
解得k<6且k≠－eq \f(2,3)，D错误，故选A、B、C.
6.如图，半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝eq \f(2π,3)，P是弧AB上的一点，且满足OP⊥OB，M，N分别是线段OA，OB上的动点，则eq \(PM,\s\up7(―→))·eq \(PN,\s\up7(―→))的最大值为( )
A.eq \f(\r(2),2) B．eq \f(\r(3),2) C．1 D．eq \r(2)
解析：选C ∵扇形OAB的半径为1，∴|eq \(OP,\s\up7(―→))|＝1，∵OP⊥OB，∴eq \(OP,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＝0.
∵∠AOB＝eq \f(2π,3)，∴∠AOP＝eq \f(π,6)，
∴eq \(PM,\s\up7(―→))·eq \(PN,\s\up7(―→))＝(eq \(PO,\s\up7(―→))＋eq \(OM,\s\up7(―→)))·(eq \(PO,\s\up7(―→))＋eq \(ON,\s\up7(―→)))＝eq \(PO,\s\up7(―→))2＋eq \(ON,\s\up7(―→))·eq \(PO,\s\up7(―→))＋eq \(OM,\s\up7(―→))·eq \(PO,\s\up7(―→))＋eq \(OM,\s\up7(―→))·eq \(ON,\s\up7(―→))
＝1＋|eq \(OM,\s\up7(―→))|cs eq \f(5π,6)＋|eq \(OM,\s\up7(―→))|·|eq \(ON,\s\up7(―→))|cs eq \f(2π,3)≤1＋0×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))＋0×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝1，故选C.
7．直角△ABC中，AB＝AC＝2，D为AB边上的点，且eq \f(AD,DB)＝2，则eq \(CD,\s\up7(―→))·eq \(CA,\s\up7(―→))＝________；若eq \(CD,\s\up7(―→))＝xeq \(CA,\s\up7(―→))＋yeq \(CB,\s\up7(―→))，则xy＝________.
解析：以A为原点，分别以eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(AC,\s\up7(―→))的方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则A(0,0)，B(2,0)，C(0,2)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，0))，则eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，－2))，eq \(CA,\s\up7(―→))＝(0，－2)，eq \(CB,\s\up7(―→))＝(2，－2)，则eq \(CD,\s\up7(―→))·eq \(CA,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，－2))·(0，－2)＝eq \f(4,3)×0＋(－2)×(－2)＝4.由eq \(CD,\s\up7(―→))＝xeq \(CA,\s\up7(―→))＋yeq \(CB,\s\up7(―→))＝x(0，－2)＋y(2，－2)＝(2y，－2x－2y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，－2))，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2y＝\f(4,3)，,－2x－2y＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,3)，,y＝\f(2,3)，))则xy＝eq \f(2,9).
答案：4 eq \f(2,9)
8．已知平面向量a，b满足|b|＝1，且a与b－a的夹角为120°，则|a|的取值范围为________．
解析：在△ABC中，设eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(AC,\s\up7(―→))＝b，则b－a＝eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(BC,\s\up7(―→))，
∵a与b－a的夹角为120°，∴∠B＝60°，由正弦定理得eq \f(1,sin 60°)＝eq \f(|a|,sin C)，∴|a|＝eq \f(sin C,sin 60°)＝eq \f(2\r(3),3)sin C.
∵0°答案：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(3),3)))
9．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且eq \(AD,\s\up7(―→))＝λeq \(BC,\s\up7(―→))，eq \(AD,\s\up7(―→))·eq \(AB,\s\up7(―→))＝－eq \f(3,2)，则实数λ的值为________，若M，N是线段BC上的动点，且|eq \(MN,\s\up7(―→))|＝1，则eq \(DM,\s\up7(―→))·eq \(DN,\s\up7(―→))的最小值为________．
解析：依题意得AD∥BC，∠BAD＝120°，由eq \(AD,\s\up7(―→))·eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(|AD|,\s\up7(――→))·eq \(|AB|,\s\up7(――→))·cs∠BAD＝－eq \f(3,2)eq \(|AD|,\s\up7(――→))＝－eq \f(3,2)，得eq \(|AD|,\s\up7(――→))＝1，因此λ＝eq \f(eq \(|AD|,\s\up7(――→)),eq \(|BC|,\s\up7(――→)))＝eq \f(1,6).取MN的中点E，连接DE，则eq \(DM,\s\up7(―→))＋eq \(DN,\s\up7(―→))＝2eq \(DE,\s\up7(―→))，eq \(DM,\s\up7(―→))·eq \(DN,\s\up7(―→))＝eq \f(1,4)[(eq \(DM,\s\up7(―→))＋eq \(DN,\s\up7(―→)))2－(eq \(DM,\s\up7(―→))－eq \(DN,\s\up7(―→)))2]＝eq \(DE,\s\up7(―→))2－eq \f(1,4)eq \(NM,\s\up7(―→))2＝eq \(DE,\s\up7(―→))2－eq \f(1,4).注意到线段MN在线段BC上运动时，DE的最小值等于点D到直线BC的距离，即AB·sin∠B＝eq \f(3\r(3),2)，因此eq \(DE,\s\up7(―→))2－eq \f(1,4)的最小值为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(3),2)))2－eq \f(1,4)＝eq \f(13,2)，即eq \(DM,\s\up7(―→))·eq \(DN,\s\up7(―→))的最小值为eq \f(13,2).
答案：eq \f(1,6) eq \f(13,2)
10.伴随着国内经济的持续增长，人民的生活水平也相应有所提升，其中旅游业带来的消费是居民消费领域增长最快的，因此挖掘特色景区，营造文化氛围尤为重要．某景区的部分道路如图所示，AB＝30 m，BC＝40eq \r(2) m，CD＝50 m，∠ABC＝∠BCD＝45°，要建设一条从点A到点D的空中长廊，则AD＝_______m.
解析：由题可知∠ABC＝∠BCD＝45°，所以AB∥CD，由eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))可得，
|eq \(AD,\s\up7(―→))|2＝|eq \(AB,\s\up7(―→))|2＋|eq \(BC,\s\up7(―→))|2＋|eq \(CD,\s\up7(―→))|2＋2eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＋2eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(CD,\s\up7(―→))＋2eq \(BC,\s\up7(―→))·eq \(CD,\s\up7(―→))，
又eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝|eq \(AB,\s\up7(―→))||eq \(BC,\s\up7(―→))|cs 135°＝－1 200，eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(CD,\s\up7(―→))＝|eq \(AB,\s\up7(―→))||eq \(CD,\s\up7(―→))|cs 0°＝1 500，
eq \(BC,\s\up7(―→))·eq \(CD,\s\up7(―→))＝|eq \(BC,\s\up7(―→))||eq \(CD,\s\up7(―→))|cs 135°＝－2 000，
所以|eq \(AD,\s\up7(―→))|2＝900＋3 200＋2 500－2 400＋3 000－4 000＝3 200，则|eq \(AD,\s\up7(―→))|＝40eq \r(2) m.
答案：40eq \r(2)
11．在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sin x，cs x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m与n的夹角为eq \f(π,3)，求x的值．
解：(1)因为m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sin x，cs x)，m⊥n，所以m·n＝0，
即eq \f(\r(2),2)sin x－eq \f(\r(2),2)cs x＝0，所以sin x＝cs x，所以tan x＝1.
(2)由已知得|m|＝|n|＝1，所以m·n＝|m|·|n|cs eq \f(π,3)＝eq \f(1,2)，即eq \f(\r(2),2)sin x－eq \f(\r(2),2)cs x＝eq \f(1,2)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝eq \f(1,2).因为012．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cs B＝eq \f(5,13).
(1)若sin A＝eq \f(4,5)，求cs C；
(2)若b＝4，求eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))的最小值．
解：(1)在△ABC中，由cs B＝eq \f(5,13)得，sin B＝eq \f(12,13)，
∵sin B＝eq \f(12,13)>sin A，∴B>A，故A为锐角，∴cs A＝eq \f(3,5)，
∴cs C＝－cs(A＋B)＝－cs Acs B＋sin Asin B＝eq \f(33,65).
(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B得，
16＝a2＋c2－eq \f(10,13)ac≥2ac－eq \f(10,13)ac＝eq \f(16,13)ac，当且仅当a＝c时等号成立，∴ac≤13，
∴eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝accs(π－B)＝－accs B＝－eq \f(5,13)ac≥－5.
故eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))的最小值为－5.
二、自选练——练高考区分度
1.△ABC中，|AC|＝2，|AB|＝2，∠BAC＝120°，eq \(AE,\s\up7(―→))＝λeq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(AF,\s\up7(―→))＝μeq \(AC,\s\up7(―→))，M为线段EF的中点，若|eq \(AM,\s\up7(―→))|＝1，则λ＋μ的最大值为( )
A.eq \f(\r(7),3) B．eq \f(2\r(7),3) C．2 D．eq \f(\r(21),3)
解析：选C eq \(AM,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(AE,\s\up7(―→))＋eq \(AF,\s\up7(―→)))＝eq \f(λ,2)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(μ,2)eq \(AC,\s\up7(―→))，
∴|eq \(AM,\s\up7(―→))|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ,2) eq \(AB,\s\up7(―→))＋\f(μ,2) eq \(AC,\s\up7(―→))))2＝λ2＋μ2＋eq \f(λμ,2)×4cs 120°＝λ2＋μ2－λμ＝1，
∴1＝λ2＋μ2－λμ＝(λ＋μ)2－3λμ≥(λ＋μ)2－eq \f(3,4)(λ＋μ)2＝eq \f(1,4)(λ＋μ)2，
∴λ＋μ≤2，当且仅当λ＝μ＝1时等号成立．故选C.
2．已知向量a，b，c满足：a＝(4,0)，b＝(4,4)，(a－c)·(b－c)＝0，则b·c的最大值是( )
A．24 B．24－8eq \r(2) C．24＋8eq \r(2) D．8eq \r(2)
解析：选C 设eq \(OA,\s\up7(―→))＝a＝(4,0)，eq \(OB,\s\up7(―→))＝b＝(4,4)，eq \(OC,\s\up7(―→))＝c＝(x，y)，则a－c＝(4－x，－y)，
b－c＝(4－x,4－y)，又知(a－c)·(b－c)＝0，∴(4－x)2－y(4－y)＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝4，
∴点C的轨迹方程为(x－4)2＋(y－2)2＝4.
而b·c＝4x＋4y，令z＝4x＋4y，由平面几何知识可得当直线4x＋4y－z＝0与圆(x－4)2＋(y－2)2＝4相切时，z取得最大值或最小值，即zmax＝24＋8eq \r(2)，故选C.
3．已知平面向量eq \(PA,\s\up7(―→))，eq \(PB,\s\up7(―→))满足|eq \(PA,\s\up7(―→))|＝|eq \(PB,\s\up7(―→))|＝1，eq \(PA,\s\up7(―→))·eq \(PB,\s\up7(―→))＝－eq \f(1,2).若|eq \(BC,\s\up7(―→))|＝1，则|eq \(AC,\s\up7(―→))|的最大值为( )
A.eq \r(2)－1 B．eq \r(3)－1 C.eq \r(2)＋1 D．eq \r(3)＋1
解析：选D 因为|eq \(PA,\s\up7(―→))|＝|eq \(PB,\s\up7(―→))|＝1，eq \(PA,\s\up7(―→))·eq \(PB,\s\up7(―→))＝－eq \f(1,2)，所以cs∠APB＝－eq \f(1,2)，即∠APB＝eq \f(2π,3)，由余弦定理可得AB＝eq \r(1＋1＋1)＝eq \r(3).如图，建立
平面直角坐标系，则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，0))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，0))，由题设点C(x，y)在以Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，0))为圆心，半径为1的圆上运动，结合图形可知，点C(x，y)运动到点D时，有|AC|max＝|AD|＝|AB|＋1＝eq \r(3)＋1.故选D.
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(eq \r(2)a－c)eq \(BA,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝ceq \(CB,\s\up7(―→))·eq \(CA,\s\up7(―→)).
(1)求角B的大小；
(2)若|eq \(BA,\s\up7(―→))－eq \(BC,\s\up7(―→))|＝eq \r(6)，求△ABC面积的最大值．
解：(1)由题意得(eq \r(2)a－c)cs B＝bcs C.
根据正弦定理得(eq \r(2)sin A－sin C)cs B＝sin Bcs C，所以eq \r(2)sin Acs B＝sin(C＋B)，
即eq \r(2)sin Acs B＝sin A，因为A∈(0，π)，所以sin A>0，
所以cs B＝eq \f(\r(2),2)，又B∈(0，π)，所以B＝eq \f(π,4).
(2)因为|eq \(BA,\s\up7(―→))－eq \(BC,\s\up7(―→))|＝eq \r(6)，所以|eq \(CA,\s\up7(―→))|＝eq \r(6)，即b＝eq \r(6)，
根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－eq \r(2)ac≥2ac－eq \r(2)ac＝(2－eq \r(2))ac(当且仅当a＝c时取等号)，
即ac≤3(2＋eq \r(2))．故△ABC的面积S＝eq \f(1,2)acsin B≤eq \f(3\r(2)＋1,2)，因此△ABC的面积的最大值为eq \f(3\r(2)＋3,2).
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝eq \r(a·a)
|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))
夹角
cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)
cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))
a⊥b的
充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|
的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤
eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))
常规角度
1.平面向量数量积及其性质的应用：主要考查平面向量数量积的计算，以及利用数量积求向量的模、夹角等．
2.平面向量的综合应用：主要考查平面向量模或数量积的最值范围问题
创新角度
平面向量的数量积与解析几何、平面几何以及三角函数交汇，主要利用数量积证明垂直或利用数量积转化垂直的条件、求长度等
方法
运用提示
适用题型
定义法
当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a|·|b|cs θ
适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题
坐标法
当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2
适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题
临界分析法
结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围
目标函数法
将数量积表示为某一个变量或两个变量的函数，建立函数关系式，再利用三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围
代数法
把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解
几何法
弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解
不等式法
利用绝对值三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|求模的最值(范围)
坐标法
把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决
基向量法
适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解