2023-2024年新高考数学一轮复习培优教案7.3《直线、平面平行的判定与性质》 (2份打包，原卷版+教师版)

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1.结合立体几何的定义、公理，会推导直线和平面平行、平面和平面平行的判定定理和性质定理，凸显逻辑推理的核心素养．
2．常与求几何体的体积计算相结合，会应用直线和平面平行、平面和平面平行的判定定理、性质定理证明空间的线、面平行关系，凸显直观想象、逻辑推理的核心素养．
[理清主干知识]
1．直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义
直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行．
(2)判定定理与性质定理
2.平面与平面平行
(1)平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫做平行平面．
(2)判定定理与性质定理
3.谨记两个结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( )
A．一条直线不相交 B．两条直线不相交
C．无数条直线不相交 D．任意一条直线都不相交
2．设α，β是两个不同的平面，m是一条直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A．m∥α，n∥α，则m∥n B．m∥n，m∥α，则n∥α
C．m⊥α，m⊥β，则α∥β D．α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
4．设α，β，γ是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，有下列三个条件：
①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.
如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填序号)．
二、易错点练清
1．下列条件中，能判断两个平面平行的是( )
A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面
B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
2．设m，l表示两条不同的直线，α表示平面，若m⊂α，则“l∥α”是“l∥m”的________条件．
3．(1)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a与α的位置关系是______________．
(2)已知直线a，b和平面α，β，若a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α，β的位置关系是______________．
(3)若α∥β，直线a∥α，则a与β的位置关系是___________________________________．
考点一 直线与平面平行的判定与性质
考法(一) 线面平行的判定
[例1]如图所示，在空间几何体ABCDFE中，四边形ADFE是梯形，且EF∥AD，P，Q分别为棱BE，DF的中点．求证：PQ∥平面ABCD.
考法(二) 线面平行的性质定理的应用
[例2] 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.
求证：AP∥GH.
[方法技巧]
线面平行问题的解题关键
(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．
(2)应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．
[针对训练] 如图，几何体E­ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.
(1)求证：BE＝DE；
(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.
考点二 平面与平面平行的判定与性质
[典例] 如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
[方法技巧]
1．判定面面平行的主要方法
(1)利用面面平行的判定定理．
(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行)．
2．面面平行条件的应用
(1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行．
(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行．
[提醒] 利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明在一个平面内的两条直线是相交直线．
[针对训练]
1.如图是长方体被一平面截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．
2.如图，在四棱锥P­ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分别为AD，PA的中点．
(1)证明：平面BMN∥平面PCD；
(2)若AD＝6，求三棱锥P­BMN的体积．
考点三 平行关系的综合
[典例] 如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，点C∈α，点B∈β，点D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.
(1)求证：EF∥平面β；
(2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角为60°，求EF的长．
[方法技巧]
利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置．对于线段长或线段比例问题，常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决．
[针对训练] 如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E，F，G分别是棱BC，AD，PA的中点．
(1)求证：PE∥平面BFG；
(2)若PD＝AD＝1，AB＝2，求点C到平面BFG的距离．
创新考查方式——领悟高考新动向
1.如图，已知底面边长为eq \r(3)且高为1的正三棱柱ABC­A1B1C1，过顶点A作平面α与侧面BCC1B1交于EF，且EF∥BC，若∠FAB＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(02．(多选)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF＝eq \f(\r(2),2)，以下结论正确的为( )
A．AC⊥BF
B．三棱锥A­BEF的体积为定值
C．EF∥平面ABCD
D．异面直线AE，BF所成的角为定值
3.如图所示，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件______________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)
4．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为3，点N是棱A1B1的中点，点T是棱CC1上靠近点C的三等分点，动点Q在正方形D1DAA1(包含边界)内运动，且QB∥平面D1NT，则动点Q所形成的轨迹的长为________．
5．在三棱锥P­ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为________．
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
1．(多选)已知直线a，b，l，平面α，β，则下列命题中错误的选项为( )
A．若α⊥β，l⊥α，则l∥β B．若a⊥l，b⊥l，则a∥b
C．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β D．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
2．(多选)已知α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线．给出下列命题，其中正确的命题是( )
A．若l上两点到α的距离相等，则l∥α
B．若l⊥α，l∥β，则α⊥β
C．若α∥β，l⊄β，且l∥α，则l∥β
D．若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n
3．m，n是平面α外的两条直线，在m∥α的前提下，m∥n是n∥α的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若平面β截三棱锥所得的截面为平行四边形，则该三棱锥的所有棱中与平面β平行的棱有( )
A．0条 B．1条 C．2条 D．1条或2条
5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，有以下四个命题：
①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；
②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；
③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；
④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n.
其中真命题的序号是( )
A．②③ B．③④ C．①④ D．①②
6．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )
A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥β D．AC⊥β
7.如图所示，三棱柱ABC­A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________．
8．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊂α，n∥α，则m∥n；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；
③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；
④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.
其中是真命题的是________(填序号)．
9．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________．
10.如图，已知四棱锥P­ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAB⊥平面ABCD，E是棱PA的中点．
(1)求证：PC∥平面BDE；
(2)平面BDE分此棱锥为两部分，求这两部分的体积比．
11.如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：
(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
12．如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝4，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB.现将四边形ABCD沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC.
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面
a⊄α，b⊂α，
a∥b ⇒a∥α
性质定理
一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
a∥α，a⊂β，
α∩β＝b⇒a∥b
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
a⊂α，b⊂α，
a∩b＝P，a∥β，
b∥β⇒α∥β
性质定理
两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面
α∥β，a⊂α⇒
a∥β
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b