安徽省亳州市蒙城县五校联考2024届高三上学期11月期中考试数学

这是一份安徽省亳州市蒙城县五校联考2024届高三上学期11月期中考试数学，共14页。试卷主要包含了答题前，考生务必用直径0，在中，与交于点，且，则，设，则等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数满足（是虚数单位），则（ ）
A.1 B.2 C. D.
3.下列说法不正确的是（ ）
A.，使成立
B.“，有”的否定为“，使”
C.，有成立
D.“，使”的否定为“，有”
4.如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内.若请你设计一个测量方案，则需要测量的数据可以是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.已知函数的导函数是，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
6.在中，与交于点，且，则（ ）
A. B. C. D.1
7.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.设，则（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ）
A.该函数的解析式为
B.该函数图象的对称中心为
C.该函数的增区间是
D.把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图象
10.十六世纪中叶，英国数学家哈利奥特用“”“”表示不等号，并逐渐被数学界所接受，不等号的引入对不等式发展影响深远.若某同学从一楼到五楼原路往返的速度分别为和，记两速度的算术平均值为，全程的平均速度为，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知函数，函数，则方程解的个数可能是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
12.已知定义在上的函数可导，且不恒为为奇函数，为偶函数，则（ ）
A.的周期为4
B.的图象关于直线对称
C.
D.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.__________.
14.已知，则在方向上投影向量的坐标为__________.
15.已知函数，则不等式的解集为__________.
16.已知等腰直角三角形的斜边，且的内切圆圆心为，则其半径__________；若点在以为圆心，1为半径的圆上，则与的面积之比的最大值为__________.（第一个空2分，第二个空3分）
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.
（1）请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立；
（2）在锐角中，根据（1）中的结论，证明：.
18.（本小题满分12分）
已知向量，其中，且函数的对称轴间的距离最小值为.
（1）求的解析式；
（2）方程在上有且仅有两个不同的实数解，求实数的取值范围.
19.（本小题满分12分）
低碳环保的新能源汽车逐渐走进千家万户.新能源汽车采用非常规的车用燃料作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车､纯电动汽车.为了提高生产质量，有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试，已知国道限速.经数次测试，得到纯电动汽车每小时耗电量单位：）与速度（单位：）的部分数据如下表所示：
为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③.
（1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需说明理由），并求出相应的函数表达式；
（2）现有一辆同型号纯电动汽车在甲､乙两地间的国道上匀速行驶，其中甲､乙两地间国道长度为，求车速为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？
20.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有两个极值点，记过两点的直线斜率为，是否存在使？若存在，求的值；若不存在，试说明理由.
21.（本小题满分12分）
在中，内角所对的边分别为.现有如下两个条件：条件①；条件②.请从上述两个条件中选择一个作为已知，完成本题解答.
你选择的条件是__________.
（1）求角；
（2）若为边上一点，且.当的面积取到最大值时，求角.
注：若多选条件，则按选择第一个条件解答计分.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）证明：时，；
（2）当时，证明：不等式对恒成立.
2023~2024学年高三上学期期中联考·数学
参考答案､提示及评分细则
1.D 【解析】由题意，所以.故选D.
2.A 【解析】原式可化为，解得，则.故选.
3.B 【解析】对于，当成立，是正确的；
对于，“，有”的否定为“，使”，不正确；
对于，有成立，所以是正确的；
对于D，“，使”的否定为“，有”，是正确的.故选B.
4.A 【解析】对于选项，当测出，在中，由正弦定理可得，；在中，同理可得，；再在中，由及余弦定理，即可求得间的距离；
对于选项，，从而条件不足；
对于C选项，同上原因，故不选；
对于选项，，从而条件不足.故选.
5.B 【解析】由题知且不恒等于0，当时，的值由小变大，再由大变小，即函数图象从左到右是单调递增，且变化趋势是先慢后快再变慢，故选B.
6.B 【解析】由已知得：为的中点，①
②
由①､②解得.故选B.
7.D 【解析】由题意可知，
因为函数在上单调递增，所以当时，恒成立，即当时，恒成立，
因为对称轴为，当时，，
所以当时，不恒成立，不符题意；
当时，，当时，恒成立，
则，解得.故选D.
8.D 【解析】令，显然，
令，令，则，
，
，即，综上，.故选D.
9.ACD 【解析】由题图可知，，周期，所以，则，
因为当时，，即，所以，即，又，故，从而，故A正确；
令，得，故B错误；
令，得，故C正确；
函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到，故D正确.故选ACD.
10.BCD 【解析】由题知，和不等式链，可知A不正确，故选BCD.
11.ABC 【解析】因为的导函数是，
所以，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递递减，所以有极小值.另外，有有且，故简图
如图所示.
所以由图形变换可得的简图如图
令，则
令方程有两个根分别是和则
且，所以且.当时，，
有四解；当时，有三解；当
时，有两解；故选：ABC.
12.AC 【解析】为奇函数，则的图象关于对称.又为偶函数，则的图象关于直线对称.所以.则的周期为4，故A选项正确；
又，则的图象关于对称，故选项B错误；又，所以，故选项C正确；
由以上可知，，但是不知道等于多少，函数的周期为4，则，故D错.综上选AC.
13. 【解析】由诱导公式，.
14. 【解析】.
15. 【解析】易知是上的奇函数，当时，，当时，，当时，，当时，；函数是上的奇函数，当时，，
当时，.所以是上的偶函数，且当时，，当时，，当时，，当时.偶函数的性质可知，
当时，，当时，，当时，
另外，，得，得，得；所以由等价于或得.故答案是：
【解析】由题意可知，在边的高线上，且到距离即内切圆半径为，则与的面积之比即为，由于与均为锐角且互余，上式即为.易知最大当且仅当在近侧与圆相切时，此时记切点为，则，所以
，即为所求最大值.
17.解：（1）若，则.
证明：.
因为，所以.又，故
因此.
（2）在锐角三角形中，由（1）得，
同理，
.
以上式子相加得.
18.解：（1）
由于函数的对称轴间的距离最小值为，从而函数的最小正周期为，所以.
综上，.
.
当时，单调递增，此时.
当时，单调递减，此时
所以满足条件的取值范围为.
19.解：（1）由题意显然选择，
由表中数据，可得解得，
.
（2）国道上行驶，所用时间为，
则所耗电量为，
当时，，
当这辆车在国道上的行驶速度为时，该车从甲地行驶到乙地的总耗电量最少，最少为.
20.解：（1）由题意得：函数的导函数.
当时，，即是切点为，所以，曲线在处的切线方程是：，即；
（2）不存在的值
假设存在的值，使得
易知：是方程的两不等实数解，即且.
不妨令，则
因为，所以由得：.
构造函数：，而恒成立.
所以在上单调递增，即.
所以当时，恒成立即无解.
所以不存在的值，使得.
21.解：（1）选条件①：由，及正弦定理，
.
又为内角，所以，从而，即
，
则，或（舍去），从而.
选条件②：由，及正弦定理，
.
又为内角，所以，
代入上式即得，而，
所以，从而.
则，或（舍去），因此，.
（2）解法一：
由为边上一点，且，从而，即.
平方，得，
即，
由基本不等式，，等号当且仅当
时成立，此时有最大值，从而面积为也有最大值.
当时，由余弦定理，可得
由正弦定理，，又，所以.
解法二：记，则，分别在和中使用余弦定理，有
，
.
联立上述两式，消去得，
又由（1），，所以在中使用余弦定理，有，将此式代入（*），
有.
余下部分同解法一.
解法三：由题意，过点作边的平行线，与线段的延长线交于点（如图）
则易知，且相似比为2
所以.
由（1），，所以，从而在中，由余弦定理，有
，化简即得：.
余下部分同解法一.
22.（1）证明：令
显然对恒成立，故在上单调递增，
从而，故在上单调递增，
从而，
即时，恒有成立.
（2）证明：对于，由（1）得①，②
故对于，要证，
只要证
即证，当时，显然成立；当时，即证③.
令，则
时有，故在上单调递增，所以
故在上单调递增，所以，即③成立.
综上所述：对于恒成立.0
10
40
60
0
825
2400
4200