2023-2024学年安徽省示范高中培优联盟高一上学期冬季联赛数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省示范高中培优联盟高一上学期冬季联赛数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|(x-2)(3x-27)=0}，B={x∈Z|0≤lnx≤1}，则A∩B=( )
A. {2}B. {3}C. {2,3}D. {1,2,3}
2.若命题：∃x>0，2x2-mx+1≤0是真命题，则实数m的取值范围是( )
A. [1,+∞)B. [2,+∞)C. [2 2,+∞)D. [3,+∞)
3.已知函数y=f(2x)的定义域为[-32,2]，则函数y=f(1-x)ln(x+2)的定义域为( )
A. [0,74]B. [-3,-1)∪(-1,4]
C. (-2,4]D. (-2,-1)∪(-1,4]
4.若p:a>3，q:关于x的方程x2+ax+1=0有两个不相等的实数根，则p是q成立的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知定义域为R的函数f(x)和g(x)，函数f(x)图象关于原点对称，函数g(x)满足g(x)-g(-x)=0，若f(x)+g(x)=2x+x3-1，则f(1)与g(-2)的大小关系为( )
A. f(1)>g(-2)B. f(1)6.已知a>1，b>1，lga10=lgb，lga+lgb≤2，则a+b=( )
A. 2B. 5C. 10D. 20
7.已知函数f(x)定义域为D，若对于∀x1，x2∈D，当x1≠x2时，都有x1x2[f(x1)+f(x2)]-x22f(x1)-x12f(x2)<0成立，则称函数f(x)是“共建”函数，则下列四个函数中是“共建”函数的是( )
A. f(x)=x(4x+2x)B. f(x)=xlg12(2x-1)
C. f(x)=x2+x，x∈(0,+∞)D. f(x)=x2，x∈(0,+∞)
8.函数f(x)=81x+4⋅9-x+4⋅3x+19x+2⋅3-x的最小值是( )
A. 2 2B. 3C. 83D. 103
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.若实数x，y满足-1．( )
A. 1x<-1B. -210.若点(a,8)在幂函数f(x)=(a-1)xb的图象上，则以下关于函数g(x)= x-a- b-x的说法中正确的是
．( )
A. g(x)的定义域是[1,2]B. g(x)的值域是[-1,1]
C. g(x)是增函数D. g(5-x)+g(x)=0
11.若函数f(x)的零点与g(x)=4x+lnx-2的零点之差的绝对值不超过12，则f(x)可以是( )
A. f(x)=4x-1B. f(x)=x3+x-2
C. f(x)=3x-3-xD. f(x)=lg2(3x-2)
12.定义在R上的函数f(x)，当x>0时，f(x)=2|x-2|，当x≤0时，f(x)=2x+1，若关于x函数y=f2(x)+mf(x)+1在定义域内有四个零点，则实数m的取值可以是
．( )
A. -265B. -5C. -103D. -52
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知函数f(x)=2x- x-1，则f(x)的值域为 ．
14.已知函数f(x)=lga(x+b)的图象不经过第二、四象限，请写出满足条件的一组(a,b)的值 ．
15.设点A(1,0)，B(0,1)，点C是函数y=x+1x(12≤x≤1)图象上一点，则△ABC面积的最小值为 ．
16.)若函数f(x)=(x+3)(2x2+mx+n)对于∀x∈R都有f(2-x)+f(x)=0，则2m+n= ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
某品牌汽车制造厂引进了一条小型家用汽车装配流水线，本年度第一季度统计数据如下表：
(1)根据上表数据，从下列三个函数模型中： ①y=ax+b， ②y=ax2+bx+c， ③y=ax+b选取一个恰当的函数模型描述这条流水线生产的小型汽车数量x(辆)与创造的收益y(元)之间的关系，并写出这个函数关系式;
(2)利用上述你选取的函数关系式计算，若这家工厂希望在一周内利用这条流水线创收6020元以上，那么它在一周内大约应生产多少辆小型汽车?
18.(本小题12分)
(1)已知b>a>0，求证a+1b+1>ab;
(2)利用(1)的结论，证明：12 n<(1-12)(1-14)(1-16)×⋯×(1-12n)<1 2n+1(n∈N*且n≥2)．
19.(本小题12分)
我们知道存储温度x(单位：℃)会影响着鲜牛奶的保鲜时间T(单位：h)，温度越高，保鲜时间越短.已知x与T之间的函数关系式为T(x) =emx+n(e为自然对数的底数)，某款鲜牛奶在5℃的保鲜时间为180h，在25℃的保鲜时间为45h.(参考数据： 2≈1.41)
(1)求此款鲜牛奶在0℃的保鲜时间约为几小时(结果保留到整数);
(2)若想要保证此款鲜牛奶的保鲜时间不少于90h，那么对存储温度有怎样的要求?
20.(本小题12分)
定义在R上的函数f(x)，满足f(x)>0，对于任意的x，y∈R都有lnf(xy)=ylnf(x)成立，并且∃m>0，使得f(m)=12．
(1)判断函数f(x)的单调性，并证明;
(2)若∀x∈[-2,-1]，不等式f(a+x2)f(-x2)≥1恒成立，求实数a的取值范围．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2+2x-3,x⩽0；-2+lnx,x>0.
(1)请在网格纸中画出f(x)的简图，并写出函数的单调区间(无需证明);
(2)定义函数╔╔g(x)= \ begin{cases}f(x)-x^{2}-4x+1,-2 \ leqslant x \leqslant 0;\\\dfrac{1}{2}x^{2}-2,0
①求函数g(x)的不动点;
②求函数g(x)的稳定点．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lgax，其中a>1．
(1)若存在x1(2)令g(x)=f(x)f(xa)，若关于x的方程g(x)=m有两个根x1和x2，求当x2x1>a2时，实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查集合的交集的求法，属于基础题．
求出两个集合，然后求解交集即可．
【解答】解：集合A={x|(x-2)(3x-27)=0}={2,3}，B={x∈Z|0≤lnx≤1}={1,2}，
则集合A∩B={2}．
2.【答案】C
【解析】【分析】本小题主要考查特称命题、特称命题的应用、不等式的解法等基础知识，属于基础题．
题中条件：“∃x>0，2x2-mx+1≤0”为真命题，考虑二次函数的图象列出不等式组即可求得结果．
【解答】
解：考虑二次函数的图像可得
Δ=m2-8≥0m4>0，即m∈[2 2,+∞)，
故选C．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查求抽象函数的定义域，属基础题．
根据抽象函数的定义域，再结合分母不为0即可得解．
【解答】解：因为函数y=f(2x)的定义域为[-32,2]，则-3⩽2x⩽4，
所以-3⩽1-x⩽4x+2>0x+2≠1，解得-2故函数的定义域是(-2,-1)∪(-1,4]．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．
化简得命题q：a⩾2或a⩽-2，再根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
解：若关于x的方程x2+ax+1=0有两个不相等的实数根，
则△=a2-4>0，即a>2或a<-2，
又a>3⇒a>2，a>2⇏a>3，
所以p是q成立的充分不必要条件.故选A
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性的应用，考查函数值的求解，属于中档题．
根据函数奇偶性的定义列方程组，求出函数解析式，再求函数值即可比较大小．
【解答】
解：由题意知函数f(x)是奇函数，函数g(x)是偶函数，又f(x)+g(x)=2x+x3-1①，所以f(-x)+g(-x)=2-x+-x3-1，即-f(x)+g(x)=2-x-x3-1②，
解①②组成的方程组得f(x)=122x-2-x+2x3，g(x)=122x+2-x-2，所以
f(1)=122-2-1+2=74，g(-2)=122-2+22-2=98，所以f(1)>g(-2)．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查对数的运算以及基本不等式，属于基础题．
进行对数与指数的互化，再结合基本不等式计算即可．
【解答】
解：∵lga10=lgb，∴lg10lga=lgb，即lga⋅lgb=1，
由基本不等式可知lga+lgb≥2 lga⋅lgb=2，
又因为lga+lgb≤2，所以lga+lgb=2，
即满足基本不等式取等条件lga=lgb=1，即a=b=10，
故选D．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了函数的新定义问题，是中档题．
根据题意即x1x2(x1-x2)[f(x1x1)-f(x2)x2]<0，设g(x)=f(x)x，易得g(x)在定义域上是单调递减函数，可得结论．
【解答】
解：根据题意，(x1-x2)[x2f(x1)-x1f(x2)]<0，
即x1x2(x1-x2)[f(x1x1)-f(x2)x2]<0，
设g(x)=f(x)x，即x1x2(x1-x2)[g(x1)-g(x2)]<0，
选项B中，g(x)=lg12(2x-1)在定义域上是单调递减函数，满足“共建”函数的定义，
故选B．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题．
设t=3x，则g(t)=t4+4t2+4t+1t2+2t=t2+2t+1t2+2t，再利用基本不等式求最值即可．
【解答】
解：设t=3x，则g(t)=t4+4t2+4t+1t2+2t=(t2+2t)2+1t2+2t=t2+2t+1t2+2t，
因为t2+2t=t2+1t+1t≥3⋅3t2⋅1t.1t=3，当且仅当t2=1t时，即x=0时取等号，
又令m=t2+2t，则hm=m+1m，当m>3时，h(m)单调递增，因此h(m)≥3+13=103，
故f(x)的最小值为103．
故选D．
9.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查利用 不等式的性质求取值范围，属于基础题．
由不等式的性质逐一判定即可．
【解答】
解：当x=1时，1x=1>-1，故A错误;
因为-1因为-1则-3故选BD．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查了简单的幂函数的图象与性质，是中档题．
由幂函数的定义得a-1=1，则a=2，再将点(2,8)代入f(x)得b=3，可得g(x)的解析式，根据函数性质逐一判定即可．
【解答】
解：因为f(x)=(a-1)xb为幂函数，所以a-1=1，则a=2，
由点(2,8)在f(x)=xb的图象上得b=3，
故g(x)= x-2- 3-x．
由3-x≥0x-2≥0解得2≤x≤3，故A错误;
当2≤x≤3时，求得值域为[-1,1]，故B正确;
易知函数g(x)= x-2- 3-x单调递增，故C正确;
由g(x)= x-2- 3-x，得g(5-x)= 3-x- x-2，
则g(5-x)+g(x)=0，故D正确，
故选BCD．
11.【答案】ABD
【解析】本题主要考查了判断函数零点所在的区间以及求函数零点的方法，属于基础题．
计算可得A，B，C，D选项中的零点分别为14，1，0，1，再判断g(x)的零点所在的区间，
看哪一个能满足条件．
解：计算可得A，B，C，D选项中的零点分别为14，1，0，1，根据二分法以
及零点存在性定理可求出g(1)=4-2=2>0，g(12)=2+ln12-2=ln12<0，
g(34)=2 2+ln34-2=2( 2-1)+ln34>0，所以g(x)的零点所在区间为(12,34)，
故选ABD．
12.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查了函数零点、方程的根的个数，分段函数的图象和“对勾”函数的图象与性质，属于中档题．
令t=f(x)，利用分段函数的图象作出直线y=t和函数fx的图象，利用函数零点、方程的根的个数，结合图象得函数y=t2+mt+1要有两个不同零点t1和t2，设t1【解答】
解：令t=f(x)，作直线y=t和函数fx的图象如下：
要关于x函数y=f2(x)+mf(x)+1在定义域内有四个零点，则直线y=t和函数fx的图象要有四个不同的交点，
因此函数y=t2+mt+1要有两个不同零点t1和t2，不妨设t1则t1=0，0因为t1t2=1，所以t2⩾4，而t1+t2=-m，
因此-m=t1+t2=1t2+t2≥174，即m⩽-174．
又因为由Δ=m2-4>0，解得m<-2或m>2，所以m≤-174，符合要求的只有A和B，
故选：AB
13.【答案】[158,+∞)
【解析】【分析】
本题主要考查函数值域的计算，利用换元法转化为一元二次函数进行求解是解决本题的关键，属于中档题．
利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数的最值性质进行求解即可．
【解答】解：设t= x-1，∴t⩾0
则x=1+t2，
则f(x)等价为y=2(1+t2)-t=2(t-14)2+158，
则当t=14时，取得最小值y=2×116-14+2=158，
即f(x)的值域为[158,+∞).
14.【答案】(2,1)(答案不唯一，一般形式为(a,1)，a>1)；
【解析】【分析】
本题考查对数函数的图象与性质，属于基础题．
由对数函数的图象与性质可得，只要满足a>1，b=1即可．
【解答】
解：由对数函数的图象可得，
当f(x)=lga(x+b)满足a>1，b=1时函数f(x)的图象不经过第二、四象限，
故(a,b)的值可为(2,1)．
15.【答案】 2-12
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题．
结合图象可得S△ABC=S△ACO+S△BCO-S△ABO=12(2x+1x)-12，再利用基本不等式求最小值即可．
【解答】解：如图所示，
S△ABC=S△ACO+S△BCO-S△ABO=12(x+1x)+12x-12=12(2x+1x)-12，
因为12≤x≤1，所以2x+1x≥2 2x⋅1x=2 2，当且仅当x= 22时取等号，
此时△ABC面积的最小值为 2-12．
16.【答案】-14．
【解析】【分析】
本题考查函数的对称性，属于中档题．
对于∀x∈R都有f(2-x)+f(x)=0，可得函数f(x)的对称中心为(1,0)，则由f(-3)=0，可得f(5)=0，从而可得函数解析式，即可求得2m+n．
【解答】解：因为对于∀x∈R都有f(2-x)+f(x)=0，
所以函数f(x)的对称中心为(1,0)，
又因为f(-3)=0，所以f(5)=0，
故f(x)=2(x+3)(x-1)(x-5)=(x+3)(2x2-12x+10)，
∴m=-12，n=10，
即2m+n=-24+10=-14．
17.【答案】解：(1)选取 ②y=ax2+bx+c，
由题表可知，随着x的增大，y的值先增大后减小，
而函数y=ax+b及y=ax+b均为单调函数，故不符合题意，
所以选取 ②y=ax2+bx+c
将(30,4800)，(60,6000)，(80,4800)三点分别代入函数解析式y=ax2+bx+c，
可得二次函数对称轴为x=30+802=55，
故可将函数解析式设为y=a(x-55)2+h，
即得到52a+h=6000252a+h=4800.解出a=-2h=6050
∴y=-2(x-55)2+6050=-2x2+220x
(2)设在一周内大约应生产x辆小型汽车，根据题意，可得-2x2+220x>6020，
即-2x2+220x-6020>0，即x2-110x+3010<0，
因为△=1102-4×3010=60>0，
所以方程x2-110x+2800=0有两个实数根
x1=55- 15， x2=55+ 15，
由二次函数y=x2-110x+3010的图象可知不等式的解为55- 15因为x只能取整数值，
所以当这条流水线在一周内生产的小型汽车数量53≤x≤58之间时，这家工厂能够获得6020元以上的收益．
【解析】【分析】
本题主要考查二次函数模型解决实际问题，属于中档题．
(1)由题表可知，随着x的增大，y的值先增大后减小，结合函数的单调性即可得函数模型为y=ax2+bx+c，再将(30,4800)，(60,6000)，(80,4800)三点分别代入解析式，可得结论；
(2)根据已知可得-2x2+220x>6020，解一元二次不等式即可；
18.【答案】(1)证明：因为b>a>0，所以a+1b+1-ab=b-a(b+1)b>0，于是a+1b+1>ab．
(2)证明：由(1)式可知，2n-22n-1<2n-12n<2n2n+1，
故(12×34×56⋯2n-12n)2>(12×34×56⋯×2n-12n)(12×23×45⋯2n-22n-1)
=12×12n=14n(n∈N且n≥2)，
(12×34×56⋯×2n-12n)2<(12×34×56⋯2n-12n)(23×45×67⋯2n2n+1)=12n+1(n∈N且n≥2)
即12 n<12×34×56⋯2n-12n<1 2n+1(n∈N*且n≥2)，原式得证．
【解析】本题考查不等式的证明方法——作差比较法，放缩法，属于中档题．
(1)作差比较即可；
(2)利用(1)的结论放缩即可．
19.【答案】解：(1)根据题意，将(5,180)，(25,45)分别代入T(x)=emx+n得e5m+n=180e25m+n=45
所以e20m=45180=14，所以e5m= 22，m<0，
当x=0时，T(0)=en=180e5m=180 22=180 2≈180×1.41=253.8，
此款鲜牛奶在0°C 的保鲜时间为254小时．
(2)根据题意，即要求T(x)=emx+n≥90，由(1)可知e10m=12，
所以e5m+n⋅e10m=e15m+n=180×12=90，
故emx+n≥e15m+n，即emx≥e15m，即mx≥15m，
因为m<0，所以x≤15，
所以想要保证此款鲜牛奶的保鲜时间不少于90h，存储温度要低于15°C;
【解析】本题主要考查的是指数函数的实际应用，难度适中；
(1)将(5,180)，(25,45)分别代入T(x)，进而可得e20m=45180=14，再将x=0代入T(x)可得结论；
(2)根据题意可得T(x)=emx+n≥90，利用指数的运算和性质，化解求解即可；
20.【答案】解：(1)函数f(x)单调递减.证明如下：
由lnf(xy)=ylnf(x)得，f(xy)=[f(x)]y，
则∀x1，x2∈R，
当x1因为x1故f(x1)-f(x2)=(12)a-(12)b>0，
所以函数f(x)单调递减．
(2)不等式f(a+x2)f(-x2)≥1可等价变形为f(a+x2)≥1f(-x2)，
因为f(xy)=[f(x)]y，所以1f(-x2)=[f(-x2)]-1=f(x2)，
则不等式可变为f(a+x2)≥f(x2)，
由(1)知，函数f(x)在定义域内单调递减，
故a+x2≤x2，x∈[-2,-1]恒成立，
则a≤(x2-x2)min，解得a≤32，
因此实数a的取值范围是(-∞,32].
【解析】本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，函数恒成立条件的转化，属于中档题．
(1)判断得函数f(x)单调递减，利用函数的单调性的定义证明即可．
(2)不等式f(a+x2)f(-x2)≥1可等价变形为f(a+x2)≥1f(-x2)，进一步可得不等式可变为f(a+x2)≥f(x2)，利用函数的单调性转化求解即可．
21.【答案】解：(1)f(x)的简图，如图所示：
f(x)的单增区间为[-1,0]，(0,+∞)，f(x)的单减区间为(-∞,-1]；
(2)易知g(x)=-2x-2,-2⩽x⩽012x2-2,0 ①当-2≤x0≤0时，g(x0)=-2x0-2，
令g(x0)=x0得-2x0-2=x0，解得x0=-23;
当0令g(x0)=x0得12x02-2=x0，解得x0=1± 5(舍去)，
综上所述：函数g(x)的不动点为-23；
②当-2≤x0<-1时，g(x0)=-2x0-2，且0则g(g(x0))=g(-2x0-2)=12(-2x0-2)2-2=2x02+4x0，
令g(g(x0))=x0得，2x02+4x0=x0，解得x0=-32或x0=0(舍)，
当-1≤x0≤0时，g(x0)=-2x0-2，且-2≤g(x0)≤0，
则g(g(x0))=g(-2x0-2)=-2(-2x0-2)-2=4x0+2，
令g(g(x0))=x0得4x0+2=x0，解得x0=-23，
当0则g(g(x0))=g(12x02-2)=-2(12x02-2)-2=-x02+2，
令g(g(x0))=x0得-x02+2=x0，解得x0=1或x0=-2(舍)，
综上所述：函数g(x)的稳定点有3个，分别是-32，-23和1．
【解析】本题考查分段函数的图象、函数的新定义问题、分段函数的单调性，属于中档题．
(1)利用二次函数与对数函数的图像即可画出图形，根据图形，即可写出单调区间；
(2)①求出g(x)=-2x-2,-2⩽x⩽012x2-2,0②分-2≤x0<-1，-1≤x0≤0，022.【答案】解：(1)因为f(x)=lgax为单调函数，所以当x1则当|f(x1)|=|f(x2)|时，有f(x1)=-f(x2)，即lgax1+lgax2=0，
解得x1x2=1，
则2x1+x2=2x1+1x1≥2 2
当且仅当2x1=1x1时，即x1= 22时，取等号，
故2x1+x2的最小值为2 2．
(2)由题意，g(x)=f(x)f(xa)=lgax⋅lgaxa=lgax(lgax-1)，
令t=lgax，则t∈R，t1=lgax1，t2=lgax2，
若x2x1>a2，则lgax2x1>lgaa2，
即lgax2-lgax1>2，即t2-t1>2，
由t1和t2为方程t(t-1)=m，
即方程t2-t-m=0的两根得△=1+4m>0，解得m>-14，
且t1+t2=1，t1t2=-m，
因为t2-t1>2，所以(1-t1)-t1>2，解得t1<-12，
所以m=-t1t2=-t1(1-t1)=t12-t1=(t1-12)2-14，
易求得当t1<-12时，m>34，满足m>-14，
故实数m的取值范围(34,+∞).
【解析】本题考查了对数函数的单调性与最值和基本不等式的应用，是中档题．
(1)由|f(x1)|=|f(x2)|得x1x2=1，由基本不等式可得2x1+x2的最小值;
(2)由题意，g(x)=lgax(lgax-1)，令t=lgax，若x2x1>a2，得t2-t1>2，由t1和t2为方程t(t-1)=m，由△=1+4m>0，解得m>-14，结合t1t2=-m，可得实数m的取值范围．月份
1月
2月
3月
小型汽车数量x(辆)
30
60
80
创造的收益y(元)
4800
6000
4800