2023-2024学年江苏省苏州市吴中区、吴江区、相城区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市吴中区、吴江区、相城区九年级（上）期中数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程中，属于一元二次方程的是
( )
A. x−2=0B. x+3y=1C. x2+2x+1=0D. x2=1
2.在同一平面内，已知⊙O的半径是5，点A到圆心的距离为4，则点A与⊙O的位置关系是
( )
A. 点A在圆内B. 点A在圆上C. 点A在圆外D. 无法确定
3.如图，在ΔABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE//BC，若AD=2，BD=3，DE=2，则BC的长是
( )
A. 3B. 92C. 5D. 152
4.如图，点B，C，D在⊙O上，∠BOC=120∘，点A是BC的中点，则∠BDA的度数是
( )
A. 30∘B. 40∘C. 50∘D. 60∘
5.若关于x的一元二次方程x2+(2m−1)x+4=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是
( )
A. 1B. −1C. 2D. −2
6.如图是甲，乙两射击运动员的5次射击训练成绩的折线统计图．已知甲，乙两名运动员5次射击训练的平均成绩相同，均为8环．则在这5次训练中，哪位运动员的发挥更稳定？
( )
A. 甲更稳定B. 乙更稳定C. 一样稳定D. 无法判断
7.我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416.圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得π的估计值为3.如图，若用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计，可得π的估计值为
( )
A. 3 32B. 2 2C. 2 3D. 83
8.如图，⊙O是ΔADB，ΔBDC的外接圆，∠DBC=2∠ADB，若AB=2 5，CD=8，则⊙O的半径为
( )
A. 2 5B. 5C. 112D. 3 3
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
9.方程x2=9的根是 ．
10.在杭州亚运会的跳水比赛中，对某运动员的第一个动作，8位裁判的打分如下(单位：分):9，8.5，7.5，8.5，8.5，7.5，7，8，这组数据的极差是 ．
11.若圆锥的底面半径为3，母线长为6，则圆锥的侧面积等于 ．
12.如图是一个照相机成像的示意图．如果AB为35mm，点O到AB的距离是70mm，那么拍摄7m外的景物A′B′的长度是 米．
13.设x1，x2是方程x2−3x+1=0的两个根，则x12+3x2+3= ．
14.如图，点E是ΔABC的外心，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，BC于点F，G，再分别以F，G为圆心，大于12FG长为半径画弧，两弧交于点H；以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，BC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于12MN长为半径画弧，两弧交于点K.作射线BH，射线CK，BH与CK交于点D.连接AD，连接BE，若∠CAD=38∘，则∠EBC的度数为 ∘．
15.如图，直线AB，CD交于点F，∠AFC=45∘，点E是AF上一点，EF=10cm，点O从点E出发，以1cm/s的速度沿射线EB运动．以点O为圆心， 23OE长为半径作⊙O，若点O运动的时间为t，当⊙O与直线CD相切时，则t的值为 秒．
16.在同一平面直角坐标系中有A，B，C三点，已知点A(2,0)，B(8,0)，点C是第一象限内的一个动点，且∠ACB=60∘.当BC最长时，点C的坐标为 ．
三、计算题（本大题共1小题，共6分）
17.解方程：
(1)x2−6x=0；
(2)3x(x−2)=x−2．
四、解答题（本大题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18.(本小题8分)
已知关于x的方程x2−6x−m=0的一个根是−2，求它的另一个根和m的值．
19.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，CE=2BE，AE交BD于点F．
(1)求BFDF的值；
(2)△BEF与△DAF的面积的比为 ．
20.(本小题8分)
阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气．幸福中学七年级1班班主任为了解班级学生上周在家阅读时长(单位：小时)的情况，对全班40名学生进行问卷调查．
所得的结果如图所示．
(1)这40名学生上周阅读时间的众数为 小时，中位数为 小时；
(2)求这40名学生上周在家阅读的平均时长？
21.(本小题8分)
如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，将ΔBCE沿着BE翻折，点C恰好落在AD上的点F处．
(1)求证：ΔABF∽ΔDFE；
(2)若AB=6，BC=10，求EF的长．
22.(本小题8分)
如图，⊙O的圆心O与正三角形ABC的中心重合，已知⊙O的半径和扇形ABC的半径都是6 3．
(1)若将扇形ABC围成一个圆锥的侧面，设该圆锥的高为h．
①求扇形ABC的弧长；
②则h的值为_ ；
(2)⊙O上任意一点到正三角形ABC上任意一点距离的最小值为 ．
23.(本小题8分)
定义新运算“♁”：对于实数m，n，p，q，有[m,p]♁[q,n]=mn+pq，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如：[2,3]♁[4,5]=2×5+3×4=22．
(1)求关于x的方程[x2,x−1]♁[3,1]=0的根；
(2)若关于x的方程[x2+1,x]♁[1−2k,k]=0 有两个实数根，求k的取值范围．
24.(本小题8分)
如图，直线AE经过⊙O上的一点A，⊙O是ΔADC的外接圆，AB是⊙O的直径，CH⊥AE于点H，点D是AB的中点，∠ADC=∠EAC.取AD的中点F，连接BF．
(1)求证：AE为⊙O的切线；
(2)若CH=2，AC=5，求BF的长．
25.(本小题8分)
为扎实推进乡村振兴战略，苏州市某村举办了中国传统文化主题灯会．据统计，灯会开幕后第一周的游客人数为1.2万人，第三周的游客人数为2.7万人．
(1)若从第一周到第三周，每周游客人数的平均增长率都相同，求这个平均增长率．
(2)村里的猕猴桃成本为3元/个，平时按5元/个出售，每天可售出1000个．灯会期间为了保证猕猴桃的供应，村里决定采取提高售价减少销售量的办法销售．若这种猕猴桃的销售价每提高0.5元其销售量就减少50个，且每个猕猴桃的销售价不超过10元，问每个售价定为多少元时，才能使每天利润为3200元？
26.(本小题8分)
已知矩形ABCD中，BC=8cm，点G是对角线AC上一点，且CG= 5cm，点H是边AB中点，点F从点A出发，沿A−B−C方向运动，速度为3cm/s，点E从点A出发，沿A−D方向运动，速度为1cm/s，两点同时开始运动，运动的时间为x.若ΔFHG面积记为S1，ΔHEG面积记为S2，ΔFEG面积记为S3.当点F运动到点G的正上方时，E，F两点运动停止．
(1)如图①，点F在线段AB(包含端点)上运动时，S1与x的函数图象如图②所示，则AB的长为 cm；
(2)在(1)的条件下，如图③，点F在线段BC上运动：
①若EF=2 5cm，求此时x的值；
②若S2⋅S3=68，求此时x的值．
27.(本小题8分)
如图①所示，已知AB是⊙O的直径，点C在半径OA上，点D，点F是圆上的点，CD//OF，点E是半径OB的中点，DE与OF交于点G，连接BG，BF．
(1)如果DC⊥AB，连接OD，如图②所示；
①则∠F的度数为 ∘；
②若∠DOF=∠DEC，CO=6，求线段OE的长；
(2)若OB=BG，BE=CO，求OGOF的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】根据一元二次方程的定义，逐一判断即可解答．
解：A、x−2=0，是一元一次方程，故A不符合题意；
B、x+3y=1，是二元一次方程，故B不符合题意；
C、x2+2x+1=0，是分式方程，故C不符合题意；
D、x2=1是一元二次方程，故D符合题意；
故选：D．
2.【答案】A
【解析】根据点与圆的位置关系的判定方法对点A与⊙O的位置关系进行判断．
解：∵⊙O的半径为5，OA=4，
∴点A到圆心的距离小于圆的半径，
∴点A在⊙O内．
故选：A．
3.【答案】C
【解析】由DE//BC，可得出ΔADE∽ΔABC，再利用相似三角形的性质，即可求出BC的长．
解：∵DE//BC，
∴ΔADE∽ΔABC，
∴BCDE=ABAD=AD+BDAD，即BC2=2+32，
∴BC=5．
故选：C．
4.【答案】A
【解析】连接OA，由圆心角、弧、弦的关系得到∠AOB=∠AOC=60∘，由圆周角定理即可求出∠BDA=12∠AOB=30∘．
解：连接OA，
∵点A是BC的中点，
∴∠AOB=∠AOC，
∵∠BOC=120∘，
∴∠AOB=12∠BOC=60∘，
∴∠BDA=12∠AOB=30∘．
故选：A．
5.【答案】D
【解析】根据方程的系数结合根的判别式Δ>0，可得出关于m的不等式，解之即可得出m的取值范围，在m的范围内即可判断．
解：∵关于x的一元二次方程x2+(2m−1)x+4=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(2m−1)2−4×1×4>0，
解得：m>2.5或x0，
∴x=−3± 212，
∴x1=−3+ 212，x2=−3− 212；
【小题2】
解：∵[x2+1,x]♁[1−2k,k]=0，
∴(x2+1)k+x(1−2k)=0，
整理得：kx2+(1−2k)x+k=0，
∵方程有两个实数根，
∴Δ=(1−2k)2−4k⋅k⩾0，k≠0，
解得：k≤14且k≠0．

【解析】1.
由新定义的运算，可得到关于x的一元二次方程，解方程即可．
2.
由新定义的运算，可得到关于x的一元二次方程，再利用根的判别式进行求解即可．
24.【答案】【小题1】
解：证明：如图，连接 BD，
∵AB为⊙O的直径．
∴∠ADB=90∘，
∴∠CDB+∠CDA=90∘
∵∠CDA=∠EAC，∠CDB=∠CAB，
∴∠CAB+∠EAC=90∘，
即∠EAB=90∘，
∴EA⊥AB
∴AE为⊙O的切线；
【小题2】
解：如第(1)题图，连接DO、BC，
∵CH⊥AE，
∴∠CHA=90∘，∠CHA=∠ACB=90∘，
∵∠CAH=∠CBA．
∴ΔACH∼ΔBAC，
∴ACAB=CHAC，即5AB=25，
∴AB=252，
∵点D为AB的中点，
∴AD=BD，
∴AD=BD，
∵F为AD中点，
∴DF=12AD=12BD，
∵AB为⊙O的直径．
∴∠ADB=90∘，
∴2BD2=AB2=6254，
∴BD2=6258，
∵BD2+DF2=BF2，
∴(12BD)2+BD2=BF2，
∴BF2=54BD2，
∴BF2=54×6258=62516×52，
∴BF=25 108．

【解析】1.
连接BD，根据圆周角定理及其推论推出∠EAB=90∘即可；
2.
连接DO、BC，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证ΔACH∼ΔBAC，再根据“相似三角形的对应边的比相等“求出AB的长，由“点D为AB的中点”、“F为AD中点”推出DF=12AD=12BD，在RtΔABD中由勾股定理求出BD2，最后在RtΔBDF中由勾股定理即可求出BF的长．
25.【答案】【小题1】
解：设每周游客人数的平均增长率为x，
根据题意得：1.2(1+x)2=2.7，
解得：x1=0.5=50%，x2=−2.5(不符合题意，舍去)．
答：每周游客人数的平均增长率为50%；
【小题2】
解：设每个售价定为y元，则每个的销售利润为(y−3)元，每天可售出1000−50×y−50.5=(1500−100y)个，
根据题意得：(y−3)(1500−100y)=3200，
解得：y2−18y+77=0，
解得：y1=7，y2=11(不符合题意，舍去)．
答：每个售价应定为7元．

【解析】1.
设每周游客人数的平均增长率为x，利用灯会开幕后第三周的游客人数=灯会开幕后第一周的游客人数×(1+每周游客人数的平均增长率) 2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
2.
设每个售价定为y元，则每个的销售利润为(y−3)元，每天可售出(1500−100y)个，利用每天销售这种猕猴桃的总利润=每个的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
26.【答案】【小题1】
4
【小题2】
解：①如图3，过点F作FI⊥AD于点I．
∵FI⊥AD，
∴∠FIE=90∘，
∵AE=x，BF=3x−4，
∴IE=2x−4．
在Rt △FIE中，FI2+IE2=EF2．
(2x−4)2+42=(2 5)2．
解得：x1=3，x2=1．
点F在线段BC上运动，
∴43≤x≤4，
∴此时x的值为3秒．
②如图3，过点G作GK⊥AD，交AD于点K，GJ⊥AB交AB于点J．
由题意得：ΔAGJ∽ΔACB，
∴ACAG=BCGJ，
∵AB=4，BC=8，
∴AC= 42+82=4 5
∵CG= 5，
∴AG=3 5．
∴GJ=6，
∵S2=SΔAHG+SΔAEG−SΔAHE，
∴S2=12×2×6+12×x×3−12×2×x
=12x+6，
∵S3=SΔABC+SΔAEG−SΔFGC−S梯形BAEF，
∴S3=18−5x，
∴S2⋅S3=(12x+6)(18−5x)=68．
解得：x1=−10，x2=85．
∵43≤x≤4，
∴此时x的值为85秒．

【解析】1.
根据两个图象的对比，可以找到当x=23时，点F与H会重合，即可求得．
解：由图②可知，
当x=23时，点F运动到了点H，
∴AF=23×3=2，
∴AH=2，
∴AB=2AH=4(cm)．
故答案为：4．
2.
分别作出直角三角形，利用相似求边长，再用x表示出三角形的面积，即可求得．
27.【答案】【小题1】
解：①∵DC⊥AB，CD//OF，
∴OF⊥AB，
∴∠AOF=∠BOF=90∘，
∵OB=OF，
∴∠F=∠OBF=45∘．
故答案为：45；
②设⊙O的半径为r，则OD=OB=r，
∵DC⊥AB，
∴CD2+OC2=OD2，
∴CD2=r2−62=r2−36．
∵点E是半径OB的中点，
∴OE=12r．
∴EC=OC+OE=6+12r．
∵CD//OF，
∴∠CDO=∠DOF，
∵∠DOF=∠DEC，
∴∠CDO=∠DEC．
∵∠DCO=∠ECD，
∴ΔDCO∽ΔECD，
∴DCCO=ECCD，
∴CD2=CO⋅EC．
∴r2−36=6(6+12r)，
∴r=3±3 332(负数不合题意，舍去)，
∴r=3+3 332．
∴OE=12r=3+3 334．
【小题2】
解：延长BG交DC于点K，连接OD，交BK于点M，如图，
设GO=m，OE=x，
∵点E是半径OB的中点，BE=CO，
∴BE=CO=OE=x，
∴OB=GB=2x，OD=OB=2x．
∵CD//OF，CO=OE，
∴OG为ΔECD的中位线，
∴CD=2OG=2m，
∵CD//OF，
∴ΔBOG∽ΔBCK，
∴OGCK=BGBK=OBBC=2x3x=23，
∴CK=32m，BK=3x，
∴KG=x，DK=CD−CK=12m．
∵CD//OF，
∴ΔDKM∽ΔOGM，
∴DMOM=KMGM=DKOG=12mm=12，
∴DM=23x，OM=43x，KM=13x，MG=23x，
∴BM=BG+GM=2x+23x=83x，
∴KMDM=13x23x=12，OMBM=43x83x=12，
∴KMDM=OMBM，
∵∠KMD=∠OMB，
∴ΔKMD∽ΔOMB，
∴KDOB=KMOM，
∴12m2x=13x43x，
∴m=x，
∴OGOF=m2x=12．

【解析】1.
①利用垂直的定义，平行线的性质和等腰直角三角形的性质解答即可；
②设⊙O的半径为r，则OD=OB=r，利用勾股定理求得CD2，利用相似三角形的判定与性质得到CD2=CO⋅EC，从而得到关于r的方程，解方程即可得出结论；
2.
延长BG交DC于点K，连接OD，交BK于点M，设GO=m，OE=x，则OB=GB=2x，OD=OB=2x，利用三角形的中位线定理，平行线的性质，相似三角形的判定与性质得出比例式，进而得到m=x，则结论可求．